第11章_动量矩定理

1、 理论力学理论力学 Lvliang University PAG 2 第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理 质点 质点系 动量定理： 动量的改变外力(外力系主矢) 质心运动定理：质心的运动外力(外力系主矢) 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定 点(或固定轴)的动量矩的改变与外力对同一固定点 (或固定轴)之矩两者之间的关系。 Lvliang University PAG 3 4 1 2 3 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体对轴的转动惯量 刚体绕定轴的转动微分方程 第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理 5 质点系相对于质心的动量矩定理 6刚体的平面运动微分方程 Lvliang Un

2、iversity PAG 4 11-111-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 一、一、质点的动量矩质点的动量矩 对点O的动量矩：质点 的动量对固定点O之矩。 A B 单位: kgm2/s 垂直于矢径与动量形成的平面； 大小: 方向: )( vmM O 矢量 r 符合右手法则；指向: y x z O vm )( vmMO vmr | )(|vmMO OBArmvsin OAB S 2 Lvliang University PAG 5 y x z O A B A B xy vm )( 对z轴的动量矩：质点动量在 Oxy平面内的投影对z轴之矩。 单位:kgm2/s 正负:迎着z轴看，逆时

3、针为 正，顺时针为负。 代数量 )( vmM O vm r 质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系: 11-111-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 )( vmM z )( vmM z )()(vmMvmM zzO Lvliang University PAG 6 11-111-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 二二、质点系的动量矩质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩 1、刚体平移 平移刚体对固定点(或固定轴)的动量矩等于刚 体质心的动量对该固定点(或固定轴)的动量矩。 )( iiOO vmML )( iizz vmML zzO LL kLjLiLL zyx

4、O );( COO vmML )( Czz vmML Lvliang University PAG 7 A B z 2、刚体绕定轴转动 转动惯量 iiv m i r i m 11-111-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 () zzii LMmv iii rvm)( iii rrm)( 2 iir m 2 iiz rmJ zz JL Lvliang University PAG 8 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 一、一、质点的动量矩质点的动量矩定理定理 设O为定点， r )(FM O )( vmM O 质点对定点O 的动量矩为)( vmMO 作用力F 对定点O 的矩为)(

5、FMO )( )( vmr dt d vmM dt d O )( vm dt d rvm dt rd Frvmv )()( FMvmM dt d OO z y x O F vm m Lvliang University PAG 9 质点的动量矩定理： 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等 于作用力对同一点之矩。 质点对某定轴的动量矩 对时间的一阶导数，等 于作用力对同一轴之矩 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 )()( FMvmM dt d OO () ( ) () ( ) () ( ) x x y y z z d Mmv MF dt d Mmv MF dt d Mmv MF dt

6、投投影影式式 Lvliang University PAG 10 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 二二、质点质点系系的动量矩的动量矩定理定理 = 0 由质点的动量矩定理得： 作用于第i个质点的力有内力Fii和外力Fie )()()( i iO e iOiiO FMFMvmM dt d )()()( i iO e iOiiO FMFMvmM dt d )()( e iOiiO FMvmM dt d )( e iO O FM dt Ld Lvliang University PAG 11 内力不改变质点系的动量矩 质点系对某定轴的动量矩 对时间的导数，等于作用 于质点系的外力对同一轴 之矩

7、的代数和。 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 )( e iO O FM dt Ld 质点系动量矩定理： 质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力对O点之矩的矢量和。 )( )( )( e iz z e iy y e ix x FM dt Ld FM dt Ld FM dt Ld 投投影影式式 Lvliang University PAG 12 gm )(lm 例例11-1 一单摆在平面内小幅度摆动一单摆在平面内小幅度摆动, ,摆绳长摆绳长l, ,摆捶摆捶质量为质量为m, ,求求 摆捶微小摆动的运动方程。摆捶微小摆动的运动方程。 解：解： 取摆捶为研究对象取摆捶

8、为研究对象, ,画受力图画受力图 运动分析运动分析 lmvvmM O )( 摆捶对摆捶对O轴的动量矩轴的动量矩 llv O F lml)( 2 ml sin)(lmgFMO 摆捶外力对摆捶外力对O轴的力矩轴的力矩 )()(FMvmM dt d OO 由摆捶对由摆捶对O轴的动量矩定理得轴的动量矩定理得 sin 2 lmgml 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 Lvliang University PAG 13 gm )(lm O F sin 2 lmgml 0sin l g , 0sin 0 l g )sin(tlgA )cos()sin(tlgBtlgA 或或 11-211-2 动量矩定

