安徽工业大学-高等传输原理-定律应用(动量2)

1、1 边界层理论 2 3 4 n从前面知道，对粘度从前面知道，对粘度=0的无粘性流体，得到理想流的无粘性流体，得到理想流 体的动量平衡方程，即欧拉方程。理想流体在流动体的动量平衡方程，即欧拉方程。理想流体在流动 过程中，由于没有粘性力的存在，因此不会有能量过程中，由于没有粘性力的存在，因此不会有能量 的损失。的损失。 n但是，对实际流体的流动，由于但是，对实际流体的流动，由于Re=惯性力惯性力/粘性力，粘性力， 在雷诺数很大的情况下，此时粘性项与惯性项相比在雷诺数很大的情况下，此时粘性项与惯性项相比 是很小的，若将粘性项忽略不计，那么纳维一斯托是很小的，若将粘性项忽略不计，那么纳维一斯托 克斯方

2、程就简化为理想流体的欧拉方程，由此克斯方程就简化为理想流体的欧拉方程，由此进一进一 步分析得到流体运动过程中的阻力不可能存在，这步分析得到流体运动过程中的阻力不可能存在，这 显然与实际不符。显然与实际不符。说明这样处理是不科学的。说明这样处理是不科学的。 5 n1904年普朗特年普朗特(Prandtl)提出提出 了边界层理论，正确地解释了边界层理论，正确地解释 了这一问题。由此而发展起了这一问题。由此而发展起 来的边界层理论，至今具有来的边界层理论，至今具有 广泛的理论和实际意义。在广泛的理论和实际意义。在 传输原理中，边界层理论不传输原理中，边界层理论不 但对流体动力学产生巨大的但对流体动力

3、学产生巨大的 影响，而且和热量传输、质影响，而且和热量传输、质 量传输有密切关系。量传输有密切关系。 6 边界层流动边界层流动 8.2 8.2 边界层内积分方程边界层内积分方程 8.1 8.1 平面层流边界层微分方程平面层流边界层微分方程 8.3 8.3 绕流阻力和颗粒沉降速度绕流阻力和颗粒沉降速度 7 8.1 平面层流边界层微分方程平面层流边界层微分方程 流体通过淹没于其中的物体表面的流流体通过淹没于其中的物体表面的流 动过程，称为动过程，称为绕流流动绕流流动。 绕流阻力绕流阻力 1）摩擦阻力摩擦阻力：由流体的粘性和表面上由流体的粘性和表面上 的流体的速度梯度构成。的流体的速度梯度构成。 2

4、）形状阻力形状阻力：曲面物体绕流由边界层分：曲面物体绕流由边界层分 离引起的旋涡作用而产生的， 有旋涡就有离引起的旋涡作用而产生的， 有旋涡就有 能量损失。能量损失。 8 n我们知道连续性方程与我们知道连续性方程与N NS S方程是流体方程是流体 层流流动过程中普遍适用的控制方程。层流流动过程中普遍适用的控制方程。 下面应用边界层理论的思想与边界层厚下面应用边界层理论的思想与边界层厚 度很薄的特点来把该方程在边界层内部度很薄的特点来把该方程在边界层内部 简化并求解，至于边界层之外的主流区简化并求解，至于边界层之外的主流区 则由欧拉方程或伯努利方程描述。则由欧拉方程或伯努利方程描述。 9 8.2

5、.1 8.2.1 边界层的微分方程的建立边界层的微分方程的建立 对于二维平面不可压缩层流稳定态流动，在直对于二维平面不可压缩层流稳定态流动，在直 角坐标系下，满足的控制方程为：角坐标系下，满足的控制方程为： 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 y u x u y P y u x u y u u x u u x P y u x u y u u x u u y x yyy y y x xxx y x x 10 f u 式中已取掉了质量力，这主要考虑到对于二维式中已取掉了质量力，这主要考虑到对于二维 平面的不可压缩流体，质量力对流动状态产生的平面的不可压缩流体，质量力对流动状态产生的 影响很

