2019高考数学（文）一本策略复习教案：第一讲　坐标系与参数方程（选修4－4）

1、学必求其心得，业必贵于专精第一讲坐标系与参数方程（选修44）年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系t221。坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用。卷曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义t22卷参数方程与直角坐标方程的互化t222017卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离t22卷直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、

2、三角形面积的最值问题t22卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法t222016卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用t23卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系t23卷参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值t23极坐标方程及应用授课提示：对应学生用书第67页悟通-方法结论1圆的极坐标方程若圆心为m（0，0)，半径为r，则圆的方程为：220cos（0)r20。几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r:r；（2）当圆心位于m（a,0),半径为a:2acos ；（3）当圆心位于m，半径为a：2asin .2直线

3、的极坐标方程若直线过点m(0，0）,且极轴与此直线所成的角为，则它的方程为：sin(）0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1）直线过极点:0和0;（2）直线过点m(a，0)且垂直于极轴：cos a；（3）直线过m且平行于极轴：sin b。全练-快速解答1(2018高考全国卷）在直角坐标系xoy中，曲线c1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为22cos 30.（1）求c2的直角坐标方程;（2）若c1与c2有且仅有三个公共点，求c1的方程解析：(1）由xcos ，ysin 得c2的直角坐标方程为(x1）2y24.（2）由(1）知c

4、2是圆心为a(1,0），半径为2的圆由题设知，c1是过点b（0，2）且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点b在圆c2的外面，故c1与c2有且仅有三个公共点等价于l1与c2只有一个公共点且l2与c2有两个公共点，或l2与c2只有一个公共点且l1与c2有两个公共点当l1与c2只有一个公共点时,点a到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与c2没有公共点；当k时，l1与c2只有一个公共点,l2与c2有两个公共点当l2与c2只有一个公共点时，点a到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k。经检验，当k0时，l1与c2没有公共点;当k时

5、，l2与c2没有公共点综上,所求c1的方程为y|x2。2(2017高考全国卷)在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为cos 4。（1）m为曲线c1上的动点,点p在线段om上,且满足om|op|16,求点p的轨迹c2的直角坐标方程;（2)设点a的极坐标为，点b在曲线c2上,求oab面积的最大值解析:（1)设p的极坐标为(，)(0)，m的极坐标为（1，)(10)由题设知op|，|om1.由|om|op|16得c2的极坐标方程4cos (0）因此c2的直角坐标方程为（x2）2y24（x0）（2)设点b的极坐标为(b,）(b0），由题设知oa|2，

6、b4cos ，于是oab面积soa|bsinaob4cos sin2sin2。当时,s取得最大值2。所以oab面积的最大值为2.3（2018长春二模)在直角坐标系xoy中,以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c的极坐标方程为cos1，m，n分别为曲线c与x轴，y轴的交点（1）写出曲线c的直角坐标方程，并求m，n的极坐标；(2）设m,n的中点为p，求直线op的极坐标方程解析:(1）cos1,cos cos sin sin1.又xy1，即曲线c的直角坐标方程为xy20,令y0,则x2;令x0，则y.m（2,0)，n.m的极坐标为(2，0)，n的极坐标为.(2)m，n连线的中点p的直角坐标

7、为，p的极角为，直线op的极坐标方程为（r）【类题通法】1极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程（2）巧借两角和差公式，转化sin()或cos()的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的x转化为cos ，将y换成sin ，即可得到其极坐标方程2求解与极坐标有关的问题的主要方法（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用(2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标参数方程授课提示：对应学生用书第68页悟通方

8、法结论几种常见曲线的参数方程(1）圆以o(a,b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中是参数当圆心在(0,0)时,方程为其中是参数(2)椭圆椭圆1（ab0）的参数方程是其中是参数椭圆1(ab0）的参数方程是其中是参数（3）直线经过点p0(x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是其中t是参数全练快速解答1（2018高考全国卷）在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（为参数),直线l的参数方程为（t为参数）（1)求c和l的直角坐标方程；（2)若曲线c截直线l所得线段的中点坐标为(1，2),求l的斜率解析:(1）曲线c的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ,当

9、cos 0时，l的直角坐标方程为x1.（2）将l的参数方程代入c的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24（2cos sin )t80。因为曲线c截直线l所得线段的中点（1，2)在c内，所以有两个解，设为t1，t2,则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0,于是直线l的斜率ktan 2。2（2017高考全国卷）在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（为参数)，直线l的参数方程为(t为参数）(1）若a1，求c与l的交点坐标;(2）若c上的点到l距离的最大值为，求a.解析：（1）曲线c的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而c与l的交点坐

10、标为（3,0），。（2）直线l的普通方程为x4ya40，故c上的点(3cos ，sin ）到l的距离为d。当a4时，d的最大值为.由题设得，解得a8；当a4时，d的最大值为。由题设得，解得a16.综上，a8或a16。3（2018惠州模拟）已知曲线c的极坐标方程是4cos 。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)(1)将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线c相交于a，b两点,且ab|,求直线l的倾斜角的值解析：(1)由4cos 得24cos .x2y22，xcos ,ysin ,曲线c的直角坐标方程为x2y24x0

