第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1、 1.空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征 1.下列有关棱柱的命题中正确的是下列有关棱柱的命题中正确的是 () A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱棱柱 C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 D.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等 解析：解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D， 由棱柱的结构特征知侧棱

2、都相等，一个最简单的棱柱是由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是 三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱. 答案：答案：C 2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这 个几何体一定是个几何体一定是 () A.圆柱圆柱 B.圆锥圆锥 C.球体球体 D.圆柱，圆锥，球体的组合体圆柱，圆锥，球体的组合体 解析：解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面. 答案：答案：C 3.下图是由哪个平面图形旋转得到的下图是由哪个平面图形旋转得到的 () 1.几种常见的

3、多面体的结构特征几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正特别地，当底面是正 多边形时，叫正棱柱多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱如正三棱柱，正四棱柱). (2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的 射影是底面中心的棱锥射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正特别地，各条棱均相等的正 三棱锥又叫正四面体三棱锥又叫正四面体. 2.理解并掌握空间几何体的结构特征，对培养空间想象理解并掌握空间几何体的结构特征，对培养空间想象 能力，进一步研究几何体中的线面位置关系或数量

4、关能力，进一步研究几何体中的线面位置关系或数量关 系非常重要，每种几何体的定义都是非常严谨的，注系非常重要，每种几何体的定义都是非常严谨的，注 意对比记忆意对比记忆. 下面有四个命题：下面有四个命题： (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； (2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥； (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； (4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心 的棱锥必是正棱锥的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是其中正确命题的个

5、数是 () A.1B.2 C.3 D.4 思路点拨思路点拨 课堂笔记课堂笔记命题命题(1)不正确；正棱锥必须具备两点，一不正确；正棱锥必须具备两点，一 是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底 面的中心；命题面的中心；命题(2)缺少第一个条件；命题缺少第一个条件；命题(3)缺少第二缺少第二 个条件；而命题个条件；而命题(4)可推出以上两个条件都具备可推出以上两个条件都具备. 答案答案A 2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图 三视图：用三视图：用 得到，这种投影下与投影面得到，这种投影下与投影面 的的 平面图形留下的影子与平面图形的形状

6、和大小是平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 的的.三视图包括三视图包括 、 、 . 正投影正投影平行平行 相同相同 完全完全 正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图 3.空间几何体的直观图空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用 画法来画，基本规则是：画法来画，基本规则是： (1)原图形中原图形中x轴、轴、y轴、轴、z轴两两垂直，直观图中，轴两两垂直，直观图中，x轴、轴、 y 轴的夹角为轴的夹角为 ，z轴与轴与x轴和轴和y轴所轴所 在平面在平面 . 斜二测斜二测 45(或或135)垂直垂直 (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中原图形中平行于坐标轴的线段，直观

7、图中 . 平行于平行于x轴和轴和z轴的线段长度在直观图中轴的线段长度在直观图中 ，平，平 行行 于于y轴的线段长度在直观图中轴的线段长度在直观图中 . 还是线段还是线段 保持不变保持不变 变为原来的一半变为原来的一半 3.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两 个视图相同的是个视图相同的是 () A. B. C. D. 解析：解析：正方体的正视、侧视、俯视图都是正方形；圆锥正方体的正视、侧视、俯视图都是正方形；圆锥 的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及 圆心；圆心； 三棱台的正视、

8、侧视、俯视图依次为：梯形、梯形三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯形、梯形(与正与正 视图可能不相同视图可能不相同)、三角形、三角形(内外两个三角形且对应顶点内外两个三角形且对应顶点 相连相连)； 正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角 形、正方形形、正方形. 答案：答案：D 4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长 为为a的正方形，则原平面四边形的面积等于的正方形，则原平面四边形的面积等于. 解析：解析：如图所示如图所示. 原平面四边形面积为原平面四边形面积为a2 2 . 答案：答案

9、：2 5.如图所示，图如图所示，图、是图是图表示的几何体的三视表示的几何体的三视 图，其中图图，其中图是是，图，图是是，图，图是是 (说出视图名称说出视图名称). 解析：解析：结合三视图的有关概念知，图是正视图，图结合三视图的有关概念知，图是正视图，图 是侧视图，图是俯视图是侧视图，图是俯视图. 答案：答案：正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图 1.几何体的三视图的排列规则：几何体的三视图的排列规则： 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图 放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一

