第4章 有限差分法

1、第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 章章 有限差分法有限差分法 本章基于差分原理阐述了在电磁场数值计算方法中应用最早的有限差分本章基于差分原理阐述了在电磁场数值计算方法中应用最早的有限差分 法，并以正方形网格划分的离散模式为主体，重点讨论了静态场中方法应用法，并以正方形网格划分的离散模式为主体，重点讨论了静态场中方法应用 的全过程，并介绍了时变电磁场中直接将麦克斯韦方程组中的旋度方程转化的全过程，并介绍了时变电磁场中直接将麦克斯韦方程组中的旋度方程转化 为差分方程的时域有限差分法。为差分方程的时域有限差分法。 4.1 概述概述 在电磁场数值计算方法中，有限差分法在电磁场

2、数值计算方法中，有限差分法(Finite Difference Method，简称，简称 FDM)是应用最早的一种方法。有限差分法以其概念清晰，方法简单、直观是应用最早的一种方法。有限差分法以其概念清晰，方法简单、直观 等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。现阶段各种电磁场数等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。现阶段各种电磁场数 值计算方法发展很快，尤其是在有限差分法与变分法相结合的基础上形成的值计算方法发展很快，尤其是在有限差分法与变分法相结合的基础上形成的 有限元法日益得到广泛的应用，但有限差分法以其固有的特点仍然是一种不有限元法日益得到广泛的应用，但有限差分法以其固

3、有的特点仍然是一种不 容忽视的数值计算方法。例如，面向高频电磁场的传输、辐射、散射和透入容忽视的数值计算方法。例如，面向高频电磁场的传输、辐射、散射和透入 等工程问题的需求，基于麦克斯韦方程组中旋度方程直接转化为差分方程的等工程问题的需求，基于麦克斯韦方程组中旋度方程直接转化为差分方程的 时域有限差分法时域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method，简称，简称FDTD)即从传即从传 统的有限差分法中脱颖而出，成为在上述一系列工程问题中广泛应用的数值统的有限差分法中脱颖而出，成为在上述一系列工程问题中广泛应用的数值 计算方法。计算方法。 第第 4 4 章

4、章 有有 限限 差差 分分 法法 为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法的基本为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法的基本 思想是利用网格剖分将定解区域（场域）离散化为网格离散节点的集合，思想是利用网格剖分将定解区域（场域）离散化为网格离散节点的集合， 然后，基于差分原理的应用，以各离散点上函数的差商来近似替代该点的然后，基于差分原理的应用，以各离散点上函数的差商来近似替代该点的 偏导数，这样，待求的偏微分方程定解问题可转化为相应的差分方程组偏导数，这样，待求的偏微分方程定解问题可转化为相应的差分方程组 （代数方程组）问题，解出各离散点上的待求函数值，即为所求定

5、解问题（代数方程组）问题，解出各离散点上的待求函数值，即为所求定解问题 的离散解，若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域上的离散解，若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域上 的近似解。的近似解。 对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的 步骤通常是：步骤通常是： 1 1）采用一定的网格剖分方式离散化场域；）采用一定的网格剖分方式离散化场域； 2 2）基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及定解条件进行差分离散）基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及定解条件进行差分离散 化处理化处理

6、( (一般把这一步骤称为构造差分格式一般把这一步骤称为构造差分格式) )； 3 3）由所建立的差分格式）由所建立的差分格式( (即与原定解问题对应的离散数学模型即与原定解问题对应的离散数学模型代数方程代数方程 组组) )，选用合适的代数方程组的解法，编制计算程序，算出待求的离散解。，选用合适的代数方程组的解法，编制计算程序，算出待求的离散解。 有限差分法有上述大致固定的处理和计算模式，具有一定的通用性。有限差分法有上述大致固定的处理和计算模式，具有一定的通用性。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.2 差分与差商差分与差商 有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离

7、散的函数值有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离散的函数值 所构成的差商来近似逼近相应的偏导数，所构成的差商来近似逼近相应的偏导数， 而所谓差商则是基于差分应用的数而所谓差商则是基于差分应用的数 值微分表达式。值微分表达式。 设一函数设一函数 f(x)， 其自变量其自变量 x 得到一个很小的增量得到一个很小的增量x = h， 则则 函数函数 f(x)的增量的增量 称为函数称为函数 f（x）的一阶差分。显然，只要增量）的一阶差分。显然，只要增量 h 很小，很小， 差分差分f与微分与微分 df之间之间 的差异将很小的差异将很小 。 一阶差分仍是自变量一阶差分仍是自变量 x 的函数，相

8、类似地按式（的函数，相类似地按式（4-1）计算一阶差分的差分，）计算一阶差分的差分， 就得到就得到2f(x)，称之为原始函数，称之为原始函数 f(x)的二阶差分。的二阶差分。 同样，同样， 当当 h 很小时，很小时， 二阶二阶 差分差分2f(x)逼近于二阶微分逼近于二阶微分d2f。依同理，可以定义更高阶的差分。依同理，可以定义更高阶的差分。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 即是无限小的微分即是无限小的微分 除以无限小的微分除以无限小的微分 的的 商，应用差分，显然，它可近似地表达为商，应用差分，显然，它可近似地表达为 即有限小的差分即有限小的差分f(x)除以有限小的差分除以有

