经济数学微积分 第二版第三章 第六节边际与弹性

1、一、边际的概念一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数二、经济学中常见的边际函数 五、小结五、小结 思考题思考题 三、弹性的概念三、弹性的概念 第六节第六节 边际与弹性边际与弹性 四、经济学中常见的弹性函数四、经济学中常见的弹性函数 一、 边际的概念 如如果果函函数数)(xfy 在在 0 x处处可可导导，则则在在),( 00 xxx内内的的 平平均均变变化化率率为为 x y ；在在 0 xx 处处的的瞬瞬时时变变化化率率为为 )( )()( lim 0 00 0 xf x xfxxf x ， 经经济济学学中中称称它它为为)(xf在在 0 xx 处处的的边边际际函函数数值值. 定义定义1 例例

2、1 解解 1. 边际成本边际成本 Q QCQQC Lim Q C LimQC QC QQ )()( )( )( 00 的的导导数数总总成成本本函函数数 1)边际成本边际成本 二、 经济学中常见的边际函数 2)边际平均成本：边际平均成本： . )()()( )( )( 2 称称为为平平均均边边际际成成本本 的的导导数数平平均均成成本本 Q QCQCQ Q QC QC QC )()( )()( 10 10 QCCQC QCCQC 即即： 之之和和，与与可可变变成成本本等等于于固固定定成成本本总总成成本本 例例 2 2 设设某某产产品品生生产产 Q 单单位位的的总总成成本本为为 1200 1100)

3、( 2 Q QC ， 求求：( (1 1) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位的的总总成成本本和和平平均均成成本本； ( (2 2) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位到到 1 10 00 00 0 个个单单位位时时的的总总成成 本本的的平平均均变变化化率率； ( (3 3) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位的的边边际际成成本本，并并解解释释其其 经经济济意意义义. . 解解(1)生产生产900个单位时的总成本为个单位时的总成本为 1775 1200 900 1100)( 2 900 Q QC 平均成本为平均成本为 99. 1 900 1775 )( 900 Q

4、 QC （2）生产）生产900个单位到个单位到1000个单位时总成本的个单位时总成本的 平均变化率为平均变化率为 58. 1 100 17751993 9001000 )900()1000()( CC Q QC 5 . 1)( 900, 6001200 2 )()3( 900 Q QC Q QQ QC 时时的的边边际际成成本本 当当边边际际成成本本函函数数 2. 边际收益边际收益 定义：定义： . )()( )( )( 00 称称为为边边际际收收益益函函数数 的的导导数数总总收收益益函函数数 Q QRQQR Lim Q R LimQR QR QQ )()()()()( )( QPQQPQRQP

5、QPQQR QPPP ， ，因因此此为为价价格格，设设 例例 3 设设某某产产品品的的需需求求函函数数为为 5 20 Q P ， 其其中中P为为 价价格格，Q为为销销售售量量，求求销销售售量量为为 15 个个单单位位时时的的总总 收收益益，平平均均收收益益与与边边际际收收益益并并求求销销售售量量从从 15 个个 单单位位增增加加到到 20 个个单单位位时时收收益益的的平平均均变变化化率率 解解 5 20)( 2 Q QQQPR 总总收收益益为为 17 15 255)( 15 15 Q Q Q QR R平平均均收收益益 255) 5 20( 15 15 2 15 Q Q Q QR总总收收益益 个

6、个单单位位时时销销售售 14) 5 2 20()( 15 15 Q Q QQR边边际际收收益益 13 5 255320 1520 )15()20( 2015 RR Q R 化化率率为为个个单单位位时时收收益益的的平平均均变变个个单单位位增增加加到到当当销销售售量量从从 解解)60(10)( 2 QQePQQR Q 收收益益函函数数 )60()2(5)( 2 QeQQR Q 边边际际收收益益函函数数 3. 边际利润边际利润 定义：定义： . )()( )( )( 00 称称为为边边际际利利润润 的的导导数数总总利利润润函函数数 Q QLQQL Lim Q L LimQL QL QQ 边际利润表示

