结构力学4静定拱

1、结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 第第四四章章 静定拱静定拱 4-1 概概 述述 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 杆轴线为曲线，在竖向荷载杆轴线为曲线，在竖向荷载 作用下会产生水平反力（称为推力）。作用下会产生水平反力（称为推力）。 拱式结构的特点：拱式结构的特点： 拱式结构又称为拱式结构又称为推力结构推力结构。 4-1 概概 述述 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。

2、 (a) l AB B A C C A B C (c) l AB B A C C A B 有拉杆的三铰拱有拉杆的三铰拱 两铰拱两铰拱 曲梁曲梁 4-1 概概 述述 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 三铰拱各部分名称三铰拱各部分名称 高跨比高跨比f/l是拱的一个重要的几何参数。工程实际是拱的一个重要的几何参数。工程实际 中，高跨比在中，高跨比在l110之间之间，变化的范围很大。，变化的范围很大。 跨度 矢高 拱趾拱趾 拱顶 f l 拱轴线 拱顶：拱的最高点。拱顶：拱的最高点。 拱趾：拱趾： 支座处。支座处。 跨度：两支座之间的水平距离，跨度：两支座之间的水平距离， 用用l表示

3、。表示。 矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。表示。 4-1 概概 述述 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小 得多，得多，所以所以拱结构适用于大跨度的建筑物拱结构适用于大跨度的建筑物。它广泛它广泛 地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在 它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用 拱的结构形式时必须注意的。拱的结构形式时必须注意的。 4-1 概概 述述

4、结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 一、三铰拱的反力和内力计算。一、三铰拱的反力和内力计算。 1. .支座反力支座反力 计算计算（与三铰刚（与三铰刚 架反力的求法类架反力的求法类 似）。似）。 代梁代梁 代梁：代梁：同跨度、同跨度、 同荷载的简支梁同荷载的简支梁, ,其其 反力、内力记为反力、内力记为 、 、 、 0 V A F 0 V B F 0 M 0 S F 三铰拱三铰拱 B F FF F f F F F A y x l/ x K C 2l/2 VA HB HA VB F1F2F3 B A C F a a a 1 2 3 0 0 F K VAVB 4-2 三铰拱的数值解

5、三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 HHH FFF BA 考虑整体平衡考虑整体平衡 0 V332211 lFaFaFaF B 332211V 1 alFalFalF l F A 考虑考虑C 铰左侧部分平衡铰左侧部分平衡 2211H 222 1 a l Fa l F l F f F yA 由由X=0，得，得 由由MA=0 332211V 1 aFaFaF l F B 得得 由由MB=0，得得 由由MC=0，得得 B F FF F f F F F A y x l/ x K C 2l/2 VA HB HA VB 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大

6、学中南大学 返 回 退 出 8:21 与代梁相比较有：与代梁相比较有： f M F FF FF C BB AA 0 H 0 VV 0 VV 可见：可见： 三铰拱的竖向支座反力就等于代梁的反力；三铰拱的竖向支座反力就等于代梁的反力； 水平推力就等于代梁水平推力就等于代梁C 截面的弯矩除以矢高；截面的弯矩除以矢高； 拱的矢高对水平推力影响很大（矢高愈小即拱的拱的矢高对水平推力影响很大（矢高愈小即拱的 形状愈扁平推力愈大）。形状愈扁平推力愈大）。 F1F2F3 B A C F a a a 1 2 3 0 0 F K VAVB F f F F F A y x l/ x K C 2l/2 VA HB H

7、A VB B F FF 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 2. .内力计算内力计算 (1)截面的内力假定：截面的内力假定： 轴力以轴力以压力压力为正，为正， 剪力以剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者有使截面产生顺时针转动的趋势者为正，为正， 弯矩以弯矩以拱内侧纤维受拉者拱内侧纤维受拉者为正。为正。 讨论：讨论：当拱的矢高当拱的矢高 f=0 时，情况如何？时，情况如何？ 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 K截面形心的坐标为截面形心的坐标为 x、y，截面切线的倾斜，截面切线的倾斜

