理论力学-第11章1

1、TSINGHUA UNIVERSITY 第第11章章 达朗贝尔原理及其应用达朗贝尔原理及其应用 引入惯性力的概念，应用达朗贝尔原理，将静力学中求解引入惯性力的概念，应用达朗贝尔原理，将静力学中求解 平衡问题的方法用于分析和解决动力学问题。这种方法称为平衡问题的方法用于分析和解决动力学问题。这种方法称为 “动静法动静法”。“动动”代表研究对象是动力学问题；代表研究对象是动力学问题；“静静”代代 表研究问题所用的方法是静力学方法。表研究问题所用的方法是静力学方法。 达朗贝尔原理虽然与动力学普遍定理具有不同的思路，达朗贝尔原理虽然与动力学普遍定理具有不同的思路， 但却获得了与动量定理、动量矩定理形式

2、上等价的动力学方但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方 程，并在某些应用领域也是等价的。程，并在某些应用领域也是等价的。 达朗贝尔原理提供了有别于动力学普遍定理的新方法，尤达朗贝尔原理提供了有别于动力学普遍定理的新方法，尤 其适用于受约束质点系统求解动约束力和动应力等问题。因此其适用于受约束质点系统求解动约束力和动应力等问题。因此 在工程技术中有着广泛应用，并且为在工程技术中有着广泛应用，并且为“分析力学分析力学”奠定了理论奠定了理论 基础。基础。 TSINGHUA UNIVERSITY 爆破时烟囱怎样倒塌爆破时烟囱怎样倒塌 第第11章章 达朗贝尔原理及其应用达朗贝尔原理及其应用

3、 TSINGHUA UNIVERSITY 第第11章章 达朗贝尔原理及其应用达朗贝尔原理及其应用 TSINGHUA UNIVERSITY 第第11章章 达朗贝尔原理及其应用达朗贝尔原理及其应用 TSINGHUA UNIVERSITY 惯性力与惯性力与达朗贝尔原理达朗贝尔原理 结论与讨论结论与讨论 惯性力系的简化惯性力系的简化 达朗贝尔原理的应用示例达朗贝尔原理的应用示例 参考性例题参考性例题 第第11章章 达朗贝尔原理及其应用达朗贝尔原理及其应用 在惯性参考系在惯性参考系Oxyz中，设一中，设一 非自由质点的质量为非自由质点的质量为m，加速度，加速度 为为a，在主动力、约束力作用下，在主动力、

4、约束力作用下 运动。由牛顿第二定律，有运动。由牛顿第二定律，有 N FFam 若将上式左端的若将上式左端的ma移至右端，则有移至右端，则有 0 N aFFm aFm I 0 IN FFF 质点的惯性力与达朗贝尔原理质点的惯性力与达朗贝尔原理 可以假想可以假想FI是一个力，它的大小等于质点的质量与是一个力，它的大小等于质点的质量与 加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与 质点的质量有关，故称为达朗贝尔惯性力，简称质点的质量有关，故称为达朗贝尔惯性力，简称惯性力惯性力。 0 IN FFF 上述方程形式上是一静力平衡方程。可见，由于引上述方程

5、形式上是一静力平衡方程。可见，由于引 入了达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的入了达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的 静力平衡问题。静力平衡问题。 假想在运动的质点上加上惯性力，则可认为作用在质假想在运动的质点上加上惯性力，则可认为作用在质 点上的主动力、约束力以及惯性力，在形式上组成平衡力点上的主动力、约束力以及惯性力，在形式上组成平衡力 系。此即系。此即达朗贝尔原理，亦即动静法达朗贝尔原理，亦即动静法。 0 IN FFF 动静法平衡方程的矢量形式动静法平衡方程的矢量形式 动静法平衡方程的投影形式动静法平衡方程的投影形式 0 0 0 IN IN IN zzz yyy xxx

