高中数学 第一章 立体几何初步教案 新人教B版必修2

1、学必求其心得，业必贵于专精第一章 立体几何初步示范教案教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章内容，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化值得注意的是对于本章知识结构，学生比较陌生，教师要帮助学生完成,并加以引导三维目标通过总结和归纳立体几何的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力重点难点教学重点：空间几何体的结构特征由三视图还原为实物图面积和体积的计算平行与垂直的判定与性质教学难点:形成知识网络课时安排1课时导入新课设计1。第一章是整个立体几何的基础

2、，为了系统地掌握本章的知识和方法，本节对第一章进行复习教师点出课题设计2。大家都知道，农民伯伯在春天忙着耕地、播种、浇水、施肥、治虫，非常辛劳，到了秋天，他们便忙着收获到了收获的季节,他们既高兴又紧张，因为收获比前面的工作更重要，收获的多少决定着一年的收成我们前面的学习就像播种，今天的小结就像收获，希望大家重视今天的小结学习教师点出课题推进新课讨论结果：（1）本章知识结构：(2）平行关系与垂直关系的对比：平行垂直直线与平面公共点0个1个判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直性质定理如果一条直线与一

3、个平面平行，则过该直线的任意一个平面与此平面的交线与该直线平行如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行平面与平面公共点0个无数个判定定理如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 （3)柱、锥、台的侧面积关系：其中c、c分别为上、下底面周长，h为斜高或母线长，h为正棱柱或圆柱的高柱、锥、台的体积关系：其中s上、s下分别为台体的上、下底面积,h为高，s为柱体或锥体的底面积

4、球的表面积和体积:s球面4r2，v球r3。思路1例1 下列几何体是台体的是（)解析：a中的“侧棱”没有相交于一点，所以a不是台体;b中的几何体没有两个平行的面，所以b不是台体;很明显c是棱锥，d是圆台答案：d点评：本题主要考查台体的结构特征像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握变式训练1将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括（)a一个圆台、两个圆锥 b两个圆台、一个圆柱c两个圆台、一个圆柱 d一个圆柱、两个圆锥解析：因为梯形的两底平行，故另一底旋转形成了圆柱面而两条腰由于与旋转轴相交，故旋转形成了锥体因此得到一个圆柱、两个圆锥答案:d2下列

5、三视图表示的几何体是(）a圆台 b棱锥 c圆锥 d圆柱解析:由于俯视图是两个同心圆,则这个几何体是旋转体又侧视图和正视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台答案：a3下列有关棱柱的说法：棱柱的所有的棱长都相等；棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；棱柱的上、下底面形状、大小相同正确的有_解析：棱柱的所有侧棱长都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等,其侧面都是平行四边形,只有当棱柱是直棱柱时，侧面才是矩形，侧面个数与底面边数相等，棱柱的上、下底面是全等的多边形,由此可知仅有正确答案：2 已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于(）a2 b. c. d。解析：过正方

6、体的相对侧棱作球的截面,可得正方体的对角线是球的直径设正方体的棱长为a，球的半径为r，则有2ra，所以r.则（）3,解得a.答案：d点评：解决球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系,本题利用正方体外接球的直径是正方体的对角线这一隐含条件使得问题顺利获解空间几何体的表面积和体积问题是高考考查的热点之一主要以选择题或填空题形式出现，也不排除作为解答题中的最后一问，题目难度属于中、低档题，以考查基础知识为主，不会出现难题其解决策略是利用截面或展开图等手段，转化为讨论平面图形问题,结合平面几何的知识来求解变式训练1如下图（1）所示，在多面体abcd

7、ef中，已知abcd是边长为1的正方形，且ade、bcf均为正三角形，efab，ef2,则该多面体的体积为（）a。b。c.d. (1) （2)解析：如上图(2）所示，过b作bgef于g,连结cg,则cgef，bf1,bcg中，bg，bc边上的高为，而sbcg1，vfbcg.同理过a作ahef于h，则有veahd,显然bcgadh为三棱柱，vbcg-adh1。则由图（2）可知vadebcfvfbcgveahdvbcg-adh.答案：a点评:本题求几何体体积的方法称为割补法，经常应用这种方法求多面体体积割补法对空间想象能力的要求很高且割补法的目的是化不规则为规则2某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥,

