第4章 虚功原理与结构位移计算

1、Displacement of Statically Determinate Structures 主要内容： 4.1 结构位移计算概述结构位移计算概述 4.2 刚体虚功原理及应用刚体虚功原理及应用 4.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 4.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 （ 难点）难点） 4.5 图乘法图乘法 （重点）（重点） 4.6 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算 A A A A Ax Ay P Ax Ay A A A P Ax Ay t 1. 1. 结构力学的两类基本问题结构力学的两类基本问题 内力计算问题，即强度问题内力计算问题，即强度问题 位移

2、计算问题，即刚度问题位移计算问题，即刚度问题 结构位移计算概述结构位移计算概述 2. 2. 结构位移计算目的结构位移计算目的 （1）结构刚度验算）结构刚度验算验算结构的位移是否超过允许的限制；验算结构的位移是否超过允许的限制； （2）为超静定的内力计算打下基础）为超静定的内力计算打下基础 解超静定结构，除解超静定结构，除 了考虑平衡条件，还要考虑变形条件。了考虑平衡条件，还要考虑变形条件。 铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁 和钢桁梁最大挠度和钢桁梁最大挠度 1/700 和和1/900跨度。跨度。 在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，

3、吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度； 高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 高层建筑的最大层间位移高层建筑的最大层间位移 1/800 层高。层高。 （1）广义力）广义力 力、一对力、力偶、一对力偶的统称。力、一对力、力偶、一对力偶的统称。 CD CD D C FP x y A A FP 3. 3. 广义力与广义位移广义力与广义位移 （2）广义位移）广义位移 线位移、转角位移、相对位移的统称。线位移、转角位移、相对位移的统称。 结构位移及其分类 角位移线位移 位移的分类：位移的分类：线位移；角位移。 AB A B 相对角位移 常用希腊字母读法常用希腊字母读法 希

4、腊字母英文读音汉语近似音 lf bi:t gm delt epsiln zi:t i:t i:t aiout kp lmd mju: 阿尔法 倍塔 伽马 迭耳塔 厄普西隆 接塔 衣塔 太塔 依奥塔 卡帕 拉姆塔 缪 希腊字母英文读音汉语近似音 nju: ksai oumaikrn pai rou sigm tau ju:psilon fai kai psi: oumig 纽 克西 奥米克戎 派 柔 西格马 陶 宇普西隆 斐 克黑 普西 奥米伽 4.4.变形变形受荷载后发生的尺寸和形状的改变受荷载后发生的尺寸和形状的改变 三种基本变形：三种基本变形： (1) d dx d弯曲： (2)d剪切：

5、d (3) d轴向： d 5.5.刚体位移与形变位移刚体位移与形变位移 AB 支座移动支座移动梁为刚体位移梁为刚体位移 （静定结构的支座移动（静定结构的支座移动不引起变形和内力）不引起变形和内力） ba BC A P （形变位移段）（形变位移段） （刚体位移段）（刚体位移段） 4-2 刚体体系虚功原理 (一)虚功的概念 如果使力作功的位移不是由于该力本身 所引起，即作功的力与相应于力的位移彼 此独立，二者无因果关系，这时力所作的 功称为虚功。 力系所属状态称为力状态 位移所属状态称为位移状态 1.虚功 (一)虚功的概念 2.虚功与实功的差别 FP1 11 A B 11 OA B FP FP1

6、11111 1 2 P WF FP1 11 22 12 A B FP2 I II 2.虚功与实功的差别 22222 1 2 P WF ij Pi F Pi F Pj F 的第一个脚标表示位移发生的位置和方向，即此位移是 作用点沿方向的位移； 引起的。 第二个脚标表示产生位移的原因，即此位移是由 12112P WF 虚功 所谓“虚”就是表示位移与作功的力无关。 2. 2. 实功与虚功实功与虚功 （1）实功）实功 力在其作用方向上所做的力在其作用方向上所做的 功功 AB P W= P 1 2 （2）虚功）虚功 力在由其它原因产生的位移上所做的功力在由其它原因产生的位移上所做的功 其中：其中： 11

