传热学-第3章

1、第三章 非稳态导热1 第三章非稳态导热第三章非稳态导热 第三章 非稳态导热2 3-1 3-1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 1 非稳态导热的定义非稳态导热的定义 2 非稳态导热的分类非稳态导热的分类 周期性非稳态导热周期性非稳态导热 (定义及特点定义及特点) 瞬态非稳态导热瞬态非稳态导热 (定义及特点定义及特点) ( , , , )tf x y z 第三章 非稳态导热3 t1 t0 0 1 2 3 4 着重讨论瞬态非稳态导热着重讨论瞬态非稳态导热 3 温度分布：温度分布： 第三章 非稳态导热4 4 两个不同的阶段两个不同的阶段 非正规状况阶段非正规状况阶段 (不规则情况阶段不规则情

2、况阶段) 正规状况阶段正规状况阶段 (正常情况阶段正常情况阶段) 温度分布主要取决于边温度分布主要取决于边 界条件及物性界条件及物性 温度分布主要受初始温温度分布主要受初始温 度分布控制度分布控制 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态 导热过程的三个阶段导热过程的三个阶段 第三章 非稳态导热5 5 热量变化热量变化 1 1板左侧导入的热流量板左侧导入的热流量 2 2板右侧导出的热流量板右侧导出的热流量 第三章 非稳态导热6 6 学习非稳态导热的目的：学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律温度分布

3、和热流量分布随时间和空间的变化规律 (2) 非稳态导热的导热微分方程式：非稳态导热的导热微分方程式： (3) 求解方法：求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法分析解法、近似分析法、数值解法 ) ; ),(f(zyxft )()()( z t zy t yx t x t c 分析解法：分析解法： 分离变量法分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：近似分析法： 集总参数法集总参数法、积分法、积分法 数值解法：数值解法： 有限差分法有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟分子动力学模拟 第三章 非稳态导热7 3-2 一维非稳态导热的

4、分析解一维非稳态导热的分析解 1.无限大平壁的分析解无限大平壁的分析解 =const a=consth=const 因两边对称，只研究半块平壁 第三章 非稳态导热8 此半块平板的数学描写：此半块平板的数学描写： 导热微分方程导热微分方程 初始条件初始条件 边界条件边界条件 x t a t 2 2 )0,x0( 0tt 0 0 x0 x t () f t h ttx x ( (对称性对称性) ) 第三章 非稳态导热9 引入变量引入变量过余温度过余温度 令令 ( , )( , ) f xt xt xh x 0 x0 x 0 0,x0 x a 0 2 2 上式化为：上式化为： 第三章 非稳态导热10

5、 用分离变量法可得其分析解为：用分离变量法可得其分析解为： 此处此处B Bn n为离散面为离散面( (特征值特征值) ) 若令若令 则上式可改写为：则上式可改写为： 2 1 0 2sin()cos()( , ) sin()cos() na nn n nnn xx e 2 2 1 0 2sin( , ) cos() sincos n a n n n nnn xx e nn * 第三章 非稳态导热11 为下面超越方程的根为下面超越方程的根 为为毕渥准则数，毕渥准则数，用符号用符号 Bi 表示表示 书上书上P P59 59表 表3-13-1给出了部分给出了部分B Bi i数下的数下的1 1值值 co

6、t n n h h n 第三章 非稳态导热12 2 2 1 0 2sin()cos() ( , ) sin()cos() n ann n nnn x x e 因此因此是是F0, Bi 和和 函数，即函数，即 0 ),x( x ) x ,B,F(f ),x( i0 0 注意：特征值注意：特征值 特征数（准则数）特征数（准则数） 区别 n 第三章 非稳态导热13 2. 非稳态导热的正规状况非稳态导热的正规状况 对无限大平板对无限大平板 当当 取级数的首项，板中心温度，误差小于取级数的首项，板中心温度，误差小于1%1% 2 0 aF 2 . 0F 0 2 10 1 1 0111 2sin( , )