8、其主视图如下图所示，则这个容器的容积为（)a。 m3b。 m3c3 m3 d12 m3解析：由该容器的主视图可知圆柱的底面半径为1 m，高为2 m,圆锥的底面半径为1 m，高为1 m，则圆柱的体积为2 m3，圆锥的体积为 m3，所以该容器的容积为 m3。答案：a点评：三视图是新课标高考的新增内容，在高考中会重点考查,在该知识点出题的可能性非常大，应予以重视此类题目的解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握3如下图所示,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是（)a.b。c.d。解析：根据三视图

9、，可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为主视图等边三角形的高，所以体积为4.答案：b例3 如下图，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4,ab5，aa14，点d是ab的中点求证：(1)acbc1；（2)ac1平面cdb1.证明：(1）直三棱柱abc-a1b1c1,底面三边长ac3，bc4,ab5，acbc。c1cac，ac平面bcc1b1。又bc1平面bcc1b1，acbc1.（2)设cb1与c1b的交点为e，连结de，d是ab的中点，e是bc1的中点，deac1。de平面cdb1，ac1平面cdb1，ac1平面cdb1。变式训练如下图(1），在四棱锥pabcd中，底面abcd是d

10、ab60,且边长为a的菱形侧面pad为正三角形，其所在的平面垂直于底面abcd。（1）若g为ad边的中点,求证：bg平面pad；(2）求证：adpb;(3)若e为bc边的中点，能否在棱pc上找到一点f，使平面def平面abcd，并证明你的结论(1）（2)证明：(1）如上图(1)，在菱形abcd中,dab60，g为ad的中点，bgad。又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，bg平面pad。（2）如上图（2），连结pg。pad为正三角形,g为ad的中点，pgad。由(1）知bgad，pgbgg，pg平面pgb，bg平面pgb，且pgbgg，ad平面pgb.pb平面pgb，adpb.

11、(3)解：当f为pc的中点时，平面def平面abcd。证明如下：f为pc的中点时，在pbc中，fepb，又在菱形abcd中，gbde，而fe平面def，de平面def，fedee，平面def平面pgb。pg平面abcd，而pg平面pgb，平面pgb平面abcd.平面def平面abcd。点评：要证两平面垂直,最常用的办法是用判定定理：证一个平面内的一条直线垂直于另一平面,而线垂直面的证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直已知直线要善于运用题目给出的信息，通过计算挖掘题目的垂直与平行关系，这是一种非常重要的思想方法，它可以使复杂问题简单化思路2例4 一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm)，则

12、该几何体的表面积是_，体积是_活动:学生回顾简单几何体的结构特征和三视图解析：由三视图知该几何体是圆锥，且母线长为5 cm，底面半径是3 cm，圆锥的高是4 cm，所以其表面积是3（35）24 （cm2),体积是32412 （cm3)答案：24 cm212 cm3点评:本题主要考查三视图和圆锥的体积解决本题的关键是由三视图能够想象出圆锥变式训练1下图所示的是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)分析:先从三视图想象出实物形状，再根据实物形状画出它的直观图解：由三视图可知该几何体是一个正三棱台，画法：（1)如左下图所示，作出两个同心的正三角形在一个水平放置的平面内的直观

13、图；（2)建立z轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，遮住线段用虚线表示,如右上图所示，即得到要画的正三棱台2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，左下图所示是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是(）a0 b7 c快 d乐解析：如右上图所示，将左上图折成正方体，可得2的下面是7.答案:b例5 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4 cm，则这个球的体积等于_cm3.解析:正方体的对角线是球的直径，所以球的半径为2 （cm），其体积为(2）332 （cm3）答案：32点评：解决组

14、合体问题的关键是明确组合体的结构特征变式训练1两相同的正四棱锥组成如下图(1)所示的几何体，可以放在棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面abcd与正方体下图(2)的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）a1个 b2个 c3个 d无穷多个解析:方法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个方法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为,考查放入正方体后，面abcd所在的截面,显然其面积是不固定的，取值范围是，1)，所以该几何体的体积取值范围是,）答案:d2两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为（）a6 b8 c4 d8解析:两