9、限小的差分x 的商，称为差商。同理，一阶导数的商，称为差商。同理，一阶导数 还可近似表达为还可近似表达为 ( )fx 一阶导数一阶导数 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 式（式（4-2）、）、 式（式（4-3）和式（）和式（4-4）分别称为一阶向前、）分别称为一阶向前、 向后和中心差商。向后和中心差商。 如图如图 4-1 所示，所示， 对应于点对应于点 P 的一阶向前、的一阶向前、 向后和中心差商，在几何意义上向后和中心差商，在几何意义上 可分别表征为弧线可分别表征为弧线 PB、 AP 和和 AB的斜率，而在理论上它们对于该点一阶导的斜率，而在理论上它们对于该点一阶导 数的逼近

10、度则分别可从以下泰勒公式的展开式中得知，即由数的逼近度则分别可从以下泰勒公式的展开式中得知，即由 可见，可见， 对应于式（对应于式（4-2）和式（）和式（4-3），）， 它们它们 都截断于都截断于 hf(x0)项，项， 而把而把 h2项和更高幂次的项和更高幂次的 项全部略去。项全部略去。 换句话说，换句话说， 就式（就式（4-2）、）、 式式 （4-3）而言，）而言， 略去余数项所引入的误差将大略去余数项所引入的误差将大 致和致和 h 的一次方成正比。的一次方成正比。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 而对于式（而对于式（4-4）的一阶中心差商表达式则相当于把相应的泰勒公式）的

11、一阶中心差商表达式则相当于把相应的泰勒公式 截断于截断于 2hf(x0)项，项， 略去了略去了 h3项以及更高幂次的项。很明显，三种差商表达项以及更高幂次的项。很明显，三种差商表达 式中以式（式中以式（4-4）所示的中心差商的截断误差最小，其误差大致和）所示的中心差商的截断误差最小，其误差大致和 h 的二次方的二次方 成正比。成正比。 二阶导数同样可近似为差商的差商，即二阶导数同样可近似为差商的差商，即 这相当于把泰勒公式这相当于把泰勒公式 截断于截断于 h2f(x)项，项， 略去了略去了 h4项以及更高幂次的项，其误差亦大致和项以及更高幂次的项，其误差亦大致和 h 的的 二次方成正比。二次方

12、成正比。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 由此，由此， 仿照式（仿照式（4-2）和式（）和式（4-5），）， 偏导数也可近似地用相应的差商来表达。偏导数也可近似地用相应的差商来表达。 若设定函数若设定函数 u (x, y, z)， 当其独立变量当其独立变量 x 得到一个很小的增量得到一个很小的增量x = h 时，时， 则则 x 方向的一阶偏导数可以近似表达为方向的一阶偏导数可以近似表达为 同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.3 差分格式的构造差分格式的构造 现以二维静态电、现以二维静态

13、电、 磁场泊松方程的第一类边值问题为例，磁场泊松方程的第一类边值问题为例， 来具体阐明有来具体阐明有 限差分法的应用。设具有平行平面场特征的电磁场场域限差分法的应用。设具有平行平面场特征的电磁场场域 D， 如图如图 4-2 所示，所示， 为一由闭合边界为一由闭合边界 L 所界定的平面域，其定解问题可表述为所界定的平面域，其定解问题可表述为 4.3.1 偏微分方程的离散化偏微分方程的离散化五点差分格式五点差分格式 通常采用完全有规律的分布方式，通常采用完全有规律的分布方式， 这样这样 在每个离散点上就能得出相同形式的差分方在每个离散点上就能得出相同形式的差分方 程，程， 有效地提高解题速度，因而

14、经常采用正有效地提高解题速度，因而经常采用正 方形网方形网 格的剖分方式。现即以这种正方形网格的剖分方式。现即以这种正方形网 格剖分场域格剖分场域 D， 也就是说，用分别与也就是说，用分别与 x、 y 两坐标轴平行的两簇等距（两坐标轴平行的两簇等距（ 步距为步距为 h）网格）网格 线来生成正方形网线来生成正方形网 格，格， 网格线的交点称为网格线的交点称为 节点，这样，场域节点，这样，场域 D 就被离散化为由网格节就被离散化为由网格节 点构成的离散点的集合。点构成的离散点的集合。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 对于场域内典型的内节点对于场域内典型的内节点 o (xi，yj)

15、， 如图如图 4-2 所示，所示， 它与周围相邻的节它与周围相邻的节 点点 1、 2、 3 和和 4构成一个所谓对称的星形。今采用双下标构成一个所谓对称的星形。今采用双下标(i，j)的识别方法，的识别方法， 设在这些离散节点上的待求位函数设在这些离散节点上的待求位函数 u 的的 近近 似似 值值 分分 别别 记记 作作 uo = u（i，j）、）、 u1 = u(i+1，j)、 u2 = u(i，j+1)、 u3 = u(i-1，j) 和和u4 = u(i，j-1)， 则参照式则参照式 (4-7)，二维泊松方程（，二维泊松方程（4-8）可近似离散化表示为）可近似离散化表示为 即即 此式称为对应

16、于泊松方程的差分方程。此式称为对应于泊松方程的差分方程。 如果位函数如果位函数 u 满足的是拉普拉斯方程满足的是拉普拉斯方程 （即令式（即令式（4-8）中的右端项）中的右端项 F = 0），）， 则差分离散化后所得差分方程是则差分离散化后所得差分方程是 出现待求函数出现待求函数 u 在点在点 o(xi，yj)与其四个邻点与其四个邻点 上的值，故通常称为五点差分格式。上的值，故通常称为五点差分格式。 边界条件，对具体问题中可能存在的衔接条边界条件，对具体问题中可能存在的衔接条 件，进行差分离散化处理。件，进行差分离散化处理。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.3.2 定解条件

