球的内切、外接问题

1、球的内切、外接问题球的内切、外接问题 课前检测课前检测 一、记得准 s 名称表面积体积 圆柱（底面圆半径为r, 高为h） 圆锥（底面圆半径为r, 高为h，母线为l） 圆台（上底圆半径为r, 下底圆半径为R，高为h） 球（半径为r） 2 S=4 r 3 4 V=r 3 2 S=2 rrl 2 1 V=r h 3 22 S=rR +rl+Rl（） 1122 1 V=h() 3 SS SS 2 S=2 r2 rh 2 V= r h 二、做得对 1球的体积与其表面积的数值相等，则球的半 径等于（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 2火星的半径约是地球的一半，地球表面积是 火星表面积的_倍 3若一个

2、球的体积为 ，则它的表面积为 _. 4已知球的半径为 10 cm，若它的一个截面圆 的面积是36 cm2，则球心与截面圆周圆心的距 离是_. 课前检测课前检测 C 4 12 8 cm 4 3 学习目标学习目标 一、分割法一、分割法 二、寻求轴截面圆半径法二、寻求轴截面圆半径法 a b c r r r 例例1.已知已知ABC的三边的三边BC,AB,ACBC,AB,AC分别为分别为 a,b,c.a,b,c.I I为内心，内切圆半径为为内心，内切圆半径为r.r.求求ABC的的 面积面积 A BC I 证明：连结证明：连结AI,BI,CI ABCABI + BCI + ACI ar 2 + br 2

3、+ cr 2 (a+b+c）r 2 新课导入 A C D B P O 探求新知 一、分割法一、分割法 r 如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD 为正方形，边长是 ， PB= ，PA=PC= , 且PD是四棱锥的高求 四棱锥内切球的半径； a2a3 a C D AB P a 2a 2a 证明： 22 22 22222 2 2 2 2 3 2 2 2 PADPCD PABPBC PDPABCD PDDAPDDCPDDB PABDa PDPAADa PBPDBDa PBPAABPCBC PABPCB a SS SSa Sa 正方形ABCD 是四棱锥的高 即、是直角三角形 aPB3 22 22

4、22222 2 2 2 2 3 2 2 2 PADPCD PABPBC PDPABCD PDDAPDDCPDDB PABDa PDPAADa PBPDBDa PBPAABPCBC PABPCB a SS SSa Sa 正方形ABCD 是四棱锥的高 即、是直角三角形 A C D B P O 223 11 + 33 1 = 3 11 22 33 2 (1) 2 P ABCDO ABCDO PADO PCDO PBCO PAB PADPCDPABPBCABCDABCD O VVVVVV SPDr SSSSS r S raaa ra 正方形正方形 表 设棱锥的内切圆圆心为 变式练习 1、已知三棱锥的各

5、个棱长度均为 ， 内切圆的半径为r,则三棱锥的体积为 ra2 3 3 a 12 6 2、三棱锥的各个棱长度均为 ，求其 内切球的半径为 a a A B C 例2.已知ABC为等边三角形，边长为为等边三角形，边长为a. O为为 ABC的外接圆，求的外接圆，求 O的半径的半径. O D 解：设解：设 O的半径为的半径为R，连结，连结OA,OC， 过过A做三角形的高做三角形的高AD，点，点O在在AD上上. 222 222 3 AD=OA=OB=R 2 3 OD=AD-OA=-R 2 Rt ODCOB =OD +DC 31 R =-R+ 22 3 R=a 3 a a aa 在中 即（） （） 新课导入

6、 O P A B D E FF P O A E 一个四面体的所有的棱都为一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在，四个顶点在 同一球面上，则此球的表面积为同一球面上，则此球的表面积为 2 二、寻求轴截面圆半径法二、寻求轴截面圆半径法 3 22 222 22 2 2236 AE=AF=AB = 3323 PE= PA -AE 2 3 PE= 3 2 3 OA=ROE=PE-OP=-R 3 Rt OAEOA =OE +AE 2 32 R =-R+ 33 3 R=S=4 R =3 2 （） 在中 即（） 解：设四面体为PBCD，O为其外接球心。 球半径为R， E为A在平面BCD上的射影，F为BD的中点。 O P A B D E F 解决与球有关的内切与外接问题的解决与球有关的内切与外接问题的 关键是关键是： 1 1、将多面体分割成多个三棱锥、将多面体分割成多个三棱锥 2 2、通过寻找恰当的过球心的截面、通过寻找恰当的过球心的截面, ,把立体问把立体问 题转化为平面问题题转化为平面问题, ,通过解三角形求出球的通过解三角形求出球的 半径半径R. R. 课堂小结课