第2章 单因素优选法

1、1 b掌握单因素试验设计的常用方法掌握单因素试验设计的常用方法 单因素优选法单因素优选法 -本章主要内容本章主要内容 2 优选法概念优选法概念 b优选法优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学 原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速 地找到最佳点的一类科学方法。地找到最佳点的一类科学方法。 b优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形 式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。 b假定假定f(xf(x) )是

2、定义在区间是定义在区间aa，bb上的函数，但上的函数，但f(xf(x) )的表的表 达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点 x x0 0的数值的数值f(xf(x0 0) )。应用单因素优选法，就是用尽量少的。应用单因素优选法，就是用尽量少的 试验次数来确定试验次数来确定f(xf(x) )的最佳点。的最佳点。 3 2.1 2.1 均分法均分法 b它是在试验范围它是在试验范围a, ba, b内，根据精度要求和实际情况，内，根据精度要求和实际情况， 均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并 相互

3、比较，以求得最优点的方法。相互比较，以求得最优点的方法。 b作法：作法：如试验范围如试验范围L Lb ba a，试验点间隔为，试验点间隔为N N，则试验，则试验 点点n n为为( (包含两个端点包含两个端点) )： 1 N ab 1 N L n 4 2.1 2.1 均分法均分法 例例2-1 对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范 围为围为420转转/分分720转转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳分，拟经过试验找出能使光洁度最佳 的砂轮转速值。的砂轮转速值。 N = 30 转转/分分 n = + 1 = +1 = 11 b - a N 720

4、- 420 30 试验转速： 420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720 5 2.1 2.1 均分法均分法 b使用范围：使用范围： b这种方法的特点是对所试验的范围进行这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查普查”，常常 常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情 况。况。即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决 于试验点数目的多少。于试验点数目的多少。 6 2.2 2.2 平分法平分法( (对分法对分法) ) b平分法：适用于试验范围平分法：适用于试验范围

5、( (a,ba,b) )内，目标函数为单调内，目标函数为单调 （连续或间断）的情况下，求最优点的方法。（连续或间断）的情况下，求最优点的方法。 a b 图2-1 连续单调 f(x) a b f(x) 图2-2 间断单调 7 2.2 2.2 平分法平分法( (对分法对分法) ) 每次选取因素所在试验范围（a, b）的中点处C做试验。 计算公式： C = （ a + b ) 2 d = （ c + b ) 2 abc d 每试验一次，试验范围缩 小一半，重复做下去，直 到找出满意的试验点为止。 根据试验结果，如下次试验 在高处（取值大些），就把 此试验点（中点）以下的一 半范围划去；如下次试验在

6、低处（取值小些），就把此 试验点（中点）以上的一半 范围划去。 8 2.2 2.2 平分法平分法( (对分法对分法) ) b例例2-2 2-2 乳化油加碱量的优选。乳化油加碱量的优选。 高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软 性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前 乳化油脂加烧碱乳化油脂加烧碱1 1，需加热处理，需加热处理4 4小时，但小时，但 知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会 皂化，所以加碱量优选范围为皂化，所以加碱量优选范围为1 1 4.44.4。 解：过程见书解：过程见书P

7、37P37。 9 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法) ) b本方法是在试验范围本方法是在试验范围a, ba, b内，首先安排内，首先安排 两个试验点，再根据两点试验结果，留下好两个试验点，再根据两点试验结果，留下好 点，去掉不好点所在的一段范围，再在余下点，去掉不好点所在的一段范围，再在余下 的范围内寻找好点，去掉不好的点，如此继的范围内寻找好点，去掉不好的点，如此继 续地作下去，直到找到最优点为止。续地作下去，直到找到最优点为止。 10 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法) ) b0.6180.618法要求试验结果目标函数法要求试

8、验结果目标函数f(xf(x) )是是单峰函单峰函 数数，即在试验范围内只有一个最优点，即在试验范围内只有一个最优点 d d，其，其 效果效果f(df(d) )最好，比最好，比 d d 大或小的点都差，且距大或小的点都差，且距 最优点最优点 d d 越远的试验效果越差。越远的试验效果越差。 11 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-由来由来 b1 1 设设x x1 1 和和x x2 2 是因素范围是因素范围a,ba,b内的任意两个试点，内的任意两个试点， C C点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点 称为称为好