17、的离散化定解条件的离散化各类差分计算格式各类差分计算格式 对于场域边界上给定的三类边界条件（见对于场域边界上给定的三类边界条件（见 1.7 节），节）， 由于第二类边界条由于第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，这里只需讨论第一、第三件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，这里只需讨论第一、第三 类边界条件的差分离散化处理。类边界条件的差分离散化处理。 （1） 第一类边界条件的差分离散化第一类边界条件的差分离散化 若如图若如图 4-2 点点 M 所示，所示， 划分网格时相应的网格节点恰好落在边界划分网格时相应的网格节点恰好落在边界 L 上，则上，则 只要直接把位函数只要

18、直接把位函数 u| M L = f(rM)的值赋给该对应的边界节点 的值赋给该对应的边界节点 M 即可。即可。 若划分网格时引入的节点不落在边界若划分网格时引入的节点不落在边界 L 上，上， 则如图则如图 4-3所示，所示， 对于邻近边界的典型节点对于邻近边界的典型节点 o， 由于由于 h1 h2 h， 这样，这样， o点及其周围相邻的点及其周围相邻的 1、 2、 3 和和 4 点构成一个不对称的星形。此时，点构成一个不对称的星形。此时， 可仿照可仿照 4.2 节，节， 采用泰勒公式进行差分离散化采用泰勒公式进行差分离散化 处理，即能相当精确地导出关于处理，即能相当精确地导出关于 o 点的差分

19、计点的差分计 算格式。算格式。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 应用二元函数的泰勒公式，节点应用二元函数的泰勒公式，节点 1 的位函数值的位函数值 u1 可通过可通过 u0 表示为表示为 同理同理 以以 h 和和 h1 分别与以上两式相乘，且相加，然后截断于分别与以上两式相乘，且相加，然后截断于 h 的二次项，便得关的二次项，便得关 于于 的差分表达式为的差分表达式为 同理可得同理可得 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 令令 h1 =h， h2 =h，代入以上两式，最终再代入给定的泊松方程，即得这类，代入以上两式，最终再代入给定的泊松方程，即得这类 边界情况所

20、对应的差分计算格式为边界情况所对应的差分计算格式为 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 （2） 第三类边界条件的差分离散化第三类边界条件的差分离散化 对此，同样需分两种情况讨论。第一种情况是在边界处引入的相应节点对此，同样需分两种情况讨论。第一种情况是在边界处引入的相应节点 恰好落在边界恰好落在边界 L上。上。 这时，取决于边界这时，取决于边界 L 在该边界节点处的外法线方向是否在该边界节点处的外法线方向是否 与网格线相重合，与网格线相重合， 对应有不同的差分离散化结果。对应有不同的差分离散化结果。 当边界当边界 L 在边界节点在边界节点 o 处的外法向处的外法向 n 与网格线相

21、重合时，如图与网格线相重合时，如图 4-4 所示，所示， 则问题在于如何用差商近似替代法向导数则问题在于如何用差商近似替代法向导数 。 显然，显然， 最简洁的处理方最简洁的处理方 法是依据式（法是依据式（4-3），）， 这样，这样， 第三类边界条件在此情况下的差分计算格式为第三类边界条件在此情况下的差分计算格式为 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 当边界当边界 L 在边界节点在边界节点 o 处的外法向处的外法向 n 与网格线不重合时，如图与网格线不重合时，如图 4-5 所所 示，示， 显然有显然有 于是，于是， 关于关于 o 点的差分计算格式是点的差分计算格式是 第第 4 4

22、章章 有有 限限 差差 分分 法法 第二种情况是在边界处引入的相应节点不落在边界第二种情况是在边界处引入的相应节点不落在边界 L 上，上， 这时如图这时如图 4-6 所示，可在邻近边界的节点所示，可在邻近边界的节点 o 上仍按上述方法列出差分计算格式，只是需引上仍按上述方法列出差分计算格式，只是需引 入与节点入与节点 o 相关的边界节点相关的边界节点 o，取点，取点 o处的外法向处的外法向 n 作为点作为点 o 处的处的“外法向外法向 n”， 且近似地认为边界条件中给定的函数且近似地认为边界条件中给定的函数f1(ro)和和 f2(ro)均在点均在点 o上取值。这上取值。这 样，将式（样，将式（

23、4-14）中的）中的 f1(ro)和和 f2(ro)改记为改记为 f1(ro)和和f2(ro)，即得此种情况下关，即得此种情况下关 于于 o 点的差分计算格式。点的差分计算格式。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 应当指出，从实际电、磁场问题的分析需要出发，应当指出，从实际电、磁场问题的分析需要出发， 如图如图 4-7 所示，所示， 以通量线（如以通量线（如 E 线）为边界的第二类齐次边界条件是常见的一种情况。线）为边界的第二类齐次边界条件是常见的一种情况。 这时，边界条件的差分离散化可沿着场域边界外侧安置一排虚设的网格节这时，边界条件的差分离散化可沿着场域边界外侧安置一排虚设