7、2P TF 虚功虚功 Fp1 Fp2 12 AB 12 11 （1 1）刚体体系虚功原理）刚体体系虚功原理 所有外力所做的虚功之和等于零，即：所有外力所做的虚功之和等于零，即： 0W 外虚 4.4.虚功原理的两种情况虚功原理的两种情况 （1 1）虚力原理）虚力原理 位移是真实的，力是虚设的。位移是真实的，力是虚设的。 用虚设力的办法来求真实的位移。用虚设力的办法来求真实的位移。 （2 2）虚位移原理）虚位移原理 力是真实的，位移是虚设的。力是真实的，位移是虚设的。 用虚设位移的办法来求真实的力。用虚设位移的办法来求真实的力。 （2 2）变形体系虚功原理）变形体系虚功原理 所有外力做的虚功所有外

8、力做的虚功 = = 所有内力做的虚功，即：所有内力做的虚功，即： WW 外虚内虚 3.3.两种体系的虚功原理两种体系的虚功原理 （外力（外力位移）位移） （内力（内力变形）变形） 虚功原理 具有理想约束的刚体体系在任意平衡 力系作用下，体系上所有主动力在任一与 约束条件相符合的无限小刚体位移上所作 的虚功总和恒等于零。 0W 刚体体系的虚功方程 所谓理想约束，是指其约束力在虚位 移上所作的功恒等于零的约束。 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移 1. 1. 刚体体系虚功原理刚体体系虚功原理 0W 外虚 支座移动产生的位移支座移动产生的位移刚体位移刚体位移 制造误差产生的位移

9、制造误差产生的位移刚体位移刚体位移 荷载作用产生的位移荷载作用产生的位移变形体位变形体位移移 温度改变产生的位移温度改变产生的位移变形体位移变形体位移 2. 2. 静定结构位移的类型静定结构位移的类型 用刚体体系的用刚体体系的 虚力原理计算虚力原理计算 用变形体系的用变形体系的 虚力原理计算虚力原理计算 所有外力所做的虚功之和等于零，即：所有外力所做的虚功之和等于零，即： 3.3.支座移动产生的位移计算支座移动产生的位移计算 2 2）运用刚体的虚功原理求解）运用刚体的虚功原理求解 1 1()0 A C L A C L 得：得： （真实的位移状态）（真实的位移状态） （虚设的力状态）（虚设的力状

10、态） AB L C 例例1 1 图示简支梁图示简支梁B B支座往下移动了支座往下移动了 C ，求，求A A点转角点转角 。 A 解：解：1 1）虚设相应的力状态）虚设相应的力状态在在A A点作用一单位力偶点作用一单位力偶 虚设的力状态上的所有外力在真实虚设的力状态上的所有外力在真实 的位移状态上所做的虚功之和为零，的位移状态上所做的虚功之和为零， 有：有： A 支座移动引起的位移计算公式：支座移动引起的位移计算公式： Ri i FC M=1 FR=1/L 其中：其中： R F由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 C 真实的支座移动真实的支座移动 1）虚功

11、原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的协调位移状态协调位移状态与与实际的实际的 平衡力状态平衡力状态之间。之间。 例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。 解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态，构造相应的虚位移状态. AB a C (a) b P X (b) P X C (c) 直线直线 待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态 0 CX PX由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即： ba CX /将将代入得代入得: abPX/ 通常取通常取 xX 1 单位位移法单位位移

12、法(Unit-Displacement Method) (1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题 0 B M 1 x 例例. 求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向位移点的竖向位移 . 2）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状态

13、平衡力状态与与实际的实际的协协 调位移状态调位移状态之间。之间。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 点（点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。 A B a C b A C c 1 AB C A Y 由由 求得：求得： 0 B MabYA/ 01cYA acb/解得：解得： 这是这是单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它于它于 1874提出。提出。 (1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程, 实质上是实质上是几何方程几何方程。 (2)虚设的力状态与实虚设

14、的力状态与实 际位移状态无关，故际位移状态无关，故 可设单位广义力可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是求解时关键一步是 找出虚力状态的静力找出虚力状态的静力 平衡关系。平衡关系。 (4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来 解几何问题。解几何问题。 虚功方程为：虚功方程为： 单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程 单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理虚位移原理”， 而将第二种应用称为而将第二种应用称为“虚力原理虚力原理”。 虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充