9、理动量矩定理 Lvliang University PAG 14 O 解：解： 取小车与鼓轮为取小车与鼓轮为 研究对象研究对象, ,画受力图画受力图 运动分析运动分析 vRmJLO 2 RgmMFM e iO )sin()( 2 系统对系统对O轴的动量矩轴的动量矩 系统外力对系统外力对O轴的力矩轴的力矩 例例11-2 高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮半径高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮半径R, ,质量质量m1, , 轮绕轮绕O轴转动轴转动; ;小车和矿石总质量为小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶。作用在鼓轮上的力偶 矩为矩为M, ,鼓轮对转轴的转动惯量为鼓轮对转轴的转动惯量为J, ,轨

10、道倾角轨道倾角。不计绳质量。不计绳质量 和各处摩擦和各处摩擦, ,求小车的加速度求小车的加速度a。 gm 1 v gm 2 N F Rv RvRmJ)( 2 2 M Oy F Ox F 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 Lvliang University PAG 15 )( e iO O FM dt dL 由质点系对由质点系对O轴的动轴的动 量矩定理得量矩定理得 O gm 1 v gm 2 N F M Oy F Ox F RgmM R vRmJ dt d )sin( )( 2 2 2 即即 RgmM R aRmJ )sin( )( 2 2 2 2 2 2 )sin( RmJ RgRmM

11、 a 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 Lvliang University PAG 16 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 三三、动量矩守恒定律动量矩守恒定律 质点动量矩守恒定律： 如果作用于质点的力对某定点O之矩恒等于零, 则质点对该点的动量矩保持不变。 如果作用于质点的力对某定轴之矩恒等于零， 则质点对该轴的动量矩保持不变。 0)()(FMvmM dt d OO 常矢量常矢量)( vmM O 0)()(FMvmM dt d zz 常数常数)( vmM z Lvliang University PAG 17 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 质点系动量矩守恒定律： 如果作

12、用于质点系的外力对某定点O的主矩恒 等于零，则质点系对该点的动量矩保持不变。 如果作用于质点系的外力对某定轴之矩的代数 和恒等于零，则质点系对该轴的动量矩保持不变。 0)( e iOO FML dt d 常常矢矢量量 O L 0)( e izz FML dt d 常数常数 z L 三三、动量矩守恒定律动量矩守恒定律 Lvliang University PAG 18 F 人造卫星绕地球运动 )( vmM O S vm 恒矢量 h r O 质点对点O的动量矩的大小不变 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 vmrvmM O )( SvmMO)( r 和mv始终在同一平面内， 方向始终不变 )(

13、 vmM O mvhvmMO | )(| 人造卫星绕地球运动时,离地心近时速度大,离 地心远时速度小。 Lvliang University PAG 19 例例11-3 滑轮半径为滑轮半径为R, ,质量不计质量不计, ,猴子猴子, ,重物质量均为重物质量均为m, ,初始静初始静 止。当猴子以速度止。当猴子以速度u相对绳向上爬时，重物如何运动（速度）相对绳向上爬时，重物如何运动（速度） 解：解： 取系统为研究对象取系统为研究对象, ,画受力图画受力图 运动分析运动分析 0)( e iO FM 外力对外力对O轴的力矩轴的力矩 )(vu mvRRvum)(0 由质点系动量矩守恒定律得由质点系动量矩守

14、恒定律得 uv5 . 0 u Oy F Ox F mgmg v 设重物速度为设重物速度为v 猴子速度猴子速度 O 11-211-2 动量矩定理动量矩定理 Lvliang University PAG 20 主动力: 约束力: 刚体对于z轴的转动惯量为Jz 定轴转动刚体对转轴的动量矩 z , n F 2 F 1 F i F By F Bx F Bz F Ay F Ax F 11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 ni FFF , 1 BzByBxAyAx FFFFF ,;, zz JL 由动量矩定理 得)( e iz z FM dt dL )( izz FM dt d

15、 J )( izz FMJ )( 2 2 izz FM dt d J Lvliang University PAG 21 刚体绕定轴的转动微分方程 转动惯量 刚体转动惯性的度量 质点的运动微分方程 11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 )( )( )( 2 2 izz izz izz FMJ FM dt d J FM dt d J 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等 于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。 2 iiz rmJ Fam Lvliang University PAG 22 例例11-4 复摆质量为复摆质量为m , ,C为其质心为其质心, , O