6、小。为了在边界层内把该方程组简化，首影响很小。为了在边界层内把该方程组简化，首 先让我们先从数量级上来分析各项在方程中的作先让我们先从数量级上来分析各项在方程中的作 用。根据边界层的特点，我们规定流体在流动方用。根据边界层的特点，我们规定流体在流动方 向上的长度数量级向上的长度数量级xl，流体来流速度的数量，流体来流速度的数量 级级 1；边界层在；边界层在y方向上的厚度方向上的厚度 。 比起流体进流长度是一小量，故规定其数量级为比起流体进流长度是一小量，故规定其数量级为 11 下面我们具体从数量级上来分析上下面我们具体从数量级上来分析上 述方程组中各项的大小：述方程组中各项的大小： x u f

7、 u f u x u 1 x u x u xx (1) 在边界层内由在边界层内由0变到变到，但平均地看它与，但平均地看它与 为同一数量级，故为同一数量级，故 1，有：，有： 1 x u u y u x yy 由连续性方程得：由连续性方程得： y u 所以：所以： 12 1 y u x 1 2 2 x u xx u xx 22 2 1 y u yy u xx 1 2 2 y u yy u yy x u xx u yy 2 2 (2)(2)由上述的规定及结论我们可以方便地给出由上述的规定及结论我们可以方便地给出 式中其他方程各项的数量级：式中其他方程各项的数量级： 13 根据上面分析，根据上面分析

8、，NS方程在方程在x方向分量的方程式及数量级为：方向分量的方程式及数量级为： 2 2 2 2 2 /1111 1 x P y u x u y u u x u u xxx y x x y方向的分量方程式及数量级为：方向的分量方程式及数量级为： /1 1 2 2 2 2 y P y u x u y u u x u u yyy y y x 14 x P y u y u u x u u xx y x x 1 2 2 x方向的动量方程可简化为：方向的动量方程可简化为： 通过上述分析通过上述分析 0 x P y方向上的动量方程可以简化为方向上的动量方程可以简化为: 0 y u x u y x 连续性方程为

9、：连续性方程为： 15 设： 不可压缩流体； 流入平板后作稳定、 二维平面流动；设： 不可压缩流体； 流入平板后作稳定、 二维平面流动； 忽略质量力。忽略质量力。根据边界层特征：用数量级估价法简化根据边界层特征：用数量级估价法简化 N-S 方程和连续性方程：方程和连续性方程： x P y u y u u x u u xx y x x 1 2 2 0 y P （沿平板壁面的外法线方向， 边界层内的压强基（沿平板壁面的外法线方向， 边界层内的压强基本本 不变）不变） 0 y u x u y x 有名的有名的 L.普兰特边界层的微分方程组普兰特边界层的微分方程组 16 进一步简化：进一步简化： 2

10、2 y u y u u x u u xx y x x a 0 y u x u y x b 边界条件边界条件 y=0 ， ux=uy=0 y= ux=u H.H.布拉修斯对上述方程组进行了解析布拉修斯对上述方程组进行了解析, , 将偏微分方程组化为可以解的常微分方程将偏微分方程组化为可以解的常微分方程。 17 8.2.2 8.2.2 边界层的微分方程的解边界层的微分方程的解 普朗特边界层微分方程的解是由布拉普朗特边界层微分方程的解是由布拉 修斯给出的，所以通常称为布拉修斯解。修斯给出的，所以通常称为布拉修斯解。 1）方程的简化）方程的简化 布拉修斯首先引入流函数的概念，布拉修斯首先引入流函数的概