8、角为角为。且左半拱的为。且左半拱的为 正值，右半拱的正值，右半拱的为负为负 值。值。 考虑截面左侧部份平衡考虑截面左侧部份平衡, ,由由 yFbxFbxFxFM AK H2211V 与代梁相比较与代梁相比较 yFMM KKH 0 拱的弯矩等于相应截面代梁拱的弯矩等于相应截面代梁 的弯矩再减去推力引起的弯矩。的弯矩再减去推力引起的弯矩。 (2)内力计算内力计算 F F2 1 y M F F K K S K KN VA F FH 由由MK=0可得可得 F1F2F3 B A C F a a a 1 2 3 0 0 F K VAVB B F FF F f F F F A y x l/ x K C 2l

9、/2 VA HB HA VB 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 0sincos SH21V KA FFFFF 与代梁相比较与代梁相比较 sincos H 0 SS FFF KK 0cossin H21VN FFFFF AK 与代梁相比较与代梁相比较 cossin H 0 SN FFF KK F F F2 1 y M F F K K S K KN VA FH 0由由 0 由由 F1F2F3 B A C F a a a 1 2 3 0 0 F K VAVB B F FF F f F F F A y x l/ x K C 2l/2 VA HB

10、 HA VB 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 三铰拱任意截面三铰拱任意截面K上的内力上的内力MK、FSK和和FNK的计的计 算公式：算公式： yFMM KKH 0 sincos H 0 SS FFF KK cossin H 0 SN FFF KK 拱的弯矩要比同跨度同荷载的简支梁的弯矩小拱的弯矩要比同跨度同荷载的简支梁的弯矩小 很多，当跨度比较大时采用拱比用梁要更为经济合很多，当跨度比较大时采用拱比用梁要更为经济合 理。理。 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 例例4-1 试求图

11、示三铰拱截面试求图示三铰拱截面D的内力。的内力。 设拱轴线设拱轴线 为抛物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式为抛物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式 为为 ，已知，已知D截面的坐标为截面的坐标为: xD=5.25m 。 xlx l f y 2 4 解解: :(1) 代入数据后代入数据后 拱轴线方程为：拱轴线方程为： )12( 9 1 xxy xy6 9 2 tan B F = F = f= A Y X H F = D 12m 5.25m 3m y= F = q=20 kN/m 82.5 kN 115 kN 82.5 kN 105 kN 4m 3.983 m 100 kN C F

12、 = H VA VB 当当x =5.25m 时时，y =3.938m ，因而，因而 ， 1644. 0sin D 9864. 0cos D 1667. 0tan D 故故 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 得得 kN 5kN 010kN 510 0 S D F DDDD FFFsincos H 0 SS 1kN63. 81644. 0kN 5 .829864. 0kN 5 0H 0 SN cossinFFF DDD kN 2 .829864. 0kN 5 .821644. 0kN 5 kN 510 V A F(2) 求支座反力求支座反力

13、, ,结果为：结果为： , , kN 511 V B F yFMM DDH 0 m 893. 3kN 5 .82m 52 . 2kN 010m 52 . 5kN 510 mkN 536. 1 kN 5 .82 H F (3) 求内力求内力 由水平推力由水平推力 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 注意：内力微分关系不适用于拱（拱轴线为曲线）。注意：内力微分关系不适用于拱（拱轴线为曲线）。 作拱的内力图时需计算若干个截面的内力值然后作拱的内力图时需计算若干个截面的内力值然后 连线成图。连线成图。 在本例的情况至少在本例的情况至少 要计算要计

14、算9个截面的内力个截面的内力 值然后连线成图才能获值然后连线成图才能获 得满意的效果。得满意的效果。 最终弯矩图最终弯矩图,可以看出可以看出, 它是由代梁的弯矩图它是由代梁的弯矩图M 0减减 去一个与拱轴线相似的抛去一个与拱轴线相似的抛 物线图形后剩下的图形物线图形后剩下的图形 FHy , 即右下图阴影部份即右下图阴影部份. 可见拱的弯矩是很小的，可见拱的弯矩是很小的， 其内力是以轴力为主其内力是以轴力为主。 B f A y x F q F H B A C q F f H F F F C F H VA VB F VAF VB 0 0 B f A y x F q F H B A C q F f

