材料力学第07章_受压杆件的稳定性设计

1、5 5、4 4 受压杆件的受压杆件的 稳定性稳定性 第一节第一节 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 第二节第二节 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力 第三节第三节 临界应力总图临界应力总图 第四节第四节 压杆的稳定性设计压杆的稳定性设计 第五节第五节 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 总结与讨论总结与讨论 一、一、 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 1 1、第三单元杆件轴向拉伸和压缩的强度计算中，对于、第三单元杆件轴向拉伸和压缩的强度计算中，对于 受压杆件，当最大压应力达到极限应力（屈服极限或强度极受压杆件，当最大压应力达到极限应力（屈服极限或强度极 限）时，会发生强度失效（出现塑性变形或破

2、裂）。只要其限）时，会发生强度失效（出现塑性变形或破裂）。只要其 最大压应力小于或等于许用应力，即满足强度条件时，杆件最大压应力小于或等于许用应力，即满足强度条件时，杆件 就能安全正常工作。然而，在实际工程中的一些细长杆件受就能安全正常工作。然而，在实际工程中的一些细长杆件受 压时，杆件可能发生突然弯曲，进而产生很大的弯曲变形而压时，杆件可能发生突然弯曲，进而产生很大的弯曲变形而 导致最后折断，而杆件的压应力却远低于屈服极限或强度极导致最后折断，而杆件的压应力却远低于屈服极限或强度极 限。显然，此时杆件的失效不是由于强度不够而引起的，而限。显然，此时杆件的失效不是由于强度不够而引起的，而 是与

3、杆件在一定压力作用下突然弯曲，不能保持其原有的平是与杆件在一定压力作用下突然弯曲，不能保持其原有的平 衡形态有关。我们把构件在外力作用下保持其原有平衡形态衡形态有关。我们把构件在外力作用下保持其原有平衡形态 的能力称为构件的的能力称为构件的稳定性。稳定性。受压直杆在压力作用下保持其直受压直杆在压力作用下保持其直 线平衡形态的能力称为压杆的稳定性。可见，细长压杆的失线平衡形态的能力称为压杆的稳定性。可见，细长压杆的失 效是由于杆件丧失稳定性而引起的，属于效是由于杆件丧失稳定性而引起的，属于稳定性失效。稳定性失效。 工程实际中，有许多受压杆件。如汽车起重机起重臂的工程实际中，有许多受压杆件。如汽车

4、起重机起重臂的 支承杆（图支承杆（图7.17.1），在起吊重物时，该支承杆就受到压力作），在起吊重物时，该支承杆就受到压力作 用。再如，建筑工地上所使用的脚手架（图用。再如，建筑工地上所使用的脚手架（图7.27.2），可以简），可以简 化为桁架结构，其中大部分竖杆要承受压力作用。同样，机化为桁架结构，其中大部分竖杆要承受压力作用。同样，机 床丝杠、起重螺旋（千斤顶）、各种受压杆件在压力作用下床丝杠、起重螺旋（千斤顶）、各种受压杆件在压力作用下 都有可能存在丧失稳定而失效的问题。都有可能存在丧失稳定而失效的问题。 图图7.1 7.1 起重机起重机 图图7.2 7.2 脚手架脚手架 2 2、轴向压

5、杆的三种平衡状态、轴向压杆的三种平衡状态 深入研究构件的平衡状态，不难发现其平衡状态可能是深入研究构件的平衡状态，不难发现其平衡状态可能是 稳定的，也可能是不稳定的。当载荷小于一定的数值时，处稳定的，也可能是不稳定的。当载荷小于一定的数值时，处 于平衡的构件，受到一微小的干扰力后，构件会偏离原平衡于平衡的构件，受到一微小的干扰力后，构件会偏离原平衡 位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态，这种平位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态，这种平 衡称为衡称为稳定平衡稳定平衡。当载荷大于一定的数值时，处于平衡状态。当载荷大于一定的数值时，处于平衡状态 的构件受到干扰后，偏离原平衡位置，干

6、扰力去除后，不能的构件受到干扰后，偏离原平衡位置，干扰力去除后，不能 回到原平衡状态时，这种平衡称为回到原平衡状态时，这种平衡称为不稳定平衡不稳定平衡。而介于稳定。而介于稳定 平衡和不稳定平衡之间的临界状态称为平衡和不稳定平衡之间的临界状态称为随遇平衡随遇平衡。如图。如图7-37-3 所示。所示。 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 图图7-3 7-3 平衡形态平衡形态 当压杆处于不稳定平衡状态时，在任意微小的外界扰动下，当压杆处于不稳定平衡状态时，在任意微小的外界扰动下， 都会转变为其他形式的平衡状态，这种过程称为都会转变为其他形式的平衡状态，这种过程称为屈曲屈曲 (b

7、uckling)(buckling)或或失稳失稳(lost stability)(lost stability)。很多情形下，屈曲将导。很多情形下，屈曲将导 致构件失效，这种失效称为致构件失效，这种失效称为屈曲失效屈曲失效(failure by buckling)(failure by buckling)。 由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此 工程设计中需要认真加以考虑。工程设计中需要认真加以考虑。 如如2020世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore CooperTheo