11、念， 将上述偏微分方程组简化为常微分方程。将上述偏微分方程组简化为常微分方程。 由流函数与速度间的关系式为：由流函数与速度间的关系式为： y u x x u y 18 3 3 2 22 yyxyxy 如以流函数如以流函数 将自动满足。而这时的动量方程式将自动满足。而这时的动量方程式(5-8)化为：化为： 为控制变量，连续性方程为控制变量，连续性方程 以以为自变量就可以把原来是为自变量就可以把原来是x与与y的偏的偏 为自变量的常微分方程。为自变量的常微分方程。 微分方程简化为以微分方程简化为以 19 对层流边界层流动，当雷诺数给定时，流场内的对层流边界层流动，当雷诺数给定时，流场内的 惯性力与粘

12、性力成比例，即：惯性力与粘性力成比例，即： dx du u dy ud x x x 2 2 如果认为在边界层内任何截面上流速分布都是相似的，如果认为在边界层内任何截面上流速分布都是相似的， 即：即： f x u dy du x u dx du f x 22 2 f x u dy ud x u u dx du u f f x x 20 式中，式中，x是自板端沿流动方向的距离，代入式是自板端沿流动方向的距离，代入式 (5-12)得：得： f u x 即边界层厚度的增长与即边界层厚度的增长与x的平方根成正比的平方根成正比 其相对厚度其相对厚度 Re 1 x 结论已被实验证实结论已被实验证实 21 0

13、)( )()( 2fff 边界条件可相应地转换为：边界条件可相应地转换为： 1)( 0)(00 0)( 00 000 000 fuu f x u f y u fyy yyy yyx 22 2）布拉修斯分析解）布拉修斯分析解 式式(5-19)(5-19)为三阶非线性方程，有三个边界条件式为三阶非线性方程，有三个边界条件式（5-20），因，因 此可以确定它的解。布拉修斯设此可以确定它的解。布拉修斯设f(f( 式，最后求得式，最后求得 )是一个指数级数形是一个指数级数形 23 1 2 0 11 4 28 3 25 2 222 )!23(2 1 !118 375 ! 84 11 ! 52 1 ! 2

14、)( n n n n n C n A AAAA f 其中，其中，Cn为二项式的系数，而为二项式的系数，而A2可利用第三个边界可利用第三个边界 条件决定，经过计算得到条件决定，经过计算得到A20.332。 23 )(f)( f)( f)( f 这样这样 均可通过数值计算得出在不同的均可通过数值计算得出在不同的 豪沃斯豪沃斯L.Howarth求得求得 值下的数值。值下的数值。 其结果列于表其结果列于表(5-1)中。中。 由布拉修斯的解由布拉修斯的解(表表5-1)可得到下述结果：可得到下述结果： =08.8范围内上述各项的数值解，范围内上述各项的数值解， 24 x u y f )(f f x u u

15、 f)( f x uy u yf 1 )( 表表 5 5 - - 1 1 豪豪 沃沃 斯斯 数数 值值 计计 算算 表表 0 0 0 00 00.332060.33206 0.40.40.026560.026560.132770.132770.331470.33147 0.80.80.106610.106610.264710.264710.327390.32739 1.21.20.237950.237950.393780.393780.316590.31659 1.61.60.420320.420320.516760.516760.296670.29667 2.02.00.650030.650

16、030.629770.629770.266750.26675 2.42.40.922300.922300.728990.728990.228090.22809 2.82.81.230991.230990.811520.811520.184010.18401 3.23.21.569111.569110.876090.876090.139130.13913 3.63.61.925941.925940.923330.923330.098090.09809 4.04.02.305762.305760.955520.955520.064240.06424 4.44.42.692382.692380.97

17、5870.975870.038970.03897 4.84.83.085343.085340.987790.987790.021870.02187 5.05.03.283293.283290.991550.991550.015910.01591 5.25.23.481893.481890.994250.994250.011340.01134 25 fx uu99. 0 从边界层厚度从边界层厚度的定义，当沿壁面外法线上一点速度的定义，当沿壁面外法线上一点速度 时，则该点的标值时，则该点的标值y称为边界层厚度称为边界层厚度 9915. 0)( f u u f x 由表由表51中可查得当中可查得当