15、H F F F C F H VA VB F VA F VB 0 0 4-2 三铰拱的数值解三铰拱的数值解 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯矩为：三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯矩为： yFMM KKH 0 拱合理拱轴线：拱合理拱轴线：若拱的所有截面上的弯矩都为零，若拱的所有截面上的弯矩都为零， 这样的拱轴线为合理拱轴线。这样的拱轴线为合理拱轴线。 由由 0 H 0 yFMM 得合理拱轴线方程得合理拱轴线方程 H 0 F M y ( (4-4) ) M 0代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程代梁在该竖向荷

16、载作用下的弯矩方程 FH 拱支座的水平推力拱支座的水平推力 由公式（由公式（3-4）看出）看出: :合理拱轴线的形状应与代梁合理拱轴线的形状应与代梁 的弯矩图相似，纵坐标应与代梁弯矩图的纵坐标成比的弯矩图相似，纵坐标应与代梁弯矩图的纵坐标成比 例。例。 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 将公式（将公式（4-5）对）对x 微分两次微分两次 2 02 H 2 2 d d1 d d x M Fx y 注意到当荷载注意到当荷载q(x)为沿水平方向的分布荷载时，为沿水平方向的分布荷载时， )( d d 2 02 xq x M 合理拱轴线的

17、坐标合理拱轴线的坐标y与分布荷载与分布荷载q之间的关系为之间的关系为 H 2 2 )( d d F xq x y （4-6） 上式就是合理拱轴线的微分方程上式就是合理拱轴线的微分方程,在这里规定在这里规定y 向上向上 为正为正, x 向右为正向右为正,q 向下为正向下为正,故上式右边为负号。故上式右边为负号。 H 0 F M y (4-5) 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 例例4-2 设三铰拱上作用沿水平向均布的竖向荷载设三铰拱上作用沿水平向均布的竖向荷载q 试求拱的合理轴线。试求拱的合理轴线。 解解:由式（由式（4-5） H

18、 0 F M y 在均布荷载在均布荷载q作用下，作用下， 代梁的弯矩方程为代梁的弯矩方程为 )( 222 2 0 xlx qqx x ql M 拱的水平推力为拱的水平推力为 f ql f M F C 8 20 H 代入公式（代入公式（4-4）得）得 )( 4 2 xlx l f y A Y C f l 2 B q X l 2 A 2 ql x q ql 2 B 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 三铰拱在水平的均布荷载作用下，其合理三铰拱在水平的均布荷载作用下，其合理 拱轴线为二次抛物线。拱轴线为二次抛物线。 在合理拱轴的抛物线方

19、程中，拱高在合理拱轴的抛物线方程中，拱高f 没有确没有确 定。具有合理高跨比的一组抛物线都是合理轴线。定。具有合理高跨比的一组抛物线都是合理轴线。 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 例例4-3 设三铰拱上作用有沿拱轴均匀分布的竖向设三铰拱上作用有沿拱轴均匀分布的竖向 荷载（如自重），试求其合理拱轴线。荷载（如自重），试求其合理拱轴线。 解解:当拱轴线改变时，荷载也随之改变。当拱轴线改变时，荷载也随之改变。 x y p 令令p(x)为沿拱轴线每单位长的自重，荷载沿水平为沿拱轴线每单位长的自重，荷载沿水平 方向的集度为方向的集度为q

20、(x) x y p(x) x sd d q(x) 有有 x s xpxq d d )()( sxpxxqd)(d)( 由由 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 x s xpxq d d )()( 将将 代入方程（代入方程（4-5），得得 2 HHH 2 2 d d 1 )( d d)()( d d x y F xp x s F xp F xq x y 由于规定由于规定y 向上为正向上为正, x 向右为正，向右为正，q 向下为向下为 正，故上式右边为正号。正，故上式右边为正号。 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学