6、 FFF FFF FFF 惯性力与惯性力与达朗贝尔原理达朗贝尔原理 质点的惯性力与达朗贝尔原理质点的惯性力与达朗贝尔原理 应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还 必须分析惯性力，并假想地加在质点上。其余过程与静力必须分析惯性力，并假想地加在质点上。其余过程与静力 学完全相同。学完全相同。 0 IN FFF 动静法方程的矢量形式动静法方程的矢量形式 动静法方程的投影形式动静法方程的投影形式 0 0 0 IN IN IN zzz yyy xxx FFF FFF FFF 需要注意的是，惯性力只是为了应用静力学方法求解需要注意的是，惯性力只是为了应

7、用静力学方法求解 动力学问题而假设的虚拟力，所谓的平衡方程，仍然反映动力学问题而假设的虚拟力，所谓的平衡方程，仍然反映 了真实力与运动之间的关系。了真实力与运动之间的关系。 质点的惯性力与达朗贝尔原理质点的惯性力与达朗贝尔原理 惯性力与惯性力与达朗贝尔原理达朗贝尔原理 已知：已知： m1球球A、B 的质量；的质量；m2重锤重锤C 的质量；的质量； l杆件的长度；杆件的长度； O1 y1轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。 求：求： 的关系。的关系。 BA C O1 x1 y1 l l l l 解：解： 1. 分析受力：以球分析受力：以球 B(或或A)和重锤和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和为

8、研究对象，分析所受的主动力和 约束力约束力 B FT1 FT2 C FT3 F T1 m1 g m2 g 2. 分析运动：分析运动： 球绕球绕 O1y1轴作等速圆周轴作等速圆周 运动，惯性力方向与法向运动，惯性力方向与法向 加速度方向相反，其值为加速度方向相反，其值为 FIm1l 2sin 重锤静止，无惯性力。重锤静止，无惯性力。 00 00 11 2 11 )cos( )sin(sin T2T1 T2T1 FFgmF FFlmF y x 3. 应用动静法：应用动静法： m1球球A、B 的质量；的质量；m2重锤重锤C 的质量；的质量； l杆件的长度；杆件的长度； O1 y1轴的旋转角速度。轴的

9、旋转角速度。 C B m1 gm2 g FT1 FT2 FT3F T1 FI 对于重锤对于重锤 C T1T1T1T3T1 , cos ,FF gm FFF 2 2 对于球对于球 B: g lm mm 2 1 21 cos 00 00 11 2 11 )cos( )sin(sin T2T1 T2T1 FFgmF FFlmF y x T1T1T1T3T1 , cos ,FF gm FFF 2 2 C B m1 gm2 g FT1 FT2 FT3F T1 FI TSINGHUA UNIVERSITY 将质点的达朗贝尔原理推广至质点系。考察由将质点的达朗贝尔原理推广至质点系。考察由n个个 质点组成的非

10、自由质点系，对每个质点都施加惯性力，质点组成的非自由质点系，对每个质点都施加惯性力， 则则n个质点上所受的全部主动力、约束力和假想的惯个质点上所受的全部主动力、约束力和假想的惯 性力均形成空间一般力系。性力均形成空间一般力系。 对于每个质点，达朗贝尔原理均成立，即认为作对于每个质点，达朗贝尔原理均成立，即认为作 用在质点上的主动力、约束力和惯性力组成形式上的用在质点上的主动力、约束力和惯性力组成形式上的 平衡力系，则由平衡力系，则由n个质点组成的质点系上的主动力、个质点组成的质点系上的主动力、 约束力和惯性力，也组成形式上的约束力和惯性力，也组成形式上的平衡力系平衡力系。 质点系的达朗贝尔原理

11、质点系的达朗贝尔原理 惯性力与惯性力与达朗贝尔原理达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 TSINGHUA UNIVERSITY 为方便起见，将真实力分为内力和外力（各自包含主为方便起见，将真实力分为内力和外力（各自包含主 动力和约束力）。主矢、主矩同时等于零可以表示为动力和约束力）。主矢、主矩同时等于零可以表示为 ei RI ei I 0 ()()()0 FFFF MMFMFMF iii OOiOiOi 注意到质点系中各质点间的内力总是成对出现，注意到质点系中各质点间的内力总是成对出现， 且等值、反向，故上式中且等值、反向，故上式中 i 0F i i ()=0MF Oi 上述

