热统第六章讲稿部分

1、第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 统计力学统计力学 运用力学定律和统计学原理，以物质的微观结构和微观运运用力学定律和统计学原理，以物质的微观结构和微观运 动为基础，研究体系的热力学性质的一门科学。动为基础，研究体系的热力学性质的一门科学。 统计物理的观点统计物理的观点 物质的宏观性质是大量微观粒子的集体表现物质的宏观性质是大量微观粒子的集体表现, ,实际观察到的实际观察到的 宏观热力学量是相应微观力学量的统计平均宏观热力学量是相应微观力学量的统计平均. . 问题问题 要求微观力学量的统计平均要求微观力学量的统计平均, ,必须知道微观状态出现的必须知道微观状态出现的 概

2、率概率 首先要清楚如何描写系统微观运动状态首先要清楚如何描写系统微观运动状态 ggd “粒子” q “粒子”的运动状态 指粒子的力学运动状态 设粒子的自由度为r 第一节第一节 粒子粒子运动状态的运动状态的经典经典理论理论 宏观物质系统的基本单元宏观物质系统的基本单元. . 气体的分子气体的分子. .金属的离子或金属的离子或 自由电子自由电子. .辐射场的光子等辐射场的光子等 经典经典描述中:粒子的位置与动量 量子量子描述中:粒子的波函授或量子数 由经典力学知:粒子任一时刻的状态由粒子的r个广义坐标( ) 与r个广义动量 的数值确定. 12 . r q qq . xyz p p p 12 . r

3、 q qq 例如r=3,则粒子的运动状态由x.y.z, 或 描写(6个参量) . . . . r rp pp 粒子能量 1212 ( .,.) rr q qqp pp 的函授 ( .) ii q p q 空间为形象描写粒子的运动状态而引入 例如r=3, 粒子在某时刻的状态为 有确定值, 空间的一个点表示, 当粒子的运动状态随时间变化, 代表点在 空间移动 空间中的一个点表示一个粒子的运动状态 不可能在图中画出 0000 0,0()0() ,1,2.6,1 ijijji qqqpijeij i je ii 或ee 以r个广义坐标和r个广义动量(2r维)作为直角坐标所构造的 空间. 空间的维数为6

4、维, 1212 ( .,.) rr q qqp pp 称为代表点 画出一条轨道 几个例子 1.当粒子在三维空间中运动时, 空间的维数是6维, 2.当粒子在一维空间中运动时, 空间的维数是2维. (一)自由粒子不受力作用的粒子 2 22 222222 222 11 ()()()(6.1.3) 222 y xz xyzxyz p ppm m vvvppp mmmm 微观粒子能量=动能+势能 为直角坐标构成 . x x p x p x x L 设一维容器的长度为L, 则 0XL X P 当粒子以一定的动量在容器中运动时. 粒子运动状态的代表点轨迹为平行于x的直线 对r=3, 空间的维数是6维,可分解

5、为三个二维子空间 (二)线性谐振子 质量为m的粒子在弹性力f=-Ax的作用下,在原点附近作一维简谐振动. 空间 代表点的轨迹为椭圆 能量 可取任意值, 不同,椭圆大小不同. r=1, A m 222 2 2 2 2 1(6 .1 .4 ) 22(2)2 () pApx x mm m q p 2 2 m 2m 6.2粒子运动状态的量子描述 由原子力学或光学知,微观粒子具有波粒二象性. 1.德布罗意波假设 能量为 ,动量为p的自由粒子联系着园频率为 ,波矢量为 的平面波 一.波粒二象性 k pk 粒子性 波动性 该式将波粒二象性有机结合起来 (6.2.1) 2.测不准关系 波粒二象性导致的重要结果

6、是微观粒子不能同时具有确定的动量和确定的坐标 以 q-粒子坐标的不确定性， p-粒子动量的不确定性 由量子力学知(6.2.2)qph 测不准关系 0,qq 则 P；或 P0，则 不能用经典的方法描写粒子的状态 用量子描写 即一组量子数描写.如(n.L.m.S) 二.例子 q (一)自旋状态 设一粒子,质量为m,电荷切-e,粒子的自旋磁矩为 ,自旋角动量S之比 由原子物理知,如加上沿Z方向的位磁场B,则粒子自旋角动量在Z方向 的投影Sz有两个可能值 e sm 2 z s 自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为: () 22 zz eee s mmm 粒子在外磁场中的势能: (6.2.3) 2 e BB

7、 m 描写粒子自旋状态只要一个量子数Sz,它只能取两个分立值. (二)线性谐振子 由原子物理知,园频率为 的线性谐振子,能量的可能值为 1 ()0,1,2.(6.2.4) 2 n nn n可以确定振子的运动状态和能量. 能量是分立的,分立的能量称为能级. n=0称为零点能 1 11 ()(1) 22 nnn nn 任意两相邻能级是等间距的 (三)自由粒子 1.一维自由粒子 设粒子处在长度为L的一维容器中,根据原 子物理,必须满足周期性边界条件或驻波 条件. (a)周期性边界条件 容器的长度L为德布罗意波的整数倍 0,1,2. xx Lnn 2 k 代入上式 22 xx x kn L L n 即