11、，即（x2)2y24.（2)将代入曲线c的方程得（tcos 1）2(tsin ）24，化简得t22tcos 30。设a，b两点对应的参数分别为t1，t2，则。abt1t2,4cos22,cos ，或。【类题通法】1.有关参数方程问题的2个关键点（1)参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点进行转化(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数,理解参数的几何意义2利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点p（x0，y0),倾斜角为的直线l的参数方程为（t为参数）若a，b为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2,线段ab的中点为m，点m所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常

12、用到：（1）t0；(2）pmt0；（3）|ab|t2t1；(4）|papb|t1t2.极坐标方程与参数方程的综合应用授课提示：对应学生用书第69页(2017高考全国卷）（10分)在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为（t为参数）,直线l2的参数方程为（m为参数)设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c。（1）写出c的普通方程;（2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos sin )0，m为l3与c的交点，求m的极径规范解答（1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk（x2);消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2） （2分）设p(x，y)，由题设得消去

13、k得x2y24（y0)所以c的普通方程为x2y24(y0） (4分）(2)c的极坐标方程为2(cos2sin2）4(02，）联立 （6分）得cos sin 2(cos sin )故tan ,从而cos2，sin2. （8分)代入2（cos2sin2)4得25，所以交点m的极径为。 (10分）【类题通法】解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰（2）对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件练通-即学即用1(2018惠

14、州模拟)已知曲线c：（为参数)和定点a(0,），f1，f2是此曲线的左、右焦点，以原点o为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1)求直线af2的极坐标方程；（2）经过点f1且与直线af2垂直的直线l交曲线c于m，n两点，求|mf1|nf1|的值解析:（1）曲线c：可化为1，故曲线c为椭圆,则焦点f1（1，0)，f2（1，0)所以经过点a（0,）和f2（1,0)的直线af2的方程为x1，即xy0，所以直线af2的极坐标方程为cos sin 。(2)由(1)知，直线af2的斜率为，因为laf2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30，所以直线l的参数方程为（t为参数），代入椭圆c的方程中，得13t

15、212t360。因为点m，n在点f1的两侧,所以mf1|nf1t1t2|。2（2018长郡中学模拟)在直角坐标系中,已知曲线m的参数方程为(为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为1,直线l2的方程为2。（1）写出曲线m的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l1与曲线m交于a,c两点,l2与曲线m交于b,d两点，求四边形abcd面积的取值范围解析：(1)由(为参数),消去参数，得曲线m的普通方程为(x1)2（y1)28,曲线m是以(1,1）为圆心,2为半径的圆（2）设oa1，oc|2，o,a，c三点共线，则|ac12（*）,将曲线m的方程化成极坐标方程，得22（sin cos )60,代入(

16、*)式得|ac.用代替，得bd|，又l1l2，s四边形abcdac|bd，s四边形abcd2，sin220,1,s四边形abcd8，14.授课提示：对应学生用书第143页1已知曲线c1的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为4sin()，直线l的直角坐标方程为yx。(1)求曲线c1和直线l的极坐标方程；(2)已知直线l分别与曲线c1、曲线c2相交于异于极点的a，b两点，若a，b的极径分别为1，2，求|21的值解析:(1）曲线c1的参数方程为（为参数）,其普通方程为x2(y1)21，极坐标方程为2sin .直线l的直角坐标方程为yx，故直线

17、l的极坐标方程为（r)（2)曲线c1的极坐标方程为2sin ，直线l的极坐标方程为,将代入c1的极坐标方程得11,将代入c2的极坐标方程得24，21|3。2(2018开封模拟)在直角坐标系xoy中，直线c1的参数方程为(t为参数),圆c2：（x2)2y24，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1)求c1，c2的极坐标方程和交点a的坐标(非坐标原点)；(2）若直线c3的极坐标方程为(r），设c2与c3的交点为b（非坐标原点)，求oab的最大面积解析：（1）由（t为参数)得曲线c1的普通方程为yxtan ，故曲线c1的极坐标方程为（r)将xcos ，ysin 代入(x2)2y24，得

18、c2的极坐标方程为4cos 。故交点a的坐标为(4cos ，）(2）由题意知，b的极坐标为（2,）soab|24cos sin（）|2sin(2)2|，故oab的最大面积是22。3(2018长春模拟）以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点p的直角坐标为(1,2)，点c的极坐标为(3,），若直线l过点p，且倾斜角为，圆c以点c为圆心,3为半径(1)求直线l的参数方程和圆c的极坐标方程;（2)设直线l与圆c相交于a，b两点，求|pa|pb|.解析：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，圆c的极坐标方程为6sin .(2)由(1)易知圆c的直角坐标方程为x2（y3)29，把代入x2（y3）29，得t2（1)t70，设点a，b对应的参数分别为t1，t2,t1t27，又pa|t1,|pb|t2|，|pa|pb7。4（2018唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xoy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同已知圆c1的极坐标方程为4(cos sin ）,p是c1上一动点，点q在射线op上且满足oq|op，点q的轨迹为c2.(1)求曲线c2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；(2）已知直线l的参数方程为（t为参数，0),l与曲线c2有且只有一个公共点，求的值解析：(1)设点p,q的极坐标分别为（0，），（，),则04（co