15、小球的体积是213，设大球的半径为r,则有r3，解得r。所以大球的表面积为4()24.答案:c1如下图，直观图所示的原平面图形是(）a任意四边形 b直角梯形c任意梯形 d等腰梯形解析：显然直观图中边ad与bc都平行于x轴，所以它们所对应的原图形中的边ad、bc是互相平行的;直观图中ab与y轴平行，所以在原图形中对应的边ab垂直于bc;但是直观图中cd与y轴不平行，所以在原图形中对应的边cd不垂直于bc，即ab与cd不平行所以原图形应是直角梯形答案：b2正方体的体积是64，则其表面积是()a64 b16c96 d不确定解析：由于正方体的体积是64，则其棱长为4，则其表面积为64296。答案:c3

16、某四面体的各个面都是边长为1的等边三角形,则此四面体的表面积是()a4 b。c2 d。解析：每个等边三角形的面积都是，所以此四面体的表面积是4.答案：d4圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的全面积为_解析：圆柱的侧面积s侧64242。以边长为6的边为轴时，4为圆柱底面圆周长，所以2r4,即r2.所以s底4.所以s全2428。以4所在边为轴时，6为圆柱底面圆周长，所以2r6,即r3.所以s底9。所以s全24218.答案:2428或242185如下图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，高是 m，制造这个塔顶需要多少铁板？分

17、析：转化为求这个四棱锥的侧面积利用过四棱锥不相邻的两侧棱作截面，依此来求侧面等腰三角形的面积解：如下图所示，连结ac和bd交于o，连结so，则有sooa，所以在soa中，so （m），oa2（m)，则有sa3（m），则sab的面积是222（m2)所以四棱锥的侧面积是428 （m2)答：制造这个塔顶需要8 (m2）铁板6如下图所示，在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中,dbbc，dbac，点m是棱bb1上一点（1)求证:b1d1面a1bd；（2）求证：mdac;(3）试确定点m的位置，使得平面dmc1平面cc1d1d.分析：(1）转化为证明b1d1bd；(2)转化为证明ac面bb1d；（3）转

18、化为证明dc1的中点与m点的连线垂直平面dcc1d1。（1）证明：由直四棱柱，得bb1dd1，且bb1dd1，四边形bb1d1d是平行四边形，b1d1bd，而bd平面a1bd，b1d1平面a1bd，b1d1面a1bd.(2)证明:bb1面abcd,ac面 abcd，bb1ac，又bdac，且bdbb1b，ac面bb1d.而md面bb1d,mdac.（3）解：当点m为棱bb1的中点时,平面dmc1平面cc1d1d。取dc的中点n，d1c1的中点n1，连结nn1交dc1于o，连结om，如下图所示n是dc中点，bdbc，bndc；又dc是面abcd与面dcc1d1的交线，而面abcd面dcc1d1，

19、bn面dcc1d1。又可证得，o是nn1的中点，bmon，且bmon，即四边形bmon是平行四边形，bnom，om平面cc1d1d，om面dmc1，平面dmc1平面cc1d1d.问题：如下图,在长方体abcda1b1c1d1中,ab6，ad4，aa13，分别过bc、a1d1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为v1vaea1dfd1，v2vebe1a1fcf1d1,v3vb1e1b-c1f1c.若v1v2v3141，试求截面a1efd1的面积探究：利用体积关系得到面积的关系解决此类问题，且灵活应用“转化这一重要数学思想截面a1efd1为一个矩形，求其面积只要求出a1e的长度注意到被两平行平面分割而成的三部分都是棱柱，其体积比也就是在侧面a1b被分割成的三个图形的面积比,于是容易得到各线段长度比进而得到线段ae的长度，再利用勾股定理容易得到a1e的长度解:因为v1v2v3141，又棱柱aea1dfd1,ebe1a1fcf1d1，b1e1bc1f1c的高相等，所以sa1aes a1ebe1sbb1e1141。所以sa1ae363,即3ae3.所以ae2。在rta1ae中,a1e，所以截面a1efd1的面积为a1ea1d1a1ead4。答：截面a1efd1的面积为4.本节课复习了：1第一章知识及其结构图；2三视图和体积、面积的有关问题；3平行与