24、的网格节 点，点， 显然，显然， 对于边界节点对于边界节点 o， 由于该处由于该处 ， 故必有故必有 u1 = u3，因此，因此 相应于第二类齐次边界条件相应于第二类齐次边界条件 的差分计算格式为的差分计算格式为 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.3.3 不同媒质分界面上边界条件的差分计算格式不同媒质分界面上边界条件的差分计算格式 当给定的边值问题含有多种媒质时，取决于不同媒质的电磁特性和不同当给定的边值问题含有多种媒质时，取决于不同媒质的电磁特性和不同 媒质分界面的几何形状，媒质分界面的几何形状， 将对应有类型繁多的差分计算格式，这里仅选取将对应有类型繁多的差分计算格式，

25、这里仅选取 两种典型情况进行分析。两种典型情况进行分析。 （1） 分界面与网格线相重合的情况分界面与网格线相重合的情况 以二维电场问题为例，设分界面以二维电场问题为例，设分界面 L 与网格线相互重合，如图与网格线相互重合，如图 4-8 所所 示。且设在媒质示。且设在媒质a 中位函数中位函数 ua 满足泊松方程，而在媒质满足泊松方程，而在媒质b 中位函数中位函数 ub 满满 足拉普拉斯方程。足拉普拉斯方程。 现若将媒质现若将媒质b 换以媒质换以媒质a， 则对于则对于 o 点，点， 据式据式 （4-10）可得）可得 同理，若将媒质同理，若将媒质a换以媒质换以媒质b， 则对于则对于 o 点，点， 据

26、式据式 （4-11）可得）可得 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 但实际上但实际上 ua1和和 ub3是虚设的电位，所以应利用分界面上场量遵循的边界条是虚设的电位，所以应利用分界面上场量遵循的边界条 件式（件式（1-66）和式（）和式（1-69），把它们从以上两式中消去。），把它们从以上两式中消去。 首先，首先， 由式（由式（1-66）得出分界面上电位的连续性，即）得出分界面上电位的连续性，即 其次，假设在分界面上自由电荷的面密度其次，假设在分界面上自由电荷的面密度 = 0， 则由式（则由式（1-69）有）有 以差分格式表示，即为以差分格式表示，即为 将将a 乘以式（乘以式（4

27、-16）与）与b 乘以式（乘以式（4-17）后相加，）后相加， 代入由式（代入由式（4-18）和）和 式（式（4-19）所给定的边界条件，）所给定的边界条件， 并令并令 K =a/b，便得待求的两种不同媒质分，便得待求的两种不同媒质分 界面上边界条件的差分计算格式为界面上边界条件的差分计算格式为 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 （2） 分界面对于网格呈对角线形态的情况分界面对于网格呈对角线形态的情况 此时，差分计算格式的推导及其处理方法与上类同，此时，差分计算格式的推导及其处理方法与上类同， 但为提高差分离但为提高差分离 散化的逼近度，散化的逼近度， 尚需引入尚需引入 M、

28、N 两个辅助节点（两个辅助节点（ M、 N二点分别是线段二点分别是线段14 和和23的中点），的中点）， 如图如图 4-9 所示。对于节点所示。对于节点 o， 如同前述，当媒质依次代换时，如同前述，当媒质依次代换时， 相应的五点差分格式分别与式（相应的五点差分格式分别与式（4-16）和式（）和式（4-17）相同。依据分界面上的）相同。依据分界面上的 边界条件，现应有边界条件，现应有 注意到在以上各式中注意到在以上各式中 ua1、 ua4、 uaM、 ub2、 ub3和和 ubN 都是虚设电位值，但应用线性插值，它们可由以下方都是虚设电位值，但应用线性插值，它们可由以下方 程相互关联：程相互关联

29、： 因此，由实际存在的电位值因此，由实际存在的电位值 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 可以消去所有虚设电位值，得出关于这类边界条件的差分计算格式可以消去所有虚设电位值，得出关于这类边界条件的差分计算格式 4.3.4 对称线的差分计算格式对称线的差分计算格式 在实际分析电、在实际分析电、 磁场分布时，磁场分布时， 经常可观察到经常可观察到 场分布的对称性，场分布的对称性， 因此，在数值计算中计及场的因此，在数值计算中计及场的 对称线条件，即可缩小分析计算的场域，从而在对称线条件，即可缩小分析计算的场域，从而在 对计算机存贮容量要求不变的情况下，可获得更对计算机存贮容量要求不变的

30、情况下，可获得更 为理想的数值解。为理想的数值解。 设如图设如图 4-10 所示，所示， AA线为二维泊松场的对线为二维泊松场的对 称线。此时，对位于对称线上的任一节点称线。此时，对位于对称线上的任一节点 o， 由由 式（式（4-10），）， 并依据场的对称性，即有并依据场的对称性，即有 u1 = u3， 因此相应的差分计算格式为因此相应的差分计算格式为 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.4 差分方程组的求解差分方程组的求解 综上所述，对场域综上所述，对场域 D 内各个节点（包括所有场域内节点和有关的边界内各个节点（包括所有场域内节点和有关的边界 节点）逐一列出对应的差分计

31、算格式，即构成以这些离散节点上的位函数节点）逐一列出对应的差分计算格式，即构成以这些离散节点上的位函数 u 为待求量的差分方程组（代数方程组）。仔细分析所得的差分方程组，不难为待求量的差分方程组（代数方程组）。仔细分析所得的差分方程组，不难 看出，该方程组的系数一般都是有规律的，看出，该方程组的系数一般都是有规律的， 且各个方程都很简单，包含的项且各个方程都很简单，包含的项 数不多（取决于前述对称或不对称的所谓星形离散结构，数不多（取决于前述对称或不对称的所谓星形离散结构， 每个方程待求量的每个方程待求量的 项数最多不超过项数最多不超过 5 项）。项）。 因此，因此， 在第二章所述的众多代数解

