第11章 梁和结构的位移

1、第十一章第十一章 梁和结构的位移梁和结构的位移 11-1 概述 11-2 梁的挠曲线近似微分方程 及其积分 11-3 叠加法 11-4 单位荷载法 11-5 图乘法 11-6 线弹性体的互等定理 11-7 结构的刚度校核 11-1 概述概述 l1研究的对象：微小、弹性变形情况下，静 定梁和静定结构的位移计算。 l2计算位移的目的： （1）刚度验算变形符合使用要求 （2）超静定结构内力分析变形条件 “鸟巢”-国家体育场 整个卸载工作将拆除鸟巢钢结构的78个临时支撑钢柱，钢 结构在独立承担重力后将出现不同程度的下沉，最大下沉 距离不超过30厘米。根据设计要求，外圈的下降总量将控 制在6770毫米，

2、中圈161178毫米，内圈208286毫 米。 l3位移结构杆件横载面的位置发生的移 动 （1）挠曲线梁的变形曲线称为挠曲线。 （2）挠度梁横截面沿与梁轴线垂直方向的 线位移称为梁的挠度。 （3）转角截面绕中性轴转过一角度，称为 该点处横截面的转角。它等于挠曲线上这点处 的斜率。 如图所示梁变形后的曲线称为挠曲线，其曲线方程如图所示梁变形后的曲线称为挠曲线，其曲线方程 ( )f x 称为称为挠曲线方程挠曲线方程。另截面挠度为截面位置的单值连续函。另截面挠度为截面位置的单值连续函 数，且在小变形情况下，截面转角：数，且在小变形情况下，截面转角： d tg d f x 小变形小变形 即挠曲线上任意

3、点的即挠曲线上任意点的斜率斜率为该点处横截面的为该点处横截面的转角转角。 l4求位移两种方法 （1）挠曲线方程：确定梁的位移梁的位移方便。 （2）单位荷载法及图乘法：确定结构的位移结构的位移方 便，不但适用于荷载产生的位移，而且可求支 座移动、温度变化所引起的位移。 11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 纯弯曲梁纯弯曲梁 1 M E I z 剪切弯曲，当梁的高跨比较小（剪切弯曲，当梁的高跨比较小（ h / l 0 0)( x f f x M0 0)( x f ( ) ( ) Mx fx EI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 二、求挠曲线方程（

4、弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线） )()(xMxfEI 1 ( )( )d,( )( )EIfxM xxCxfx 12 ( )( ( )d )d,( )EIf xM xxxC xCf x 1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P AB C P D 讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条边界条件、连续条 件件）确定。）确定

5、。 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。 支点位移条件：支点位移条件： 连续条件：连续条件： 光滑条件光滑条件： 0 A f0 B f 0 D f0 D CC ff CC 右左 或写成 CC 右左 或写成 CC ff P AB C P D 例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度 及最大转角。及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程 ( )()M xP Lx 写出写出微分方程并积分微分方程并积分 )()(xLPxMfEI 2 1 1 () 2 EIEIfP LxC

6、21 3 )( 6 1 CxCxLPEIf 解： P L x f 应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数 0 6 1 )0( 2 3 CPLEIf 0 2 1 )0()0( 1 2 CPLfEIEI 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 PLCPLC x f P L 写出挠曲线方程并画出曲线写出挠曲线方程并画出曲线 323 3)( 6 )(LxLxL EI P xf EI PL Lff 3 )( 3 max EI PL L 2 )( 2 max 端点处：端点处：最大挠度及最大转角 例例2简支梁挠曲线简支梁挠曲线 解：解：建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程 23 11

7、46 EIwEIqlxqlxC 2 2 1 2 1 )(qxqlxxM 34 11 1224 EIwqlxqlxCxD 2 11 ( ) 22 EIwM xqlxqx 写出写出微分方程并积分微分方程并积分 q A B L x 应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数 4 4 0,0,(0)0 1 ,0,( )0 24 1 ,0 24 A B xwEIwD xl wEIw lqlClD CqlD 写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线 323 433 (46) 24 (2) 24 z z q wxlxl EI q wxlxl x EI 4 max 3 5 384 24

8、z B z ql w EI ql EI 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角 q A B L x 11-3叠加法叠加法 一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和变形的代数和。 )()()()( 221121nnn PPPPPP )()()()( 221121nnn PfPfPfPPPf 挠度：挠度： 转角：转角： 例1按叠加原理求按叠加原理求A C点转角挠度点转角挠度 P P =+ A A A B B B C aa 解、解、载荷分解如图载荷分解如图 由梁的简