7、：若已经生产了边际利润表示：若已经生产了Q单位产单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润品，再生产一个单位产品所增加的总利润 0 0 0 )(, )( )( )( )( , )()()( ),()()( QL QC QC QC QR QCQRQL QCQRQL 时时 与与边边际际成成本本决决定定边边际际利利润润可可由由边边际际收收入入显显然然 则则边边际际利利润润为为 之之差差即即与与总总成成本本函函数数 等等于于总总收收益益函函数数数数一一般般情情况况下下，总总利利润润函函 )()( )( QCQR QL 则则边边际际利利润润为为,10250)(QQL 50)20()( 20 LQL Q

8、 0)25()( 25 LQL Q 100)35()( 35 LQL Q 上述结果表明当生产量为每月上述结果表明当生产量为每月2020吨时，再增加一吨，利润将增加吨时，再增加一吨，利润将增加5050 元，当产量为每月元，当产量为每月2525吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为3535吨吨 时，再增加一吨，利润将减少时，再增加一吨，利润将减少100100此处说明，对厂家来说，并非此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高生产的产品越多，利润越高. . 解解 4. 边际需求边际需求 定义定义 ( ) ( ). Qf PQP dP f P dQ 若是需求

9、函数，则需求量 对价格 的导数称为边际需求函数 )( 1 )( 1 Qf Pf显显然然， 解解 8)( 4,2 d d )( 4 P PQ PP Q P PQ时时的的边边际际需需求求为为当当 它的经济意义时价格为它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或时，价格上涨（或 下降）下降）1个单位，需求量将减少（或增加）个单位，需求量将减少（或增加）8个单个单 位位. 例例 6 6 某商品的需求函数为某商品的需求函数为 2 75)(PPQQ ，求，求 4 P 时的边际需求，并说明经济意义时的边际需求，并说明经济意义 1. 1. 弹性的定义弹性的定义 三、弹性的概念 定义定义 )( )( limlim 0

10、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xf x xf x y x y xx yy xE yE xx xx 即即 . 弹性函数的定义弹性函数的定义 . ),()( lim / / lim0)( ),()( 00 弹弹性性函函数数 内内的的点点弹弹性性函函数数，简简称称在在区区间间为为函函数数 ，则则称称且且 可可导导，在在区区间间内内一一般般的的，若若函函数数 baxfy y x y y x x y xx yy Ex Ey xf baxfy xx 2 常见函数的弹性（常见函数的弹性（a,b,c, 为常数为常数） xx Ex xE xx Ex xE ax x Ex axbE axbxf ax Ex

11、 baE baxf Ex axE axxf bax ax Ex baxE baxxf Ex Ec Cxf x x tan )(cos ,cot )(sin )6( ln )ln( ln)()5( ln )( )()4( )( )()3( )( )()2( 0)()1( 三三角角函函数数 的的弹弹性性对对数数函函数数 的的弹弹性性指指数数函函数数 的的弹弹性性幂幂函函数数 的的弹弹性性线线性性函函数数 的的弹弹性性常常数数函函数数 3 弹性的四则运算弹性的四则运算 Ex xEf Ex xEf Ex xf xf E Ex xEf Ex xEf Ex xf xf E xfxf Ex xEf xf E

12、x xEf xf Ex xfxfE )()()( )( )3( )()()( )( )2( )()( )( )( )( )( )()( )1( 212 1 212 1 21 2 2 1 1 21 4 函数弹性的图解方案函数弹性的图解方案 )22(tan)tan( )( 图图即即 上上各各点点的的切切线线斜斜率率，的的几几何何意意义义为为所所示示曲曲线线边边际际函函数数 mm xfy . )( tan tan tan tan tan )( , Ex Ey OAAB AA xfy Ex Ey Ex Ey x xf m m m 进进而而就就可可得得 ，和和，就就可可得得夹夹角角的的切切线线和和线线段