8、dore Cooper）在加拿大）在加拿大 离魁北克城离魁北克城14.414.4公里，圣劳伦斯河上建造长公里，圣劳伦斯河上建造长548548米的魁北克大桥米的魁北克大桥(Quebec Bridge)(Quebec Bridge)， 不幸的是，不幸的是，19071907年年8 8月月2929日，该桥发生稳定性破坏（图日，该桥发生稳定性破坏（图7-47-4），灾变发生在当日收），灾变发生在当日收 工前工前1515分钟，分钟，8585位工人死亡，原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳位工人死亡，原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳 所致，成为上世纪十大工程惨剧之一。所致，成为上世纪十大

9、工程惨剧之一。 图图7-4 7-4 魁北克大桥魁北克大桥 3 3、 临界压力的概念临界压力的概念 FF 干扰力 FFcr （a） （b） （c） （d） （e） 图图7-5 7-5 不同载荷作用下压杆的平衡形态不同载荷作用下压杆的平衡形态 现以图现以图7.57.5（a a） 所示一端固定一端自所示一端固定一端自 由细长压杆来说明压由细长压杆来说明压 杆的稳定性。若压杆杆的稳定性。若压杆 为中心受压的理想直为中心受压的理想直 杆，即假设：杆是绝杆，即假设：杆是绝 对直杆，无初曲率；对直杆，无初曲率； 压力与杆的轴线重合，压力与杆的轴线重合， 无偏心；材料绝对均无偏心；材料绝对均 匀。则在压力的作

10、用匀。则在压力的作用 下，无论压力有多大，下，无论压力有多大， 也没有理由往旁边弯也没有理由往旁边弯 曲。曲。 当压力很小时，压杆能够保持当压力很小时，压杆能够保持 平衡状态，此时加一微小侧向干扰平衡状态，此时加一微小侧向干扰 力，杆发生轻微弯曲，在新的位置力，杆发生轻微弯曲，在新的位置 重新处于平衡状态，如图重新处于平衡状态，如图7-57-5（b b）。）。 若解除干扰力，则压杆重新回到原若解除干扰力，则压杆重新回到原 直线平衡状态，如图直线平衡状态，如图7-57-5（c c），因），因 此，压杆原直线平衡状态是稳定的此，压杆原直线平衡状态是稳定的 平衡状态。平衡状态。 上述由稳定平衡过渡到

11、不稳定平衡的压力的临界值称为上述由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力的临界值称为 临界压力临界压力（或（或临界载荷临界载荷）（）（critical loadcritical load），用），用Fcr表示。表示。 显然，研究压杆稳定问题的关键是确定压杆的临界压力值。显然，研究压杆稳定问题的关键是确定压杆的临界压力值。 杆件失去了保持其原有直杆件失去了保持其原有直线平衡状态的能力，称为线平衡状态的能力，称为丧失稳定丧失稳定， 简称简称失稳失稳，或，或屈曲屈曲。 当压力逐渐增加到某一极限值，压杆仍保持其直线平衡当压力逐渐增加到某一极限值，压杆仍保持其直线平衡 状态，在受到一侧向干扰力后，杆发生微小弯曲

12、，但去掉干状态，在受到一侧向干扰力后，杆发生微小弯曲，但去掉干 扰力后，杆不能回到原直线平衡状态，而是在微小弯曲曲线扰力后，杆不能回到原直线平衡状态，而是在微小弯曲曲线 状态下保持平衡，如图状态下保持平衡，如图7-57-5（d d），则压杆原平衡状态是随遇），则压杆原平衡状态是随遇 平衡状态。当压力逐渐增加超出某一极限值，压杆仍保持其平衡状态。当压力逐渐增加超出某一极限值，压杆仍保持其 直线平衡状态，在受到一侧向干扰力后，杆件离开直线平衡直线平衡状态，在受到一侧向干扰力后，杆件离开直线平衡 状态后，就会一直弯曲直至杆件破坏为止，如图状态后，就会一直弯曲直至杆件破坏为止，如图7-57-5（e e

13、），）， 则压杆原平衡状态是不稳定平衡状态。则压杆原平衡状态是不稳定平衡状态。 除压杆外，还有一些其他构件也存在稳定问题。例如圆除压杆外，还有一些其他构件也存在稳定问题。例如圆 柱形薄壳外部受到均匀压力时，壁内应力为压应力，如果柱形薄壳外部受到均匀压力时，壁内应力为压应力，如果 外压达到临界值时，薄壳将会失去原有圆柱形平衡状态而外压达到临界值时，薄壳将会失去原有圆柱形平衡状态而 丧失稳定，如图丧失稳定，如图7-67-6所示。同样，板条或窄梁在最大抗弯所示。同样，板条或窄梁在最大抗弯 刚度平面内弯曲时，载荷过大也会发生突然的侧弯现象，刚度平面内弯曲时，载荷过大也会发生突然的侧弯现象， 如图如图7

14、-77-7所示。薄壁圆筒在过大的扭矩作用下发生的局部所示。薄壁圆筒在过大的扭矩作用下发生的局部 皱折，也是属于失稳问题。本章只讨论压杆的稳定问题，皱折，也是属于失稳问题。本章只讨论压杆的稳定问题， 有关其他的稳定问题可参考有关专著。有关其他的稳定问题可参考有关专著。 q F 图7-7 窄梁 图7-6 圆柱形薄壳 二、二、 压杆的临界压力和临界应力压杆的临界压力和临界应力 1 1 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力 如图如图7-87-8所示，两端约束为球铰支座的细长压杆，压杆所示，两端约束为球铰支座的细长压杆，压杆 轴线为直线，受到与轴线重合的压力作用。当压力达到临界轴线为直线