32、法中，对于有在第二章所述的众多代数解法中，对于有 限差分法，通常都采用迭代法，这是因为用计算程序来实现迭代时，限差分法，通常都采用迭代法，这是因为用计算程序来实现迭代时， 需要用需要用 到哪些系数就算出哪些系数，不需用时不保留，这样可显著降低对计算机存到哪些系数就算出哪些系数，不需用时不保留，这样可显著降低对计算机存 贮容量的需求。贮容量的需求。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 在迭代法的应用中，为加速迭代解的收敛速度，通常采用的是逐次超在迭代法的应用中，为加速迭代解的收敛速度，通常采用的是逐次超 松弛迭代法。按图松弛迭代法。按图 4-11 所示的对称星形离散模式，对应于泊松

33、差分方程所示的对称星形离散模式，对应于泊松差分方程 （4-10），）， 若采用早期的高斯若采用早期的高斯赛德尔迭代法（规定迭代运算顺序是：赛德尔迭代法（规定迭代运算顺序是： 从从 左下角开始做起，左下角开始做起， 即即 i 小的先做；小的先做； 对固定的对固定的 i，j 小的先做。），小的先做。）， 则关于节则关于节 点点 o 迭代到第（迭代到第（n +1）次时的近似值，应由如下迭代公式算得）次时的近似值，应由如下迭代公式算得 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 而为加速迭代解的收敛，而为加速迭代解的收敛， 构成超松弛迭代公式的原则是：构成超松弛迭代公式的原则是： 并不将由上并不

34、将由上 式所算得的结果作为式所算得的结果作为u(i，j)的第（的第（n +1）次近似值，而仅把它视为一中）次近似值，而仅把它视为一中 间结果间结果 然后作加权平均处理，即令然后作加权平均处理，即令 式中，式中， 称为加速收敛的松弛因子。称为加速收敛的松弛因子。 很明显，很明显， 上式就是上式就是 2.5 节中已经给出节中已经给出 的一般计算公式（的一般计算公式（2-14）对应于本方法的具体表达式。正如前已指出的，）对应于本方法的具体表达式。正如前已指出的， 超超 松弛迭代法的松弛迭代法的 取值范围是取值范围是 1 2， 当当 =1 时，时， 式（式（4-28）即归结为高）即归结为高 斯斯赛德尔

35、迭代法的迭代公式（赛德尔迭代法的迭代公式（4-27）；）； 当当 2 时，迭代过程将不收敛而时，迭代过程将不收敛而 发散。最佳收敛因子的取值随问题和离散化的情况而异。对于第一类边值问发散。最佳收敛因子的取值随问题和离散化的情况而异。对于第一类边值问 题，若一正方形场域由正方形网格剖分（每边节点数为题，若一正方形场域由正方形网格剖分（每边节点数为 p +1），）， 则最佳收敛则最佳收敛 因子因子opt opt可按下式计算 可按下式计算 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 若一矩形场域由边长为若一矩形场域由边长为 h 的正方形网格剖分（的正方形网格剖分（ 设两边分别为设两边分别为 p

36、h 和和 qh， 且且 p、q 通常要大于通常要大于15），则相应的最佳收敛因子为），则相应的最佳收敛因子为 在更一般的情况下，在更一般的情况下， opt只能凭经验取值。只能凭经验取值。 值得指出，值得指出， 在在 2.5 节中，介绍了节中，介绍了 加速收敛的松弛因子加速收敛的松弛因子 作自适应估计的方法，作自适应估计的方法， 这为解决一般性的需要提供了这为解决一般性的需要提供了 优化加速收敛因子选择的数学工具，然而，这时不仅首先必须形成差分方程优化加速收敛因子选择的数学工具，然而，这时不仅首先必须形成差分方程 组所对应的系数阵，而且相继需要构造系数矩阵元素的存贮技术（如组所对应的系数阵，而且

37、相继需要构造系数矩阵元素的存贮技术（如 2.5.3 节所阐述的非零元素存贮技术）。节所阐述的非零元素存贮技术）。 换句话说，应用数学上的高要求导致了求换句话说，应用数学上的高要求导致了求 解过程的复杂化。解过程的复杂化。 应当注意，在迭代运算前，恰当地给定各内点的初值（即所谓零次近应当注意，在迭代运算前，恰当地给定各内点的初值（即所谓零次近 似值），也是加速收敛速度的一个有效途径。似值），也是加速收敛速度的一个有效途径。 在超松弛迭代法的应用中，还必须涉及迭代解收敛程度的检验问题。对在超松弛迭代法的应用中，还必须涉及迭代解收敛程度的检验问题。对 此，通常的处理方法是：以所有内点上相邻两次迭代解

38、的绝对误差或相对误此，通常的处理方法是：以所有内点上相邻两次迭代解的绝对误差或相对误 差不大于指定的误差范围，作为检查迭代解收敛程度的依据。差不大于指定的误差范围，作为检查迭代解收敛程度的依据。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.5 场强与电、磁积分量的计算场强与电、磁积分量的计算 通过上述差分方程组的求解，在获得待求位函数通过上述差分方程组的求解，在获得待求位函数 u(x,y)的数值解后，的数值解后， 往往 往还需求场中的场强分布，以及其他有关的积分特性（如磁通量和磁导、电往还需求场中的场强分布，以及其他有关的积分特性（如磁通量和磁导、电 导、电容等磁路及电路参数等）。现