16、C=a , , 摆对悬挂点摆对悬挂点O的转的转 动惯量为动惯量为JO, ,求微小摆动的周期。求微小摆动的周期。 解：解： 取复摆为研究对象取复摆为研究对象, ,画受力图画受力图 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得 sin 0 sin() O mga Jt mg Oy F Ox F O C sin O Jmga sin 0 O mga J 小扰动时，小扰动时， 0 O mga J 通解通解 线性方程线性方程 标准非线性方程标准非线性方程 11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 Lvliang University PAG 23 )sin( 0 tJmgl O O

17、n Jmgl固有圆频率：固有圆频率：（22时间内摆动次数）时间内摆动次数） 2 n f 固有频率：固有频率：（单位时间内摆动次数）（单位时间内摆动次数） 0 初相位：初相位：由初始条件确定由初始条件确定 n f T 21 周期：周期： mglJ O 2 11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 Lvliang University PAG 24 例例11-5 飞轮对飞轮对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为JO, ,以角速度以角速度0绕绕O轴转动。轴转动。 制动时制动时, ,闸块给轮以正压力闸块给轮以正压力FN 。已知闸块与轮间滑动摩擦系数。已知闸块与轮间滑动摩擦系数 为为

18、f , ,轮的半径轮的半径, ,忽略轴摩擦。求制动所需的时间。忽略轴摩擦。求制动所需的时间。 解：解： 取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象, ,画受力图画受力图 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得 0 0 0 t ON J dfF Rdt RfF J t N O0 RF dt d J O 积分，由题知确定积分上下限积分，由题知确定积分上下限 0 F N F O Oy F Ox F mg RFf N )( 11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 Lvliang University PAG 25 2 R 1 R 解解: : 分别以轴分别以轴、（带轮）为（带轮）为

19、研究对象研究对象, ,画受力图画受力图 例例11-6 图示传动轴图示传动轴系系, ,轴轴, ,的转动惯量为的转动惯量为J , ,J, ,传动比为 传动比为 i12= =R2/ /R1。轴轴上作用主动力矩上作用主动力矩M1, ,轴轴上有阻力矩上有阻力矩M2。不计。不计 摩摩擦擦, ,求求轴轴的角加速度。的角加速度。 2 M 1 M 1 M 1 N F t F 2 M 2 N F t F 运动分析运动分析 12 12 21 R i R 11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 Lvliang University PAG 26 2 R 1 R 2 M 1 M 1 M 1

20、N F F 2 M 2 N F F 12 12 21 R i R 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得 1 111 RFMJ 2222 MFRJ 2 12 2 1 12 2 1 1 i J J i M M 11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 Lvliang University PAG 27 ( kgm2 ) 1、均质细直杆对一端的转动惯量 刚体对轴的转动惯量 11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 2 iiz rmJ 一、一、简单匀质几何形体的转动惯量简单匀质几何形体的转动惯量 ;dx l m mi xr i dxx l m J l z 0

21、 22 3 1 ml dxx l x z O Lvliang University PAG 28 2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量 3、均质圆板对中心轴的转动惯量 11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 2 iiz rmJ 2 Rmi i mR 2 2 mR R z O mi R z O dri ri 2 R m A Aiii drrm2 4 2 4 R A 2 2 1 mR )2( 0 2 R iiAiO rdrrJ Lvliang University PAG 29 细直杆: 均质圆环: 均质圆板:R z 2 2 11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 二、

22、二、回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） mJ zz 2 zz mJ 2 3 1 mlJ z 2 mRJ z 2 2 1 mRJ z l z 3 3 R z Lvliang University PAG 30 zc 轴 过质心且与z 轴平行的轴； d z轴与zc 轴之间的距离。 刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心、 并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与 两轴间距离平方的乘积。 11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 三三、平行轴定理平行轴定理 2 mdJJ C zz Lvliang University PAG 31 证明: 11-411-4 刚体对轴的转动惯

23、量刚体对轴的转动惯量 x z y,y x z O d i r i r ii xx i y O, C i y mi 2 iiz rmJ C )( 22 iii yxm 2 iiz rmJ)( 2 2 iii yxm )( 22 dyxm iii iiiiii mdymdyxm 222 2)( 0 m ym y ii C 0 ii ym 2 mdJJ C zz Lvliang University PAG 32 A z C z 例例11-7 质量为质量为m , ,长为长为l的均质细直杆的均质细直杆, ,已知已知JzA =ml2/3, ,求此杆求此杆 对于垂直于杆轴且过对于垂直于杆轴且过B和质心和质