21、 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 或或 H 2 )( d d 1 d d d d F xp x y x y x 积分后，得积分后，得 .d )( d d sh H 1 x F xp x y 如如p(x)= =常数常数= =p ，则，则 Ax F p x y H 1 d d sh 即即 .sh d d H Ax F p x y 式中式中A为积分常数。为积分常数。 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 x F p x y H sh d d 再积分一次，得再积分一次，得 Bx F p p F y H H ch 等截面拱在自重荷

22、载作用下，合理轴线为一悬链线。等截面拱在自重荷载作用下，合理轴线为一悬链线。 由于当由于当x =0时，时， ，故常数，故常数A等于零，即等于零，即 由于当由于当x=0时，时，y=0， p F B H 故故 1ch H H x F p p F y 最后得最后得 0 d d x y 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 在一般荷载作用下在一般荷载作用下,为了寻求相应的合理轴线为了寻求相应的合理轴线,可假可假 定拱处于无弯矩状态并写出相应的平衡微分方程。定拱处于无弯矩状态并写出相应的平衡微分方程。 从拱中截出从拱中截出ds 微段来研究它的

23、平衡。令曲率半径微段来研究它的平衡。令曲率半径 为，为，q 为法向荷载，为法向荷载，p 为切向荷载。微段沿法向和切为切向荷载。微段沿法向和切 向的平衡方程分别为：向的平衡方程分别为： 0 n F0dd N sqF 0 t F0dd N spF q d ds NN n t p F N F +dF 由曲率的定义由曲率的定义 : 1 d d S 故故 q F N ( (* *) ) p s F d d N ( (* * *) ) 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 因此，根据荷载因此，根据荷载q(s)，即，即可确定合理轴线的曲率半可确定

24、合理轴线的曲率半 径径(s)，从而不难确定出合理轴线的方程。，从而不难确定出合理轴线的方程。 如无切向荷载作用如无切向荷载作用( p=0 )，则由式（，则由式（* * *）可知）可知 FN=常数常数= =FN0, ,由式（由式（*）可得）可得 q F N ( (* *) ) p s F d d N ( (* * *) ) )( )( N0 sq F s 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 在均匀静水压力作用下，在均匀静水压力作用下，q= =常数，因而常数，因而 常常数数 q F 0N 三铰拱在均匀静水压力作用下，其合理轴线的曲三铰

25、拱在均匀静水压力作用下，其合理轴线的曲 率半径为一常数率半径为一常数, , 就是一段圆弧。就是一段圆弧。 因此，拱坝的水平截面常是圆弧形，高压隧洞因此，拱坝的水平截面常是圆弧形，高压隧洞 常采用圆形截面。常采用圆形截面。 4-3 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 拱桥实例介绍拱桥实例介绍 我国公路桥中70%为拱桥。我国多山，石料资源丰富，拱桥取材以石料为主。 1）圬工拱桥）圬工拱桥（石拱桥以及拱圈不配钢筋的混凝土拱桥，跨越能力较小） 主拱圈为等截面悬链线。拱矢度为1/5，拱圈厚1.7m，拱上建筑对称布置5个空腹拱， 两边设岸孔37m，拱

26、圈厚1.1m。下部结构为重力式石砌墩台。该桥施工在主孔范围 内设3个临时墩，上立钢支架、拱架等，其上砌筑主拱圈。 1965广西南宁都安红渡桥（L: 100m ) 世界上跨径最大的石拱桥。桥宽8m，双肋石拱桥，腹拱为9孔13m，南岸引桥3孔13m，北 岸引桥1孔15m。主拱圈由两条分离式矩形石肋和8条钢筋混凝土横系梁组成。拱轴线为悬 链线（m=1.543） ，拱矢度1/5，拱肋为等高变宽度。 1990湖南凤凰县的乌巢河桥 （ L=120m） 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 2）双曲拱桥）双曲拱桥（中国首创的一种拱桥型式） 结构纤细轻盈，适宜于软土地基上建造。 1969江苏无