39、以二维平行平面场为例导出关于这些物导、电容等磁路及电路参数等）。现以二维平行平面场为例导出关于这些物 理量和参数的差分计算公式，推导中设场域由正方形网格予以剖分。理量和参数的差分计算公式，推导中设场域由正方形网格予以剖分。 4.5.1 场强的差分计算公式场强的差分计算公式 基于基于 1.6 节的阐述，在静态二维场中，节的阐述，在静态二维场中， 电场强度电场强度 E、 磁场强度磁场强度 H 或磁感或磁感 应强度应强度 B 和它们对应的位函数之间的关系可用差商分别表示为和它们对应的位函数之间的关系可用差商分别表示为 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 式中，式中， M、 Mm和和 M

40、A 分别为电位、标量磁位和向量磁位函数的标度，定义分别为电位、标量磁位和向量磁位函数的标度，定义 为相应位函数的实际值与相对值之比。例如在为相应位函数的实际值与相对值之比。例如在 4.6 节例节例 4-1 中，中， 采用了采用了1 =10 的相对电位值，的相对电位值， 若若1 的实际值为的实际值为 150V， 则计算电场强度时引入的电位函数则计算电场强度时引入的电位函数 标度应该是标度应该是 M=150V/10 =15V。 但若计算时，位函数直接采用实际值，则但若计算时，位函数直接采用实际值，则 M=1。 如需计算边界上的场强，由于按式（如需计算边界上的场强，由于按式（4-31） 式（式（4-

41、33）中所取的位函）中所取的位函 数值通常是在相距为数值通常是在相距为h 而非而非 2h 的两点上的值，因此所得结果实际上并不是边的两点上的值，因此所得结果实际上并不是边 界处的场强，界处的场强， 而应该是与边界相邻的网格边和边界的中间点上的场强值。例而应该是与边界相邻的网格边和边界的中间点上的场强值。例 如，图如，图 4-15d 中边界点中边界点 S 上的电场强度即可表示为上的电场强度即可表示为 显然，只有当网格的步距显然，只有当网格的步距 h 足够小时，足够小时， 上式计算结果才有可能逼近边界点上式计算结果才有可能逼近边界点 S 上实际的场强值。上实际的场强值。 第第 4 4 章章 有有

42、限限 差差 分分 法法 4.5.2 通量与参数的差分计算式通量与参数的差分计算式 无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其通量无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其通量 可一般性地表示为可一般性地表示为 式中，式中， K 是相应媒质的宏观特征参数（是相应媒质的宏观特征参数（、 或或），）， 而而 a 则为上述各类电、则为上述各类电、 磁场的相关场量（即相应场强磁场的相关场量（即相应场强 E、E或或 H）。在求得场中各点场强的基础）。在求得场中各点场强的基础 上，这一通量积分值可以近似地表示成上，这一通量积分值可以近似地表示成 式中，式中， n 表示被积面积被网格剖分所得小块面积的总数；表示被积面

43、积被网格剖分所得小块面积的总数； Si 表示其中某一表示其中某一 小块面积；小块面积； aav(i)表示在表示在 Si 中所取的场强中所取的场强 ai 的平均值，的平均值， 并且并且 ai 的方向应与小的方向应与小 面积面积 Si 的法线方向相一致。的法线方向相一致。 这样，这样， 在通量的差分计算式（在通量的差分计算式（4-35）的基础上，）的基础上， 所分析的静电场中的电容所分析的静电场中的电容 C、 恒定电流场中的电导恒定电流场中的电导 G 或恒定磁场中的磁导或恒定磁场中的磁导 等电路或磁路参数等电路或磁路参数 P 就可按下式计算：就可按下式计算： 式中，式中， U 表示限定分析区域的边

44、界面间的电位差或磁位差。表示限定分析区域的边界面间的电位差或磁位差。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 例例 4-2 二维平行平面电流场的计算。二维平行平面电流场的计算。 在导电纸模拟的实验研究中，制备了如图在导电纸模拟的实验研究中，制备了如图 4-17 所示的两维电流场模型，所示的两维电流场模型， 其中两种导电媒质的电导率分别为其中两种导电媒质的电导率分别为1 和和2， 它们在场

45、域的对角线它们在场域的对角线 L上接合。上接合。 电极间外施电压电极间外施电压 10V。试求该电流场模型中两维电流场分布。试求该电流场模型中两维电流场分布。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.7 等值点的寻求与描绘等值点的寻求与描绘 在电磁场分布的研究中，为了形象化的分析需要，通常需要通过数值计在电磁场分布的研究中，为了形象化的分析需要，通常需要通过数值计 算的后处理，描绘出场

46、分布的可视化图形，从而可定性乃至定量地讨论场分算的后处理，描绘出场分布的可视化图形，从而可定性乃至定量地讨论场分 布的规律性。常见的场分布图形为电场中的等位面（线）、布的规律性。常见的场分布图形为电场中的等位面（线）、 磁场中的等磁位磁场中的等磁位 面（线）以及磁感应强度面（线）以及磁感应强度 B 线的分布等。线的分布等。 应再次指出，诚如应再次指出，诚如 3.5 节的讨论，节的讨论， 在具有平行平面场或轴对称场特征的前提下，在具有平行平面场或轴对称场特征的前提下， 借助于向量磁位借助于向量磁位 A(Az =const. 或或A =const.)即可方便地描绘出相应磁场的即可方便地描绘出相应磁

