第五章(1,2) 线性系统的频域分析法

1、第五章 线性系统的频域分析法 时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较 直观、精确。但往往需要求解复杂的微分方程。 复域分析法(根轨迹法)是一种在S平面上由开环 零极点绘制闭环系统特征根的图形分析法。 频域分析法也是一种图解分析法。依据系统的 频率特性，间接地揭示系统正弦输入信号下的暂态 特性和稳态特性。也是一种工程上常用的方法。 三种分析法截然不同,但本质是统一的。 本章内容 5-1 频率特性频率特性 5-2 典型环节与开环系统的频率特性典型环节与开环系统的频率特性 5-3 频率域稳定判据频率域稳定判据（稳定性问题） 5-4 稳定欲度稳定欲度（相对稳定性问题） 5-5闭环系统的频域性能指标

2、5-6 控制系统频域设计控制系统频域设计 研究系统对正弦输 入信号的稳态响应 5-1 频率特性 1.频域特性的基本概念 （这种数学模型是怎样的？） 2.频率特性的几何表示 （这种数学模型怎样表示？） 1.频域特性的基本概念 22 sinLt s 对于一般的n阶线性定常系统中，若输入 ，则输出的稳态值为 ( )sinx tXt ( )() sin() ( )sin( ) s y tX G jtG j XAt 也就是说，也就是说， 对于稳定的线性系统，由谐波输入（正弦输入）产生的稳对于稳定的线性系统，由谐波输入（正弦输入）产生的稳 态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，只是幅值和相位产生了变化，并态

3、分量仍然是与输入同频率的谐波函数，只是幅值和相位产生了变化，并 且这种变化是频率的函数，这个函数与系统数学模型相关。且这种变化是频率的函数，这个函数与系统数学模型相关。 控制系统中的信号均可以表示为不同频率正弦信号的合成。 将各种不同频率的输入正弦信号对应该线性系统的响应情况 都求出来，那么任何一种控制信号对系统的响应就可以通过 叠加相应的正弦信号响应而得到。这也是频率分析法的根本 思想所在。 该结论的意义： 频率特性的定义频率特性的定义 注意：注意： 频率特性是系统固有特性。对于确定系统，其频率特性是频率特性是系统固有特性。对于确定系统，其频率特性是 唯一的。唯一的。 频率特性有明确的物理意

4、义，可以用实验的手段准确地得频率特性有明确的物理意义，可以用实验的手段准确地得 到系统的频率响应，当系统传递函数未知时，可以通过测量频到系统的频率响应，当系统传递函数未知时，可以通过测量频 率响应来推导系统的传递函数；率响应来推导系统的传递函数； 频率特性是系统稳定条件下分析稳态响应得到的，它与传递频率特性是系统稳定条件下分析稳态响应得到的，它与传递 函数一样，也表征了系统的运动规律，是系统频域分析的理论函数一样，也表征了系统的运动规律，是系统频域分析的理论 依据，但只适应于线性定常系统。依据，但只适应于线性定常系统。 获取系统频率特性的途径有两个: 1. 分析法分析法 当已知系统的传递函数时

5、，用 代入传 递函数可得到系统的频率特性G(j)。因此，频率特性是 特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内 在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特 性的分析法（解析法）。 2. 实验法实验法 当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传 递函数时，在系统的输入端输入一正弦信号 ， 测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移，便可得到它 的幅频特性 和相频特性 。这种通过实验确定系统 频率特性的方法是求取频率特性的实验法（也叫系统辨识）。 系统辨识：由系统的输入与输出确定系统数学模型的方法。 tXSintX)( )( Y X )( js js 5 5、频率特性一般针对稳定

6、的线性定常系统而言。、频率特性一般针对稳定的线性定常系统而言。 正弦输入稳态误差求法总结： 1.定义法，求拉式反变换（不能 用终值定理） 2.动态误差系数法 3.频率响应法 用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法： 2.频率特性的几何表示法（图示法）（重点重点） 仅从 的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和 设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不 同频率段上的变换，再运用图解法进行研究（包括稳态性能、 暂态性能等）。常用的频率特性曲线有三种： （伯德曲线或伯德图，波特图） （尼克尔斯曲线或尼克尔斯图） （极坐标图，奈奎斯特图，奈氏图，幅相曲线