13、段曲曲线线 作作处处对对应应的的弹弹性性，通通过过则则在在曲曲线线上上任任一一点点 所所示示的的曲曲线线，数数如如果果我我们们知知道道了了一一条条函函 则则若若考考虑虑弹弹性性的的绝绝对对值值， 因因而而又又平平均均函函数数为为 m 图图 2 - 2 )(,(xfxA )(xfy y y O xx 1. 1. 需求弹性需求弹性 1)需求的价格弹性需求的价格弹性 需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起 的需求量的反应程度的需求量的反应程度.用公式表示为用公式表示为 . d d lim 0 Q P P Q Q P P Q E p P 四、

14、经济学中常见的弹性函数 注注因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向， 需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方 便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常 用符号用符号 表示。表示。 例例1 1 解解 100 d d P Q 100020 QP时时，当当 .2 1000 20 100 P E所所以以 时时的的弹弹性性当当 ，求求某某需需求求曲曲线线为为： 20 3000100 P PQ (一一)几种特殊的价格弹性几种特殊的价格弹性 从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：从理论

15、上来说，有以下四种特殊的需求弹性： ).32( 0)1( a 图图线线 的的直直曲曲线线的的图图形形是是一一条条垂垂直直变变化化这这种种商商品品的的需需求求 发发生生何何变变化化，其其需需求求量量都都不不没没有有弹弹性性，不不管管价价格格如如 完完全全也也就就是是说说，这这种种商商品品需需求求的的价价格格弹弹性性等等于于 ).32 )2( b 条条水水平平的的直直线线（图图种种商商品品的的需需求求曲曲线线为为一一 这这就就可可能能一一个个也也买买不不掉掉价价格格稍稍微微提提高高一一点点点点， 把把可可以以卖卖掉掉多多少少；然然而而想想价价格格条条件件下下，有有的的少少就就 大大它它表表明明商商

16、品品在在一一定定需需求求的的价价格格弹弹性性为为无无穷穷 图图条条双双曲曲线线种种商商品品的的需需求求曲曲线线是是一一 同同样样的的百百分分比比变变化化这这百百分分比比时时，需需求求量量均均按按 水水平平下下，价价格格变变动动一一个个也也就就是是说说，在在任任何何价价格格 ，上上各各点点的的弹弹性性均均为为单单元元弹弹性性即即需需求求曲曲线线 )32( 1)3( c 称称之之为为非非弹弹性性需需求求部部分分，需需求求曲曲线线的的 称称之之为为弹弹性性需需求求；部部分分，需需求求曲曲线线的的 ；，需需求求曲曲线线的的中中点点 ；，在在其其下下端端点点 ；，在在其其上上端端点点 图图直直线线需需求

17、求曲曲线线是是一一条条倾倾斜斜的的 1 1 1)( 0)( )( )32()4( EPMB EPAM EPM EPB EPA d P P P P OO O O Q QQ Q M A B )(a)(b )(c )(d D D D (二二)需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系 当需求价格弹性大于当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入；时，降价增加销售收入； 当需求价格弹性小于当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销时，降价反而会减少销 售收入售收入 此时，需求变动的幅度大与价格变动的幅度，此时，需求变动的幅度大与价格变动的幅度， 边际收益小于边际收益小于0

18、 0，即价格上涨，总收益减少，价格，即价格上涨，总收益减少，价格 下跌，总收益增加；下跌，总收益增加； 此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度， 边际收益大于边际收益大于0 0，即价格上涨，总收益增加，价格，即价格上涨，总收益增加，价格 下跌，总收益减少；下跌，总收益减少； 当需求价格弹性等与当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时，时，当价格的变化时， 总收益不变总收益不变 3. 供给弹性供给弹性 定义：定义： ，则则供供给给弹弹性性 弹弹性性设设价价格格曲曲线线通通常常指指的的是是供供给给的的价价格格 )(PfQ 供给的价格弹性供给的价格弹性，式中：，

