第4章 相似性原理和量纲

1、 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 能源与机械能源与机械工程系工程系 流体力学流体力学 第第4章章 相似理论与量纲分析相似理论与量纲分析 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的 方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来

2、解决。方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。 而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力 与物力，有时则完全是不可能的与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水 的试验的试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很 小，也可利用放大的模型进行实验。小，也可利用放大的模型进行实验。 而进行模型实验，首先必须解决两类问题。而进行模型实验，首先必须解决两类问题。 (1) 如何正

3、确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定，如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定， 介质的选取。介质的选取。 (2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何 将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。 本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及 工程传热学等有关学科。工程传热学等有关学科。 Tianjin Institute of Urban Construction 2

4、021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 l力学相似的内涵；力学相似的内涵； l各相似准则的定义与物理意义；各相似准则的定义与物理意义； l相似模型律的应用相似模型律的应用* l定理及其应用定理及其应用 * 【教学重点【教学重点】 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 （a a）原型）原型 (b)(b)模型模型 图图1 1 满足几何相似、运动相似和动力相似的流动满足几何相似、运动相似和动力相似的流动 Tianjin Institute o

5、f Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 l m n m n d d l l （1 1）几何相似（）几何相似（流动空间几何相似流动空间几何相似） mn l长度比尺长度比尺 力学相似力学相似：两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之 间间互相平行互相平行，并且，并且互成一定的比例互成一定的比例。 第一节第一节 力学相似性原理力学相似性原理 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和

6、热动设备和热动 2 2 2 l m n m n l l A A 3 3 3 l m n m n l l V V 几何相似是力学相似的几何相似是力学相似的前提前提 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 （2 2）运动相似（）运动相似（两流动的对应流线几何相似两流动的对应流线几何相似或或流速大小成同一比例，方流速大小成同一比例，方 向相同）向相同） v m n m n u u v v v速度比尺速度比尺 时间比尺时间比尺 v l mm nn m n t vl vl t t 加速

7、度比尺加速度比尺 l v t v a 2 运动相似是实验的运动相似是实验的目的目的 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 （3）动力相似动力相似（同名力作用，且对应的同名力互成同一比例同名力作用，且对应的同名力互成同一比例） F m n F F F力的比尺力的比尺 Em EnIn Gm Gn Pm Pn vm vn F F F F F F F F F F Im 动力相似是运动相似的动力相似是运动相似的保证保证 Tianjin Institute of Urban Const

8、ruction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条 件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种 只考虑某一种外力的动力相似条件只考虑某一种外力的动力相似条件称为称为相似准则相似准则。 怎样来达到流动的动力相似以保证运动相似呢？怎样来达到流动的动力相似以保证运动相似呢？ 设想在两相似水流中，取两个相应质点设想在两相似水流中，取两个相应质点n n和和m m，研究两，研究两 质点所受粘性力、压力、重

9、力及惯性力。假设流体不可压质点所受粘性力、压力、重力及惯性力。假设流体不可压 缩，则不需要考虑弹性力相似的问题。根据动力相似条件，缩，则不需要考虑弹性力相似的问题。根据动力相似条件， 应有应有 第二节第二节 相似准则与模型律相似准则与模型律 一、相似准则一、相似准则 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 Im F F F F F F F F In Gm Gn Pm Pn m n Im F F F F In Pm Pn Im F F F F In Gm Gn Im F F F

10、 F In m n 由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的 关系式分别写为和惯性力相联系的下列等式关系式分别写为和惯性力相联系的下列等式 ； ； （1 1）雷诺准则）雷诺准则粘性力粘性力是主要的力是主要的力 Im In m n F F F F m Im n In F F F F 改成 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 lvlv dy du AF 22v lmaFI m mm n nn lvlv 无量纲数无量纲数 vl

11、 Re mn ReRe 粘性力相似准则，也称为粘性力相似准则，也称为雷诺相似准则雷诺相似准则。 雷诺数雷诺数表征惯性力表征惯性力 与黏性力之比与黏性力之比. . Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 （2 2）弗诺德准则弗诺德准则重力重力是主要的力是主要的力 Im F F F F In Gm Gn 改成改成 Gm Im Gn In F F F F 3 glmgFG 22v lFI mm m nn n lg v lg v 22 Tianjin Institute of Urb