9、点好点，把效果较差的点称为，把效果较差的点称为差点差点。则：。则：最优点与最优点与 好点必在差点同侧好点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分，因而我们把因素范围被差点所分 成的两部分中好点所在的那部分称为成的两部分中好点所在的那部分称为存优范围存优范围。即可。即可 以去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。以去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。 b如何安排两个试验点？如何安排两个试验点？ 合理地缩小存优范围合理地缩小存优范围 12 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-由来由来 b2 2 安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的安排两个试点时应该使两个

10、试点关于因素范围的 中点对称中点对称-对称原则对称原则。 则无论哪点差，划去的长度都一样。则无论哪点差，划去的长度都一样。 b3 3 最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的 比例数（比例数（“成比例地舍去成比例地舍去”原则原则）。）。 13 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-由来由来 b两个试验点位置的确定：两个试验点位置的确定： b设第一次舍去的长度为设第一次舍去的长度为 x x ，则：，则： )( 21 度去掉第一段后剩余的长即第二次总长度 即第二次舍去的长度 即第一次总长度 即第一次舍去的长度 x)ab(

11、 xx)xa ()xb( ax xx ab x 1 21 14 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-由来由来 )(x)ab( xx)xa ()xb( ab x 21 度去掉第一段后剩余的长即第二次总长度 即第二次舍去的长度 即第一次总长度 即第一次舍去的长度 它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍 去的比例数。对这个等式进行变形可得去的比例数。对这个等式进行变形可得 0)()(3 22 abxabx 整理可得整理可得 x x0.382(b0.382(ba) a) 0.6180.618或或(1(10.618)0

12、.618)0.3820.382这正是黄金分割常数。这正是黄金分割常数。 15 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b第一个试验点第一个试验点x x1 1设在范围（设在范围（a a，b b）的）的0.6180.618位置上，第位置上，第 二个试验点二个试验点x x2 2取成取成x x1 1的对称点，则：的对称点，则： bx x1 1( (大小大小) )0.6180.618小小(b(ba)a)0.6180.618a a bx x2 2( (大小大小) )第一点第一点( (即前一点即前一点) )(b(ba)a)x x1 1 b第三个试验点的安排有三种情形

13、：第三个试验点的安排有三种情形： 16 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b(1)(1) x x1 1是好点是好点 ，则划去（，则划去（a,xa,x2 2），保留（），保留（x x2 2,b,b）。）。 x x1 1的对称点的对称点x x3 3，在，在x x3 3安排第三次试验。安排第三次试验。 x x3 3大小前一点大小前一点 b bx x2 2x x1 1 17 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b(2)(2) x x2 2是好点是好点 ，则划去（，则划去（x x1 1,b,b），保留（），保留

14、（a,xa,x1 1）。）。 第三个试验点第三个试验点x x3 3应是好点应是好点x x2 2的对称点。的对称点。 x x3 3大小前一点大小前一点 x x1 1a ax x2 2 18 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b(3)(3) 如果如果f(xf(x1 1) )和和f(xf(x2 2) )一样，则应该具体分析，看一样，则应该具体分析，看 最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以 同时划掉（同时划掉（a,xa,x2 2）和（）和（x x1 1,b,b），仅留中点的），仅留中点的(x(x2

15、2,x,x1 1) )， 把把x x2 2看成新看成新a a，x x1 1看成新看成新b b，然后在范围（，然后在范围（x x2 2,x,x1 1）内）内 0.3820.382、0.6180.618处重新安排两次试验试验。处重新安排两次试验试验。 19 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-做法做法 b无论何种情况，在新的范围内，又有两次试验可以比无论何种情况，在新的范围内，又有两次试验可以比 较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在 留下的范围中再找好点的对称点，安排新的试验。留下的范围中再找好点的对称点，