19、式中： PP E Q P P Q E d d 例例 8 8 观观察察下下列列供供给给函函数数： QPcQPbQPa43)( ;52)( ,3)( 试试判判断断其其供供给给弹弹性性 P E大大于于，等等于于或或小小于于 1 1. . 解：解：1, 0)( P Eaa故其纵轴截距 1)0()( P Eab，故此函数与横轴相交 1)0()( P Eac，故此函数与纵轴相交 解：解： P P Q P Q P EP P Q 32 3 d d , 3 d d 故故 时时当当3 P 11 9 332 33 P E .3 ,327 时时的的供供给给弹弹性性及及当当 求求供供给给弹弹性性函函数数设设某某产产品品

20、的的供供给给函函数数例例 P PQ .收收益益的的销销售售弹弹性性 EQ ER 4. 收益弹性收益弹性 R P P R EP ER d d R Q Q R EP ER d d 收收益益的的价价格格弹弹性性；式式中中： EP ER 解解故故，设设,)()1(PQRPfQ ) d d ( 1 d )(d)( P Q PQ QP PQ PQ P EP PQE EP ER 1) d d (1 d d 1 P Q Q P P Q Q P Q PQ PQ PQ PQ Q EQ PQE EQ ER d )(d1 d )(d)( 1 1 d d 1 1) d d ( 1 P Q Q P Q P QP P ，故

21、故知知由由 1)1()2( EP ER 得得,1 d d d d P R PQ P P R R P EP ER )1)()1( d d PfQ P R ，故故又又由由 1)1( EQ ER 得得 1 1 d d d d Q R PQ Q Q R R Q EQ ER ) 1 1( d d P Q R 例例 9 9 假设某产品的需求函数假设某产品的需求函数XP100 ，其中，其中 X X 为产量为产量( (假定等于需求量假定等于需求量) )，P P 为价格，求收益为价格，求收益 的价格弹性的价格弹性 解：解： PPXPRPX/10)(,/100 422 1 10 10/10d )/10(d 2 4

22、 4 2 4 4 P P P P P P EP ER 例例 10 10 某商品的需求量某商品的需求量 Q Q 关于价格关于价格 P P 的函数为的函数为 2 75PQ (1)(1)求求 P=4P=4 时的需求的价格弹性， 并说明其经济意义。时的需求的价格弹性， 并说明其经济意义。 (2)P=4(2)P=4 时， 若价格提高时， 若价格提高 1%1%， 总收益是增加还是减少， 总收益是增加还是减少， 变化百分之几？变化百分之几？ 解解 2 2 2 75 2 75 )2( d d )1( P P P P P Q P P Q 54. 04 时，时，P %54. 0)(%1 )( 4 增加增加，需求量

23、减少，需求量减少下降下降价格上涨价格上涨 时，时，其经济意义是其经济意义是 P 解法二解法二)1()1()1( d d P R P QP Q P R 由由 1 d d P R R P EP ER 即即 46. 0)4(1 4 P EP ER 故故 %46. 0%1时时，总总收收益益增增加加即即当当价价格格上上涨涨 解法三解法三) 1 1() 1 1() 1 1( d d Q R Q PQ P Q R 由由 1 1 d d Q R R Q EQ ER 即即 )% 54. 0 1 1( 4 P EQ ER 故故 %46. 0)% 54. 0 1 1(54. 0 ,%1 总总收收益益增增加加时时则则当当价价格格上上涨涨 五小结思考题 边际的基本概念边际的基本概念 1 边际成本边际成本 2 边际收益边际收益 3 边际利润边际利润 4 边际需求边际需求 弹性的基本概念弹性的基本概念 1 需求弹性需求弹性 2 供给弹性供给弹性 3 收益弹性收益弹性 边际函数的计算边际函数的计算 弹性函数的计算弹性函数的计算 思考题思考题 解法一解法一 定定义义，分分别别将将按按照照需需求求对对价价格格的的弹弹性性 的函数得到的函数得到表为表为 P Q Q P P R Q R d d d d , d d P Q Q P P P Q P