12、an Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 无量纲数无量纲数 gl v Fr 2 （3 3）欧拉准则）欧拉准则压力压力是主要的力是主要的力 Im F F F F In Pm Pn 改成改成 Im F F F F Pm In Pn 2 plFP 22v lFI mn FrFr 重力相似准则，也称为弗诺德相似准则。重力相似准则，也称为弗诺德相似准则。 弗诺德数弗诺德数表征惯性力表征惯性力 与重力的相对比值。与重力的相对比值。 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星

13、期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 22 mm m nn n v p v p 无量纲数无量纲数 2 v p Eu 压力相似准则，或称为压力相似准则，或称为欧拉相似准则欧拉相似准则 mn EuEu 4 4、马赫相似准则、马赫相似准则 在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出 m m n n aa 式中式中 a a为当地音速。为当地音速。 这个速度的比值就是马赫数这个速度的比值就是马赫数M。 a v M mn MM 欧拉数欧拉数表征压力（差）表征压力（差） 和惯性力之比和惯性力之比 马赫数马赫数表征惯性表征惯性 力与

14、弹性力之比力与弹性力之比 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因 此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在 长度和速度比尺之间要保持一定关系。长度和速度比尺之间要保持一定关系。 由雷诺数模型律，有由雷诺数模型律，有 ReRe nm 或或 m mm n nn v L v L 或写成比尺关系的形式，即或写成比尺关系的形式，即 二

15、、模型律二、模型律 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 L v 在多数情况下，模型和原型采用同种类且温度相同在多数情况下，模型和原型采用同种类且温度相同 的流体，此时的流体，此时 ，故有，故有 L 1 1 或或 2 L L 另一方面，根据弗诺德数相等，可导出另一方面，根据弗诺德数相等，可导出 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 显然，对于同种、同温的

16、流体，若要同时满足雷诺显然，对于同种、同温的流体，若要同时满足雷诺 模型律和弗诺德模型律，则容易导出模型律和弗诺德模型律，则容易导出 1 L 这意味着模型尺寸与原型相同。因此模型实验就失去这意味着模型尺寸与原型相同。因此模型实验就失去 意义了。意义了。 即使是对于不同种的流体，若通过调整运动粘度比尺即使是对于不同种的流体，若通过调整运动粘度比尺 ，使上述两模型律同时满足，则有，使上述两模型律同时满足，则有 v 3/2 vL 这要求在模型流动中，采用特定粘度的流体，实际上这要求在模型流动中，采用特定粘度的流体，实际上 这是很不容易实现的。这是很不容易实现的。因此，在模型律的应用时，通常的因此，在

17、模型律的应用时，通常的 做法是要求对流动现象起决定或主导作用的那一个模型律做法是要求对流动现象起决定或主导作用的那一个模型律 相似就可以了。相似就可以了。 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 常见流动的模型律常见流动的模型律 (1)(1)管流管流 (2)(2) (3)(3)管中水流或气流管中水流或气流, ,粘性力粘性力( (主导作用主导作用),),应满足雷诺准则。应满足雷诺准则。 (4)(4) (5)(5)具有自由面的液体急变流动具有自由面的液体急变流动, ,重力重力(

18、(主导主导),),应满足应满足FrFr模模 型律（孔口，管嘴的自由出流）型律（孔口，管嘴的自由出流） 无需满足雷诺模型律无需满足雷诺模型律 惯性力惯性力 阻力阻力 阻力平方区阻力平方区相当大时相当大时管流管流 2 ReV :p mn d K d K 管中的水击、空泡现象和空泡阻力管中的水击、空泡现象和空泡阻力欧拉准则欧拉准则 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 【例【例1】 煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为 300mm，喉部直径为，

19、喉部直径为150mm，在，在1:3的模型中用水来进行试的模型中用水来进行试 验。已知煤油的比重为验。已知煤油的比重为0.82，水和煤油的运动粘性系数分，水和煤油的运动粘性系数分 别为别为0.010cm2s和和0.045cm2s，求：，求： (1) 已知原型煤油流量已知原型煤油流量 ，为达到动力相似，模型，为达到动力相似，模型 中水的流量中水的流量 应为多少应为多少? (2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差 ，推算原型中的测管水头差，推算原型中的测管水头差 应为多少应为多少? 100 n Ql s m Q 1.05 m hm n h 解：此流动的

20、主要作用力为压力和阻力，决定性相似准解：此流动的主要作用力为压力和阻力，决定性相似准 则为则为Re数，非决定性相似准则为数，非决定性相似准则为Eu数。数。 由阻力相似的比尺关系由阻力相似的比尺关系 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 由于由于 ，故，故 lv 2 0.045 313.5 0.010 Qlvl 40. 7 5 .13 100 Q n m Q Q L/s 2 ph 2 2 2 4.5 2.25 3 v h l 36. 205. 125. 2 mhn hh m