15、，受到与轴线重合的压力作用。当压力达到临界 力时，压杆将由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。显然，力时，压杆将由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。显然， 使压杆保持在微小弯曲状态下平衡的最小压力即为临界压力。使压杆保持在微小弯曲状态下平衡的最小压力即为临界压力。 假设杆件在压力作用下发生微小弯曲变形，设杆件的弯曲刚假设杆件在压力作用下发生微小弯曲变形，设杆件的弯曲刚 度为度为EI。 l Fcr x w Fcr x FFcr M(x) AB 图图7-8 7-8 两端铰支细长压杆两端铰支细长压杆 l Fcr x w Fcr x FFcr M(x) AB 图图7-6 7-6 两端铰支细长压杆两端铰支

16、细长压杆 选取如图所示坐标系选取如图所示坐标系xAw。 设距原点为设距原点为x x距离的任意截面的距离的任意截面的 挠度为挠度为w，弯矩弯矩M的绝对值为的绝对值为 Fw。若挠度若挠度w为负时，为负时，M为正。为正。 即即M与与w的符号相反，于是有的符号相反，于是有 ( )M xFw 将其代入挠曲线近似微分方程，得将其代入挠曲线近似微分方程，得 ( )EIwM xFw 为了求解方便，令为了求解方便，令 2 F k EI 则有则有 2 0wk w 该微分方程的通解为该微分方程的通解为 cossinwCkxDkx 式中式中C、D为积分常数，可通过边界条件来确定。为积分常数，可通过边界条件来确定。 压

17、杆两端约束为球铰支座，其边界条件为压杆两端约束为球铰支座，其边界条件为 0 x 0w xl0w 时，时， 时，时， 将边界条件代入通解式，可解得将边界条件代入通解式，可解得 0C sin0Dkl 则可得到则可得到 0D sin0kl 或或 如果如果D=0，则有，则有w0，即压杆各截面的挠度均为零，杆仍然保，即压杆各截面的挠度均为零，杆仍然保 持直线状态，这与压杆处于微弯状态的假设前提相矛盾。因持直线状态，这与压杆处于微弯状态的假设前提相矛盾。因 此此D0 ，则只有，则只有 sin0kl 满足上式的满足上式的kl值为值为 kln(0,1,2,3,)n 所以所以 ， 于是，杆件所受的压力为于是，杆

18、件所受的压力为 n k l 22 2 2 nEI Fk EI l (0,1,2,3,)n 由上式可以看出，使压杆保持曲线形状平衡的压力值，在理由上式可以看出，使压杆保持曲线形状平衡的压力值，在理 论上是多值的。但实际上，只有使杆件保持微小弯曲得最小论上是多值的。但实际上，只有使杆件保持微小弯曲得最小 压力才是临界压力。显然只有取压力才是临界压力。显然只有取n =1=1才有实际意义，于是可才有实际意义，于是可 得临界压力为得临界压力为 2 2 cr EI F l （7-17-1） 2 2 cr EI F l （7-17-1） 上式即为两端铰支细长压杆的临界压力表达式。式中：上式即为两端铰支细长压

19、杆的临界压力表达式。式中：E为弹为弹 性模量，性模量，EI为弯曲刚度，为弯曲刚度，l 为压杆长度。为压杆长度。EI 应取最小值，在材应取最小值，在材 料给定的情况下，惯性矩料给定的情况下，惯性矩I 应取最小值，这是因为杆件总是在应取最小值，这是因为杆件总是在 抗弯能力最小的纵向平面内失稳。抗弯能力最小的纵向平面内失稳。 当当n =1时，相应的挠曲线方程为时，相应的挠曲线方程为 sin x wD l 可见，压杆由直线状态的平衡过渡到曲线状态的平衡以后，可见，压杆由直线状态的平衡过渡到曲线状态的平衡以后， 轴线变成了半个正弦曲线。轴线变成了半个正弦曲线。D为杆件中点处的挠度。为杆件中点处的挠度。

20、该式是由瑞士科学家欧拉该式是由瑞士科学家欧拉 （L. EulerL. Euler）于）于17441744年提出的，年提出的， 故也称为两端铰支细长压杆的故也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式欧拉公式。欧拉早在。欧拉早在1818世纪，世纪， 就对理想压杆在弹性范围内的稳定性进行了研究，但是，同就对理想压杆在弹性范围内的稳定性进行了研究，但是，同 其他科学问题一样，压杆稳定性的研究和发展与生产力发展其他科学问题一样，压杆稳定性的研究和发展与生产力发展 的水平密切相关。欧拉公式面世后，在相当长的时间里之所的水平密切相关。欧拉公式面世后，在相当长的时间里之所 以未被认识和重视，就是因为当时在工程与生活建造

21、中使用以未被认识和重视，就是因为当时在工程与生活建造中使用 的木桩、石柱都不是细长的。到的木桩、石柱都不是细长的。到17881788年熟铁轧制的型材开始年熟铁轧制的型材开始 生产，然后出现了钢结构。有了金属结构，细长杆才逐渐成生产，然后出现了钢结构。有了金属结构，细长杆才逐渐成 为重要议题。特别是为重要议题。特别是1919世纪，随着铁路建设和发展而来的铁世纪，随着铁路建设和发展而来的铁 路金属桥梁的大量建造，促使人们对压杆稳定问题进行深入路金属桥梁的大量建造，促使人们对压杆稳定问题进行深入 研究。研究。 2 2 其他支承形式下的临界压力其他支承形式下的临界压力 Fcr Fcr Fcr Fcr