12、方程变为上述方程变为: 0)()( 0 I e I e iOiO ii FMFM FF TSINGHUA UNIVERSITY 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 这两个矢量式可以写出六个投影方程。这两个矢量式可以写出六个投影方程。 0)()( 0 I e I e iOiO ii FMFM FF 根据达朗贝尔原理，只要在质点系上施加惯性根据达朗贝尔原理，只要在质点系上施加惯性 力，就可以应用上述方程求解动力学问题，这就是力，就可以应用上述方程求解动力学问题，这就是 质点系的动静法质点系的动静法。 惯性力与惯性力与达朗贝尔原理达朗贝尔原理 TSINGHUA UNIVERSITY 惯性力系的

13、简化惯性力系的简化 第第11章章 达朗贝尔原理及其应用达朗贝尔原理及其应用 惯性力系的主矢与主矩惯性力系的主矢与主矩 刚体平移时惯性力系的简化结果刚体平移时惯性力系的简化结果 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果刚体作平面运动时惯性力系的简化结果 TSINGHUA UNIVERSITY 惯性力系的主矢与主矩惯性力系的主矢与主矩 所有惯性力组成的力的系统，称为所有惯性力组成的力的系统，称为惯性力系惯性力系。 与一般力系相似，惯性力系中所有惯性力的矢量与一般力系相似，惯性力系中所有惯性力的矢量 和称为惯性力系的和称为惯性力系的主矢

14、主矢： Cii i mmaaFF )( I IR 惯性力系中所有力向同一点简化，所得力偶的力惯性力系中所有力向同一点简化，所得力偶的力 偶矩矢量的矢量和，称为惯性力系的偶矩矢量的矢量和，称为惯性力系的主矩主矩： II ()MMF OOi 惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关；惯性力惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关；惯性力 系的主矩与刚体的运动形式有关。系的主矩与刚体的运动形式有关。 TSINGHUA UNIVERSITY 惯性力系的简化惯性力系的简化 刚体平移时惯性力系的简化结果刚体平移时惯性力系的简化结果 刚体平移时，由于同一瞬时刚体内各质点的加刚体平移时，由于同一瞬时刚体内各质点的加 速度

15、都相同，惯性力系为平行力系，所以，惯性力速度都相同，惯性力系为平行力系，所以，惯性力 系简化结果为通过质心系简化结果为通过质心C的合力，用的合力，用FIR表示：表示： C maF IR 其中其中m为刚体的质量为刚体的质量; aC为刚体的质心加速度。为刚体的质心加速度。 刚体平移时惯性力系的简化结果刚体平移时惯性力系的简化结果 TSINGHUA UNIVERSITY 这里仅讨论刚体有这里仅讨论刚体有 质量对称面且转轴与质量对称面且转轴与 质量对称面垂直的情质量对称面垂直的情 形。这种情形下，可形。这种情形下，可 以先将惯性力系简化以先将惯性力系简化 在质量对称面内，然在质量对称面内，然 后再进一

16、步简化。后再进一步简化。 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 设刚体的质量为设刚体的质量为m ；刚体对轴；刚体对轴O 的转动惯量为的转动惯量为J O ；角速度与角加速；角速度与角加速 度分别为度分别为与与。对称平面上。对称平面上第第i个个质质 点的质量为点的质量为mi；至轴至轴O的距离为的距离为ri ； 切向加速度和法向加速度分别为切向加速度和法向加速度分别为ati和和 ani ，相应的惯性力分别为，相应的惯性力分别为F tIi和和F nIi 。 所有质点的惯性力组成平面力系。所有质点的惯性

17、力组成平面力系。 i 2n ii t i rara i 2 i n ii n Ii ii t ii t Ii rmamF rmamF 再将平面惯性力系向点再将平面惯性力系向点 O简化，得一力和一力偶。简化，得一力和一力偶。 因为所有质点的法向惯性力因为所有质点的法向惯性力 都通过都通过O点，所以所有质点点，所以所有质点 法向惯性力对法向惯性力对O点之矩的和点之矩的和 等于零：等于零： 0)( n I iO MF 于是，刚体作定轴转动时惯性力系向点于是，刚体作定轴转动时惯性力系向点O简化，得到简化，得到 nt IR )( CCCii amamamamF OiiiOO JrmMM )()( 2t