16、安排新的试验。 b这个过程重复进行下去，直到找出满意的点，得出比这个过程重复进行下去，直到找出满意的点，得出比 较好的试验结果；较好的试验结果； b或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不 大时也可终止试验。大时也可终止试验。 20 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-例例 b例例2-3 2-3 炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增 加强度，加入范围是加强度，加入范围是1000100020002000克，求最佳加入量。克，求最佳加入量。 b第一步第一步 先在试验范围长度的

17、先在试验范围长度的0.6180.618处做第（处做第（1 1）个试）个试 验验 x x1 1 ( (大小大小) )0.6180.618小小 a a(b(ba)a)0.6180.618 10001000(2000(20001000)1000)0.6180.61816181618克克 b第二步第二步 第（第（2 2）个试验点由公式（）个试验点由公式（2-42-4）计算）计算 x x2 2大小第一点大小第一点20002000100010001618161813821382克克 21 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-例例 x x1 116181618克克x x2

18、 213821382克克 b第三步第三步 比较（比较（1 1）与（）与（2 2）两点上所做试验的效果，）两点上所做试验的效果， 现在假设第（现在假设第（1 1）点比较好，就去掉第（）点比较好，就去掉第（2 2）点，即去）点，即去 掉掉1000,13821000,1382那一段范围。留下那一段范围。留下1382,20001382,2000，则：，则： x x3 3大小第一点大小第一点13821382200020001618161817641764克克 b第四步第四步 比较在上次留下的好点，即第（比较在上次留下的好点，即第（1 1）处和第）处和第 （3 3）处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果

19、）处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果 差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在 内的那部分范围作为新的试验范围，内的那部分范围作为新的试验范围，如此反复，如此反复， 直到得到较好的试验结果为止。直到得到较好的试验结果为止。 22 2.3 2.3 黄金分割法黄金分割法(0.618(0.618法法)-)-例例 b可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.6180.618倍，倍， 随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达 到所需精度即可。到所需精度即

20、可。 23 2.4 2.4 分数法分数法 b适用范围适用范围： b试验要求预先给出试验总数试验要求预先给出试验总数( (或者知道试验范围和精或者知道试验范围和精 确度，这时试验总数就可以算出来确度，这时试验总数就可以算出来) )。在这种情况下，。在这种情况下， 用分数法比用分数法比0.6180.618法方便，且同样适合单峰函数的方法方便，且同样适合单峰函数的方 法。法。 b裴波那契数列裴波那契数列： b1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, b用用F F0 0、F F1 1、F F2 2、依次表示上述数串，它

21、们满足递推依次表示上述数串，它们满足递推 关系：关系： F Fn nF Fn-1 n-1 F Fn-2 n-2 (n2) (n2) 24 2.4.1 2.4.1 分数法分数法 b1 1 所有可能的试验总数正好是某个所有可能的试验总数正好是某个F Fn n-1-1： b第一步第一步： 前两个试验点放在试验范围的前两个试验点放在试验范围的F Fn-1 n-1、 、F Fn-2 n-2的位置上， 的位置上， 也就是先在第也就是先在第F Fn-1 n-1、 、F Fn-2 n-2点上做试验。 点上做试验。 比较这两个试验的结果，如果第比较这两个试验的结果，如果第F Fn-1 n-1点好，划去第 点好，

22、划去第 F Fn-2 n-2点以下的试验范围； 点以下的试验范围； 如果第如果第F Fn-2 n-2点好，划去 点好，划去F Fn-1 n-1点以上的试验范围。 点以上的试验范围。 25 2.4.1 2.4.1 分数法分数法 b1 1 所有可能的试验总数正好是某个所有可能的试验总数正好是某个F Fn n-1-1： b第二步第二步： 在留下的试验范围中，还剩下在留下的试验范围中，还剩下F Fn-1 n-1 1 1个试验点，个试验点， 重新编号，其中第重新编号，其中第F Fn-2 n-2和 和F Fn-3 n-3个分点，有一个是刚好留 个分点，有一个是刚好留 下的好点，另一个是下一步要做的新试验点