18、5.0时，时， x u f 再由再由 y ，而当，而当 5.0时，时，y 26 f u x 0 . 5 x x Re 0 . 5 或或 平板壁面上的摩擦阻力平板壁面上的摩擦阻力 x u u f f 332. 0 0 00 y x y u )0( 0 f x u u y u f fy x 332. 0)0( f 平板壁面上的切应力平板壁面上的切应力 ，又知，又知 ，由表（，由表（5-15-1）查得）查得 。所以。所以 27 f C x u uuC f ff 332. 0 2 2 0 定义：当地阻力系数定义：当地阻力系数 所以所以 x f f xu C Re 664. 0 664. 0 设平板的宽

19、度为设平板的宽度为B、长度为、长度为L，面积为，面积为A，则平板的总阻力，则平板的总阻力FD （把流体对于平板的切向力之合力称为平板总阻力）：（把流体对于平板的切向力之合力称为平板总阻力）： Lfff L f f L A D BuLuuB dx x u uBdxBdAF Re664. 0664. 0 332. 0 00 00 28 总阻力系数总阻力系数CDCD为为 L f D D Au F C Re 328. 1 2 1 2 宽度为宽度为B长度为长度为L的平板的总阻力可记为：的平板的总阻力可记为： BLuCF fDD 2 2 1 式中式中ReL按板长按板长L计算的雷诺数。以上公式适用于平板层流

20、边计算的雷诺数。以上公式适用于平板层流边 界层的情况，即界层的情况，即ReL31055105。 29 8.2 边界层内积分方程 n将不可压缩流体的将不可压缩流体的NS方程简化到普朗特边界层方程简化到普朗特边界层 方程方程. n普朗特方程的求解过程麻烦，得到的布拉修斯解普朗特方程的求解过程麻烦，得到的布拉修斯解 是一个无穷级数，使用起来不方便。是一个无穷级数，使用起来不方便。 n另一方面，布拉修斯解只能够用于平板表面的层另一方面，布拉修斯解只能够用于平板表面的层 流边界层，其应用也受到了很大的限制。流边界层，其应用也受到了很大的限制。 n来讨论能用于不同流动形态和不同几何形状的边来讨论能用于不同

21、流动形态和不同几何形状的边 界层问题的近似解法。这种方法是由冯界层问题的近似解法。这种方法是由冯卡门最早卡门最早 提出的。此法的关键是避开复杂的提出的。此法的关键是避开复杂的NS方程，直方程，直 接从动量守恒定律出发，建立边界层内的动量守接从动量守恒定律出发，建立边界层内的动量守 恒方程，然后对其求解。它是求解复杂边界层流恒方程，然后对其求解。它是求解复杂边界层流 动问题的一条非常重要的途径。动问题的一条非常重要的途径。 30 8.2.1边界层积分方程的建立边界层积分方程的建立 以二维绕流平面流动为例来导出边界层积分方程以二维绕流平面流动为例来导出边界层积分方程 A D BC Mx Wx Mx

22、+ x Wx+ x l 0 Ml Wl x y 0 uf ux 31 现在对控制体做动量平衡计算现在对控制体做动量平衡计算(在衡算在衡算 过程中取垂直于纸面过程中取垂直于纸面z方向为单位长度方向为单位长度)： (1)流体从流体从AB面单位时间流入的动量记为面单位时间流入的动量记为Wx dyudyuuW l x l xxx 0 2 0 (2)流体从流体从CD面单位时间流出的动量记为面单位时间流出的动量记为Wx+x xdyu dx d dyuW l x l xxx 0 2 0 2 32 (3)流体从流体从BC面单位时间流入的动量为面单位时间流入的动量为Wl 出质量守恒可知，因为出质量守恒可知，因为