7、） Bode Bode 图是重点，图是重点，NyquistNyquist图次重点。（考试、考研必考）图次重点。（考试、考研必考） ()G j 例 RC网络的奈奎斯特图 0 ReG(j) ImG(j) 1 1 1 )( jT jG 22 1/1)(TjG T 1 tan 0 惯性环节惯性环节 不足：计算繁琐。不直观，无法看出每个零极不足：计算繁琐。不直观，无法看出每个零极 点的影响。增添新的零极点时，只能重新计算。点的影响。增添新的零极点时，只能重新计算。 看不出看不出的变化速度。的变化速度。 单位：弧度单位：弧度/ /秒秒 半对数坐标系的优点：半对数坐标系的优点： 对数频率特性采用对数频率特性

8、采用 的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频 率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用 则将幅值的则将幅值的 乘法运算转化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。乘法运算转化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。 20lg( )A 0.1 0.2121020 100 0 20 40 -20 -40 dB 半对数坐标半对数坐标 1010倍频程：倍频程：横坐标的一个单位长度，表示频率变化横坐标的一个单位长度，表示频率变化1010倍倍 倍频程：倍频程：频率变化一倍，称为倍频程，在横轴上是频率变

9、化一倍，称为倍频程，在横轴上是0.3010.301 个单位长度个单位长度 轴采用对数刻度，可大幅度地扩展横轴上的频率范围。轴采用对数刻度，可大幅度地扩展横轴上的频率范围。 又不降低低频段的准确性，又不降低低频段的准确性， =0不可能在横轴上表现出来不可能在横轴上表现出来 但可在感兴趣的频率区域，选择任意大于但可在感兴趣的频率区域，选择任意大于0的频率值。的频率值。 10 30 50 - 10 - 30 （ ） 伯德图示意伯德图示意 133.0 )11 .0(10 )( s s sG 好处：好处： 串联环节的幅频特性曲线可以累加得到，渐近线方法精串联环节的幅频特性曲线可以累加得到，渐近线方法精

10、度较高，可以方便地得到传递函数。度较高，可以方便地得到传递函数。 RC网络Nichols图(T=0.5) 对数幅相图实质上将伯德图的两张图合成一张图。对数幅相图实质上将伯德图的两张图合成一张图。 5-2 典型环节与开环系统的频率特性 设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很 多性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。 该线性系统的开环传递函数为 ，为了 研究开环系统频率特性曲线，本节先研究开环系统典 型环节的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性。 ( )( )G s H s 本节内容本节内容 1.典型环节典型环节 2.最小相位环节的频率特性最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode

11、图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线系统的开环对数频率特性曲线（bode图） 6.传递函数的频域实验确定 7.延迟环节和延迟系统 重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的 考试不考，考研可能考。考试不考，考研可能考。 1.典型环节 2. 最小相位环节的频率特性 （考试、考研重点，（考试、考研重点，nyquist图与图与bode图必须会画）图必须会画） 最小相位系统最小相位系统：系统传递函数在s右半平面右半平面上既

12、无极点，又无极点，又 无零点无零点。否则为非最小相位系统。 最小相位系统的重要特性：最小相位系统的重要特性： 1. 如果两个系统有相同的幅频特性，则在整个频率范围如果两个系统有相同的幅频特性，则在整个频率范围 内，最小相位系统的相位滞后总小于非最小相位系统。内，最小相位系统的相位滞后总小于非最小相位系统。 2. 最小相位系统的幅频特性与相频特性有唯一的对应关系最小相位系统的幅频特性与相频特性有唯一的对应关系。 优点优点: 幅频、相频特性简单，有利于系统的稳定性设计；幅频、相频特性简单，有利于系统的稳定性设计； 考试的标准画法考试的标准画法 o 比例环节的nyquist图与bode图 考试的标准