10、 一样，即一样，即“长对正，高平齐，宽相等长对正，高平齐，宽相等”，如图所示，如图所示(以长以长 方方 体三视图为例体三视图为例)： 特别警示特别警示画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成 实线，看不到的轮廓线画成虚线实线，看不到的轮廓线画成虚线. 2.应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图 中所涉及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、中所涉及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、 线、面之间的关系及图中的一些线段的长度，这样我线、面之间的关系及图中的一些线段的长度，这样我 们们 就可以解出有关的

11、问题就可以解出有关的问题. (2009山东高考山东高考)一空间几何一空间几何 体的三视图如图所示，则该几何体的体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为体积为 () A.22 B.42 C.2 D.4 思路点拨思路点拨 课堂笔记课堂笔记由几何体的三视图可知，该几何体是由一由几何体的三视图可知，该几何体是由一 个底面直径和高都是个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为的圆柱和一个底面边长为 ，侧，侧 棱长为棱长为2的正四棱锥叠放而成的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为故该几何体的体积为 V122 ( )2 2 . 答案答案C 3 1.注意原图与直观图中的注意原图与直观图中的“三变、三不变三变、

12、三不变”： “三变三变” 坐标轴的夹角改变，坐标轴的夹角改变， 与与y轴平行线段的长度改变（减半），轴平行线段的长度改变（减半）， 图形改变图形改变. “三不变三不变” 平行性不变平行性不变, 与与x轴平行的线段长度不变轴平行的线段长度不变, 相对位置不变相对位置不变. 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与 原图形的面积有以下关系：原图形的面积有以下关系： S直观图 直观图 S原图形 原图形， ，S原图形 原图形 2 直观图 直观图. 已知已知ABC的直观图的直观图ABC是边长为是边长为a的正三角形，的正三角形， 求原三角形求原三角形

13、ABC的面积的面积. 思路点拨思路点拨 课堂笔记课堂笔记建立如图所示的建立如图所示的xOy 坐标系，坐标系，ABC的顶点的顶点C在在y轴上，轴上， AB边在边在x轴上，轴上，OC为为ABC的高的高. 把把y轴绕原点顺时针旋转轴绕原点顺时针旋转45得得y 轴，则点轴，则点C变为点变为点C，且，且OC2OC， A、B点即为点即为A、B点，长度不变点，长度不变. 已知已知ABACa，在，在OAC中，中， 由正弦定理得由正弦定理得 ， 所以所以OC a a， 所以原三角形所以原三角形ABC的高的高OC ， 所以所以S ABC a a a2. 若若ABC是边长为是边长为a的正三角形，则其直观图的正三角形

14、，则其直观图 ABC的面积是多少？的面积是多少？ 解：法一：解：法一：由于直观图的面积由于直观图的面积S与原图形的面积与原图形的面积S 间满足间满足 )，易知易知ABC的面积为的面积为 . 法二：法二：如图如图(1)(2)所示的实际图形和直观图所示的实际图形和直观图. 由由(2)可知：可知：ABABa，OC OC a， 在图在图(2)中作中作CDAB于于D， 则则CD OC a， S ABC ABCD 三视图是新课标新增的内容，是一个知识交汇三视图是新课标新增的内容，是一个知识交汇 的载体，因而是高考的重点内容之一的载体，因而是高考的重点内容之一.但新课标对这但新课标对这 部分内容的要求较低，

15、经常与立体几何中有关的计部分内容的要求较低，经常与立体几何中有关的计 算问题融合在一起考查算问题融合在一起考查.2009年广东高考将三视图与年广东高考将三视图与 几何体的体积计算、空间位置关系融为一体，考查几何体的体积计算、空间位置关系融为一体，考查 了学生的空间想象能力，是一个新的考查方向了学生的空间想象能力，是一个新的考查方向. 考题印证考题印证 (2009广东高考广东高考)(12分分)某高速公路收费站入口处的某高速公路收费站入口处的 安全标识墩如图安全标识墩如图1所示所示.墩的上半部分是正四棱锥墩的上半部分是正四棱锥P EFGH，下半部分是长方体，下半部分是长方体ABCDEFGH.图图2

