弹性力学-02-2

1、2-4 广义广义Hooke定律定律(物理方程物理方程, 本构方程本构方程) l由材料力学已知，由材料力学已知，Hooke定律可表示为：定律可表示为： E 单向拉压 纯剪切 E为拉压弹性模量 横向与纵向变形关系 G G为剪切弹性模量 为泊松比 )1 (2 E G 一一. 各向同性材料的广义各向同性材料的广义Hooke定律定律 对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理： 考虑x方向的正应变： x 产生的x方向应变： E x x 1 y 产生的x方向应变： E y x 2 z 产生的x方向应变： E z x 3 叠加 321xxxx )(

2、 1 zyx E 同理： )( 1 xzyy E )( 1 yxzz E 剪应变：剪应变： 物理方程： G xy xy G zx zx G yz yz G yz yz G zx zx G xy xy )( 1 yxzz E )( 1 zyxx E )( 1 xzyy E 说明： 1.方程表示了各向同性材料的应 力与应变的关系，称为广义 Hooke定义。也称为本构关系或 物理方程。 2.方程组在线弹性条件下成立。 二二. 体积应变与体积弹性模量体积应变与体积弹性模量 )( 21 zyxzyx E 令： zyx )( zyx E 21 则： 令： 3 )( zyx m m称为平均应力; 称为体积应

3、变 KE m m )21 (3 称为体积弹性模量 )21 (3 E K K m 三三. 物理方程的其他表示形式物理方程的其他表示形式 物理方程： xy xy xy G ： 2令 EE x 1 )( 1 zyxx E )( 1 zyxxx E xy xy xy E 1 2 xy xy xy E 1 2 EE yy 1 EE zz 1 yz yz yz E 1 2 zx zx zx E 1 2 EE xx 1 用应变表示应力：用应变表示应力： xyxyzz zxzxyy yzyzxx EE EE EE )1 (2 , 211 )1 (2 , 211 )1 (2 , 211 或： xyxyxyzz

4、zxzxzxyy yzyzyzxx GGG GGG GGG 2,2 2,2 2,2 各种弹性常数之间的关系各种弹性常数之间的关系 )21 ( 3 , )21)(1 ( , )1 (2 E K EE G 四四. 广义广义Hooke定律定律(物理方程物理方程)的一般表达式的一般表达式 ) 1 ( ),( ),( ),( ),( ),( ),( 6 5 4 3 2 1 zxyzxyzyxzx zxyzxyzyxyz zxyzxyzyxxy zxyzxyzyxz zxyzxyzyxy zxyzxyzyxx f f f f f f 广义虎克定律广义虎克定律(物理方程物理方程)描述应力与应变的关系描述应力

5、与应变的关系, 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。 当自变量当自变量(应变应变)很小时，式（）中的各表达很小时，式（）中的各表达 式可用泰勒级数展开略去二阶及以上的高阶微式可用泰勒级数展开略去二阶及以上的高阶微 量，则式（）中的第一式展开为：量，则式（）中的第一式展开为： zx zx yz yz xy xy z z y y x x x fff fff f 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01) ( 01) ( f表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为 零故 0)( 01 f 0 1 ij f 表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零 时的值，等于一个常数

6、故故, 式（）可用一个线性方程组表示式（）可用一个线性方程组表示 )2( 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 zxyzxyzyxzx zxyzxyzyxyz zxyzxyzyxxy zxyzxyzyxz zxyzxyzyxy zxyzxyzyxx aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa 式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关 系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应系

7、一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应 变的一般关系式变的一般关系式 式（）中的系数称为弹性常数，共式（）中的系数称为弹性常数，共 有个有个 )6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,(jiaij 由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然因此为时，必产生同样的应变，反之亦然因此为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定常数，其数值由弹性体材料的性质而定 ij a 式（）推导过程未引用各向同性假设，式（）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二

8、维各向同性体以及各向同性体等二维各向同性体以及各向同性体等 式式(3)可用简写为可用简写为 D D 称为弹性矩阵称为弹性矩阵. 式（）可用矩阵表示式（）可用矩阵表示 ) 3( 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 zx tz xy z y x zx yz xy z y x aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa 物体内的任一点物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相沿各个方向的性能都不相 同同, 则称为极端各向异性体则称为极端各向异性