9、单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。 EI Pa f PC 6 3 EI Pa PA 4 2 4 5 24 qC qa f E I EI qa qA 3 3 叠加叠加 qAPAA )43( 12 2 qaP EI a EI Pa EI qa f C 624 5 34 q P P =+ A A A B B B C aa 例例2 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求为常数，求 B点位移及转角。点位移及转角。 33 44 ( /2) 648 ( /2) 8128 Cq Cq q lql EIEI q lql y EIEI 查

10、表 F l/2 q l/2 A B C 23 23 BPBP FlFl y EIEI ， 解：1)在F作用下 2)在q作用下 A B q A BC yBq yCq Cq BF F yBF B查表：C 3 4 48 B 7 2384 BqCq BqCqCq ql EI lql yy EI 则在 点 3) )在在q和和F共同作用下共同作用下 BBPBq BBPBq yyy 11-4单位荷载法单位荷载法 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) 一般公式右边三项乘积,当力与变形的 方向一致时,

11、乘积取正。 通过虚设单位广义力作用的力状态，利用虚功方程通过虚设单位广义力作用的力状态，利用虚功方程 求位移的方法求位移的方法单位荷载法。单位荷载法。 虚拟状态的设置：在应用单位荷载法计算时，应 据所求位移 不同，设置相应的虚拟单位力状态相应的虚拟单位力状态。 例例 1：已知图示粱的：已知图示粱的E 、G, 求求A点的竖向位移。点的竖向位移。 1P x l h b q A ds EI MM GA QkQ EA NN iPPP ip ii 解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态. 0)(, 0)(xNxN Pi ( )1,( )() iP Q xQxq lx 2 ( ),( )() / 2

12、 iP M xxl Mxq lx dx EI xlq GA kxlq l 2 )()( 0 3 )( 82 42 EI ql GA qkl )(5 . 2/,10/1/ , 5/6,12/, 3 钢砼 GElh kbhIbhA GA qkl EI ql QM 2 , 8 : 24 设 2 4 GAl EIk M Q 100 1 M Q 对于细长杆对于细长杆,剪切变形剪切变形 对位移的贡献与弯曲变对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计形相比可略去不计. 例2 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、I为 常数。 A B C q L L L A A B C 1 解：1. 设置单位力状态 x x

13、 选取坐标如图。 则各杆弯矩方程为:AB段：xM BC段： LM 2. 实际状态中各杆弯矩方程为 AB段：BC段：MP=MP= x x 2 qx 2 2 qL 2 3. 可得： Ay= EI8 qL5 4 ， () EI dsMM P = l 0 (-x)(- 2 qx2) EI dx + l 0(-L)(-2 qL 2 ) EI dx 1. 梁和刚架梁和刚架 KP= EI dsMM P 2.2.桁架桁架 KP= EA LNN ds EA NN EA dsNN PPP 3. 组合结构组合结构 KP= EI dsMM P EA LNN P 在实际计算时，根据结构的具体情况, 位移计算公式可以简化

14、： 11-5 图乘法图乘法 M KP= EI dsMM P 1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时， 要计算下面的积分 （1）杆轴为直线； （2）EI=常数； 和M两个弯矩图中 至少有一个是直线图形。（3） 当结构符合下述条件时： 上述 积分可以得到简化，积分式可用 和M图形互乘表示 M 设等截面直杆AB段 的两个弯矩图中， 为 一段直线，MP图为任意 形状，则上式中的ds可 用dx代替。故 且tan=常数，则 积分为： ta nMx MP图图 x y 面积面积 AB O AB MP M dx d =MPdx x 图M M tantan P p MM ds xM dxxd EIEIE

15、I MP图 x y 形心形心 C 面积 AB O AB MP M dx d=MPdx x xC 图M yC yC=xCtg 有 而 C xxd tan P MM ds xd EIEI tan P c C MM ds x EIEI y EI 则积分运算化简为 一个弯矩图的面积乘 以其形心处所对应的另 一个直线弯矩图上的竖 标 yC。 如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计 算公式可写成 KP= CP yMM ds EIEI 2. 图乘法的注意事项 （1）必须符合上述三个前提条件 （2）竖标yC只能取自直线图形 （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正 号，反之取负号。 3. 常用的几种简单图形的面积和