18、II F 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 上述结果表明，有质量对称面的上述结果表明，有质量对称面的 刚体作定轴转动，且转轴垂直于对称刚体作定轴转动，且转轴垂直于对称 平面时，其惯性力系向轴心简化的结平面时，其惯性力系向轴心简化的结 果为对称面内的一力和一力偶。果为对称面内的一力和一力偶。 力（力（通过轴通过轴O）大小等于刚体质量与质心加速度的大小等于刚体质量与质心加速度的 乘积，方向与质心加速度相反。乘积，方向与质心加速度相反。 力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小 为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积

19、，方向与角为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角 加速度的方向相反。加速度的方向相反。 n C t CCIR mamamaF OiiiOO JrmMM )()F( 2t II 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 讨论：讨论： 1）转轴通过刚体的质心）转轴通过刚体的质心 ，角加速度，角加速度 不等于零，不等于零， 0, 0 cIRc maFa 惯性力系的简化成一个力偶：惯性力系的简化成一个力偶： OIO JM 2 2）刚体作匀角速度运动，）刚体作匀角速度运动，角加速度角加速度 等于零

20、，等于零，转轴转轴 不通过刚体的质心不通过刚体的质心， 惯性力系的简化成一个力：惯性力系的简化成一个力： cIR maF 惯性力大小：惯性力大小： 2 cIR mrF n C t CCIR mamamaF Oii t iIOOI J)rm()F(MM 2 TSINGHUA UNIVERSITY 在工程构件中，作平面运动的刚体往往都有质量在工程构件中，作平面运动的刚体往往都有质量 对称面，而且刚体在平行于这一平面的平面内运动。对称面，而且刚体在平行于这一平面的平面内运动。 因此，仍先将惯性力系简化为对称面内的平面力系，因此，仍先将惯性力系简化为对称面内的平面力系， 然后再作进一步简化。然后再作进

21、一步简化。 设刚体的质量为设刚体的质量为m，对对 质心轴的转动惯量为质心轴的转动惯量为JC，角角 速度和角加速度分别为速度和角加速度分别为和和 。 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果刚体作平面运动时惯性力系的简化结果 运动学分析的结果表明，平面图形的运动可以分解为运动学分析的结果表明，平面图形的运动可以分解为 随质心的平移和绕质心的转动。随质心的平移和绕质心的转动。 C maF IR 因此，简化到对称平面内的惯因此，简化到对称平面内的惯 性力系由两部分组成：刚体随质心平性力系由两部分组成：刚体随质心平 移的惯性力系简化为一移的惯性力系简化为一通过质心的力通过质心的力； 绕质心转动的惯性力系简化

22、为一力偶。绕质心转动的惯性力系简化为一力偶。 该力和力偶分别为该力和力偶分别为 CiiiCC JrmMM )()( 2t II F 惯性力系的简化惯性力系的简化 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果刚体作平面运动时惯性力系的简化结果 TSINGHUA UNIVERSITY 惯性力系的简化惯性力系的简化 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果刚体作平面运动时惯性力系的简化结果 上述简化结果表明，有质量对称面的刚体作平面上述简化结果表明，有质量对称面的刚体作平面 运动，且运动平面平行于对称平面时，其惯性力系向运动，且运动平面平行于对称平面时，其惯性力系向 质心质心C简化的结果为对称面内的简化的结果为对称

23、面内的一力和一力偶一力和一力偶。 C maF IR 这一力这一力(通过质心的力通过质心的力) 大小为刚体质量与质心大小为刚体质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶的加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶的 力偶矩等于惯性力系对质心力偶矩等于惯性力系对质心C的主矩，其大小为刚体的主矩，其大小为刚体 对轴对轴C的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速 度的方向相反。度的方向相反。 CiiiCC JrmMM )()( 2t II F TSINGHUA UNIVERSITY 达朗贝尔原理应用示例达朗贝尔原理应用示例 第第11章章 达朗贝尔