13、画法考试的标准画法 注意考察几个特殊点注意考察几个特殊点：(0),(0);( ),( )AA与横轴的交点。与横轴的交点。 o 积分环节的nyquist图与bode 图 半对数坐标系中的直线方程半对数坐标系中的直线方程（重要，重要，bode图解计算时经常用到图解计算时经常用到） 21 21 ()() lglg LL k 其中， 和 为直线上的两点， 为直线斜率。 11 , ()L22 , ()L ()k dB dec (1)(0.1)020 20 lg1 lg0.1lg1 lg0.1 LL 22 11 () 11 jT G j jTT 一定在第四象限，相角变化在0度到-90度。 考试的标准画法考

14、试的标准画法 注意考察几个特殊点注意考察几个特殊点：(0),(0);( ),( )AA与转折点与转折点 (1/2) 1/2 考试的标准画法考试的标准画法 注意考察几个特殊点注意考察几个特殊点：(0),(0);( ),( )AA与转折点与转折点 惯性环节极坐标图 o 对吗？对吗？ 22 11 ( ),0 21 n G sTT T sTs 也可写为尾一式 2222 2222222 ()2 () ()2()4 nnnn nnnn j G j j 第四象限 第三象限 根据实频和虚频确定相角象限的方法（重要）根据实频和虚频确定相角象限的方法（重要） 2 0, 1 40lg40(lglg)40(lglg

15、), n nn n T 2 22 2 22 ( )20lg14 nn L 二阶振荡环节的折线（渐近线）方程 注意： 越小，最小为0， 出现的越晚； 越大，最大为0.707， 出现的越早 r r 当 时，谐振峰值 。 2 (0) 2 注意： 2 0.707 2 1 r M 2 1,(0, ),( ) 2 A 3.有谐振时， 2. 与虚轴的交点 0 (0)1,(0)0;( )0,( )180AA 1. （特殊点与趋势） r M （转折点，是阻尼比的减函数） 4.无谐振时 比例环节bode 图 典型最小相位环节bode图汇总 1 1 T 40dB dec 40dB dec 振荡环节与二阶微分环节（折

16、线图怎么画） 1 T 转折频率？ 最小相位系统最小相位系统： 比例相频不衰减；比例相频不衰减； 积分相频衰减积分相频衰减-90度度 一节惯性相频逐步衰减一节惯性相频逐步衰减90度度 二阶振荡相频逐步衰减二阶振荡相频逐步衰减180度度 微分相频超前微分相频超前90度度 一阶微分逐步超前一阶微分逐步超前90度度 二阶微分逐步超前二阶微分逐步超前180度度 3.非最小相位环节的频率特性 注意：运用实频和虚频判断相角象限注意：运用实频和虚频判断相角象限 4. 系统的概略开环幅相曲线（Nyquist图）（考试、考研必考考试、考研必考） 1）将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式： 2）求系统的频率特

17、性： 即 概略绘制的具体步骤概略绘制的具体步骤 3）求 4）补充必要的特征点(主要指曲线与负实轴的交点，相交时所对应频率称为 穿越频率)。 5）根据 的变化趋势确定曲线历经的象限与单调性，画出 Nyquist 图的大致形状。 例：例： 已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Nyquist图。 解：解： 1）系统的开环频率特性 2）起点和终点 3）曲线与实轴的交点。 123 ,0K T T T 例：例： 已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Nyquist图并求与实轴的交点。 解：解： 1）系统的开环频率特性 2）起点和终点 3）曲线与实轴的交点。 相交时，满足( )V 解得：舍去 （虚频为

18、零） 又( )U 解得，() x U 例：例： 已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Nyquist图。 解：解： 1）系统的开环频率特性 2）起点和终点 12 ,0K T T 最小相位系统最小相位系统nyquist图的一般形状：图的一般形状：（考试、考研时利用此规律作图利用此规律作图） 考虑如下系统： 1） n为分母阶次,m为分子阶次 只包含惯性环节的0型系统Nyquist图 2) 3) 结论：结论：（最小相位系统最小相位系统）（考试考研的）（考试考研的快速作图方法快速作图方法） 开环有开环有v个积分环节系统，个积分环节系统，Nyquist曲线起自曲线起自v90的无穷远处。的无穷远处。 n