9、体. (这种物体的材料极这种物体的材料极 少见少见) nmmn aa 五五. 弹性常数弹性常数 1. 极端各向异性体极端各向异性体: 由能量守恒定律和应变能理论可证明由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数弹性常数 之间存在关系之间存在关系 即使在极端各向异性条件下即使在极端各向异性条件下, 式式(2)中的中的36个个 弹性常数也不是全部独立弹性常数也不是全部独立. 36个弹性常数减少到个弹性常数减少到21个个. 弹性矩阵是对称矩阵弹性矩阵是对称矩阵. )4( 66 5655 464544 36353433 2625242322 161514131211 a aa aaa aaaa aaaa

10、a aaaaaa D 称 对 l弹性矩阵为弹性矩阵为 l极端各向异性体的特点极端各向异性体的特点: zyx , (1) 当作用正应力当作用正应力 时时, 不仅会产生正应变不仅会产生正应变 , 还会引起剪应变还会引起剪应变 。 (2) 当作用剪应力时当作用剪应力时, 不仅会产生剪应变不仅会产生剪应变, 也会引起正也会引起正 应变。应变。 x zxyzxy , 2.正交各向异性体正交各向异性体 如在均匀体内如在均匀体内, 任意一点都存在着一个对称面任意一点都存在着一个对称面, 在任意两个与此面对称的方向上在任意两个与此面对称的方向上, 材料的弹性性质材料的弹性性质 都相同。都相同。 称为具有一个弹

11、性对称面的各向异性体。称为具有一个弹性对称面的各向异性体。 该对称面称为弹性对称面该对称面称为弹性对称面, 垂直于弹性对称面的方垂直于弹性对称面的方 向称为物体的弹性主方向。向称为物体的弹性主方向。 具有一个弹性对称面的各向异性体具有一个弹性对称面的各向异性体, 弹性常数弹性常数 有有13个。单斜晶体个。单斜晶体(如正长石如正长石)具有这类弹性对称。具有这类弹性对称。 l如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对 称面称面, 这种物体称为正交各向异性体。如这种物体称为正交各向异性体。如: 煤块、煤块、 均匀的木材、叠层胶木、复合材料等均匀的木材、叠

12、层胶木、复合材料等 正交各向异性体有正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为个弹性常数。其弹性矩阵为 )5( 0 00 000 000 000 66 55 44 33 2322 131211 a a a a aa aaa D 称 对 3.横观各向同性体横观各向同性体 如物体内任意一点如物体内任意一点, 在平行于某一在平行于某一 平面的所有各个方向都有相同的弹性性平面的所有各个方向都有相同的弹性性 质质, 这类正交异性体为横观各向同性体。这类正交异性体为横观各向同性体。 如不同层次的土壤、复合板材等。如不同层次的土壤、复合板材等。 横观各向同性体只有五个弹性横观各向同性体只有五个弹性 常数常数

13、, 弹性矩阵为弹性矩阵为 )6( 0 00 2 000 000 000 55 55 1211 33 1311 131211 a a aa a aa aaa D 称 对 物体内任意一点物体内任意一点, 沿任何方向的弹性性质都相同沿任何方向的弹性性质都相同。 4.各向同性体各向同性体 各向同性体只有两个独立的弹性常数各向同性体只有两个独立的弹性常数, 弹性矩阵为弹性矩阵为: )7( 2 0 2 00 2 000 000 000 1211 1211 1211 11 1211 121211 aa aa aa a aa aaa D 称 对 zxzx yzyz xyxy zyxz zyxy zyxx aa

14、 aa aa aaa aaa aaa )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 1211 1211 1211 111212 121112 121211 zxzx yzyz xyxy zz yy xx aa aa aa aaa aaa aaa )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( )( )( 1211 1211 1211 121112 121112 121112 可见: Gaaa2, 121111 , )1 (2 , )21)(1 ( E G E 2-5 斜面应力公式与应力边界条件斜面应力公式与应力边界条件 已知物体在任一点已知物体在任一点P的六个应力分量的六个应力分量 ， 求经过求经