24、原理及其应用达朗贝尔原理及其应用 将达朗贝尔原理即动静法应用于分析和求将达朗贝尔原理即动静法应用于分析和求 解刚体动力学问题，一般应按以下步骤进行：解刚体动力学问题，一般应按以下步骤进行： 画受力图分别画出真实力和惯性力；画受力图分别画出真实力和惯性力； 建立平衡方程，得到所需要的解答。建立平衡方程，得到所需要的解答。 进行受力分析先分析主动力，再根进行受力分析先分析主动力，再根 据刚体的运动，对惯性力系加以简化；据刚体的运动，对惯性力系加以简化； 例例 题题 1 电动机外壳和定子的总电动机外壳和定子的总 质量为质量为m1，质心质心O与转子的与转子的 中心重合；转子的质量为中心重合；转子的质量

25、为 m2 ，由于制造或安装误差，由于制造或安装误差， 转子的质心转子的质心O1到定子的质到定子的质 心心O的距离为的距离为e，已知转子已知转子 以等角速以等角速 转动。转动。 求：求：电动机机座的约束力偶。电动机机座的约束力偶。 达朗贝尔原理应用示例达朗贝尔原理应用示例 解：解：现在，采用动静法现在，采用动静法 可以确定约束力偶。可以确定约束力偶。 电机所受真实力有电机所受真实力有 FI 达朗贝尔原理应用示例达朗贝尔原理应用示例 惯性力惯性力 m1g M2 g Fx Fy M aO2 m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M； FI 2 2I emF 惯性力的大小为惯性力的大小为 2 2I em

26、F 方向与质心加速度相反。因转子方向与质心加速度相反。因转子 匀速转动，只有法向加速度，故匀速转动，只有法向加速度，故 惯性力方向沿惯性力方向沿O1O2向外。向外。 应用动静法，由平衡方程应用动静法，由平衡方程 0 A M FI m1g m2g Fx Fy M aO2 电机所受真实力有电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。；惯性力如图所示。 0tetF tehtFtegmM I I2 )cos(sin )sin(coscos 0thFtegmM I2 coscos 2 2I emF )(coscoscos 2 2I2 hgtemthFtegmM TSINGHU

27、A UNIVERSITY 达朗贝尔原理应用示例达朗贝尔原理应用示例 例例 题题 2 长为长为l、重为重为W 的均质杆的均质杆 AB，其其A端闰接在铅垂轴端闰接在铅垂轴z上，上， 并以匀角速绕此轴转动。并以匀角速绕此轴转动。 求求: 当杆当杆AB与轴间的夹角与轴间的夹角 60时，时， 的数值及铰链的数值及铰链A处处 的约束力。的约束力。 解：解：作定轴转动的杆作定轴转动的杆AB对对 z轴没有质量对称面。但注意轴没有质量对称面。但注意 到在转动的过程中，杆到在转动的过程中，杆AB上上 的点均在垂直于轴的平面内的点均在垂直于轴的平面内 作圆周运动，且由于匀速转作圆周运动，且由于匀速转 动，各点仅有法

28、向加速度。动，各点仅有法向加速度。 同时由于同时由于 角为常数，所以杆角为常数，所以杆AB上的惯性力沿上的惯性力沿z方向线性方向线性 分布分布(三角形分布三角形分布)，并位于杆和轴的轴线所组成的平面内。，并位于杆和轴的轴线所组成的平面内。 长为长为l、重为重为W 的均质杆的均质杆AB，其其A端铰接在铅垂轴端铰接在铅垂轴z上，上， 并以匀角速绕此轴转动。求并以匀角速绕此轴转动。求: 当杆当杆AB与轴间的夹角与轴间的夹角60时，时， 的数值及铰链的数值及铰链A处的约束力。处的约束力。 惯性力合力的大小为惯性力合力的大小为 2 I sin 2 l g W maF C 根据三角形分布惯性力的特根据三角