23、，两点比下的好点，另一个是下一步要做的新试验点，两点比 较后同前面的做法一样，从坏点把试验范围切开，短较后同前面的做法一样，从坏点把试验范围切开，短 的一段不要，留下包含好点的长的一段，这时新的试的一段不要，留下包含好点的长的一段，这时新的试 验范围就只有验范围就只有F Fn-2 n-2 1 1试验点。试验点。 b以后以后：以后的试验，照上面的步骤重复进行，直到试：以后的试验，照上面的步骤重复进行，直到试 验范围内没有应该做的好点为止。验范围内没有应该做的好点为止。 26 2.4 .1 2.4 .1 分数法分数法-例例2-42-4 b例例2-4 2-4 卡那霉素生物测定培养温度试验。卡那霉素生

24、物测定培养温度试验。 b卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为 373711，培养时间在，培养时间在16h16h以上。某制药厂为缩短时间，以上。某制药厂为缩短时间， 决定进行试验，试验范围为决定进行试验，试验范围为29295050，精确度要求，精确度要求 11，中间试验点共有，中间试验点共有2020个，用分数法安排试验。个，用分数法安排试验。 b解：由题意可知，试验总次数为解：由题意可知，试验总次数为2020次，次， 正好等于正好等于F F7 71 1。试验过程如书。试验过程如书P43P43图图2-82-8所示所示 27 卡那霉素发酵液测定，国内外

25、都规定培养温度为卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为373711，培养时间在，培养时间在 16h16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为2929 5050， 精确度要求精确度要求11，中间试验点共有，中间试验点共有2020个，用分数法安排试验。个，用分数法安排试验。 28 2.4 .1 2.4 .1 分数法分数法-例例2-42-4 b(1) (1) 第个试验点选在第个试验点选在1313个分点个分点4242；第个试验点在第；第个试验点在第8 8个个 分点分点3737。发现点好，划去。发现点好，划去8 8分点以下的，再重新编号

26、；分点以下的，再重新编号； b(2) (2) 和比较，好，划去和比较，好，划去8 8分点以上的，再重新编号；分点以上的，再重新编号； b(3) (3) 和比较，好，划去和比较，好，划去3 3分点以下的，再重新编号；分点以下的，再重新编号； b(4) (4) 和比较，好，划去和比较，好，划去2 2分点以下的，再重新编号；分点以下的，再重新编号； b(5) (5) 和比较，好，试验结束，定下和比较，好，试验结束，定下434311，只需，只需 8 810h10h。 b说明：说明：F F7 72121，因而最多只需做，因而最多只需做7 71 16 6次试验。次试验。 29 2.4.2 2.4.2 分数

27、法分数法 b2 2 所有可能的试验总数大于某个所有可能的试验总数大于某个F Fn n-1-1而小于而小于F Fn+1 n+1-1 -1： b只在要试验范围之外虚设几个试验点，凑成只在要试验范围之外虚设几个试验点，凑成F Fn+1 n+1 1 1个个 试验，就化成试验，就化成2.4.12.4.1节的情形。节的情形。 b对于虚设点，并不真正做试验，直接判断其结果比其对于虚设点，并不真正做试验，直接判断其结果比其 他点都坏，试验往下进行，很明显，这种虚设点，并他点都坏，试验往下进行，很明显，这种虚设点，并 不增加实际试验次数。不增加实际试验次数。 30 2.4.2 2.4.2 分数法分数法-例例2-

28、52-5 b例例2-5 2-5 假设某混凝沉淀试验，所用的混凝剂为某阳离假设某混凝沉淀试验，所用的混凝剂为某阳离 子型聚合物与硫酸铝，硫酸铝的投入量恒定为子型聚合物与硫酸铝，硫酸铝的投入量恒定为10mg/L10mg/L， 而某阳离子聚合物的可能投加量分别为而某阳离子聚合物的可能投加量分别为0.100.10、0.150.15、 0.200.20、0.250.25、0.30mg/L0.30mg/L，试利用分数法来安排试验，试利用分数法来安排试验， 确定最佳阳离子型聚合物的投加量。确定最佳阳离子型聚合物的投加量。 31 2.4.2 2.4.2 分数法分数法-例例2-52-5 b解：根据题意可知，可能