22、（a） （b） （c） (d) 图图7-7 7-7 不同支承形式的细长压杆不同支承形式的细长压杆 从上面的推导过程可以从上面的推导过程可以 看出，杆件压弯后的挠曲看出，杆件压弯后的挠曲 线形式与杆件两端的支承线形式与杆件两端的支承 形式密切相关，积分常数形式密切相关，积分常数 是通过边界条件来确定的，是通过边界条件来确定的， 不同的边界条件得到不同不同的边界条件得到不同 的结果。压杆两端的支座的结果。压杆两端的支座 除铰支外，还有其他情况，除铰支外，还有其他情况， 工程上较常见的杆工程上较常见的杆 端支承形式主要有四种，如图端支承形式主要有四种，如图7-77-7所示。各种支承情况下所示。各种支

23、承情况下 压杆的临界压力公式，可以按照两端铰支形式的方式进行压杆的临界压力公式，可以按照两端铰支形式的方式进行 推导，但也可以把各种支承形式的弹性曲线与两端铰支形推导，但也可以把各种支承形式的弹性曲线与两端铰支形 式下的弹性曲线进行类比来获得临界力公式。式下的弹性曲线进行类比来获得临界力公式。 例如千斤顶的丝杆如图例如千斤顶的丝杆如图7-87-8所示，下所示，下 端可简化为固定端，上端可简化为自由端可简化为固定端，上端可简化为自由 端。这样就可以简化为下端固定上端自端。这样就可以简化为下端固定上端自 由的细长压杆如图由的细长压杆如图7-77-7（b b）。假设在临）。假设在临 界压力作用下以微

24、小弯曲的形状保持平界压力作用下以微小弯曲的形状保持平 衡，由于固定端截面不发生转动，可以衡，由于固定端截面不发生转动，可以 看出，其弯曲曲线与一长看出，其弯曲曲线与一长2l 为的两端铰为的两端铰 支压杆的挠曲线的上半段是相符合的，支压杆的挠曲线的上半段是相符合的， 也就是说，如果把挠曲线对称向下延伸也就是说，如果把挠曲线对称向下延伸 一倍，就相当于如图一倍，就相当于如图7-77-7（a a）所示的两）所示的两 端绞支细长压杆的挠曲线，所以，一端端绞支细长压杆的挠曲线，所以，一端 固定另一端自由，长度为的细长压杆的固定另一端自由，长度为的细长压杆的 临界压力，等于两端铰支长为临界压力，等于两端铰

25、支长为2l 的细的细 长压杆的临界力，即长压杆的临界力，即 F 丝杆 图图7-8 7-8 千斤顶千斤顶 2 2 (2 ) cr EI F l （7-2） Fcr 对于图对于图7-77-7（c c）所示两端固定的压杆，失稳后）所示两端固定的压杆，失稳后 的挠曲线形状关于杆件的中间截面对称，根据杆的挠曲线形状关于杆件的中间截面对称，根据杆 件弯曲变形的特点，可知距离上下端点四分之一件弯曲变形的特点，可知距离上下端点四分之一 杆长处的两点为挠曲线的拐点，其弯矩为零，相杆长处的两点为挠曲线的拐点，其弯矩为零，相 当于铰链，故两端固定长为当于铰链，故两端固定长为l的压杆的临界压力与的压杆的临界压力与 一

26、长为一长为0.50.5l 的铰支压杆的临界压力相等，则有的铰支压杆的临界压力相等，则有 Fcr 2 2 ( ) 2 cr EI F l （7-3） 而图而图7-77-7（d d）所示一端固定，一端绞支的压）所示一端固定，一端绞支的压 杆，根据杆件失稳后的挠曲线形状的特点，可杆，根据杆件失稳后的挠曲线形状的特点，可 知距离下端点约知距离下端点约0.30.3l 杆长处为挠曲线的拐点，杆长处为挠曲线的拐点， 其弯矩为零，相当于铰链，故其临界压力为其弯矩为零，相当于铰链，故其临界压力为 Fcr 2 2 (0.7 ) cr EI F l （7-4） 根据以上讨论，可将不同杆端约束细长压杆的临界压力公根据

27、以上讨论，可将不同杆端约束细长压杆的临界压力公 式统一写成式统一写成 2 2 () cr EI F l （7-5） 上式为欧拉公式的普遍形式。式中上式为欧拉公式的普遍形式。式中称为称为长度系数长度系数 （coefficient of lengthcoefficient of length），它表示杆端约束对临界压力），它表示杆端约束对临界压力 的影响，不同的杆端约束形式有不同的长度系数，显然杆端的影响，不同的杆端约束形式有不同的长度系数，显然杆端 的约束越强，长度系数越小。几种支承情况的的约束越强，长度系数越小。几种支承情况的值列于下表。值列于下表。 l 表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的

28、长度，称为表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为 相当长度相当长度（effective lengtheffective length）。）。 表表7-1 7-1 压杆长度系数压杆长度系数 支承情况支承情况 一端固定一端固定 一端自由一端自由 两端铰支两端铰支 一端固定一端固定 一端铰支一端铰支 两端固定两端固定 2 21 10.70.70.50.5 例例7-1 7-1 如图如图7-117-11所示细长压杆，一端固定，所示细长压杆，一端固定， 另一端自由。已知其弹性模量另一端自由。已知其弹性模量E =10GPa，长长 度度l =2m。试求。试求h=160mm，b=90mm和和 h =