21、由压力相似的比尺关系由压力相似的比尺关系 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 1. 1. 基本量纲：基本量纲：(独立量纲) 长度 (L) 时间 (T) 质量 (M) 2.2.导出量纲：导出量纲： 第三节第三节 量纲分析法量纲分析法 3.3.一致性原则：一致性原则： 一、量纲一致性一、量纲一致性 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 某一物理过程，涉及某

22、一物理过程，涉及n个变量，其中有个变量，其中有m个基本变量，个基本变量， 则此则此n个变量间的关系个变量间的关系F(x1，x2，xn）= 0， 可用（可用（n-m）个）个无量纲无量纲的的项关系式来表示，即项关系式来表示，即 （1，2，n-m）=0 以上这个结论就是著名的以上这个结论就是著名的定理，定理，也称也称布金汉定理。布金汉定理。 二、二、定理定理 量纲分析法量纲分析法就是通过对现象中物理量的量纲以及量纲之就是通过对现象中物理量的量纲以及量纲之 间相互联系的分析来研究现象相似性的方法。它是以方间相互联系的分析来研究现象相似性的方法。它是以方 程式的程式的因次和谐性因次和谐性为基础的。为基础

23、的。 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 【例【例2】证明有压管流中的压强损失】证明有压管流中的压强损失p可表示为：可表示为： 根据实验，知道压强损失根据实验，知道压强损失p与管长，管径与管长，管径d，管壁粗糙度，管壁粗糙度K， 流体运动粘性系数流体运动粘性系数 ，密度，密度和流速和流速 有关，于是有有关，于是有 2 Re,/ 2 d l dKp 解：解：1)1)找出影响某物理现象的找出影响某物理现象的n n个独立物理变量。个独立物理变量。 ),(Kdlfp 2)2)从从

24、n n个变量中选择个变量中选择m m个基本变量。个基本变量。基本变量基本变量的条件为其的条件为其量纲中量纲中 包括包括n n个变量中所有的基本量纲个变量中所有的基本量纲。m m一般等于这些变量所涉及一般等于这些变量所涉及 的基本量纲的个数。基本变量应选取最简单，最有代表性和的基本量纲的个数。基本变量应选取最简单，最有代表性和 容易测量的物理量，如物体的长度，流体的密度和粘度，相容易测量的物理量，如物体的长度，流体的密度和粘度，相 对速度等。对速度等。 二、使用二、使用定理的具体步骤定理的具体步骤 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月

25、23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 在这在这7个量中，基本量纲数为个量中，基本量纲数为3，因而可选择三个基本，因而可选择三个基本 变量，不妨取变量，不妨取 管径管径d d=L 平均流速平均流速 =LT-1 密度密度 =ML-3 Kd ld pd d 344 333 222 111 4 3 2 1 3 m 3)3)排列排列 个个项项，如该物理现象中的，如该物理现象中的 ，其基本变，其基本变 量为量为x1，x2，x3，作为重复变量，则各个，作为重复变量，则各个项的组成为：项的组成为： mn ii xxxx iii 3321 （i=1,2,., ） 用未知指数写出无量纲用未

26、知指数写出无量纲 参数参数ii ( (i i=1-4=1-4）。）。 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 对每一个对每一个 写出量纲和谐方程组写出量纲和谐方程组 1 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 31 4 31 3 2131 2 1231 1 LMLLLT LMLLLT TMLMLLLT TLMLLLT i 0: 01: 023: 1 1 111 1 M T L 01: 02: 013: 2 2 222 2 M T L 4)4)根据各个根据各

27、个项必须为无量纲量的条件，决定待定指数项必须为无量纲量的条件，决定待定指数ii、 ii、ii列出具体的列出具体的项。项。 将各量的量纲代入，写出量纲公式将各量的量纲代入，写出量纲公式 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 0: 0: 013: 3 3 333 3 M T L 0: 0: 013: 4 4 444 4 M T L 分别解得：分别解得： 故有故有 Tianjin Institute of Urban Construction 2021年年6月月23日星期三日星期三 流体力学流体力学 设备和热动设备和热动 d K d l Eu p pd d v vd 4 3 2 102 2 011 1 Re 1 5)5)该物理现象可用该物理现象可用(n-m)(n-m)个无量纲个无量纲项的函数关系来表示。项的函数关系来表示。 必要时，可将各必要时，