29、形分布惯性力的特 点，惯性力合力作用线应通过三点，惯性力合力作用线应通过三 角形的重心，即角形的重心，即 lAD 3 2 0sin 2 cos 3 2 0 I L W lFM A 00 I xx FFF 00 WFF yy 应用动静法，重力、应用动静法，重力、A处的约束力和惯性力组处的约束力和惯性力组 成平衡力系成平衡力系, 有有 解得解得 0sin 2 cos 3 2 0 I L W lFM A 00 I xx FFF 00 WFF yy L g3 l W FFx 4 33 I WFy 2 I sin 2 l g W maF C 长为长为l、重为、重为W 的均质杆的均质杆AB，求，求: 当杆

30、当杆 AB与轴间的夹角与轴间的夹角 60 时，时， 的数值及铰的数值及铰 链链A处的约束力。处的约束力。 TSINGHUA UNIVERSITY 车载杆件车载杆件AB在在B 处为铰链约束，处为铰链约束，A处为光滑面约束处为光滑面约束 ，若已知汽车以等加速度，若已知汽车以等加速度 a 在平坦的路面上行驶，杆件在平坦的路面上行驶，杆件 的重量为的重量为W、长度为长度为 l ,杆件与车厢水平面的夹角为杆件与车厢水平面的夹角为。 A、B二处的约束力。二处的约束力。 参考性例题参考性例题 2. 受力分析受力分析: 杆件杆件AB跟随汽车作平移，因此杆件上各点都具有与汽车跟随汽车作平移，因此杆件上各点都具有

31、与汽车 行驶加速度行驶加速度a相同的加速度。相同的加速度。 应用达朗贝尔原理，在杆件应用达朗贝尔原理，在杆件AB各点上施加惯性力各点上施加惯性力ma； 解：解：1. 运动分析与加速度分析运动分析与加速度分析 杆件重力杆件重力W； 约束力约束力FNA，FBx, FBy 。 解：解：3. 应用动静法应用动静法 0 2 cos 2 sin0,)( N l W l malFFM AB N cossin ( cossin) 22 A WmaW Fga g 车载杆件车载杆件AB在在B处为铰链约束，处为铰链约束，A处为光滑面约束，汽车处为光滑面约束，汽车 以等加速度以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量

32、为在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、长度为长度为l , 杆件与车厢水平面的夹角为杆件与车厢水平面的夹角为。 解：解：3. 应用动静法应用动静法 0sin0, N ABxx FmaFF 2 sin2 (1cos) 22 Bx Wa F g 车载杆件车载杆件AB在在B处为铰链约束，处为铰链约束，A处为光滑面约束，汽车处为光滑面约束，汽车 以等加速度以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量为在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、长度为、长度为l , 杆件与车厢水平面的夹角为杆件与车厢水平面的夹角为 。 TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：3. 应用动静法应用动静法 0cos0, N A

33、Byy FWFF 2 4 (1-sin) 4 By ga FW g 车载杆件车载杆件AB在在B处为铰链约束，处为铰链约束，A处为光滑面约束，处为光滑面约束， 汽车以等加速度汽车以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量为在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W 、长度为长度为l , 杆件与车厢水平面的夹角为杆件与车厢水平面的夹角为。 均质圆盘质量均质圆盘质量mA， 半径半径r，AB长长2r,质质 量为量为m,在在A处加力处加力F 使圆轮沿水平面作使圆轮沿水平面作 纯滚。纯滚。 问施加多大的力问施加多大的力F才使杆的才使杆的B端刚离开地面，此时轮与端刚离开地面，此时轮与 地面的静摩擦系数是多大？地面的

34、静摩擦系数是多大？ 解：画出杆解：画出杆B端刚离开地面受力图（右），惯性力：端刚离开地面受力图（右），惯性力： ga mgrrFFMmaF ICAIC 3 030cos30sin, 0)(, 整个系统受力图，惯性力：整个系统受力图，惯性力： r am r a rmMamF A AIAAIA 22 1 , 2 圆盘质量圆盘质量mA，半，半 径径r，AB长长2r,质量质量 为为m。 对整个和圆轮列平衡方程：对整个和圆轮列平衡方程： 0)(, 0 gmmFF ANygmmfFfF AsNss )( r am MamF A IAAIA 2 , gm am FMrFFM A A sIAsA 2 3 2