29、b =120mm两种情况下压杆的临界压力。两种情况下压杆的临界压力。 F b y z 图图7-11 7-11 例例7-17-1图图 解：（解：（1 1）计算）计算情况下的临界压力情况下的临界压力 截面对截面对y，z 轴的惯性矩分别为轴的惯性矩分别为 33 64 160 90 9.72 10 mm 1212 y hb I 33 74 90 160 3.072 10 mm 1212 z bh I 由于由于Iy Iz，所以压杆必然绕，所以压杆必然绕 y 轴弯曲失稳，应将代入计算轴弯曲失稳，应将代入计算 公式（公式（7.27.2）计算临界压力，根据杆端约束取）计算临界压力，根据杆端约束取=2，即，即

30、229612 22 10 109.72 1010 60kN ()(2 2) cr EI F l （2 2）计算）计算情况下的临界压力，截面对情况下的临界压力，截面对y，z 轴的惯性矩相轴的惯性矩相 等，均为等，均为 33 74 120 120 1.728 10 mm 1212 yz hb II 229712 22 10 101.728 1010 106.5kN ()(2 2) cr EI F l 由计算结果来看，两种压杆的材料用量相同，但情况由计算结果来看，两种压杆的材料用量相同，但情况的的 临界力是情况临界力是情况的的1.781.78倍，很显然，杆件合理截面形状是提倍，很显然，杆件合理截面形

31、状是提 高杆件稳定性的措施之一。高杆件稳定性的措施之一。 1 1 压杆的临界应力压杆的临界应力 当杆件压力达到临界压力时，将临界压力当杆件压力达到临界压力时，将临界压力Fcr 除以压杆的除以压杆的 横截面面积横截面面积A，则可得到临界压力下的应力，称为，则可得到临界压力下的应力，称为临界应力临界应力 （critical stresscritical stress），用），用cr 表示，即表示，即 2 2 () cr cr FEI AlA 将将I = Ai 2 代入临界应力公式中，则有代入临界应力公式中，则有 2 2 () cr E l i 令令 l i 于是，临界应力可以写成如下形式于是，临界

32、应力可以写成如下形式 2 2 cr E 这里这里是与压杆的长度、约束情况、截面形状是与压杆的长度、约束情况、截面形状 和尺寸有关的系数，称为压杆的和尺寸有关的系数，称为压杆的柔度柔度或或长细比长细比 （slenderness radioslenderness radio），是一个无量纲的量，集），是一个无量纲的量，集 中反映了杆长、约束情况、截面形状和尺寸等因中反映了杆长、约束情况、截面形状和尺寸等因 素对临界应力的影响。素对临界应力的影响。 三、三、 临界应力总图临界应力总图 2 2 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 由临界应力的计算公式可知，随着柔度的减小，临界应力增由临界应力的计算公

33、式可知，随着柔度的减小，临界应力增 大，当柔度很小接近于零时，临界应力会趋于无穷大，这显然大，当柔度很小接近于零时，临界应力会趋于无穷大，这显然 是不符合实际情况的。因此，欧拉公式并不能适用于所有压杆是不符合实际情况的。因此，欧拉公式并不能适用于所有压杆 的临界应力的计算。下面讨论欧拉公式的适用范围。的临界应力的计算。下面讨论欧拉公式的适用范围。 欧拉公式是利用压杆微弯时的挠曲线近似方程推导出来的，欧拉公式是利用压杆微弯时的挠曲线近似方程推导出来的， 而挠曲线近似微分方程又是建立在材料服从虎克定律的基础而挠曲线近似微分方程又是建立在材料服从虎克定律的基础 上的。因此，只有当临界应力不超过材料的

34、比例极限时，欧上的。因此，只有当临界应力不超过材料的比例极限时，欧 拉公式才能成立，故有拉公式才能成立，故有 2 2 crP E 即即 2 P E 因此，欧拉公式的适用范围可以表达为因此，欧拉公式的适用范围可以表达为 P （7-9） 将柔度将柔度 大于或等于权限柔度大于或等于权限柔度 P的压杆称为的压杆称为大柔度杆大柔度杆，或，或细长细长 杆杆。因此，只有大柔度杆才能使用欧拉公式计算其临界压力。因此，只有大柔度杆才能使用欧拉公式计算其临界压力 和临界应力。和临界应力。 由式（由式（7.87.8）可以看出，极限柔度与材料的比例极限和弹性）可以看出，极限柔度与材料的比例极限和弹性 模量有关。不同的

35、材料，的数值也不同。模量有关。不同的材料，的数值也不同。 令令 2 P P E （7-8） P 是当临界应力等于比例极限时所对应的柔度值，常称为极是当临界应力等于比例极限时所对应的柔度值，常称为极 限柔度，是欧拉公式适用的最小柔度值。限柔度，是欧拉公式适用的最小柔度值。 3 3 临界应力总图与经验公式临界应力总图与经验公式 工程实际中的压杆，其柔度工程实际中的压杆，其柔度 往往会小于极限柔度往往会小于极限柔度 P，由，由 于其临界应力已经超过了材料的比例极限，因此，欧拉公式于其临界应力已经超过了材料的比例极限，因此，欧拉公式 不再适用。临界应力超过比例极限的压杆稳定问题，属于非不再适用。临界应