7、cos() sincos Fxx e 2 10 1 00111 ( )2 sin(0, ) sincos F m e 第三章 非稳态导热14 2 10 1 1 0111 2sin( , ) cos() sincos Fxx e 1 ( , ) cos() ( ) m xx 2 10 1 00111 ( )2 sin(0, ) sincos F m e 第三章 非稳态导热15 若令若令Q Q为为 内所传递热量内所传递热量 -时刻时刻z z的平均过余温度的平均过余温度 )( 00 ttcVQ 00 0 0 1 )( ),( ttcV dVxttc Q Q V 21 10 1 sin () 1 0

8、111 2sin1 sincos F v dv v e ,0 考察热量的传递考察热量的传递 Q0 -非稳态导热所能传递的最大热量非稳态导热所能传递的最大热量 第三章 非稳态导热16 2 10 1 01 111 2sin ( , )cos()(,) sincos Fxx xf Fo Bi e 正规热状况的实用计算方法正规热状况的实用计算方法线算图法线算图法 诺谟图诺谟图 三个变量，因此，需要分开来画三个变量，因此，需要分开来画 以无限大平板为例，以无限大平板为例，F00.2 时，取其级数首项即可时，取其级数首项即可 (1)先画，如图先画，如图3-5 ),( 0 BiFof m 第三章 非稳态导热

9、17 (2)绘制线算图绘制线算图3-6 ),()cos( )( ),( 1 x Bif xx m (3) 于是，平板中任一点的温度为于是，平板中任一点的温度为 00 m m 同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以绘制出，同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以绘制出， 如图如图3-7。 解的应用范围解的应用范围 书中的诺谟图仅适用恒温介质的第三类边界条书中的诺谟图仅适用恒温介质的第三类边界条 件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且 F00.2 3. Fo 对温度分布的影响对温度分布的影响 分析解的计算结果表明，当分析解的计算结果表明，当Fo 0.2时，可

10、近似取级数的第一时，可近似取级数的第一 项，对工程计算已足够精确，即项，对工程计算已足够精确，即 将上式左、右两边取对数，可得：将上式左、右两边取对数，可得： m为一与时间、地点无关的常数，只取决于为一与时间、地点无关的常数，只取决于 第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。 式右边的第二项只与式右边的第二项只与Bi、x/ 有关，与时间有关，与时间 无关。无关。 2 10 1 1 0111 2sin( , ) cos() sincos Fxx e )cos( cossin sin2 lnln 1 111 1 0 x m 式中式中 2 2 1 a m 上式两边

11、求导，可得上式两边求导，可得 m的物理意义：过余温度对时间的相的物理意义：过余温度对时间的相 对变化率，单位是对变化率，单位是1/s，称为冷却率称为冷却率 （或加热率）。（或加热率）。 上式说明，当上式说明，当Fo 0.2，进入正规状况阶段后，所有各点的冷进入正规状况阶段后，所有各点的冷 却率都相同，且不随时间而变化，其大小取决于物体的物性、却率都相同，且不随时间而变化，其大小取决于物体的物性、 几何形状与尺寸及表面传热系数。几何形状与尺寸及表面传热系数。 上式可改写为：上式可改写为：),(ln x BiKm 该式说明，当该式说明，当Fo 0.2时，即时，即 时，平壁内所有时，平壁内所有 各点

12、过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率 都相等，这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段都相等，这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段 。 a/2 . 0 2 2 2 1 1 a m 第三章 非稳态导热20 4. 毕渥数毕渥数 本章以第三类边界条件为重点。本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析问题的分析 如图所示，存在两个换热环节：如图所示，存在两个换热环节： tf h tf h x t 0 a 流体与物体表面的对流换热环节流体与物体表面的对流换热环节 b 物体内部的导热物体内部的导热 hRh1 R h hR

13、 R Bi h 1 (2) 毕渥数的定义：毕渥数的定义： （3）毕渥数）毕渥数Bi对温度分布的影响对温度分布的影响 平壁非稳态导热第三类边界条件表达式平壁非稳态导热第三类边界条件表达式 x x h x xx x xhBi 上式的几何意义：在整个非稳态导上式的几何意义：在整个非稳态导 热过程中平壁内过余温度分布曲线热过程中平壁内过余温度分布曲线 在边界处的切线都通过点在边界处的切线都通过点 ， 或温度分布通过或温度分布通过 该点称为第三类边界条件的定向点。该点称为第三类边界条件的定向点。 )0 ,( h ),( f t h 第三章 非稳态导热22 h hR R Bi h 1 无量纲数无量纲数 当