47、场的 B 线分布。这些由相应的位函数线分布。这些由相应的位函数 数值相等的点所形成的曲面（线），称为等值面（线），其一般方程为数值相等的点所形成的曲面（线），称为等值面（线），其一般方程为 对少量电磁场问题，上式可由解析表达式给出，对少量电磁场问题，上式可由解析表达式给出， 利用该表达式就可以直接绘利用该表达式就可以直接绘 制场分布图形。对大量的工程电磁场问题来说，则必须有赖于电磁场的数值解，制场分布图形。对大量的工程电磁场问题来说，则必须有赖于电磁场的数值解， 通过插值法来寻求对应于给定位值的等值点。通过插值法来寻求对应于给定位值的等值点。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法

48、4.7.1 等值点的寻求等值点的寻求 以平行平面电场中等值点的寻求为例，以平行平面电场中等值点的寻求为例， 当由有限差分法算出各网格节点当由有限差分法算出各网格节点 的电位值后，的电位值后， 可以利用线性插值关系来求得指定电位值的等值点坐标可以利用线性插值关系来求得指定电位值的等值点坐标 (x, y)。 具体方法和步骤如下：具体方法和步骤如下： （1） 给出等值线的指定电位值给出等值线的指定电位值 Veq； （2） 判断相应的网格线是否与位值等于给定的判断相应的网格线是否与位值等于给定的 Veq的等值线相交。的等值线相交。 如如 图图 4-21 所示，所示， 设某个正方形网格的四顶点坐标分别为

49、设某个正方形网格的四顶点坐标分别为 A(i, j)、 B(i, j+1)、 C(i+1, j+1)和和 D(i+1，j)， 现首先判断网格线现首先判断网格线 AB 是否与指定位值的等值是否与指定位值的等值 线相交。线相交。 显然，显然， 若点若点 A 和点和点 B 的电位值的电位值 V(i，j)和和 V(i，j+1)与指定位值与指定位值 之间满足下列不等式：之间满足下列不等式： 则指定的等值线必与网格线则指定的等值线必与网格线 AB 相交，换句话说，相交，换句话说， 在在 AB 线上有相应的交点存在。线上有相应的交点存在。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 ( (3） 按线性插

50、值关系，确定上述所得等值点的坐标。在网格线分别沿按线性插值关系，确定上述所得等值点的坐标。在网格线分别沿 x， y 坐标轴取向的前提条件下，按线性插值公式坐标轴取向的前提条件下，按线性插值公式 即可求得上述交点（有指定位值的等值点）的坐标为即可求得上述交点（有指定位值的等值点）的坐标为 （4） 同理，继续搜索沿同理，继续搜索沿 x 方向网格线方向网格线 AD 上是否存在待求的等值点。上是否存在待求的等值点。 一旦存在，则其计算关系式可类同推得为一旦存在，则其计算关系式可类同推得为 至此，对各个网孔分别在相应的至此，对各个网孔分别在相应的 x 和和 y 方向的两网格线上搜索对应的等值方向的两网格

51、线上搜索对应的等值 点；为使所得等值点形成有序的排列，这里，还运用所谓冒泡法对选定的点；为使所得等值点形成有序的排列，这里，还运用所谓冒泡法对选定的 某个坐标方向实现等值点的排序处理。冒泡法的思路在于将相邻的两个数某个坐标方向实现等值点的排序处理。冒泡法的思路在于将相邻的两个数 值进行比较，将数值小的一个调迁到前一位置。值进行比较，将数值小的一个调迁到前一位置。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.7.2 等值面（线）的绘制等值面（线）的绘制 对应于场分布（等值面或等值线）图形描绘的需求，在寻找出各组等值对应于场分布（等值面或等值线）图形描绘的需求，在寻找出各组等值 点的分布

52、后，由所构成的数据文件，即可借助于各类绘图软件，例如点的分布后，由所构成的数据文件，即可借助于各类绘图软件，例如 Math、 Tech* * Graph* * Pad 等，等， 以及如常用软件以及如常用软件 MATLAB 等，完成等值面（线）的等，完成等值面（线）的 绘制。书在绘制。书在 5.4.5 节对等值线的绘制，基于三角元剖分，进行了系统的展述。节对等值线的绘制，基于三角元剖分，进行了系统的展述。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.8 时域有限差分法时域有限差分法 近代技术的发展，使复杂的高频电磁系统的分析与综合，以及高频电近代技术的发展，使复杂的高频电磁系统的分析与

53、综合，以及高频电 磁场与复杂目标相互作用的分析和计算，成为重要的研究课题。这些研究磁场与复杂目标相互作用的分析和计算，成为重要的研究课题。这些研究 课题以高频电磁场的传输、辐射、散射、和透入问题为主线，反映了现代课题以高频电磁场的传输、辐射、散射、和透入问题为主线，反映了现代 通信、通信、 雷达、雷达、 物探、物探、 电磁防护、电磁防护、 电磁兼容、电磁兼容、 医疗诊断、战略防御以及工医疗诊断、战略防御以及工 农业生产和日常生活等领域多方面的需求。正是在众多分析任务与目标的农业生产和日常生活等领域多方面的需求。正是在众多分析任务与目标的 推动下，时域有限差分法历经推动下，时域有限差分法历经 2