19、 = m时，时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴 上的某一有限远点。上的某一有限远点。 n m时，时，Nyquist曲线终点幅值为曲线终点幅值为0 ，而相角为，而相角为(nm)90。 不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一 阶或二阶微分环节的系统，由于相角非单调变化，阶或二阶微分环节的系统，由于相角非单调变化， Nyquist曲线可曲线可 能出现凹凸。能出现凹凸。 例例5-3 5-3 已知单位反馈系统开环传递函数为 试绘制系统概略开环幅相曲线。 12 12 (

20、1) ( );,0 (1)(1) Ks G sK T T s TsT s 解解：1）.系统开环频率特性为 2222 1 212121 2 2222 12 1() () (1)(1) jKTTTTjTTTT G j TT 2）开环幅相曲线的起点： 0 ( 0 )90G j 终点： 0 ()0180G j 3）与实轴的交点： 1 2 12 TT TT 当时，存在交点。 1 212 2 121 212 22 1 21211 2122 1 ()() () ()() x x TTTT K TTTTTT G j TTTTTTTTTT 交点为 当时 ，交点不存在。 1 2 12 TT TT 应该指出，由于开

21、环传递函数具有一阶微分环节，系统开环幅相曲 线有凹凸现象，因为绘制的是概略幅相曲线，故这一现象无需准确反映。 例例5-45-4：已知系统开环传递函数为 试概略绘制系统开环幅相曲线。 (1) ( )( );, ,0 (1) Ks G s H sKT s Ts 解：解：系统开环频率特性为 非最小相位系统非最小相位系统nyquist图绘制举例（图绘制举例（考研考研） 2 22 ()(1) ()() (1) KTjT G jH j T 开环幅相曲线的起点幅频：(0 )A 各环节在 时的相频特性范围： 开环幅相曲线的终点幅频：( )0A :0 00 (1):090s 0 1 : 90 s 00 1 :0

22、90 1Ts 因此，开环频率特性的相频范围为： 00 90270 即： 0 (0 )90 0 ( )270 （象限判断） 与虚轴的交点：令虚部为零，解得 1 ,()() xxx G jH jK T 5.系统开环对数频率特性曲线（bode图） （考试、考研重点考试、考研重点） 最小相位系统 寻找最小相位系统开环寻找最小相位系统开环Bode图特点图特点（熟记）（熟记） 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20vdB/dec。 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：（会推导） L() = 20lgK 20vlg 当1 rad/s时，L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其 延 长线在

23、1 rad/s时的数值等于20lgK。（在1 rad/s处，只有比例 环节能够提供增益，其它的环节在此处都为0；环节转折频率在1前 例外，此时对应低频段的延长线。） 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一 系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化， 斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下 降20dB/dec；振荡环节，下降40dB/dec；一阶微分环节，上升 20dB/dec；二阶微分环节，上升40dB/dec。 由以上特点，可以总结出由以上特点，可以总结出绘制最小相位系统绘制最小相位系统bode

24、bode图的步骤图的步骤 （熟记）（熟记） 1）将开环传递函数表示为典型环节的串联： 2）确定各环节的转折频率 并由小到大标示在对数频率轴上。 3）计算20lgK，在1 rad/s 处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该 点作斜率等于-20v dB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转 折频率之左，得到最低频段的渐近线。 4）向右延长最低频段渐近线，每遇到一转折频率改变一次渐近 线斜率。 5）对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性（主要针对振荡环节 和二阶微分环节）。 6）相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得，计算几个点的值 绘出大致曲线。 （尾一式） 223 （整理成尾一式） 非最小相位系统开环bode图的绘制（考研） 考试标准绘图 相频特性bode图在同样的坐标系下绘制一条近似的 曲线即可。注意相频的角度范围不要错即可。 6.传递函数的频域实验确定（系统辨识） 可运用频率响应实验确定稳定系统的数学模型。 1)频率响应实验 频率响应实验原理图如图所示。 首先选择信号源输出的正弦信号的幅值，以使系统处于非 饱和状态。 在一定频率范围内（感兴趣的范围内），改变输入正弦信 号的频率，记录每个频率点处