第九章2(2学时)

1、LOGO LOGO 铺层的刚度铺层的刚度1 层合板的刚度层合板的刚度 2 LOGO 铺层的刚度铺层的刚度 v 在工程上，通常层合板的厚度与结构的其它尺寸相比 较小，因此，在复合材料分析与设计中通常是将铺层 假役为平面应力状态，即认为: 只考虑 ， ， 等面内应力分量。对于这种平面应力 状态情况，9.1.1 节的应力-应变关系将得到较大的简 化 x y xy LOGO v铺层的正轴刚度铺层的正轴刚度 v 铺层材料主方向的刚度称为铺层的正轴刚度。铺层在 正轴下平面应力状态即为: v 所以式（9-20）的应力-应变关系可简化为: v 式中Qij称为正轴下的平面应力状态模量，其与式（9- 20）中的C

2、ij有如下关系式 LOGO v 而式（9-21）的应变-应力关系式，在平 面应力状态下，其柔量分量不变，即: v 类似于式（9-8)，同样存在对称性，即: v 铺层在正轴下平面应力状态时单轴应力 或纯剪应力所得应力-应变关系的系数即 为铺层的正轴工程弹性常数与式（9-30 ）至式（9-33）类似推得: LOGO v 与式（9-34）类似存在关系式: LOGO v 若用正轴工程弹性常数来表示正轴柔量分量矩阵，则 可写成: 由式（9-51)，并考虑到Q=S-1，可得平面应力状态 下正轴模量分量与工程弹性常数之问有如下关系: LOGO v 类似于式（9-37），在平面应力状态下正轴工程弹性 常数的取

3、值范围为: v 式（9-53）连同式（9-50）称为正交各向异性体材料 在平面应力状态下的限制条件。 LOGO v 综上所述，铺层在三维情况下的正轴刚度有三种表达 形式，式（9-20）给出模量分量 Cij(i,j=1,2,3,4,5,6) ，式（9-21）给出柔量分量 Sij(i,j=1,2,3,4,5, 6)，以及式（9-30）至（9-33） 给出工程弹性常数；而铺层在平面应力状态下的正轴 刚度也有三种表达形式，式（9-45）给出的模量分量 Qij（i，j = 1 , 2 , 6 )，式（9-47）给出的柔量分 量Sij（i，j=1 , 2 , 6 )，以及式（9-49）给出的工 程弹性常数

4、。 LOGO v 事实上，铺层的模量分量是Cij，而Qij 是在平面应力状态下的模量分量，它们 之间有关系式（9-46) ，故Qij 也称为 折算模量分量。 v 一般铺层是正交各向异性的，它们有 五个工程弹性常数，见式（9-49)，由 于有关系式（9-50），所以独立的工 程弹性常数是4个，实际侧试时只要测 4 个即可。 LOGO v 在工程实际中，还常遇到一种纵 向和横向弹性性能相同的铺层， 如由1：1经纬交织布形成的铺层 就是如此，它们还存在如下关系 式： v 这种铺层称为正交对称铺层。这 种材料的独立弹性常数只有3 个 LOGO v 在工程实际中，还可遇到一种铺 层面内任意方向弹性性能均

5、相同 的铺层，如由相同的三股纱彼此 相隔60O编织而成的铺层就是如此 ，它们又存在如下关系式： v 这种铺层称为准各向同性铺层。 这种材料的独立弹性常数只有2 个，如同金属材料。但垂直于铺 层方向的弹性性能并不与铺层面 内的弹性性能相同。 LOGO v铺层的偏轴刚度铺层的偏轴刚度 v 铺层的偏轴刚度为铺层非材料主方 向的刚度。如图9-6所示，1，2为 材料的主方向，x，y向称为偏轴向 。两者的夹角 称为铺层角，规定x 轴到1轴，逆时针方向为正，顺时针 方向为负。 铺层的偏轴刚度是由偏 轴下的应力-应变关系确定的。它是 通过应力与应变的转换，将正轴下 的应力-应变关系（或应变-应力关 系）变为偏

6、轴下的应力-应变关系（ 或应变-应力关系）得到的。 LOGO v应力转换公式应力转换公式 v 在如图9-6所示的情况下，式（9-39）的应力转换公 式就可化简为: v 这是由偏轴应力求正轴应力的公式。复合材料中的转 换通常主要是在正轴与偏轴之间的转换。如果由正轴 应力求偏轴应力则需用如下公式： LOGO v 需说明的是，上述约定应 力的符号规则是，正面正 向或负面负向均为正，否 则为负。所谓面的正负是 指该面外法线方向与坐标 方向同向还是反向。所谓 向的正负是指应力方向与 坐标方向同向还是反向。 图9-6示出的应力分量均为 正。 LOGO v应变转换公式应变转换公式 v 在如图9-6所示的情况