35、, 0, 0)( )(2 3 mm m F F f A A N s s ga3 摩擦系数：摩擦系数： 圆盘质量圆盘质量mA，半，半 径径r，AB长长2r,质量质量 为为m。 水平方向力水平方向力F，对整个系统列平衡方程：，对整个系统列平衡方程： 0, 0 sICIAx FFFFF maFr am MamF IC A IAAIA , 2 , gmF As 2 3 ga3 水平方向力：水平方向力： gm m F A 3) 2 3 ( 达朗贝尔原理应用示例达朗贝尔原理应用示例 例例 题题 4 均质圆柱体重为均质圆柱体重为W，半径，半径 为为R，沿倾斜平板从静止状态开，沿倾斜平板从静止状态开 始，自固

36、定始，自固定O处向下作纯滚动。处向下作纯滚动。 平板相对水平线的倾角为平板相对水平线的倾角为 ，忽，忽 略板的重量。略板的重量。 试求：试求： 固定端固定端O处的约束力。处的约束力。 解：解：1. 首先确定圆柱体的质心加速度和角加速度。首先确定圆柱体的质心加速度和角加速度。 II sin0 C WRF RM 以圆柱体为研究对象，画出包括真以圆柱体为研究对象，画出包括真 实力和惯性力系的受力图。对实力和惯性力系的受力图。对A点取点取 矩，有矩，有 0 A M IICCC W FaMJ g , 由于圆柱体纯滚动，因而有由于圆柱体纯滚动，因而有 RaC R g 3 2 sin 2. 确定固定端的约束

37、力确定固定端的约束力 以整体为研究对象，画出受力图。以整体为研究对象，画出受力图。 动静法的平衡方程为动静法的平衡方程为 0 0 I I 00II 0cos0 0sin0 0sincos0 xx yy C FFF FFFW MMMFRWRWS IICCC W FaMJ g ,RaC 0 0 I 2 I 0II 2 cossin cossin2 33 2 sin(1sin) 3 sincos cos x y C WW FF FWFW MWRWsMF RWs R g 3 2 sin TSINGHUA UNIVERSITY 刚体惯性力刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关系的主矢与刚体运动形式无关 I

38、R FaCm1. 平移平移 2. 定轴转动定轴转动 tn IR ()Faaa CCC mm 3. 平面运动平面运动 C maF IR 刚体惯性力系的简化结果刚体惯性力系的简化结果 TSINGHUA UNIVERSITY 惯性力惯性力系的主矩系的主矩 惯性力惯性力系的主矩系的主矩 与刚体的运动形式有关。与刚体的运动形式有关。 1. 平移平移 0 I C M 2. 定轴转动定轴转动 OO JM I 3. 平面运动平面运动 CC JM I 结论与讨论结论与讨论 刚体惯性力系的简化结果刚体惯性力系的简化结果 TSINGHUA UNIVERSITY 关于绕定轴转动刚体的轴承动约束力关于绕定轴转动刚体的轴

39、承动约束力 工程中，由于转子绕定轴高速旋转，常使轴承受巨工程中，由于转子绕定轴高速旋转，常使轴承受巨 大的附加的动约束力大的附加的动约束力(dynamics constraint force)，又称动，又称动 反力。尤其由于制造和安装误差等非设计原因，使得旋反力。尤其由于制造和安装误差等非设计原因，使得旋 转零件或部件的质心与旋转轴不重合转零件或部件的质心与旋转轴不重合(偏心偏心)，或者旋转零，或者旋转零 件或部件所在的平面与旋转轴不垂直件或部件所在的平面与旋转轴不垂直(偏角偏角)。偏心和偏角。偏心和偏角 引起的惯性力都会在旋转轴的轴承处引起动约束力，从引起的惯性力都会在旋转轴的轴承处引起动约