54、0 余年的发展，以其直接的时域计算模式、余年的发展，以其直接的时域计算模式、 广泛的适用性、较经济的存贮空间和计算时间、程序的通用性与简明、直广泛的适用性、较经济的存贮空间和计算时间、程序的通用性与简明、直 观等特点，从传统的有限差分法中脱颖而出，成为在上述一系列研究课题观等特点，从传统的有限差分法中脱颖而出，成为在上述一系列研究课题 中广泛应用的数值计算方法。本节即在于概述时域有限差分法（中广泛应用的数值计算方法。本节即在于概述时域有限差分法（FDTD） 的基本应用原理。的基本应用原理。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 1966 年年 KaneS.Yee 提出了后被称为提出

55、了后被称为 Yee 氏网格的空间离散方式（见氏网格的空间离散方式（见 图图 4-22）。）。 这一合理的网格体系的特点是，电场和磁场各分量在空间的这一合理的网格体系的特点是，电场和磁场各分量在空间的 取值点被交叉地放置，从而在直角坐标系下每个坐标平面上相应的电场分取值点被交叉地放置，从而在直角坐标系下每个坐标平面上相应的电场分 量的四周由磁场分量环绕，而相应的磁场分量的四周则由电场分量环绕。量的四周由磁场分量环绕，而相应的磁场分量的四周则由电场分量环绕。 这样的网格空间配置符合法拉第电磁感应定律和安培环路定律的要求。例这样的网格空间配置符合法拉第电磁感应定律和安培环路定律的要求。例 如对应于图

56、如对应于图 4-22b 中环绕点中环绕点 o(xo, yo,zo)的环量的环量 4.8.1 Yee 氏网格氏网格 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 式中，在相应的元路径式中，在相应的元路径x 或或y 上求积时，上求积时， 对应场量对应场量 Ex 或或 Ey 被看作为常量，被看作为常量， 且分别等于元路径中点处的且分别等于元路径中点处的 Ex 或或 Ey 值。从而通过应用二元函数的泰勒公式，值。从而通过应用二元函数的泰勒公式， 并截断于一阶偏导数项，可得并截断于一阶偏导数项，可得 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 将以上关于将以上关于 Ex1、 Ey2、 Ex3和

57、和 Ey4的近似表达式代入式（的近似表达式代入式（4-39），）， 即有即有 而依据法拉第电磁感应定律应有而依据法拉第电磁感应定律应有 综合式（综合式（4-40）和式（）和式（4-41），显然满足麦克斯韦方程组中的旋度方程），显然满足麦克斯韦方程组中的旋度方程 , 即即 由此可见，由此可见， Yee 氏网格体系反映了实际物理模型中电场和磁场互为因果的物氏网格体系反映了实际物理模型中电场和磁场互为因果的物 理本质，即满足麦克斯韦方程组的两个旋度方程，因而也就符合电磁波在空理本质，即满足麦克斯韦方程组的两个旋度方程，因而也就符合电磁波在空 间传播的规律性。此外，它也满足不同介质分界面上场的切向分量

58、连续的物间传播的规律性。此外，它也满足不同介质分界面上场的切向分量连续的物 理条件。理条件。 显然，显然， Yee 氏网格为在四维空间中合理地离散六个未知场量，建立氏网格为在四维空间中合理地离散六个未知场量，建立 具有高精度的差分计算格式，奠定了理想的离散化空间的应用基础。具有高精度的差分计算格式，奠定了理想的离散化空间的应用基础。 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 4.8.2 4.8.2 旋度方程的差分格式旋度方程的差分格式 当场域由当场域由 Yee 氏网格离散后，空间步长分别为氏网格离散后，空间步长分别为 x、 y 和和 z； 时间步时间步 长记为长记为 t， 以以 n表示

59、时间步长的表示时间步长的“个数个数”，并标记于右上角，因而场分量，并标记于右上角，因而场分量 F （x，y，z，t）的四维空间离散表示法为）的四维空间离散表示法为 在在 1.4.1 节中，已经指出，麦克斯韦方程组中两旋度方程是基本的，这节中，已经指出，麦克斯韦方程组中两旋度方程是基本的，这 是电磁场问题研究的出发点。是电磁场问题研究的出发点。 应指出，为保证应指出，为保证 FDTD 计算稳定性，时间离散的步长与空间离散步长计算稳定性，时间离散的步长与空间离散步长 间应满足一定的关系。经分析表明，时间步长可选为电磁波传播一个空间间应满足一定的关系。经分析表明，时间步长可选为电磁波传播一个空间 步

60、长所需时间的一半。步长所需时间的一半。 现应用中心差商近似替代该场分量对空间、时间的偏导数，即现应用中心差商近似替代该场分量对空间、时间的偏导数，即 第第 4 4 章章 有有 限限 差差 分分 法法 在无源、均匀且各向同性的线性介质中，麦克斯韦方程组的两旋度方程分别为在无源、均匀且各向同性的线性介质中，麦克斯韦方程组的两旋度方程分别为 以上两式在直角坐标系下的展开式，分别为以上两式在直角坐标系下的展开式，分别为 应用式（应用式（4-43）和式（）和式（4-4）的差商近似关系式，）的差商近似关系式， 式（式（4-47a）对应的）对应的 差分计算格式为差分计算格式为 第第 4 4 章章 有有 限限