7、下，式（9-40）的应 变转换公式就可化简为: 式中m，n同式9-57)。同样，由正轴应变求 偏轴应变的公式为: 需说明的是，上述约定应变的特号规则是，应 变伸长为正，缩短为负，剪应变是与两个坐 标方向一致的直角变小为正，变大为负。 LOGO v铺层的偏轴应力铺层的偏轴应力-应变关系应变关系 v 如果将式（9-58）中的正轴应力用式（9-45）代人， 然后再将正轴应变用式(9-59)代入，即可得如式（9- 61）所示的偏轴应力应变关系: v 该式还可简写成: v 式中， ( i,j = l , 2 ，6)称为偏轴模量分量i j Q LOGO v偏轴模量转换公式偏轴模量转换公式 v 如果将式（9

8、-61）中的系数矩阵作出乘法运算，并与 式（9-62）中的系数矩阵对应起来，即可得如式（9- 63 ）所示的由正轴模量求偏轴模量的模量转换公式。 v 式中 ， 与前面所述相同。这里 ，即偏轴模量仍具有对称性，所以式（9-63）中偏轴 模量只需列出6个 cosm sinn i jji QQ LOGO v 图9-7 与图9-8 分别给出碳环氧材料T3005208 的 的分量随 的变化曲线。图中所有值都是关于对其最 大值作正则化的 LOGO v铺层的偏轴应变铺层的偏轴应变-应力关系应力关系 v 如果将式（9-60）中的正轴应变用式（9-57）代入， 然后再将正轴应力用式( 9-56）代入，即可得式（

9、9- 64）所示的偏轴应变一应力关系: v 式（9-64）简写成: v 式中， （i,j = 1 , 2 , 6 ）称为偏轴柔量分量i jS LOGO v偏轴柔量转换公式偏轴柔量转换公式 v 如果将式（9-64）中的系数矩阵作出乘法运算，并与 式（9-65）中的系数矩阵对应起来，即可得如式（9- 66）所示由正轴柔量求偏轴柔量的柔量转换公式: v 式中 ， ，也与前面所述相同。这里 ， 即偏轴柔量仍具有对称性，所以式（9-66）中偏轴柔 量只需列出6个 cosmsinn i jjiSS LOGO v偏轴模量与偏轴柔量之间的关系偏轴模量与偏轴柔量之间的关系 v 与正轴时模量与柔量存在互逆关系一样

10、: v 根据矩阵的求逆规则，可得: LOGO v铺层的偏轴工程弹性常数铺层的偏轴工程弹性常数 v 铺层的偏轴工程弹性常数是铺层在偏 轴下由单轴应力或纯剪应力确定的刚 度性能参数。利用式（9-65）给出 的偏轴应变-应力关系，求偏轴向时 单轴应力或纯剪应力下的应变-应力 关系，即可求得偏轴工程弹性常数与 偏轴柔量之间的关系: LOGO v 由于柔量分量的对称性， , 所以 偏轴工程弹性常数具有如下关系式: i jjiSS LOGO v偏轴工程弹性常数的转换关系偏轴工程弹性常数的转换关系 v 偏轴工程弹性常数与正轴工程弹性常 数之间不能得到象式（9-63）那样 的模量转换公式和式（9-66）那样

11、的柔量转换公式，但可以利用式（9- 69）和柔量转换公式（9-66）以及 正轴柔量与正轴工程弹性常数之间的 关系式（9-49）得到如下由正轴工 程弹性常数求偏轴工程弹性常数的转 换关系： LOGO 式中， ， 。由于偏轴工程弹性常数由4个 正轴工程弹性常数确定，具体材料不同，其4个常数一 般均会有所变化，因此必须针对具体材料画出其偏轴 工程弹性常数随 的变化曲线，才能了解其偏轴工程弹 性常数的变化规律。 cosmsinn LOGO v 图9-9与图9-10分别给出碳环氧材料T300/5208的 各偏轴工程弹性常数随 的变化曲线。图中的所有值对 其最大值作正则化的。弹性模量Ex在纤维方向是最大

12、的，但随偏轴方向增大很快下降。这种T3OO/5208 材料的纵向和横向模量的比值要大于12。剪切模量 Gxy变化很小，并且在 处达到它的最大值。泊 松比和拉剪耦合系数 变化很大。泊松比总是正的， 而 可正可负，随偏轴方向而定。对于T3005208， 泊松比从0.372 的最大值至0.019 的最小值范围内变 化。拉剪耦合系数 变化很大，最大值和最小值则分 别为在 120处和 2.140。 45 ,xy x ,xy x LOGO LOGO 层合板的刚度层合板的刚度 v 本节介绍层合板刚度是建立在经典 层合理论基础上，即假设层合板由 连续、均匀、正交各向异性的铺层 构成的一种连续性材料，并假设各