15、过P点的任一斜面上的应力。点的任一斜面上的应力。 , xyzxyyxyzzyzxxz 令平面令平面ABC的外法线为的外法线为N，其方向余弦为，其方向余弦为 cos,cos,cos,N xlN ymN zn 设三角形设三角形ABC的面积为的面积为 S，则三角，则三角 形形BPC、CPA、APB的面积分别为的面积分别为l S 、 m S、 n S。四面体。四面体PABC的体积用的体积用 V 表示。三角形表示。三角形ABC上的应力上的应力 在坐标在坐标 轴方向的分量用轴方向的分量用XN、YN、ZN代表。根代表。根 据四面体的平衡条件据四面体的平衡条件 ，得，得 N s 0 x F 0 Nxyxzx

16、XSl Sm Sn SX V x xz xy yx y yz zy zx z YNXN ZN N y x z o A B C P x xz xy yx y yz zy zx z YNXN ZN N y x z o A B C P 除以除以 S，移项后，得移项后，得 Nxyxzx V XXlmn S 当斜面当斜面ABC趋近于趋近于P点时，由于点时，由于 V是比是比 S更高一阶的更高一阶的 微量，所以微量，所以 V/ S趋于零。于是得出下式中的第一式。同趋于零。于是得出下式中的第一式。同 样，由平衡条件样，由平衡条件 可以得出其余两式。可以得出其余两式。0,0 yz FF Nxyxzx Nxyyz

17、y Nxzyzz Xlmn Ylmn Zlmn 设三角形设三角形ABC上的正应力为上的正应力为 N , 则由投影可得则由投影可得 NNNN lXmYnZ 将上式代入，得将上式代入，得 222 222 Nxyzxyyzzx lmnlmmnnl 斜面应力(Cauchy)公式 设三角形设三角形ABC上的剪应力为上的剪应力为 N，由于，由于 222222 NNNNNN sXYZ 所以有所以有 22222 NNNNN XYZ 在物体的任意一点，如果已知六个应力在物体的任意一点，如果已知六个应力分量分量 就就 可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就

18、是说，六个应力分量完 全决定了一点的应力状态。全决定了一点的应力状态。 , xyzxyyzzx 如果如果ABC是物体的边界面，则是物体的边界面，则XN、YN、ZN成为面力分成为面力分 量量 ，于是得出，于是得出 , ,X Y Z xyxzx xyyzy xzyzz lmnX lmnY lmnZ 即即弹性体的应力边界条件弹性体的应力边界条件。 它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。 2-6 位移边界条件位移边界条件 在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件界条件 uu v

19、v ww 在给定位移的表面在给定位移的表面Su上上 注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移；注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。混合边界条件。 l前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和 位移分量，其表示方法引用的是记号法；位移分量，其表示方法引用的是记号法； 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。这是一种公认的弹性力学参量表示方法。 2-7 弹性力学参量的指标表示法弹性力学参量的指标表示法 l近年来，数

20、学理论中的指标表示法开始出现在力近年来，数学理论中的指标表示法开始出现在力 学文献及教科书中。学文献及教科书中。 l指标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。指标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。 一一.指标表示法指标表示法 1. 指标符号指标符号 具有相同性质的一组物理量，可以用一个带下标的具有相同性质的一组物理量，可以用一个带下标的 字母表示：字母表示： 如：位移分量如：位移分量u、v 、w表示为表示为u1 、u2、u 3，缩写为，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标坐标x、y、z表示为表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为，缩写为xi（i=1,2,3）。）。 单位矢量单位矢量i、j、

21、k表示表示ei（i=1,2,3）。）。 应力分量：应力分量： zzzyzx yzyyyx xzxyxx 可表示为：可表示为： 333231 232221 131211 缩写为：缩写为：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(ji ij 同理，应变分量可表示为：同理，应变分量可表示为：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(ji ij 向量向量 表示为表示为 a 3 1 332211 i iie aeaeaeaa 三阶线性方程组三阶线性方程组 3333231 2232221 1131211 Pzayaxa Pzayaxa Pzayaxa )3 , 2 , 1( 3 1 iPxa ij j

22、 ij 可表示为可表示为 缩写为缩写为 )3 , 2 , 1( 332211 iPxaxaxa iiii 2.爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定 在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把 该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标 （简称（简称哑标） )3 , 2 , 1( ieaa ii 例 )3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiPxa ijij 求和指标 j求和指标 i非求和指标 称为自由指标 3333232131 2323222121 1313212111 Pxaxax