14、当 时，时， ，因此，可以忽略对流换热热阻。，因此，可以忽略对流换热热阻。 当当 时，时， ，因此，可以忽略导热热阻。，因此，可以忽略导热热阻。 Bi h RR 0Bih RR Bi0 第三章 非稳态导热23 (4) 无量纲数的简要介绍无量纲数的简要介绍 基本思想：基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。或物理过程的主要特征，并且没有量纲

15、。 因此，这样的无量纲数又被称为因此，这样的无量纲数又被称为特征数特征数，或者，或者准则数，准则数， 比如，毕渥数又称比如，毕渥数又称毕渥准则。毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似以后会陆续遇到许多类似 的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号般用符号 l 表示。表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式物理意义，对于一个特征数，应该掌握其定义式物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。以及定义式中各个参数的意义。 第三章 非稳态导热24 5 集总参数法的简化分析集总参数法的简化分析 1 定义：定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均

16、匀一致的忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的 分析方法。此时，分析方法。此时， ，温度分布只与时间有，温度分布只与时间有 关，即关，即 ，与空间位置无关，因此，也称为，与空间位置无关，因此，也称为 零维零维问题。问题。 0Bi )(ft 2 温度分布温度分布 如图所示，任意形状的物体，如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。参数均为已知。 0 0tt 时， t 将其突然置于温度恒为将其突然置于温度恒为 的流的流 体中。体中。 第三章 非稳态导热25 当物体被冷却时（当物体被冷却时（tt ）,由能量守恒可知由能量守恒可知 d dt VctthA-)( d Vc hAd 方程式改写为：方

17、程式改写为： 过余温度令： tt，则有，则有 00 )0( - tt d d VchA 0 0 d Vc hAd Vc hA ln 0 d Vc hAd 积分积分 Vc hA e tt tt 00 其中的指数：其中的指数： vv FoBi AV aAVh cV A A hV cV hA 2 2 2 )( )( 第三章 非稳态导热27 2 )( )( AV a Fo AVh Bi vv v Fo是是傅立叶数傅立叶数 vv FoBiVc hA ee 0 物体中的温度物体中的温度 呈指数分布呈指数分布 方程中指数的量纲：方程中指数的量纲： SJ W m kgK J m kg m Km W cV hA

18、1 3 3 2 2 第三章 非稳态导热28 %8 .36 1 0 e 即与即与 的量纲相同，当的量纲相同，当 时，则时，则 1 hA Vc 1 Vc hA 此时，此时， 上式表明：当传热时间等于上式表明：当传热时间等于 时，物体的过时，物体的过 余温度已经达到了初始过余温度的余温度已经达到了初始过余温度的36.8。 称称 为时间常数，用为时间常数，用 表示。表示。 hA Vc hA Vc c 第三章 非稳态导热29 0 %8.36 e 1 0 c vv FoBi 应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线 第三章 非稳态导热30 如果导热体的热容量（如果导

19、热体的热容量（ VcVc ）小、换热条件好（）小、换热条件好（h h大），大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时 间常数间常数 ( ( VcVc / / hAhA) ) 小。小。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。 （微细热电偶、薄膜热电阻）（微细热电偶、薄膜热电阻） %83. 1 4 0 时，当 hA Vc 工程上认为工程上认为 =4 Vc / hA时时 导热体已达到热

20、平衡状态。导热体已达到热平衡状态。 第三章 非稳态导热31 3 3 瞬态热流量：瞬态热流量： 导热体在时间导热体在时间 0 内传给流体的总热量：内传给流体的总热量： W )()( 0 Vc hA ehA hAtthA J )1()( 0 0 Vc hA eVcdQ 第三章 非稳态导热32 4 物理意义物理意义 vv FoBi h h 1 Bi 物体表面对流换热热阻 物体内部导热热阻 Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周内部，因而，物体各点地温度就越接近周 围介质的温度。围介质的温度。 22 F l o l a 换热时间