27、锡卫东桥 构思独特，充分发挥双曲拱桥构造特点，组合拼装成三叉形的双曲拱桥。 1969江苏无锡民主桥 上承式无铰空腹拱，是当时我国跨径最大的双曲拱桥。拱矢度1/10，拱轴线设计为悬链线。为 提高横断面刚度、增强双曲拱在组合过程中裸肋的稳定性，断面设计成高低拱肋，全桥29道 横隔板组成整体性好的拱肋格排，合拢后上面砌筑双层拱波。 1968河南嵩县前河桥 （L=150m） 拱桥实例介绍拱桥实例介绍 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 3）肋拱桥）肋拱桥 1988广东广州流溪桥 （L=90m） 钢筋混凝土箱肋中承式拱，拱矢度1/4.5，全桥采用喷塑 装修工艺，建筑宏伟壮丽，已成为公园

28、的重要景观。 中承装配式铁路钢筋混凝土拱，矢高40m，两片拱肋中心距7.5m。拱轴线采用二次抛物线，拱 肋为箱形截面，吊杆为预应力杆件。施工时先架设钢拱架，然后在拱架上由下而上分层施工， 安装拱肋底板-腹板-顶板，使先安装的拱肋底板与钢拱架共同受力。在拱顶进行应力调整， 改善了拱肋的受力状态。为保证结构的整体性，拱肋与桥面系相交处的一段拱肋在工地现浇。 1966北京永定河七号桥 （L=150m） 1983 台湾台北关渡桥 （L=165m） 中承式5孔连续系杆拱桥，中间孔跨度为165m，两侧孔跨度 为143m及44m，拱圈为抛物线。 1990江苏丹阳云阳桥（L=70m） 跨越京杭大运河，无粘结预

29、应力系杆拱，3根拱肋， 矢度1/5，拱轴系数m=1.0，单箱高1.5m，行车道刚性 纵梁和无粘结预应力柔性系杆分开。预制安装法施工. 1992 广东开平三埠桥 （L=60m） 单拱肋预应力混凝土系杆拱，单拱肋置于车行道中央分隔带上。 1994台湾台北碧潭桥（L=160m） 桥面由预制预应力混凝土单箱组成，并配以Y型 悬臂拱圈，形成主跨为160m及2x100m无推力拱 桥。引桥跨度分别为85m及57m，全桥以简洁明 快的弧形曲线构成，与远山近水相协调。 1990 四川宜宾小南门桥 (=240m) 主桥系中承式钢筋混凝土肋拱桥， 矢度1/5，是当时国内跨径最大的 钢筋混凝土拱桥。该桥采用劲性 钢骨

30、架施工法，缆索吊装。 拱桥实例介绍拱桥实例介绍 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 4）箱拱桥）箱拱桥 1979四川省宜宾市金沙江大桥 （L=150m） 中国采用缆索吊装施工、跨径最大的钢筋混凝土箱形拱。主拱圈 箱高2.0m，箱宽7.60m，矢跨比1/7，全拱圈横向分5个箱室；纵向 分5段预制，缆索吊装就位后再组合成整体箱。 1989四 川涪陵乌江大桥 （L=200m） 桥高84m，矢跨比1/4，主拱圈采用3室箱。 涪陵乌江大桥采 用转体法施工，先在两岸上、下游组成3m宽的边箱，待转体 合拢后吊装中箱顶、底板，最后组成3室箱。 1997四川万县长江大桥 L=420m) 劲性骨架钢筋混凝土箱形拱桥 拱桥实例介绍拱桥实例介绍 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 5）刚架拱桥）刚架拱桥 1989江苏无锡100米下甸桥 变截面，四分点附近截面高度最大，分别向拱脚、跨中减小。 取消斜撑，拱上建筑采用23m预应力混凝土简支梁以过渡。 1993江西德兴130米太白桥 采用转体施工。 拱桥实例介绍拱桥实例介绍 结构力学 中南大学中南大学 返 回 退 出 8:21 6）桁架拱桥）桁架拱桥 1976浙