36、力超过比例极限的压杆稳定问题，属于非 线弹性失稳问题，对于这类问题，也有理论分析结果，但在线弹性失稳问题，对于这类问题，也有理论分析结果，但在 实际应用中经常采用建立在实验或是在实际工程经验基础上实际应用中经常采用建立在实验或是在实际工程经验基础上 的经验公式，常用的经验公式有直线公式和抛物线公式。的经验公式，常用的经验公式有直线公式和抛物线公式。 1 1） 直线公式直线公式 直线公式是把临界应力直线公式是把临界应力 cr与柔度与柔度 表示成如下的线性关系表示成如下的线性关系 cr ab （7-10） 式中是与材料性质有关的系数。例如：式中是与材料性质有关的系数。例如：Q235Q235钢钢 3

37、04MPaa 1.12MPab 如果压杆的柔度很小，属于短粗杆。试验结果表明，当如果压杆的柔度很小，属于短粗杆。试验结果表明，当 压力达到材料的屈服极限压力达到材料的屈服极限 s（或强度极限（或强度极限 b）时，压杆由于）时，压杆由于 强度不够而失效，不会出现失稳。因此，对于这种情况，应强度不够而失效，不会出现失稳。因此，对于这种情况，应 按强度问题处理，其临界应力为屈服极限按强度问题处理，其临界应力为屈服极限 s （或强度极限（或强度极限 b ），即），即 crs （或（或 ） crb 显然使用直线公式的最大应力为显然使用直线公式的最大应力为 s ，于是有，于是有 crs ab 即即 s a

38、 b 令令 s s a b （7-12） 将将 s P的压杆称为的压杆称为中柔度压杆中柔度压杆，即直线公式适用于中，即直线公式适用于中 柔度压杆。而对于柔度压杆。而对于 s的压杆称为的压杆称为小柔度压杆小柔度压杆。 如果以柔度如果以柔度 作为横坐标，以临界应力作为横坐标，以临界应力 cr作为纵坐标，建作为纵坐标，建 立平面直角坐标系，则式（立平面直角坐标系，则式（7.77.7）、（）、（7.107.10）及（）及（7.117.11）可表）可表 示成如图示成如图7.107.10所示的曲线。所示的曲线。 D A B C cr 0 cr cra - b crcr s p sp 图图7-10 7-10

39、 临界应力总图（直线公式）临界应力总图（直线公式） 上图表示出了临界应力上图表示出了临界应力 cr随压杆的柔度随压杆的柔度 的变化情况，称的变化情况，称 为压杆的为压杆的临界应力总图临界应力总图（figures of critical stressesfigures of critical stresses）。）。 临界应力总图是压杆设计的重要依据。临界应力总图是压杆设计的重要依据。 2 2） 抛物线公式抛物线公式 对于柔度对于柔度 z，故压杆在，故压杆在xy平面内的稳定性大于在平面内的稳定性大于在xz平面内的稳平面内的稳 定性。所以应以定性。所以应以 y计算临界压力和临界应力。计算临界压力和

40、临界应力。 （2 2）临界压力计算）临界压力计算 对于对于Q235Q235钢制成的压杆，其极限柔度钢制成的压杆，其极限柔度 P=100， s=61.6， s P ，压杆为中柔度杆，用经验公式计算临界应力压杆为中柔度杆，用经验公式计算临界应力 cry ab 查表可得查表可得a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有代入上式有 304 1.12 78.9216MPa cr 临界压力为临界压力为 66 216 1060 25 10324kN crcr FA （3 3）稳定性校核）稳定性校核 由式（由式（7-157-15），有），有 324 3.243 100 cr st F nn F 故满足稳定

41、条件。故满足稳定条件。 （4 4）讨论）讨论 由于由于 y z，连杆在两个平面内的稳定性不相等。欲使连，连杆在两个平面内的稳定性不相等。欲使连 杆在杆在xy和和xz两平面内的稳定性相等。则必须有两平面内的稳定性相等。则必须有 y= z ，即，即 1 0.5 yz ll II A A 于是有于是有 2 2 1 4 z y Il Il 本例中，由于本例中，由于l1与与l大致相等，因此大致相等，因此 4 zy II 上式表明，欲使连杆在两个平面内的稳定性相等，在设计截面上式表明，欲使连杆在两个平面内的稳定性相等，在设计截面 时，应保持时，应保持Iz4Iz，对于本例中的矩形截面，则须有，对于本例中的矩

42、形截面，则须有 12 4 12 23 hbbh 即即 2hb 此时，可保证连杆在两个平面内的稳定性相等。此时，可保证连杆在两个平面内的稳定性相等。 例例7-3 7-3 图图7-157-15（a a）、（）、（b b）中所示压杆，其直径均为）中所示压杆，其直径均为d，材，材 料都是料都是Q235Q235钢，但二者长度和约束条件各不相同。两杆长度钢，但二者长度和约束条件各不相同。两杆长度 分别为分别为5m5m和和9m9m。 （1 1）分析哪一根杆的临界应力较大。）分析哪一根杆的临界应力较大。 （2 2）计算）计算d=160mm，E=206GPa时，时， 二杆的临界载荷。二杆的临界载荷。 F F 解

43、：（解：（1 1）计算柔度）计算柔度 因为因为 ，其中，其中 ，而二者均，而二者均 为圆截面且直径相同，故有为圆截面且直径相同，故有 图图7-15 7-15 例例7-37-3图图 l i I i A 4 2 /64 /44 Idd i Ad 因二者约束条件和杆长都不相同，所以柔度也不一定相同。因二者约束条件和杆长都不相同，所以柔度也不一定相同。 对于图对于图7-137-13（a a）所示两端铰支的压杆，）所示两端铰支的压杆，= 1，l =5000=5000mm 1 520 4 a l d id 对于图对于图7-137-13（b b）所示两端固定的压杆，）所示两端固定的压杆，= 0.5，l =9