16、、图、图3分别是分别是 该标识墩的正视图和俯视图该标识墩的正视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧视图；请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积；求该安全标识墩的体积； (3)证明：直线证明：直线BD平面平面PEG. 【解解】(1)该安全标识墩侧视图如下图所示该安全标识墩侧视图如下图所示. (4分分) (2)该安全标识墩的体积该安全标识墩的体积 VVP EFGH VABCD EFGH 40406040402064 000(cm3).(6分分) (3)由题设知四边形由题设知四边形ABCD和四边和四边 形形EFGH均为正方形，均为正方形， FHEG， 又又ABCDEFGH为长

17、方体，为长方体， BDFH.(8分分) 设点设点O是是EFGH的对称中心，的对称中心， PEFGH是正四棱锥，是正四棱锥， PO平面平面EFGH，而，而FH平面平面EFGH， POFH.(9分分) FHPO，FHEG，POEGO， PO平面平面PEG，EG平面平面PEG， HF平面平面PEG.(11分分) 而而BDFH， 故故BD平面平面PEG.(12分分) 自主体验自主体验 一个多面体的直观图及正视图、侧视图、俯视一个多面体的直观图及正视图、侧视图、俯视 图如图所示，图如图所示，M、N分别为分别为A1B、B1C1的中点的中点. (1)求证：求证：MN平面平面ACC1A1； (2)求证：求证：

18、MN平面平面A1BC. 证明：证明：由题意可知，这个几何体是直三由题意可知，这个几何体是直三 棱柱，且棱柱，且ACBC，ACBCCC1a. (1)连结连结AC1、AB1. 由直三棱柱的性质得由直三棱柱的性质得AA1平面平面A1B1C1， 所以所以AA1A1B1，则四边形，则四边形ABB1A1为矩形为矩形. 由矩形性质得由矩形性质得AB1过过A1B的中点的中点M. 在在AB1C1中，由中位线性质得中，由中位线性质得MNAC1. 又又AC1平面平面ACC1A1，MN 平面平面ACC1A1， 所以所以MN平面平面ACC1A1. (2)因为因为BC平面平面ACC1A1，AC1平面平面ACC1A1， 所

19、以所以BCAC1. 在正方形在正方形ACC1A1中，中，A1CAC1. 又因为又因为BCA1CC， 所以所以AC1平面平面A1BC. 由由MNAC1，得，得MN平面平面A1BC. 1.对于斜二测画法叙述正确的是对于斜二测画法叙述正确的是 () A.三角形的直观图是三角形三角形的直观图是三角形 B.正方形的直观图是正方形正方形的直观图是正方形 C.矩形的直观图是矩形矩形的直观图是矩形 D.圆的直观图一定是圆圆的直观图一定是圆 解析：解析：正方形、矩形的直观图都是平行四边形，正方形、矩形的直观图都是平行四边形， 故故B、C错误；圆的直观图是椭圆，故错误；圆的直观图是椭圆，故D错误错误. 答案：答案

20、：A 2.将正三棱柱截去三个角将正三棱柱截去三个角(如图如图(1)所示所示A、B、C分别是分别是 GHI三边的中点三边的中点)得到几何体如图得到几何体如图(2)，则该几何体按，则该几何体按 图图(2)所示方向的侧视图为所示方向的侧视图为 () 解析：解析：由正三棱柱的性质得侧面由正三棱柱的性质得侧面AED底面底面EFD，则，则 侧视图必为直角梯形，又线段侧视图必为直角梯形，又线段BE在梯形内部在梯形内部. 答案：答案：A 解析：解析：图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥， 因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构 成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形. 答案：答案：A 4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得 该几何体的表面积是该几何体的表面积是. 解析：解析：由几何体的三视图可知此几何体是圆柱与球体的组由几何体的三视图可知此几何体是圆柱与球体的组 合体，合体，S表 表 4R22r22rh42612. 答案：答案：12 5.(2010广州模拟广州模拟)已知一几何