16、形心 L h 2L/3L/3 2 hL 形心 L h ab （L+a)/3(L+b)/3 2 hL 形心 L h 二次抛物线 顶点 L/2 3 hL2 二次抛物线 L h 3L/4 L/4 3L/85L/8 1 2 1=2(hL) /3 2= (hL) /3 顶点 4 .图乘的技巧： 当图形的面积和形心位置不便 确定时，将它分解成简单图形， 之后分别与另一图形相乘，然后 把所得结果叠加。 图M MP图 a b c d d L 则 )y 2 bL y 2 aL ( EI 1 ba ya=2/3c+1/3d yb=1/3c+2/3d 图M MP图 a b c d d ya yb 此时 ya=2/3

17、c1/3d yb=2/3d1/3c ybya dxMM EI 1 P 当当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆所属图形是由若干段直线组成时，或各杆 段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。 12 3 y1 y2 y3 1 2 3 y1 y2y3 =EI 1 (1y1+ 2y2+ 3y3) I1 I2I3 = 3 33 2 22 1 11 EI y EI y EI y 例 求下图所示刚架C、D两点间距离的改 变。设EI=常数。 A B CD L h q MP图图M 11 hh yC=h 形心 8 qL 2 解： 1. 作实际状态的MP图。 2. 设

18、置虚拟状态并作 图M。 3. （） CD= EI = EI 1 ( 3 2 8 qL2 L)h = 12EI qhL3 yC 例 求图示刚架A点的竖向位移Ay 。 A BC D EI EI 2EI P L LL/2 解： 1. 作MP图、 图M P 2 PL 2 PL PL MP图图M 1 L ； 2. 图乘计算。 Ay=（） 2 PL 4 PL EI yC = EI 1 ( 2 L L 2 PL (L 4 = 16EI PL 2 )- 2EI 1 2 3L)PL 2EI EI EI 例 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。 EI=常数。 q A BC L2 L 2 8 qL M图1 1 y2 y

19、3 + 解： 1. 作MP图 2. 作M图 3. 图乘计算 y1= 8 L3 y2= 3 L y3= 4 L Cy=)( EI128 qL EI y 4 C y1 2 8 qL MP图 2 8 qL 2 3 2 L 11-6 线弹性体的互等定理线弹性体的互等定理2) ;2)小变形。即小变形。即: :线性变形体系。线性变形体系。 1. 功的互等定理功的互等定理: : P1 P2 N N1 1 M M1 1 Q Q1 1 GA kQ EI M EA N 1 01 1 1 1 1 F1F2 GA kQ EI M EA N 2 02 2 2 2 2 N N2 2 M M2 2 Q Q2 2 2112

20、PW ds GA kQ Q EI M M EA N N 2 1 2 1 2 1 1221 PW ds GA kQ Q EI M M EA N N 1 2 1 2 1 2 1221 PP 即即 线弹性体上第一组外力（已达最终值）在由 第二组外力引起的相应位移上所作的总虚功， 等于第二组外力（已达最终值）在由第一组 外力引起的相应位移上所作的总虚功。 功的互等定理 2. 位移互等定理位移互等定理 2112 = PP 212121 若：P1=1，P2=1 P2 P1 21 12 由单位荷载由单位荷载P P1 1=1=1所引起的与荷载所引起的与荷载P2相应的位移相应的位移21 21等于由单 等于由单

21、位荷载位荷载P2=1所引起的与荷载所引起的与荷载P1相应的位移相应的位移12 。 注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。 3 反力互等定理反力互等定理 k11 k21 k22 k12 kck 22112 0 ckk 22111 0 c1=1 c2=1 1221 kk 在任一线性变形体系中，由单位位移在任一线性变形体系中，由单位位移C1 1=1=1所引起的与位移所引起的与位移C2 2相应的相应的 反力反力r r21 21等于由单位位移 等于由单位位移C2 2=1=1所引起的与位移所引起的与位移C1 1相应的反力相应的反力r r12 12

22、 。 。 注意注意: :1）这里支座位移可以是广义位移这里支座位移可以是广义位移, ,反力是相应的广义力。反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用与超静定结构。反力互等定理仅用与超静定结构。 11-7 结构的刚度校核结构的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时， 为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件(stiffness condition)：以梁为例 式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠 跨比)，为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度 条件。 l w l w l wmax max 土建工程中通常只限制梁的挠跨比， 。在 机械工程中，对于主要的轴， ；对于传动轴还 要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角， 。 1000 1 250 1 l w 10000 1 5000 1 l w rad001. 00