23、a Pxaxaxa Pxaxaxa 332211 eaeaeaa 说明：说明： l（1）对于重复次数大于）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。的指标，求和约定无效。 例：例： l（2）哑标的有效范围仅限于本项。）哑标的有效范围仅限于本项。 l（3）多重求和可采用不同的哑标表示。）多重求和可采用不同的哑标表示。 例：例： l（4）哑标可局部地成对替换。）哑标可局部地成对替换。 l（5）自由指标必须整体换名。）自由指标必须整体换名。 l（6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆， 应声明对该指标不求和。应声明对该指标不求和。 l例

24、例 iiii i ii cbacbacbacbacba 3 1 333222111 3 1 3 1ij jiijjiij xxaxxa )( 不求和ibaC iiii 3.求导数的简记方法求导数的简记方法 l微分算符简记法微分算符简记法 i i x , ij ji xx , 2 i i x , l例例: ji j i u x u , jki kj i u xx u , 332211, uuuu x u ii i i 求和约定求和约定 33 ,22,11 , dxudxudxudxudx x u iii i jjjiji ji i uuuu xx u 3 , 32, 21 , 1, 4.克罗内克

25、克罗内克(Kroneker)符号符号 )cos( jiij ee ji ee ji ji ij 0 1 100 010 001 333231 232221 131211 ij 具有如下性质具有如下性质 ij (1) 3 ij (2) jiij AA ij 也称也称换名算子换名算子 同理同理: ijkjik Aa ijkjik A 4. 置换符号置换符号 表示，有个分量。定义：表示，有个分量。定义： ijk e 为非循环序列 为逆循环序列 为循环序列 ),(0 ),(1 ),(1 kji kji kji eijk 有两个以上的指标相同 置换符号用于简化公式的书置换符号用于简化公式的书 写写 行列

26、式：行列式： 333231 232221 131211 aaa aaa aaa a kjiijk aaaea 321 二二. 弹性力学方程的指数表示弹性力学方程的指数表示 (1) 平衡平衡(运动运动)微分方程微分方程 2 2 , 0 t u F i ijji 0 0 0 2 2 2 2 2 2 t w Z zyx t v Y zyx t u X zyx z yz xz zyyxy zx yx x x y z xyyx yzzy zxxz u x v y w z vu xy wv yz wu xz (2) 几何方程几何方程 ijjiij uu , 2 1 (3) 物理方程物理方程 ijkkiji

27、j E v E v 1 xy xy xy E 1 2 EE yy 1 EE zz 1 yz yz yz E 1 2 zx zx zx E 1 2 EE xx 1 kkkk E v 21 E 21 ijijkkij G2 xyxyxyzz zxzxzxyy yzyzyzxx GGG GGG GGG 2,2 2,2 2,2 (4) 边界条件边界条件 力边界条件力边界条件: ijij Tn 位移边界条件位移边界条件: ii uu 1. 迭加原理迭加原理: 弹性体受几组外力同时作用时的解弹性体受几组外力同时作用时的解 (应力、应变和位移应力、应变和位移)等于每一组外力单独作用时等于每一组外力单独作用时

28、 对应解的和对应解的和. 2-8 弹性力学的几个基本定义弹性力学的几个基本定义 (1) 迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件 是线性的是线性的. 说明说明: (2) 对大变形问题对大变形问题, 几何方程将出现二次非线性项几何方程将出现二次非线性项, 平衡方程将受到变形的影响平衡方程将受到变形的影响, 迭加原理不再适用。迭加原理不再适用。 (3) 对非线弹性或弹塑性材料对非线弹性或弹塑性材料, 应力应变关系为非应力应变关系为非 线性线性, 迭加原理不成立。迭加原理不成立。 (4) 对非线性边界条件对非线性边界条件, 迭加原理也失效。迭加原理也失效。 2.

29、解的唯一性定理：解的唯一性定理： 在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部 各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束，各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束， 则位移解也是唯一的。则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边 界条件，就一定是问题的真解。界条件，就一定是问题的真解。 3.圣维南原理圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在