29、的试验总次数为解：根据题意可知，可能的试验总次数为5 5次。由裴次。由裴 波那契数列可知，波那契数列可知， F F5 51 18 81 17 7 F F4 41 15 51 14 4 b故故F F4 41 14 4 5 5 F F5 51 17 7 b(1)(1)首先需要增加两个虚设点，使其可能的试验总次首先需要增加两个虚设点，使其可能的试验总次 数为数为7 7次，虚设点可以安排在试验范围的一端或两端。次，虚设点可以安排在试验范围的一端或两端。 假设安排在两端，即一端一个虚设点，如图假设安排在两端，即一端一个虚设点，如图2-92-9所示。所示。 32 2.4.2 2.4.2 分数法分数法-例例

30、2-52-5 33 b(2)(2)第个试验点选在第第个试验点选在第5 5个分点个分点0.25mg/L0.25mg/L；第个试；第个试 验点在第验点在第3 3个分点个分点0.15mg/L0.15mg/L。假设点好，划去。假设点好，划去3 3分点分点 以下的，再重新编号；以下的，再重新编号； b(3)(3)和比较，假设好，划去和比较，假设好，划去2 2分点以下的，再重分点以下的，再重 新编号；新编号； b(4)(4)此时第个试验点为虚设点，直接认定它的效果此时第个试验点为虚设点，直接认定它的效果 比差，即好。试验结束，定下该阳离子型聚合物比差，即好。试验结束，定下该阳离子型聚合物 的最佳投加量为的

31、最佳投加量为0.30mg/L0.30mg/L。 34 2.4 2.4 分数法分数法-例例 b分数法与分数法与0.6180.618法的区别只是用法的区别只是用F Fn-1 n-1和 和F Fn-2 n-2代替 代替0.6180.618和和 0.3820.382来确定试验点，以后的步骤相同。来确定试验点，以后的步骤相同。 b一旦用一旦用F Fn-1 n-1确定了第一个试验点，则以后根据公式 确定了第一个试验点，则以后根据公式(2-(2- 4)4)确定其余的试验点，也会得出完全一样的试验序列确定其余的试验点，也会得出完全一样的试验序列 来。来。 下一点下一点( (大小大小) )第一点第一点( (前一

32、点前一点) ) 35 习题习题1 1 b1. 1. 已知某合成试验的反应温度范围为已知某合成试验的反应温度范围为340-420340-420， 通过单因素优选法得到：温度为通过单因素优选法得到：温度为400400时，产品的合时，产品的合 成率最高。如果使用的是成率最高。如果使用的是0.6180.618法，问优选过程是如法，问优选过程是如 何进行的，共需做多少次试验。假设在试验范围的合何进行的，共需做多少次试验。假设在试验范围的合 成率是温度的单峰函数。成率是温度的单峰函数。 36 习题习题1 1解答解答 b反应温度范围为反应温度范围为340-420340-420，通过单因素优选法得，通过单因素

33、优选法得 到：温度为到：温度为400400时，产品的合成率最高。时，产品的合成率最高。 x x1 1 ( (大小大小) )0.6180.618小小 a a(b(ba)a)0.6180.618 (420(420340)340)0.6180.618 340 340389.44389.44 b第二步第二步 第（第（2 2）个试验点由公式（）个试验点由公式（2-42-4）计算）计算 x x2 2大小第一点大小第一点420420340340389.44389.44370.56370.56 X X1 1点好点好 x x3 3大小前一点大小前一点420420370.56370.56389.44389.444

34、01.12401.12 克克 如此继续，如此继续，何时试验结束？试验精度？何时试验结束？试验精度？ 37 2.5 2.5 抛物线法抛物线法 b不管是不管是0.6180.618法，还是分数法，都只是比较两个试验法，还是分数法，都只是比较两个试验 结果的好坏，而不考虑试验的实际值，即目标函数值。结果的好坏，而不考虑试验的实际值，即目标函数值。 抛物线法是根据已得的三个试验数据，找到这三点的抛物线法是根据已得的三个试验数据，找到这三点的 抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次 试验的根据。试验的根据。 38 2.5 2.5 抛物线法抛物线法-具体