8、 波矢为矢量,在一维空间中波可以沿两 个方向传播 波矢 的可能值为 X k 2 0,1,2. xxx knn L (b)动量的可能值 将上式代入(6.2.1),可得动量的可能值 2 0, 1, 2.(6.2.5) xxx pknn L x n 就是表征一维自由粒子状态的量子数 (c)能量的可能值 222222 2 22 1 42 0, 1, 2.(6.2.6) 22 xx xx pn nn mmLmL x n 不同,一维自由粒子的动量.能量不同 2.三维自由粒子 设粒子处在长度为L的立方容器中,由前知,粒子的三个动量分量为: (a)动量的可能值 2 0,1,2 2 0,1,2(6.2.7 )

9、2 0,1,2 xxx yyy zzz Pnn L Pnn L Pnn L 表征三维自由粒子状态的量子数 xyz nnn (b)能量的可能值 222 22 222 2 12 ()()(6.2.8) 2 xyz xyz nnn ppp mmL 222 xyz nnn 不同,能量不同,存在简并 22 222 2 2 1 xyz nnn mL 既时 简并度为6 222 1,01,01,01 xyzyxzzyxxyz nnnnnnnnnnnn都对应 2222222 222 222 ()() 211010021 n xxx n pnn LLL mLLmL 又由于 当L很小时,动量.能量 的分立性明显 (

10、c)粒子处于宏观大小的容器中,动量在一定范围内的量子态数目 .Lp连续变化往往考虑在体积V内,动量在 的 量子态数目 xxx yyy zzz ppd p ppd p ppd p 由(6.2.7)式可知 , 222 xxyyzz LLL dndpdndpdndp 在V内,动量在 内,自由粒子的量子态 数目: , xxxyyyzzz ppdpppdpppdp 3 3 ()(6.2.9) 2222 xyzxyzxyzxyz LLLLV dn dn dndpdpdpdp dp dpdp dp dp h 理解: 如果用x.p描写粒子的运动状态,则一个状态必对应 空间的一 个体元. 对一个自由度的粒子,相

11、格的大小为h 相体积 有多少可能的状态 2.动量空间在球极坐标下的量子态数目 qph 由不确定关系 称为相格 如粒子的自由度为r,相格的大小为 1212 (6.2.10) r rr qqqppph 式(6.2.9)(r=3) 可理解为 将 空间的相体积 除以相格的大小 xyz Vdp dp dp xyz Vdp dp dp . .P sincos sinsin cos x y z pp pp pp 2 sindpdpd d 在体积V内,动量空间体元 中可能的状态数为 d 2 3 sinVpdpd d h ,dd 2 3 sin (6.2.11) Vpdpd d h 2 00 sin4dd 2

12、2 2 0 0 33 sin 4 (6.2.12) Vpdpd d V p dp hh 2 2 p m d 2 22pmpm 22pdpmdpdpmd 311 2 222 (2)2p dpp pdpmmdmd 2 3311 2222 333 442 ( )2(2)(6.2.13) Vp dpVV Ddmdmd hhh 其中 为单位能量间隔内的可能状态数态密度 注意上述计算没有考虑自旋. 第三节 系统微观运动状态的描写 ( )D 系统的微观运动状态必须同时确定系统中所以粒子的力学运动状态 本章讨论全同和近独立粒子组成的系统 一.全同和近独立粒子组成的系统 1. 全同粒子组成的系统 全同子具有完全

13、相同的属性(相同的质量.电荷.自旋.内禀磁矩等) 2. 近独立粒子组成的系统 近独立粒子粒子之间的相互作用很弱,相互作用的能量1 证明 把 ln2 看成1ln2,等式右边等于图中一系 列矩形面积之和 当m1时,矩形面积之和近似等于曲边梯形 的面积. 二.兹曼系统中粒子的最概然分布 ln( !)(ln1)6.6.1)mmm ln!ln1 ln2ln3.lnmm 兹曼分布 1 11 1 ln !ln( ln )(ln ) 1 lnln(1)(ln1) 1(ln1) mm m m mxdxx xxdx mx dx m m mm mm m x 证 毕 (6.5.2) ! (6.6.2) ! l a l

14、 l l l N a 最大的分布 lnln!ln!lnln!ln!ln ll aa llll llll NaNa ln 根据等概率原理,要求最概然分布,实际上就是要求 最大的分布 (6.6.2)式取对数 为找 为最大值必须使 讨论 最大的分布 ln (6.6.1)(ln1)(ln1)ln(1) lllll ll NNaaaa lnlnln lllll lll NNNaaaa lnlnln(6.6.4) llll ll NNaaa ln ln0 在 中,只有 可变. . ll N a l a 1 lnlnln llllll lll l aaaaa a ln()0 l ll ll l a aa 注