21、边界热扰动扩散到 面积上所需的时间 第三章 非稳态导热33 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5% M1 . 0 )AV(h Biv 对厚为2的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球 3 1 M 2 1 M 1M 3 B B 3 R R4 R 3 4 A V 2 B B 2 R R2 R A V BB A A A V i iv 2 3 i iv 2 iiv 5 集总参数法的应用条件集总参数法的应用条件 是与物体几何形状是与物体几何形状 有关的无量纲常数有关的无量纲常数 3-3 半无限大物体的瞬态导热半无限大物体的瞬态导热 1.半无限大的概念半无限大的概念 在一定的时间

22、内，边界面处的温度扰动只能传播到有限深度，在一定的时间内，边界面处的温度扰动只能传播到有限深度， 在此深度以外，物体仍保持原有状态（初始状态）。于是，在在此深度以外，物体仍保持原有状态（初始状态）。于是，在 此时间内，可以把物体视为半无限大。此时间内，可以把物体视为半无限大。 2.第一类边界条件第一类边界条件 假设半无限大物体具有均匀一致的初假设半无限大物体具有均匀一致的初 始温度始温度t0、常物性、无内热源常物性、无内热源,表面温表面温 度突然升至度突然升至tw并保持不变。选择坐标系并保持不变。选择坐标系 如图，这是一维的非稳态导热问题。如图，这是一维的非稳态导热问题。 数学模型：数学模型：

23、 2 2 tt a x 0 w 0 0, 0, , tt xtt xtt 分析解：分析解： w 00w tt tt erferf 2 x u a 高斯误差函数高斯误差函数 2 0 2 erf u x uedx 高斯误差函数的数值可从书后的附录表中查到。高斯误差函数的数值可从书后的附录表中查到。 2 2 a x 0 0 0, 0,0 , x x w t t erf u u 从误差函数表可查出从误差函数表可查出 2 2 x u a 当当 时，时， 0 /erf0.99531u 说明以下两点：说明以下两点： 4xa （1）在）在 时刻时刻， 深处深处 的温度尚未变化，仍为的温度尚未变化，仍为t0，x

24、也称也称 为穿透深度。为穿透深度。 t t0 tw x 1 2 3 x1x2x3 （2）当）当 时，深度时，深度x 处的温度保持不变，时间处的温度保持不变，时间 称为深度称为深度x 处的惰性时间。处的惰性时间。 2 /16xa 根据傅里叶定律，半无限大物体内任意一点在根据傅里叶定律，半无限大物体内任意一点在 时刻的时刻的 热流密度为热流密度为 2 w0 exp 4 x tttx q xaa 表面（表面（x=0 )在在 时刻的热流密度为时刻的热流密度为 w0 ww0 () ctt qtt a 在在0 时间间隔内时间间隔内,流过单位表面积的热量为流过单位表面积的热量为 ww0 0 d2()/Qqt

25、tc 可见，在温差一定的情况下，可见，在温差一定的情况下， 越大，通过表面的热量越大，通过表面的热量 越多，越多， 称为吸热系数，反映物体从与其接触的高温物体的称为吸热系数，反映物体从与其接触的高温物体的 吸热能力。吸热能力。 c c 3.第二类边界条件第二类边界条件 假设半无限大物体具有均匀一致的初始温度假设半无限大物体具有均匀一致的初始温度t0、常物性、常物性、 无内热源，表面温度突然施加常热流热流密度为无内热源，表面温度突然施加常热流热流密度为qw。 2 2 a x w 0,0 0, ,0 xq x x 0 tt 2 2 tt a x 0 w 0 0, 0, , tt t xq x xt

26、t 数学模型：数学模型： 常热流边界条件下半无限大物体内温度场的解析解为常热流边界条件下半无限大物体内温度场的解析解为 ： 0w ( , )( , )2ierfc 4 x xt xtq ca ierfc(u)是高斯误差补函数是高斯误差补函数erfc(u)=1erf(u)的一次积分的一次积分 2 - 0 1 ierfc( ) =erfc( ) deerf( ) u uuuuu ierfc(u)的数值可以从书后附的数值可以从书后附 录查到。录查到。 t t0 x 1 2 3 x1x2x3 表面温度为：表面温度为： w w 2 ( ) qa 第三章 非稳态导热40 3-4 其他形状物体的瞬态导热其他