44、000=9000mm 0.5918 4 b l d id 由临界应力的计算公式，可见本例中两端铰支压杆的临界应由临界应力的计算公式，可见本例中两端铰支压杆的临界应 力小于两端固定压杆的临界应力。力小于两端固定压杆的临界应力。 （2 2）计算各杆的临界载荷）计算各杆的临界载荷 对于两端铰支的压杆对于两端铰支的压杆 1 52020 125132 0.16 4 ap l d id 属于中长杆，利用直线公式属于中长杆，利用直线公式 26 6 16010 (304 1.12 125) 103297kN 4 acrcr FA 对于两端固定的压杆，对于两端固定的压杆， 0.5 91818 112.5132

45、0.16 4 bp l d id 也属于中长杆也属于中长杆 26 6 16010 (304 1.12 112.5) 103579kN 4 bcrcr FA 例例7-4 7-4 图图7-147-14所示的结构中，梁所示的结构中，梁AB为为No.l4普通热轧工字钢，普通热轧工字钢， CD为圆截面直杆，其直径为为圆截面直杆，其直径为d=20mm，二者材料均为，二者材料均为Q235钢。钢。 结构受力如图所示，结构受力如图所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知三处均为球铰约束。若已知 F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m， s=235MPa。强度安全因数。强度安全因数 ns=1.45=1.

46、45，稳定安全因数，稳定安全因数nst=1.8=1.8。试校核此结构是否安全？。试校核此结构是否安全？ y z x l1l1 F 30 ABC D 图图7.14 7.14 例例7-47-4图图 解：在给定的结构中共解：在给定的结构中共 有两个构件：梁有两个构件：梁AB，承，承 受拉伸与弯曲的组合作受拉伸与弯曲的组合作 用，属于强度问题；杆用，属于强度问题；杆 CD承受压缩载荷，属于承受压缩载荷，属于 稳定问题。现分别校核稳定问题。现分别校核 如下：如下： （1 1）大梁）大梁AB的强度校核的强度校核 大梁大梁AB在截面在截面C处弯矩最大，该处横截面为危险截面，该处弯矩最大，该处横截面为危险截面

47、，该 截面的弯矩和轴力分别为截面的弯矩和轴力分别为 33 1 (sin30 )(25 100.5 1.25)15.63 10 N m15.63kN m C MFl 3 cos3025 10cos3021.65kN N FF 由型钢表查得由型钢表查得No.14No.14普通热轧工字钢的参数为普通热轧工字钢的参数为 3 102cm z W 2 21.5cmA 由此得到由此得到 33 6 max 64 15.63 1021.65 10 163.2 10 Pa163.2MPa 102 1021.5 10 CN z MF WA Q235钢的许用应力钢的许用应力 235 162MPa 1.45 s s n

48、 max略大于略大于 ，但并没有超出许用应力的，但并没有超出许用应力的5%，工程上仍认，工程上仍认 为是安全的。为是安全的。 （2 2）压杆）压杆CD的稳定校核的稳定校核 由平衡方程求得压杆由平衡方程求得压杆CD的轴向压力的轴向压力 2sin3025kN NCDPP FFF 因为是圆截面杆，故惯性半径因为是圆截面杆，故惯性半径 5mm 4 Id i A 又因为两端为球铰约束，又因为两端为球铰约束， =1，所以，所以 3 1 0.55 110132 5 10 p l i 这表明，压杆这表明，压杆CD为非细长杆，采用直线公式计算其临界应力为非细长杆，采用直线公式计算其临界应力 304 1.12 1

49、10181MPa cr 压杆压杆CD的工作应力为的工作应力为 3 26 25 4 10 79.6MPa 2010 NCD F A 于是，压杆的工作安全因数于是，压杆的工作安全因数 181 2.271.8 79.6 cr st nn 这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。 例例7-5 7-5 一压杆由两个等边角钢（一压杆由两个等边角钢（14014012）组成（如）组成（如 图图7-177-17），用直径），用直径d=25mm的铆钉联接成一个整体。杆长的铆钉联接成一个整体。杆长 l=3m，两端绞支，承受轴向压力，两端绞支，承受轴向压力 F=700kN。压杆材料为。

50、压杆材料为 Q235钢，许用应力钢，许用应力 =100MPa，稳定安全系数，稳定安全系数 nst=2。试校。试校 核压杆的稳定性及强度。核压杆的稳定性及强度。 10 z y 【解】【解】 柔度计算柔度计算 由于截面为组合截面，由于截面为组合截面， 因此必须分析截面对因此必须分析截面对y y和和z z轴的惯性矩。轴的惯性矩。 查型钢表可得单根角钢截面几何性查型钢表可得单根角钢截面几何性 质为：质为： 2 32.512cmA 4 603.68cm x I 0 3.9cmz 0 1.2cmd 于是组合截面轴惯性矩分别为于是组合截面轴惯性矩分别为 474 22 603.681207.36cm1.207

51、36 10 mm zx II 22 0 474 2 (0.5) 2 603.6832.512 (3.90.5) 2466.22cm2.46622 10 mm yx IIAz 图图7-17 例例7-5图图 由于由于Iz Iy，因此截面将绕中性轴，因此截面将绕中性轴z轴转动，此时最小惯性半轴转动，此时最小惯性半 径为径为iz，则，则 7 min 2 1.20736 10 43.1mm 22 32.512 10 z z I ii A 最大柔度为最大柔度为 max min 1 3000 69.6 43.1 l i 材料的柔度极限为材料的柔度极限为 p=100， s=61.6，即，即 所以压杆为中柔度杆