15、分必要条件是:对对 任意协调位移任意协调位移,虚功方程成立虚功方程成立. 虚力原理虚力原理:一个位移协调的充分必要条件是一个位移协调的充分必要条件是:对对 任意平衡力系任意平衡力系,虚功方程成立虚功方程成立”。 练习练习 图示三铰刚架图示三铰刚架A A支座往下移动了支座往下移动了b b， B B支座往右移动了支座往右移动了a a，求，求C C点的竖向位移点的竖向位移 CV 解：（解：（1 1）求）求C C点的竖向位移点的竖向位移 CV 真实位移状态真实位移状态 a b L/2L/2 L AB C 在在C C点作用一个竖向单位力，点作用一个竖向单位力， 求出求出 和和 。 YA F XB F 虚

16、设力状虚设力状 态态 AB C 1 YA F XB F 1 2 YA F 1 4 XB F 11 () 2424 CV ba ba （ ） 支座移动引起的位移计算公式：支座移动引起的位移计算公式： Rii FC 4a A D CB 2aa ( 0.5)0.5 CRnn F ccc 练习、图示多跨静定梁，支座练习、图示多跨静定梁，支座A有给定的向上的竖向有给定的向上的竖向 位移位移c，求，求C点的竖向位移。点的竖向位移。 力的虚设方法力的虚设方法 力的大小力的大小 虚设单位力虚设单位力 。 力的位置力的位置 作用在所求位移的点及方向上。作用在所求位移的点及方向上。 力的方向力的方向 可随意假设；

17、可随意假设； 若求出位移为正，则位移与假设的方向一致；若求出位移为正，则位移与假设的方向一致； 若求出位移为负，则位移与假设的方向相反。若求出位移为负，则位移与假设的方向相反。 力的性质力的性质 求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩； 求二点的相对线位移加一对相反的单位集中力；求二点的相对线位移加一对相反的单位集中力； 求二截面的相对转角要加一对单位力矩。求二截面的相对转角要加一对单位力矩。 BA Fp=1 求求C点竖向位移点竖向位移 求求B点水平位移点水平位移 Fp=1 求求C点转角位移点转角位移 M=1 Fp=1 求求A、B两点两点 相对竖向位移相

18、对竖向位移 Fp=1 Fp=1Fp=1 C BC A B 求求A、B两点两点 相对水平位移相对水平位移 M=1 求求CD杆的转角位移杆的转角位移 Fp=1/L Fp=1/L C C D L 求求C点两边的相对转角点两边的相对转角 a a a a A B C C 4. 制造误差产生的位移计算制造误差产生的位移计算 用刚体的虚力原理计算用刚体的虚力原理计算 例例33 图示桁架图示桁架ACAC杆比要求的短了杆比要求的短了2cm,2cm,求由此产生的求由此产生的C C点水平位移。点水平位移。 解：建立相应的虚力状态，求出解：建立相应的虚力状态，求出AC杆的内力。杆的内力。 真实的位移状态真实的位移状态

19、 虚设的力状态虚设的力状态 (2) ( 2) CH 得：得： 2 2 CH cm = = - - 2cm 2cm （ ） 2 N F 正负号选定：正负号选定： 虚内力虚内力 拉压拉压，误差误差 长为短为长为短为。 NF C C B A F Fp p=1=1 一般公式的普遍性表现在： 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结 构；静定和超静定结构； 1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切 变形； 5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。 4.3结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 4.

20、3.1 局部变形时静定结构的位移计算局部变形时静定结构的位移计算 1 1. 微分杆件单元的变形微分杆件单元的变形 l d 微分杆件单元的变形：微分杆件单元的变形： 轴向变形轴向变形 剪切变形剪切变形 弯曲变形弯曲变形 sdd sdd 0 sdd 原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移时所作的总虚功We，恒等于变 形体所接受的总虚变形功Wi，所有外力做 的虚功 = 所有内力做的虚功，也即恒有 如下虚功方程成立 We =Wi 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 2 2. 局部变形时静定结构的位移计算局部变形时静定结构的位移计算 sdd sdd

21、0 sdd M Q F N F 0 P ii F Fd P dMd Q F0d N F dddd NQ FFMsFsFsMddd N0Q sFsFsMdddd N0Q 4.3.2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 l d sFsFsMdddd N0Q l sFFMd)( N0Q 适用于一根杆件适用于一根杆件 l sFFMd)( N0Q 适用于多根杆件适用于多根杆件 kk l cFsFFM RN0Q d)( 适用范围更一般的公式适用范围更一般的公式 P62 4-13 其中，其中， , 0 为所求位移，为所求位移， k c 结构的弯曲应变、剪应变和轴向应变结构的弯曲应变、剪应变和轴向应