27、形状物体的瞬态导热 1.无限长圆柱体和球体（可按一维处理，类比无限大平壁）无限长圆柱体和球体（可按一维处理，类比无限大平壁） 2.无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体（特殊多维）无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体（特殊多维） ),( 0 R r FoBif 2 , R a Fo hR Bi ),();,();,( 00 FoBif R r BifFoBif m m 组合求解组合求解 第三章 非稳态导热41 （1）无限长直角柱体）无限长直角柱体 000 ),(),(),( yxyx （2）短圆柱）短圆柱 000 ),(),(),( rxrx （3）垂直六面体）垂直六面体 0000 ),(),(

28、),(),( zyxzyx 3-5 周期性非稳态导热周期性非稳态导热 周期性变化边界条件下引起的非稳态导热。周期性变化边界条件下引起的非稳态导热。 很多情况下边界条件周期性变化可以用简谐波来描述，如：很多情况下边界条件周期性变化可以用简谐波来描述，如： ww,mw w,mw 2 cos cos ttA T tA tw tw,m Af T 周期性变化边界条件导致物体内各处的温度和热流也随时间周期性变化边界条件导致物体内各处的温度和热流也随时间 发生相应的周期性变化。发生相应的周期性变化。 T周期周期; =2 /T角频率；角频率； Aw表面温度的波幅。表面温度的波幅。 1. 周期性边界条件下半无限

29、大物体内的温度响应周期性边界条件下半无限大物体内的温度响应 假设：均质半无限大物体假设：均质半无限大物体、常物性、无内热源常物性、无内热源,表面温度呈周表面温度呈周 期性变化。期性变化。 一维非稳态导热。一维非稳态导热。 x 0 1. 第一类边界条件数学模型与分析结果第一类边界条件数学模型与分析结果： 2 2 tt a x ww,mw 0,cosxtttA w,m tt 令令 2 2 a x www,mw 0,cosxttA 采用分离变量法可解出采用分离变量法可解出 w ( , )expcosxAxx aTaT 2. 温度场的变化特点：温度场的变化特点： （2）温度波的波幅随着离表面距离的）温

30、度波的波幅随着离表面距离的 加大逐步衰减；加大逐步衰减； w exp x AAx aT 温度波的频率越大、导温系数越小，衰温度波的频率越大、导温系数越小，衰 减越快，穿透深度越小。减越快，穿透深度越小。 （1）物体内任意一点的温度都按表）物体内任意一点的温度都按表 面温度波的频率波动；面温度波的频率波动； （3）物体内温度波动的相位滞后于表面温度波。）物体内温度波动的相位滞后于表面温度波。 coscos 4 xx T AxAx aTa w ( , )expcosxAxx aTaT 。和表面温度波相。和表面温度波相 比，比，x处的温度波动在时间上要滞后处的温度波动在时间上要滞后 物体表面温度波为

31、物体表面温度波为 w (0, )cosA (4 )Tax 如果如果T，由上式可求得滞后一个周期的深度为由上式可求得滞后一个周期的深度为 2 xaT（波长）（波长） 温度波向前传递的过程中波长保持不变。温度波向前传递的过程中波长保持不变。 ww expexp 2 x AAxAx aaT 将将 代入式代入式2 xaT 可得温度波动推进一个波长深度时的振幅衰减为可得温度波动推进一个波长深度时的振幅衰减为 ww exp20.002AAA (4) 温度波的传播速度温度波的传播速度 2 2m/s aTa u TT 可见温度波在物体内的传播速度取决于物体材料的导温系数可见温度波在物体内的传播速度取决于物体材料的导温系数 和周期，导温系数越大、温度波的频率越高，传播越快。和周期，导温系数越大、温度波的频率越高，传播越快。 f,m tt 2 2 a x 0,x fw 0 () x h x 给定的是物体表面外周期性变化的介质温度，对流换热表面给定的是物体表面外周期性变化的介质温度，对流换热表面 传热系数为传热系数为h。 介质的温度为介质的温度为 ff,mff,mf 2 coscosttAtA T 3. 第三类边界条件数学模型