24、心C的轴的转动惯量。的轴的转动惯量。 解：解： 由平行轴定理由平行轴定理 B z BA C 2 3 1 mlJ zA 2 mdJJ zCzB 2 mdJJ zAzC zA Jml 2 3 1 22 ) 2 1 ( 3 1 lmml 2 12 1 ml 2 mdJJ zCzA 11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 Lvliang University PAG 33 解：解： 例例11-8 钟摆由质量为钟摆由质量为m1的均质细杆和质量为的均质细杆和质量为m2的均质圆盘组的均质圆盘组 成成, ,杆长为杆长为l , ,圆盘直径为圆盘直径为d。求摆对。求摆对O轴的转动惯量。轴的转动惯量

25、。 O C 盘杆OOO JJJ 2 1 3 1 lmJ O 杆 2 2 ) 2 ( d lmJJ CO 盘 ) 2 () 2 1 ( 2 1 3 1 2 2 2 2 2 1 d lmdmlmJ O ) 8 3 ( 3 1 22 2 2 1 ldldmlm 11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 Lvliang University PAG 34 例例11-9 质量为质量为m的均质空心圆柱体外径为的均质空心圆柱体外径为R1 , , 内径为内径为R2 , ,求对求对 于中心轴于中心轴z的转动惯量。的转动惯量。 解：解： 21 JJJ z 2 22 2 11 2 1 2 1 RmRm

26、 2 2 2 2 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 RlRRlR )( 2 1 )( 4 2 4 1 2 2 2 1 RR RR m )( 2 1 2 2 2 1 RRm 11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 Lvliang University PAG 35 y x z C Oy x z i m ir v i r C r i r 11-511-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 一一、质点系的动量矩质点系的动量矩 )( iriCC vmML irii vmr iii vmr CCCO LvmrL CCO LvmM )( 质点系对任一点O的

27、动量矩，等于质点系随质心平移 时对点O的动量矩加上质点系相对于质心的动量矩。 Lvliang University PAG 36 11-511-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 二二、质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 )( e iC C FM dt Ld y x z C Oy x z i m ir v i r C r i r 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对质心的主矩。 Lvliang University PAG 37 y x C O y x 刚体平 面运动 :随质心的平移 + 绕质心的转动 :随基点的平移

28、+ 绕基点的转动运动学 运力学 随质心的平移: 绕质心的转动: 质心运动定理 相对于质心的动量矩定理 刚体相对于质心的动量矩 11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 e iC Fam CC JL )( e iC C FM dt dL Lvliang University PAG 38 刚体的平面运动微分方程 11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 e iC Fam 2 2 dt rd m C )( e iCC FML dt d )( C J dt d C J 2 2 dt d JC )()( 2 2 2 2 2 2 e iCCCC e iyCy

29、C e ixCx C FMJJ dt d dt d J Fma dt yd m Fma dt xd m 投影式投影式 Lvliang University PAG 39 例例11-10 半径为半径为r, ,质量为质量为m 的圆轮沿水平直线滚动的圆轮沿水平直线滚动, ,与地面的与地面的 静滑动摩擦因数为静滑动摩擦因数为fs 。轮惯性半径为。轮惯性半径为c , ,作用于轮的力偶矩为作用于轮的力偶矩为 M , ,求圆轮纯滚动的轮心加速度求圆轮纯滚动的轮心加速度和保证和保证圆轮纯滚动的圆轮纯滚动的M。 mg N F C C a x y F M 解：解： 取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象, ,画受力图画

30、受力图 列刚体平面运动微分方程列刚体平面运动微分方程 运动分析运动分析 C a r 滚而不滑滚而不滑 FmaCx mgFma NCy rFMJC 2 C m C maF r aC mgFN rmaM C )( 22 rm rM a C C r rF M C )( 22 11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 Lvliang University PAG 40 mg N F C C a x y F M r rF M rm rM a C C C )( ; )( 22 22 NsF fF 圆轮不滑动圆轮不滑动 mgf r rM s C )( 22 r r mgfM C s )( 22 11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 Lvliang University PAG 41 例例11-11 半径为半径为r, ,质量为质量为m 的圆轮的圆轮, ,受到轻微扰动后受到轻微扰动后, , 在半径在半径 为为R的圆弧上往复滚动的圆弧上往复滚动, ,圆弧表面足够粗糙圆弧表面足够粗糙, ,以保证以保证圆轮滚动时圆轮滚动时 无滑动无滑动, , 求圆轮质心求圆轮质心C的运动规律。的运动规律。 解：解： 取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象,