35、作法具体作法 b(1) (1) 在三个试验点：在三个试验点：x x1 1、x x2 2、x x3 3，且，且x x1 1x x2 2x x3 3，分别，分别 得试验值得试验值y y1 1、y y2 2、y y3 3，根据拉格朗日插值法可以得到，根据拉格朗日插值法可以得到 一个二次函数。一个二次函数。 b(2) (2) 设上述二次函数在设上述二次函数在x x4 4取得最大值，这时：取得最大值，这时： 3 2313 21 2 3212 31 1 3121 32 y )xx)(xx( )xx)(xx( y )xx)(xx( )xx)(xx( y )xx)(xx( )xx)(xx( y )xx(y)x

36、x(y)xx(y )xx(y)xx(y)xx(y 2 1 x 213132321 2 2 2 13 2 1 2 32 2 3 2 21 4 39 2.5 2.5 抛物线法抛物线法-作法作法 b(3) (3) 在在x xx x4 4处做试验，得试验结果处做试验，得试验结果y y4 4。如果假定。如果假定y y1 1， y y2 2，y y3 3，y y4 4中的最大值是由中的最大值是由x x4 4给出的，除给出的，除x x4 4之外，在之外，在x x1 1， x x2 2，x x3 3和和x x4 4中取较靠近中取较靠近x x4 4的左右两点，将这三点记为的左右两点，将这三点记为 x x1 1

37、，x x2 2 ，x x3 3 ，此处，此处x x1 1 x x2 2 x x3 3 ，若在，若在x x1 1 ，x x2 2 ， x x3 3 处的函数值分别为处的函数值分别为y y1 1 ，y y2 2 ，y y3 3 ，则根据这三点又，则根据这三点又 可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函 数的极大点数的极大点( (或它的充分邻近的一个点或它的充分邻近的一个点) )被找到为止。被找到为止。 40 2.5 2.5 抛物线法抛物线法-方法方法 b某离心泵效率与流量之间关系曲线的试验中，已经测某离心泵效率与流量之间关系曲线的试验中，已经测

38、得三组数据如下表所示，求流量为多大时，效率最高？得三组数据如下表所示，求流量为多大时，效率最高？ b看抛物线法做的过程：看抛物线法做的过程： 流量流量 Q(L/s) 82032 效率效率(%)507570 41 三个试验点得到一条抛物线三个试验点得到一条抛物线 42 该抛物线有一极值点，可根据抛物线方程求出该极值点该抛物线有一极值点，可根据抛物线方程求出该极值点 X X座标：座标：X X4 4，该流量处对应效率，该流量处对应效率可能可能是最大的。是最大的。 43 在在X X4 4对应流量处安排试验，测定其效率。假定测得效率对应流量处安排试验，测定其效率。假定测得效率 值为值为78%78%，即，

39、即X X4 4流量对应效率最大，则流量对应效率最大，则下一步试验下一步试验？ 44 X X4 4对应流量最大，因而取较靠近对应流量最大，因而取较靠近X X4 4的左右两点，再做抛的左右两点，再做抛 物线，即以三点物线，即以三点(20(20，75)(24,78)(32,70)75)(24,78)(32,70)做抛物线。做抛物线。 求得一极值点。求得一极值点。 何时试验结束？何时试验结束？ 45 2.5 2.5 抛物线法抛物线法-优点优点 b粗略地说，如果穷举法（在每个试验点上都做试验）粗略地说，如果穷举法（在每个试验点上都做试验） 需要做需要做n n次试验，对于同样的效果，黄金分割法只要次试验，

40、对于同样的效果，黄金分割法只要 数量级数量级lgnlgn次就可以达到，抛物线法，效果更好些，次就可以达到，抛物线法，效果更好些， 只要数量级只要数量级lglgnlglgn次。原因就在于黄金分割法没有较次。原因就在于黄金分割法没有较 多地利用函数的性质，做了两次试验，比一比大小，多地利用函数的性质，做了两次试验，比一比大小， 就把它舍掉了，抛物线法则对试验结果进行了数量方就把它舍掉了，抛物线法则对试验结果进行了数量方 面的分析。面的分析。 46 2.5 2.5 抛物线法抛物线法-适用范围适用范围 b抛物线法常常用在抛物线法常常用在0.6180.618法或分数法取得一些数据的法或分数法取得一些数据