15、意: 不完全独立 l a 它们满足条件 0 l l Na （总粒子数不变） 0( ll l Ea 总能量不变） 上式写成 lnln()06.6.5) l l l l a a 它必须满足附加条件 我们考虑的是条件极值问题 采用拉格朗日乘子法考虑未定乘子 上式要成立必须每个 的系数等于零 兹曼系统中粒子的最概然分布兹曼分布,或兹曼分布 在许多实际问题中,往往将 看成由实验确定的已知参量而由(6.6.8)求系统的内能 乘子 和 由(6.5.1)确定,即 由于 不独立, 三.能量为 的量子态上的平均粒子数 (6.6.6)给出最概然分布下处在能级 上的粒子数 l a . lnln0 l ll l l a

16、 NEa l a ln0 l l l a l l l a e 即 (6.6.6) l ll ae (6.6.7) l ll ll Nae (6.6.8) l llll ll Eae s l 能级 有 个量子态,而处在其中任何一个量子态的平均粒子数应该是相同的 处于能量为 的量子态S上的平均粒子数为 (6.6.7).(6.6.8)表为 l s l a 注意:是对量子态求和 四.几点说明 1.上面只证明了兹曼分布使 的一级微分等于零 ,既 取极值,还 可证明 ,兹曼分布是使 为极大的分布 由(6.6.5) 2.兹曼分布可近似看为平衡态下的实际分布 证明 l l l (6.6.9) l l s l

17、a fe (6.6.10) s s ss Nfe (6.6.11) s sss ss Efe lnln0ln 2ln 0ln lnln() l l l a a 2 2 () lnln()0(6.6.12) ll l l ll aa a a 原则上讲,满足给定宏观条件N.V.E时的所有分布都可能出现 但是,由于兹曼分布对应的微观状态数非常陡,其它分布的 与兹曼 分布对应的微观状态数 相比几乎趋于0 由等概论原理知,非兹曼分布出现的概论与兹曼分布 出现的概论相比趋于0 系统处于其它状态的情况可以忽略 近似认为兹曼分布实际上就是 实际分布 3.注意,在推导中用了 ,这一条件实际并不满足推导的严重缺点

18、(后面的推 导可不用该条件) 4.讨论中假设系统只含有一种粒子,这个限制不是原则性的,可将其推广到含有 多种组元的情况 5.由(6.5.2) 和(6.5.8) 的相似性 可直接给出经典统计下兹曼分布的表达式 其中 满足 0 玻尔 即 1 l a . ! ! l a MBl l l l N a 0 ! () ! l a l r l l l N ah 0 (6.6.13) l l l r ae h . 0 0 (6.6.14) (6.615) l l l r l l l r l Ne h Ee h 其中 为 空间中的体元l 第七节 玻色分布和费米分布 导出玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布(做法

19、与前面相似) 考虑一个处于平衡态的孤立系统具有确定的N.V.E 以 表示粒子的能级, 表示能级的简并度, 表示处在各能级上的粒子数. 显然 由第五节给出了一个分布对应的系统微观状态数 为极大的分布,出现的概论为最大 由等概率原理知 l l l a 6.7.1) lll ll NaEa . . (1)! (6.7.2) !(1)! ! (6.7.3) !()! ll B E l ll l F D l lll a a aa 最概然分布 一.最概然分布 1.玻色分布 与兹曼分布类似,找出 为极大的分布.(6.7.2)取对数ln lnln(1)! ln!(1)! ln(1)!ln!ln(1)! lll

20、l ll llll lll aa aa 假设 1,1 ll a 1,1 llllll aa 利用斯特令公式,有 必须满足宏观条件 为使 为极大,两边取变分并令其等于零 不是任意的 拉氏乘子由(6.7.1)确定 ln()ln() 1ln1ln1 ()ln()lnln ()ln()lnln(6.7.4) llllllll lll llllllllllll l llllllll l aaaa aaaaaa aaaa lnln()()ln () ln()ln0 ll llllllll l lll llll l aa aaaaaa aa aaa 令 l a 00 lll ll NaEa lnln()ln0 lllll l NEaaa ln()ln0 llll aa ln(1) l l l a (1)1 ll ll ll ee aa (6.7.5) 1 l l l a e 二.费米系统 假设 , ,利用斯特令公式 类似于玻色分布的推导,利用拉氏乘子法,可得 费米-狄拉克分布同样,乘子的确定 在一些实际问题中,往往将 当作由实验确定的已知参量 由(6.7.6)或(6.7.9)确定系统的能量 求解的做法和前面完全相同,(6.7.3)取对数 ,(6.7.6) 11 ll lll lll llll aNaE ee lnl