13、铺层之间是完全紧密粘接的，即忽 略层间的影晌，变形符合直法线假 设，且限于线弹性、小变形情况， 各铺层按平面应力状态计算，并忽 略 。通常在复合材料设计中这 样处理是合适的。 x LOGO v层合板的应变层合板的应变 v 根据直法线假设，层合板中面法线变形后仍然为直线 并垂直于变形后的中面，而且中面法线的长度不变。 在这假设下，离中面任意距离z的应变 ， ， 为: 中面应变与在x，y 向的中面位移u0，vo有如下关系： 而中面曲率与在z向的中面位移w 有如下关系： x y xy LOGO v层合板的内力层合板的内力 v 层合板的内力包括面内力和弯矩(包括扭矩），见图9- 11(xoy面在层合板

14、中面处）。它们的定义如下: LOGO v层合板的内力层合板的内力-应变关系式应变关系式 v 综合上述内力和应变即可给出层合板的内力应变关系 式： v 式中，A,B和D中各分量由下式给出： LOGO v Aij称为面内刚度系数，Bij称为耦合刚度系数，Dij称 为弯曲刚度系数。Aij=Aji，Bij=Bji，Dij=Dji。式（ 9-83）还可相反地表示成： v 若铺层的铺设顺序关于中面不是对称的，则 B 阵不 恒等于零。弯曲和拉伸之间存在耦合作用。例如设非 对称层合板受有面内力N，则得其曲率为: LOGO v 同样，仅受有弯矩 M 会得到中面应变： LOGO v特殊层合板特殊层合板 为了讨论方

15、便起见，以下假定构成层合板的所有铺层 由同一复合材料制成，且有相同的厚度 v 对称层合板对称层合板 对称层合板从中面向上或向下观察各铺层方向，其铺 设顺序是相同的，即关于中面是镜面对称的。此时Bij 恒等于零，故不存在拉-弯之间的耦合作用，即有: LOGO v 于对称层合板，面内行为也可写成如下形式： v 弯曲行为可写成如下形式： v 式中 d-对称层合板的考曲柔度矩阵，d=D-1。 LOGO v 如同定义铺层的工程弹性常数一样，利用单轴层合板 应力或纯剪层合板应力可定义对称层合板的面内工程 弹性常数。为此需先设: 这里带 * 的层合板面内力称为正则化面内力，即为层 合板应力，它们是应力的量纲

16、。这样，就可得到类似 于铺层工程弹性常数的对称层合板面内工程弹性常数 （右上角冠以0以示与铺层的区别）与面内柔度系数之 间的关系式： LOGO v 对称均衡层合板对称均衡层合板 v 对称均衡层合板是 铺层数和 铺层数为相同的对称 层合板。在这种情况A16和A26系数为零。因为 和 关于 是奇函数（见图9-8），它的总和为零。所以 ，拉伸和剪切之间无耦合作用。 均衡层合板还可以包 含任意量的00和900 层。因为16分量和26分量对于这 些铺层方向恒等于零。 16 Q 26 Q LOGO v 对称均衡斜交层合板对称均衡斜交层合板 v 对称均衡斜交层合板是仅由相同 数量的 铺层和 铺层的对称均 衡

17、层合板。这类层合板能清楚地 给出铺层方向对层合板性能的影 响。图9-12-图9-14 给出了这 类层合板工程弹性常数随铺层方 向的变化 LOGO LOGO v 对称正交层合板对称正交层合板 v 对称正交层合板是指只含有 00和900铺层的对称层合板。 这种层合板除B矩阵为零外 ，在A 和D矩阵中的所有 16和26分量均为零，因此层 合板无论在拉伸和弯曲时均 为正交各向异性的，也即面 内变形的拉伸与剪切之间无 耦合作用，弯曲变形时弯曲 与扭转之间无耦合作用。 LOGO v 准各向同性层合板准各向同性层合板 v 准各向同性层合板是指面内各个方 向的刚度为相同的对称层合板。这 种层合板的弯曲刚度不是

18、各向同性 的。通常，由铺层体积含量相同的 m个铺层组（对称层合板的m以层 合板的一半计数），且 时，将其按 间隔为 /m 的铺层方向铺设成的 对称层合板即为准各向同性层合板 。无论m为多少，同一种材料组成 的准各向同性层合板，其面内刚度 性能是相同的 LOGO v 一般一般4 层合板层合板 v 各个铺层均按00,900，+450,- 450方向的一种或几种铺设的对称 层合板称为一般4层合板。一 般4层合板是目前工程上主要 应用的一类层合板。事实上，前 面讨论过的许多层合板，如 00,900，+450,-450的单向层合 板，以及 450的对称均衡层合板 ， 450的对称均衡斜交层合板， 对称正交层合板，按4 铺设 的准各向同性