41、的 情况，这时能收到更好的效果。情况，这时能收到更好的效果。 b此外，建议做完了此外，建议做完了0.6180.618法或分数法的试验后，用最法或分数法的试验后，用最 后三个数据按抛物线法求出后三个数据按抛物线法求出x x4 4，并计算这个抛物线在，并计算这个抛物线在 点点x xx x4 4处的数值，预先估计一下在点处的数值，预先估计一下在点x x4 4处的试验结果，处的试验结果， 然后将这个数值与已经试得的最佳值作比较，以此作然后将这个数值与已经试得的最佳值作比较，以此作 为是否在点为是否在点x x4 4处再做一次试验的依据。处再做一次试验的依据。 47 习题习题1 1 b2. 2. 某厂在制

42、作某种饮料时，需要加入白砂糖，为了某厂在制作某种饮料时，需要加入白砂糖，为了 工人操作和投料的方便，白砂糖的加入以桶为单位，工人操作和投料的方便，白砂糖的加入以桶为单位， 经初步摸索，加入量在经初步摸索，加入量在3-83-8桶范围中优选。由于桶数桶范围中优选。由于桶数 只宜取整数，采用分数法进行单因素优选，优选结果只宜取整数，采用分数法进行单因素优选，优选结果 为为6 6桶，试问优选过程是如何进行的。假设在试验范桶，试问优选过程是如何进行的。假设在试验范 围内试验指标是白砂糖桶数的单峰函数。围内试验指标是白砂糖桶数的单峰函数。 48 习题习题2 2 b3. 3. 某厂在某电解工艺技术改进时，希

43、望提高电解率，某厂在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率， 做了初步的试验，结果如下表所示。试利用抛物线法做了初步的试验，结果如下表所示。试利用抛物线法 确定下一个试验点。确定下一个试验点。 电解质温度电解质温度t/t/656574748080 电解率电解率/%/%94.394.398.998.981.581.5 49 分批试验法分批试验法 b在生产和科学实验中，为加速试验的进行，常常采用在生产和科学实验中，为加速试验的进行，常常采用 一批同时做几个试验的方法，即一批同时做几个试验的方法，即分批试验法分批试验法。 b若可同时做多个试验，则一次做一个好，还是一次同若可同时做多个试验，则一次做一个

44、好，还是一次同 时做几个好？一个试验后试验范围缩小多少？时间？时做几个好？一个试验后试验范围缩小多少？时间？ 成本？成本？ b以下介绍的几种方法同样适用于单峰函数以下介绍的几种方法同样适用于单峰函数 50 2.6.1 2.6.1 预给要求法预给要求法 b预给要求法是分批试验的一种方法。如能预先确定总预给要求法是分批试验的一种方法。如能预先确定总 的可能的试验个数的可能的试验个数( (换句话说，知道了试验范围和要求换句话说，知道了试验范围和要求 的精密度的精密度) )，或事先限定试验的批数和每批的个数，就，或事先限定试验的批数和每批的个数，就 可以采用这种方法。可以采用这种方法。 51 2.6.

45、1 2.6.1 预给要求法预给要求法每批做偶数个试验每批做偶数个试验 b若只做一批试验，每批两个试验，把试验范围平分若只做一批试验，每批两个试验，把试验范围平分3 3 等份，在每个分点上做试验，如下所示：等份，在每个分点上做试验，如下所示： b若做两批试验，每批两个试验，把试验范围分为若做两批试验，每批两个试验，把试验范围分为7 7等等 份，在第份，在第3 3、4 4两点做第一批试验。如第两点做第一批试验。如第4 4点好，再做点好，再做5 5、 6 6两点；如第两点；如第3 3点好，则做点好，则做1 1、2 2两点。两点。 52 2.6.1 2.6.1 预给要求法预给要求法每批做偶数个试验每批

