江苏省泰兴市高中数学 第3章 不等式 3.4.1 基本不等式的证明（2）教案 必修5

1、学必求其心得，业必贵于专精3.4。1基本不等式的证明(2）教学目标：一、知识与技能1进一步掌握基本不等式；2学会推导并掌握均值不等式定理；3会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同4使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用二、过程与方法通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德教学重点：均值不等式定理的证明及应用教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧教学方法：

2、先让学生回顾两个重要不等式，然后由两个具体问题入手让学生分组讨论得到两个最值定理（其证明可由学生完成），然后通过一些例题来讲解如何利用最值定理求最值，并让学生从中体味出如何创设情境用定理教学过程:一、问题情境提问：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式，请同学们回忆一下，这两个重要不等式叙述的内容是什么，“等号”成立的条件是什么?学生回答：1如果2如果,是正数，那么老师总结：我们称的算术平均数,称的几何平均数,成立的条件是不同的：前者只要求，都是实数，而后者要求，都是正数二、学生活动提问：生答:有，最大值为4问题2：如何求出最大值的呢，何时取到最大值的生答：，当且仅当时取“”问题3：如果将问题

3、1中条件改为，那么有无最值呢？生答：有最小值4当且仅当时取到问题4：请同学们分组讨论能否由问题1及问题3推广至更一般的结论出来，学生讨论完后，在学生回答的基础上得出以下最值定理三、建构数学最值定理:已知都是正数， 如果积是定值,那么当时，和有最小值；如果和是定值,那么当时，积有最大值证明：， ,当 (定值)时， ，上式当时取“”， 当时有;当 (定值）时， ，上式当时取“当时有说明:最值定理是求最值的常用方法，但应注意以下几点：最值的含义（“取最小值，“”取最大值）； 用基本不等式求最值必须具备的三个条件:一“正”、二“定”、三“相等”函数式中各项必须都是正数；函数式中含变数的各项的和或积必须

4、是常数时才能用最值定理求最值四、数学运用1例题例1 （1）求 的最值,并求取最值时的的值解 ,于是,当且仅当，即时,等号成立,的最小值是,此时(2）若上题改成,结果将如何？解 ,于是,从而，的最大值是，此时例2 （1）求的最大值,并求取最大值时的的值（2）求的最大值，并求取最大值时的值解（1）,则，当且仅当，即时取等号当时，取得最大值4(2）0x2，0x24,，当且仅当，即当例3已知是正实数，若，求的最小值解是正实数， ，当且仅当，即时取等号,当时，取最小值变题：若,求的最小值解，例4求下列函数的值域:（1）；(2）解（1），（2）,当时，;当时，归纳:用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤

5、进行:（1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4) 写出正确答案。2.练习（1）已知，求的最大值并求相应的值（2）已知，求的最大值，并求相应的值（3）已知，求函数的最大值，并求相应的值（4）已知求的最小值，并求相应的值五、要点归纳与方法小结：1用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正、二“定”、三“相等”,当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；2运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配