22、变 k FFFM RNQ , 为所求位移结构的支座位移；为所求位移结构的支座位移； 单位荷载作用下结构的内力和对应于支座位移的支座反力。单位荷载作用下结构的内力和对应于支座位移的支座反力。 4.3. 3 结构广义位移的计算结构广义位移的计算 kk l cFsFFM RN0Q d)( 公式具有普遍性，适用于弯曲变形、剪切变形和轴向变形，适用于荷公式具有普遍性，适用于弯曲变形、剪切变形和轴向变形，适用于荷 载、支座位移和温度变化产生的位移计算，适用于静定结构及超静定载、支座位移和温度变化产生的位移计算，适用于静定结构及超静定 结构，也适用于弹性材料和非弹性材料等。结构，也适用于弹性材料和非弹性材料

23、等。 单位荷载法单位荷载法的关键是在对应于所求位移的位置上虚设单位荷载：的关键是在对应于所求位移的位置上虚设单位荷载： 即：什么样的位移要虚设什么样的单位荷载即：什么样的位移要虚设什么样的单位荷载 即：即：线位移线位移虚设单位集中荷载虚设单位集中荷载 即：即：角位移角位移虚设单位集中力偶虚设单位集中力偶 4.3.4 结构位移计算的一般步骤结构位移计算的一般步骤 (1) 在某点沿拟求位移在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载；的方向虚设相应的单位荷载； (2) 根据平衡条件求出结构单位荷载作用下的内力及支座反力；根据平衡条件求出结构单位荷载作用下的内力及支座反力； 线位移：线位移：虚设单位集中

24、荷载虚设单位集中荷载角位移：角位移：虚设单位集中力偶虚设单位集中力偶 相对线位移：相对线位移：虚设一对大小相等、方向相反的单位集中荷载虚设一对大小相等、方向相反的单位集中荷载 相对角位移：相对角位移：虚设一对大小相等、方向相反的单位集中力偶虚设一对大小相等、方向相反的单位集中力偶 k FFFM RNQ , (3) 利用公式求位移：利用公式求位移： kk l cFsFFM RN0Q d)( 4.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 4.4.1 静定结构在荷载作用下的位移计算公式静定结构在荷载作用下的位移计算公式 从一般公式可化简得到结构在荷载作用下位移计算公式：从一般公式可化简得到结构在

25、荷载作用下位移计算公式： kk l cFsFFM RN0Q d)( l sFFMd)( N0Q , 0 为由荷载产生的变形，为由荷载产生的变形， 可根据材料力学得到：可根据材料力学得到： EA FNP GA kFQP 0 EI M P 其中，其中，EA为材料抗拉刚度，为材料抗拉刚度，GA为抗剪刚度，为抗剪刚度，EI为抗弯刚度。为抗弯刚度。 PQPNP , ,MFF 为静定结构在荷载作用下的内力。则公式可简化为：为静定结构在荷载作用下的内力。则公式可简化为： l s EI M M GA kF F EA F Fd)( P QP Q NP N lll s EI MM s GA FFk s EA FF

26、 ddd P QPQ NPN 式中： E 弹性模量； G 剪切模量； A 横截面积； I 截面惯性矩； k 截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆 形截面k=10/9。 d QQ NN P s EI MM GA FFk EA FF P P P IP 截面极惯性矩； 轴向 剪切弯曲 4.4.3 各种实际结构的位移计算公式各种实际结构的位移计算公式 位移计算公式的轴力项、剪力项和弯矩项这三个变形项，对于不同的位移计算公式的轴力项、剪力项和弯矩项这三个变形项，对于不同的 实际结构，根据不同内力其数值大小是各不相同的：实际结构，根据不同内力其数值大小是各不相同的： 对于梁和刚架，主要内力为弯矩，可

27、只考虑弯矩项，其它两可忽略：对于梁和刚架，主要内力为弯矩，可只考虑弯矩项，其它两可忽略： 对于桁架，其内力主要为轴力，可只计轴力项：对于桁架，其内力主要为轴力，可只计轴力项： l s EI MM d P l s EA FF d NPN l s EA FF d NPN EA lFF NPN 对于组合结构，链杆考虑轴力项，梁式杆考虑弯矩项：对于组合结构，链杆考虑轴力项，梁式杆考虑弯矩项： 对于拱，需要考虑轴力项和弯矩项：对于拱，需要考虑轴力项和弯矩项： ll s EI MM s EA FF dd PNPN EA lFF NPN l s EI MM d P 内力的正负号规定如下： 轴力 以拉力为正；