46、做偶数个试验 b若做三批试验，每批两个试验，把试验范围分为若做三批试验，每批两个试验，把试验范围分为1515等等 份，在第份，在第7 7、8 8两点做第一批试验。如第两点做第一批试验。如第7 7点好，则把第点好，则把第 8 8点以上的范围划去；如第点以上的范围划去；如第8 8点好，则把点好，则把7 7点以下的划点以下的划 去，在余下的部分做第二批试验，如下所示：去，在余下的部分做第二批试验，如下所示： b依此可以推出做更多批数试验的情形来。依此可以推出做更多批数试验的情形来。 53 2.6.1 2.6.1 预给要求法预给要求法每批做偶数个试验每批做偶数个试验 b每批做每批做4 4个、个、6 6

47、个或更多个试验的情形原理相同。容易推个或更多个试验的情形原理相同。容易推 出，若每批做出，若每批做2k2k个试验，共作个试验，共作 n n 批，则应将试验范围批，则应将试验范围 等分等分 份。份。 b第一批试验点是：第一批试验点是： , , , , , , ， , , 。 b试验结果的精确度是试验结果的精确度是 ，L Lb ba a，是试验的长度。，是试验的长度。 1) 1k(2L nk2 n k2 n L/L k2 1n L 1L k2 1n 1L2 k2 1n ) 1k(kL k2 1n kkL k2 1n 2L2 k2 1n 54 2.6.1 2.6.1 预给要求法预给要求法每批做偶数个

48、试验每批做偶数个试验 b画出画出k=2k=2时，即每批做时，即每批做4 4个试验时的做法：个试验时的做法： b做做1 1批，即批，即n=1n=1。则将试验范围划分的份数为：。则将试验范围划分的份数为： b做做2 2批，则划分份数为：批，则划分份数为： 1) 1k(2L nk2 n 51) 12(2L 122 1 171) 12(2L 222 2 55 2.6.1 2.6.1 预给要求法预给要求法-例例 b例例2-7 2-7 弹片老化处理。弹片老化处理。 b某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一，某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一， 由于老化处理问题未解决

49、，有时停工待料。为了解决这一问题，由于老化处理问题未解决，有时停工待料。为了解决这一问题， 他们对温度进行优选，试验范围他们对温度进行优选，试验范围220220 320320，每批做两个试验，每批做两个试验， 只做了三批共只做了三批共6 6个试验，终于找到最适宜的温度个试验，终于找到最适宜的温度280280，解决了，解决了 生产难点。生产难点。 b：8 8点好。点好。 b：1111点好。点好。 b：1010点好，选择点好，选择1010点处的温度。点处的温度。(9-11(9-11点范围点范围) ) 1) 1k(2L nk2 n 56 2.6.1 2.6.1 预给要求法预给要求法-例例 b例例2-

50、7 2-7 弹片老化处理。弹片老化处理。 b某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一，某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一， 由于老化处理问题未解决，有时停工待料。为了解决这一问题，由于老化处理问题未解决，有时停工待料。为了解决这一问题， 他们对温度进行优选，试验范围他们对温度进行优选，试验范围220220 320320，每批做两个试验，每批做两个试验， 只做了三批共只做了三批共6 6个试验，终于找到最适宜的温度个试验，终于找到最适宜的温度280280，解决了，解决了 生产难点。生产难点。 b此题与分数法比较：做此题与分数法比较：做6 6次试验，则在分数法中

51、次试验，则在分数法中6=7-16=7-1， 而而F F7 7=21=21，所以可分，所以可分2121等份，最终试验精度分数法要高等份，最终试验精度分数法要高 些。些。 57 2.6.2 2.6.2 预给要求法每批奇数个试验预给要求法每批奇数个试验 b每批做每批做3 3个试验时，做个试验时，做n n批。则分成的等份数为：批。则分成的等份数为： b 按四舍五入处理。按四舍五入处理。 b如：如： b(1) (1) 只做只做1 1批试验，把试验范围平分批试验，把试验范围平分4 4等份，在等份，在1 1、2 2、 3 3处做试验。处做试验。 b(2) (2) 只做只做2 2批试验，把试验范围平分批试验，把试验范围平分1010等份。在等份。在4 4、5 5、 9 9处做第一批试验，无论哪点好，下一批只做靠近好处做第一批试验，无论哪点好，下一批只做靠近