23、AD面没有流体的流入与流出，所以面没有流体的流入与流出，所以BC面流面流 入的质量流量必须等于入的质量流量必须等于CD面及面及AB面上的质量流量之差，即：面上的质量流量之差，即： xdyu dx d uuMW l xffll 0 (4)AD面上的动量面上的动量 由于由于AD是固体表面，无流体通过是固体表面，无流体通过AD流入或流出，即流入或流出，即 质量通量为零，但由粘性力决定的粘性动量通量是存质量通量为零，但由粘性力决定的粘性动量通量是存 在的，其量值为在的，其量值为 0 AD面单位时间传给流体的粘性动量为面单位时间传给流体的粘性动量为 0 x 33 沿沿x方向一般来说可能还会存在着压力梯方

24、向一般来说可能还会存在着压力梯 度，所以作用在度，所以作用在AB面与面与CD面上的压力差面上的压力差 而施加给控制体的冲量进一步化简为：而施加给控制体的冲量进一步化简为： xl dx dp W p 由动量守恒可得：由动量守恒可得： l dx dp dyuuu dx d l xxf 0 0 )( l 0 0 l 将积分将积分换为换为 34 dx dp dyuuu dx d xxf 0 0 )( 为边界层积分方程也称为冯为边界层积分方程也称为冯卡门方程。卡门方程。 对绕平板流动的分析对绕平板流动的分析 dx dp 是一个小量，可略去，这时方程可简化为：是一个小量，可略去，这时方程可简化为： 0 0

25、 )( dyuuu dx d xxf （5-33） 35 n应该说明的是，在推导冯应该说明的是，在推导冯卡门方程卡门方程 时我们没有对边界层内的流动形态加时我们没有对边界层内的流动形态加 任何限制，所以这个方程可适用于不同任何限制，所以这个方程可适用于不同 流动形态，只要是不可压缩流体就行。流动形态，只要是不可压缩流体就行。 冯冯卡门方程是对一个小的有限控制体而卡门方程是对一个小的有限控制体而 得出来的，故仅是一种近似求解方案。得出来的，故仅是一种近似求解方案。 36 8.2.2层流边界层积分方程的解层流边界层积分方程的解 最早解出冯最早解出冯卡门积分方程解的人是波尔豪森，卡门积分方程解的人是

26、波尔豪森， 波尔豪森分析了冯波尔豪森分析了冯卡门方程的特点，假设在层卡门方程的特点，假设在层 流情况下速度分布曲线是流情况下速度分布曲线是y的三次入函数关系，的三次入函数关系， 即：即： 32 dycybyau x 式中，式中，a，b，c，d是一些特定常数，可由一些是一些特定常数，可由一些 边界条件来确定边界条件来确定 37 62 3 0 3 0 2 a0，c0，b， d 因此速度分布可表示为：因此速度分布可表示为： 3 2 1 2 3 yy u u f x 为速度分布与边界层厚度之间的一个关系式，为速度分布与边界层厚度之间的一个关系式， 联立它与式（联立它与式（5-33），可求出速度分布与边

27、界），可求出速度分布与边界 层厚度。层厚度。 38 边界层厚度边界层厚度 x f x u x Re 64. 464. 4 边界层厚度随进流距离变化的关系，它与微分方程解边界层厚度随进流距离变化的关系，它与微分方程解 出的结论基本相符出的结论基本相符 可计算层流平面绕流摩擦阻力可计算层流平面绕流摩擦阻力 LBudxdyF f BL yyxD 23 00 0 646. 0 L f D D Au F C Re 292. 1 2 1 2 39 8.2.3湍流边界层积分方程的解湍流边界层积分方程的解 x u 在湍流情况下，在湍流情况下， 与与 它不能由波尔豪森的三次方函数关系给出它不能由波尔豪森的三次方函数关系给出 之间的关系式之间的关系式， 借助于圆管