28、 NN ,FF P 剪力剪力 使微段顺时针转动 者为正； QQ ,FF P 弯矩弯矩 只规定乘积的正负号。使杆件 同侧纤维受拉时，其乘积取为正。 MM P , 位移计算的步骤位移计算的步骤 (1) 在某点沿拟求位移在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位的方向虚设相应的单位 荷载；荷载； (2) 求结构在已知荷载作用下的内力和单位求结构在已知荷载作用下的内力和单位 荷载作用下的内力；荷载作用下的内力； (3) 根据不同结构，选择相应的公式计算位移。根据不同结构，选择相应的公式计算位移。 q P Q P M 1 P i Q i M xl ds EI MM GA QkQ EA NN iPPP ip i

29、i 例例 1：已知图示梁的：已知图示梁的E 、G, 求求A点的竖向位移。点的竖向位移。 解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态. 0)(, 0)(xNxN Pi )()(, 1)(xlqxQxQ Pi 1P x 2/)()(,)( 2 xlqxMlxxM Pi l h b q A dx EI xlq GA kxlq l 2 )()( 0 3 )( 82 42 EI ql GA qkl )(5 . 2/,10/1/ , 5/6,12/, 3 钢砼 GElh kbhIbhA GA qkl EI ql QM 2 , 8 : 24 设 2 4 GAl EIk M Q 100 1 M Q 对于细长

30、杆对于细长杆,剪切变形剪切变形 对位移的贡献与弯曲变对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计形相比可略去不计. 练习：练习： 求中间求中间C C点的竖向位移及点的竖向位移及B B端截面的转角。端截面的转角。 1.1.求中间求中间C C点的竖向位移点的竖向位移 (1)(1)虚设单位荷载虚设单位荷载 (2)(2)求内力求内力 2 P 2 1 2 qxx ql M qx ql F 2 QP 0 NP F 2 x M 2 1 Q F 0 N F (3)(3)求位移求位移 lll s EI MM s GA FFk s EA FF ddd P QPQ NPN Cy ll x EI MM x GA FFk 0

31、 P 0 QPQ dd0 22 0 2 0 d) 2 1 2 ( 2 d) 2 ( 2 1 ll xqxx ql EI x xqx ql GA 1.1.求中间求中间C C点的竖向位移点的竖向位移 2 P 2 1 2 qxx ql Mqx ql F 2 QP 0 NP F 2 x M 2 1 Q F 0 N F lll s EI MM s GA FFk s EA FF ddd P QPQ NPN Cy ll x EI MM x GA FFk 0 P 0 QPQ dd0 22 0 2 0 d) 2 1 2 ( 2 d) 2 ( 2 1 ll xqxx ql EI x xqx ql GA 0 GA

32、kql 8 2 )( 384 5 4 EI ql 3 1 , 12 , 12 , 2 . 1 23 h A I bhA bh Ik M Cy Q Cy 2 )(56. 2 l h )( 384 5 4 Cy EI ql EI ql GA kql 384 5 8 42 A I G E k l 2 6 . 9 2 2.2.求求B B端截面的转角端截面的转角 (1)(1)虚设单位荷载虚设单位荷载 (2)(2)求内力求内力 2 P 2 1 2 qxx ql M qx ql F 2 QP 0 NP F l x M l F 1 Q 0 N F (3)(3)求位移求位移 lll s EI MM s GA F

33、Fk s EA FF ddd P QPQ NPN B ll x EI MM x GA FFk 0 P 0 QPQ dd0 2.2.求求B B端截面的转角端截面的转角 2 P 2 1 2 qxx ql M qx ql F 2 QP 0 NP F l x M l F 1 Q 0 N F lll s EI MM s GA FFk s EA FF ddd P QPQ NPN B ll x EI MM x GA FFk 0 P 0 QPQ dd0 ll xqxx ql EIl x xqx ql GAl k 0 2 0 d) 2 1 2 (d) 2 ( 00 EI ql 24 3 EI ql 24 3 () 小结小结: 1.1.通常，梁和刚架的位移计算只要考虑弯通常，梁和刚架的位移计算只要考虑弯 矩项即可满足精度要求；矩项即可满足精度要求； 2.2.正确虚设单位荷载是位移计算的首要关正确虚设单位荷