52、。所以压杆为中柔度杆。 max 61.6100 =100MPa 5902.4 10 F A 故不满足强度要求。故不满足强度要求。 讨论讨论 由以上计算分析可见，压杆有局部削弱时，在满足由以上计算分析可见，压杆有局部削弱时，在满足 稳定条件的同时，强度条件可能不满足。因此，有局部削弱稳定条件的同时，强度条件可能不满足。因此，有局部削弱 时，在进行稳定校核的同时要进行强度校核。工程实际中，时，在进行稳定校核的同时要进行强度校核。工程实际中， 应尽量避免对压杆的局部削弱，以免引起强度不足。应尽量避免对压杆的局部削弱，以免引起强度不足。 四、四、 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 临界应力作为

53、稳定问题的极限应力，其大小反映了压杆承临界应力作为稳定问题的极限应力，其大小反映了压杆承 载能力的高低。因此，要提高压杆的稳定性，就需要从决定临载能力的高低。因此，要提高压杆的稳定性，就需要从决定临 界应力的各种因素着手。根据以上各节的讨论，影响压杆稳定界应力的各种因素着手。根据以上各节的讨论，影响压杆稳定 性的因素有：压杆的长度、约束条件、截面几何形状及尺寸、性的因素有：压杆的长度、约束条件、截面几何形状及尺寸、 材料的性质等。以下将从四个方面讨论提高压杆稳定性的一些材料的性质等。以下将从四个方面讨论提高压杆稳定性的一些 措施。措施。 如下图所示两种桁架结构，其中杆如下图所示两种桁架结构，其

54、中杆、都是压杆，但都是压杆，但 图（图（b b）中的压杆的承载能力要远高于图（）中的压杆的承载能力要远高于图（a a）中的压杆。）中的压杆。 1 23 4 F AB C 1 23 4 F AB C 图图7-15 7-15 不同杆长的桁架不同杆长的桁架 1 1 尽量减小压杆长度尽量减小压杆长度 对于细长杆，其临界载荷与杆长的平方成反比，由柔度计算对于细长杆，其临界载荷与杆长的平方成反比，由柔度计算 公式可知，减小压杆长度可降低压杆柔度，而降低柔度可提高公式可知，减小压杆长度可降低压杆柔度，而降低柔度可提高 临界应力。因此，在结构允许的情况下，尽可能地减小压杆的临界应力。因此，在结构允许的情况下，

55、尽可能地减小压杆的 长度，可以有效而显著地提高压杆的承载能力。长度，可以有效而显著地提高压杆的承载能力。 2 2 增强压杆的约束条件增强压杆的约束条件 杆件支承的刚性越大，即加强压杆的约束，压杆的长度系数杆件支承的刚性越大，即加强压杆的约束，压杆的长度系数值越低，值越低， 临界载荷也就越大。如图临界载荷也就越大。如图7-167-16（a a）所示，两端铰支的细长杆，变成两端）所示，两端铰支的细长杆，变成两端 固定约束，如图固定约束，如图7-167-16（b b）所示，其临界载荷将显著增加。）所示，其临界载荷将显著增加。 两端铰支细长杆，其临界压力为两端铰支细长杆，其临界压力为 ，如果将铰支座改

56、为固定端，如果将铰支座改为固定端， 则其临界压力则其临界压力 。可见，临界压力提高了。可见，临界压力提高了3 3倍，稳倍，稳 定性明显提高。定性明显提高。 2 2 cr EI P l 22 22 44 (0.5 ) crcr EIEI PP ll F F F 图图7-16 7-16 不同支承的压杆不同支承的压杆 也可通过增加中间支承的办法来达也可通过增加中间支承的办法来达 到提高其稳定性的目的。例如，若在两到提高其稳定性的目的。例如，若在两 端铰支细长压杆的中间增加一个铰支座，端铰支细长压杆的中间增加一个铰支座， 如图如图7-167-16（c c）所示，则临界压力同样可）所示，则临界压力同样可

57、 以提高以提高3 3倍，稳定性也能明显提高。一般倍，稳定性也能明显提高。一般 说来，增加压杆的约束，使其不容易发说来，增加压杆的约束，使其不容易发 生弯曲变形，都可以提高压杆的稳定性。生弯曲变形，都可以提高压杆的稳定性。 （a） （b） （c） 3 3 选择合理的截面形状选择合理的截面形状 由柔度计算公式可知，增大截面惯由柔度计算公式可知，增大截面惯 性半径可降低柔度，进而提高临界应力，性半径可降低柔度，进而提高临界应力， 达到提高稳定性的目的。显然，增加截达到提高稳定性的目的。显然，增加截 面面积可以提高惯性半径，但截面面积面面积可以提高惯性半径，但截面面积 的增加势必会耗费材料。如截面面积不的增加势必会耗费材料。如截面面积不 变，而是尽可能地把材料放在离截面形变，而是尽可能地把材料放在离截面形 心较远处，也可以提高惯性半径。例如，心较远处，也可以提高惯性半径。例如， 空心环形截面就比实心圆截面合理，如空心环形截面就比实心圆截面合理，如 图图7-177-17所示，因为若两者截面面所示，因为若两者截面面 F d1 d2 D2 图图7-17 7-17 不同截面的压杆不同截面的压杆 积相等，环形截面惯性半径要比实心截面大得多。必须注意，积相等，环形截面惯性半径要比实心截面大得多。必须注意