40、束力，从 而导致零件或部件的损坏和剧烈振动。而导致零件或部件的损坏和剧烈振动。 通常作用在旋转轴上的约束力由两部分组成：一部通常作用在旋转轴上的约束力由两部分组成：一部 分是由主动力引起的约束力称为分是由主动力引起的约束力称为静反力静反力；另一部分是由；另一部分是由 惯性力引起的约束力称为惯性力引起的约束力称为附加动反力附加动反力。静反力是无法避。静反力是无法避 免的，而附加的动反力却是可以避免的。免的，而附加的动反力却是可以避免的。 TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY 若刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外，没

41、有若刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外，没有 其它主动力作用，则刚体可在任意位置静止不动，这其它主动力作用，则刚体可在任意位置静止不动，这 种现象称为静平衡；当刚体的转轴是中心惯性主轴时，种现象称为静平衡；当刚体的转轴是中心惯性主轴时， 刚体转动时不出现动反力，这种现象称为动平衡。刚体转动时不出现动反力，这种现象称为动平衡。 动平衡的刚体一定是静平衡，静平衡的刚体不一动平衡的刚体一定是静平衡，静平衡的刚体不一 定动平衡。定动平衡。 工程中为消除高速旋转刚体的附加动反力，必须工程中为消除高速旋转刚体的附加动反力，必须 先使其静平衡，即把质心调整到转轴上，然后再通过先使其静平衡，即把质心调整到转轴

42、上，然后再通过 增加或减少某些部位的质量使其动平衡，动平衡一般增加或减少某些部位的质量使其动平衡，动平衡一般 在动平衡机上进行。在动平衡机上进行。 结论与讨论结论与讨论 关于绕定轴转动刚体的轴承动约束力关于绕定轴转动刚体的轴承动约束力 研究表明，当旋转轴为刚体（或质点系）的质量研究表明，当旋转轴为刚体（或质点系）的质量 对称轴时，轴承的动反力为零。对称轴时，轴承的动反力为零。 关于动静法与动量矩定理关于动静法与动量矩定理 达朗贝尔原理虽与普遍定理的思路不同，但却获得了与达朗贝尔原理虽与普遍定理的思路不同，但却获得了与 动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方程。请大家结动量定理、动量矩定理形式

43、上等价的动力学方程。请大家结 合对例题合对例题4的分析过程与分析方法的再思考，研究：的分析过程与分析方法的再思考，研究： 例题例题4中，确定圆柱体的质心加速度时，以圆柱体为研究中，确定圆柱体的质心加速度时，以圆柱体为研究 对象，建立了真实力、惯性力对对象，建立了真实力、惯性力对C点的力矩平衡方程，加上运点的力矩平衡方程，加上运 动学分析结果，非常简洁地求出质心加速度和角加速度；这与动学分析结果，非常简洁地求出质心加速度和角加速度；这与 应用相对瞬心的动量矩定理得到的方程结果完全一致。应用相对瞬心的动量矩定理得到的方程结果完全一致。 应用动静法时，可列出对任意点的力矩平衡方程；用动应用动静法时，

44、可列出对任意点的力矩平衡方程；用动 量矩定理时，对圆柱体而言只能列出对质心量矩定理时，对圆柱体而言只能列出对质心C或对瞬心的动或对瞬心的动 量矩方程。这是为什麽？量矩方程。这是为什麽？ 根据动静法和动量矩定理各自的特点，加以认真总结，根据动静法和动量矩定理各自的特点，加以认真总结， 便于今后使用时能采用最佳的方法。便于今后使用时能采用最佳的方法。 动力学普遍定理与动静法的综合应用动力学普遍定理与动静法的综合应用 应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化 惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与惯性力的前提是准确的运动分析。因此

45、将动力学普遍定理与 动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。 请分析研究直线行驶的卡车请分析研究直线行驶的卡车 分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再 用动静法求约束反力。用动静法求约束反力。 结论与讨论结论与讨论 动力学普遍定理与动静法的综合应用动力学普遍定理与动静法的综合应用 应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化 惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与 动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。 请分析研究安装在悬臂请分析研究安装在悬臂 梁端的电动机提升设备梁端的电动机提升设备 分别用动量定理、分别用动量定理、 动量矩定理和动能定理求动量矩定理和动能定理求 运动，再用动静法求约束运动，再用动静法求约束 反力。反力。 结论与讨论结