第1-01章：点的投影

1、2021-6-24西南交大机械学院 投影构成要素：投影构成要素： 光源用S表示，称为投射中心投射中心 空间有一物体ABC(形体) 将地面抽象为平面P，称为投影面投影面 由投影中心发出的光线称为投射线投射线 物体在投影面P上的影像称为投影投影 投影法：投影法：将这种利用投射线通过物体向投影面进行投射， 并在该面上得到图形的方法称为投影法投影法 规定：规定：空间物体用大写字母表示，其投影 用相应小写字母表示。 S A B C a c b 2021-6-24西南交大机械学院 第一章第一章 点的投影点的投影 点、线、面是组成物体的最基本几何元素，因此 首先从点开始描述物体投影的表示方法。 C D B

2、A 预备知识：预备知识： 投影原理 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 本章内容本章内容 返回返回下页下页上页上页 1-2 1-2 点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影 1-3 1-3 两点间的相对位置关系两点间的相对位置关系 1-1 1-1 点在两面投影体系中的投影点在两面投影体系中的投影 本章重点提示： v点在三投影体系中的投影规律及其投影图的作图方法。 v同时引导同学逐步培养起根据点的多面正投影图想象点在 三维空间的位置和两点间相互关系的空间分析和想象能力。 2021-6-24西南交大机械学院 1.1 1.1 点在两面投影体系中的投影点在两面投影体系

3、中的投影 一、点的单面投影点的单面投影 v 由空间点向选定的投 影面进行投射，其投影 是唯一的。 H A v 作图：过空间点A作 投射线垂直于投影面H， 投射线与H面的交点a为 空间点A在H面上的投影。 a 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 v 作图：作图：因为过投影b 的垂线上所有点(点B1、 B2、Bn）的投影都 是b，所以已知点B的 一个投影b是不能唯一 确定空间点B的位置的。 v 反之：反之：由点的一个 投影不能确定空间点 的位置。 H b B2 B1 B3 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 v 投影的可逆要求可逆要求 工程上的图

4、示法和图解法是有 可逆要求的：即要求能根据空间 几何元素和形体得到唯一确定的 投影，也要求根据投影能唯一确 定空间几何元素和形体的形状与 位置。 显然，只有物体的一个投影是 不能确定该物体的。必须进行补 充条件，形成能满足可逆性要求 的适用于工程技术上的投影图， 增加投影面多面正投影图。 P a c b A1 B1 C1 A2 B2 C2 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 为了根据点的投影确定点在空间的位置，可引 入两个互相垂直的投影面V和H。 H H V V 0X-0X-投影轴投影轴 （简称（简称X X轴）轴） O OX X 二、两面体系的构成二、两面体系的构成

5、H-H-水平投影面水平投影面 （简称水平面）（简称水平面） V-V-正立投影面正立投影面 （简称正面）（简称正面） 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 1、空间模型图： H H V V O OX X 将空间点A放入两面投影体系中： v 经过点A向H面作正投 影得到投影a，则a称为点 A的水平投影； v 经过点A向V面作正投 影得到投影a（规定表示 符号），则a称为点A的 正面投影。 a a A aX 三、点的两面投影图三、点的两面投影图 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 2、投影图： v 规定V面固定不动，将H面绕OX轴向下旋转900 与V

6、面重合，同时去掉空间点A，即得到点A的两面 投影图。 O O H H V V X X a a aX O O H H V V X X a a aX H H V V O O X X a a A aX v去掉投影面边框，得到简化投影图。 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 点的正面投影到OX轴 的距离，反映该点到H面 的距离；即aaxAa H H V V O OX X a a A aX a O O H H V V X X a aX v点的正面投影和水平投 影的连线（称为投影连线） 一定垂直于OX轴。 aaOX 点的水平投影到OX轴 的距离，反映该点到V面 的距离；即aaxA

7、a 四、点的两面投影规律四、点的两面投影规律 v点的投影与空间位置关系 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 五、特殊点的两面投影五、特殊点的两面投影 v 投影面内的点：如投影面内的点：如H面内的点与V面内的点 点的一个投影落在OX轴上 点的另一个投影与其本身重合。 H V OX a b A b a B a O X a b b B A v 投影轴上的点：如投影轴上的点：如X轴 点的两个投影落在OX轴上。 c c c c 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 1.21.2点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影 对于空间点仅用两个投影就能唯

8、一确定其空间位置， 但对于一个具体的物体而言，有时两面投影仍然不能确 定其空间形状，这时就应考虑再增加一个投影面。 H H V V w 一、三面投影体系形成三面投影体系形成 v 三面投影体系是在H-V 两面投影体系的基础上， 再增加同时与H、V面垂直 的W面，W面称为侧立投影侧立投影 面面（简称侧面）。 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 v 三个投影面彼此相交的三条互相垂直的交线统 称为投影轴投影轴。 H H V V W W v 三投影轴垂直相交于一点O，称为原点原点。 V和H的交线称为OXOX轴，简称X X轴。 H和W的交线称为OYOY轴，简称Y Y轴。 V和W的

9、交线称为OZOZ轴，简称Z Z轴。 X X O O Z Z Y Y 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 将空间点将空间点A A放入三面投影体系中：放入三面投影体系中： v 经过点A分别向 H、V、W面作正投 影得a、a、a，则 称为点A的水平投 影、正面投影和侧 面投影。 v 注意投影方向 H H V V W W X X O O Z Z Y Y A a a a 二、点的三面投影图二、点的三面投影图 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 v 投影图：投影图： H H V V W W X X O O Z Z Y Y a a a A 规定V面固定不动

10、，将H面绕OX轴向下旋转900与V 面重合，将W面绕OZ轴向右旋转900与V面重合，同时 去掉空间点A，即得到点A的三面投影图。 H a a a V W X O Z YW YH 注意注意Y轴轴 的位置的位置 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 H a a a V W X O Z YW YH H H V V W W X X O O Z Z Y Y a a a A aX aX aY aZ aZ aYW v 点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应投影面 的距离；即： aax a ayw=Aa aax= aazAa aazaayw=Aa v点的投影连线垂直于投影轴。即： a

11、aOX aaOZ 三、点的三面投影规律三、点的三面投影规律 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 v 分析：分析：若已知一个点的两面投影，则该点的空 间位置就已确定，因此其第三投影也唯一确定。 v 作图方法一：作图方法一： aZ 例例1 1：已知点A的水平投影和正面投影,求其侧面投影。 a a X O Z YW YH aX a (1)过a作一水平线 交OZ轴于az （2）再其上量取一 段距离，使它等于 aax，即得到a。 四、点的三面投影作图方法四、点的三面投影作图方法 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 v 作图方法二：作图方法二： a a

12、X O Z YW YH aX (1)过原点O作直角 YHOYW的角平分线 （2）从点a引一水平 线与角平分线相交 （3）再过交点作垂直 于w轴的直线 （4）过a作Z轴的垂线与 垂直w轴的直线相交于 a，即为A的W面投影 a 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 五、点的投影与坐标的关系五、点的投影与坐标的关系 投影面与坐标面的关系：投影面与坐标面的关系： H面XOY坐标面 V面XOZ坐标面 W面YOZ坐标面 H H V V W W X X O O Z Z Y Y 点的投影与坐标的关系：点的投影与坐标的关系： 点A到W的距离=x坐标 点A到V的距离=y坐标 点A到H的距离

13、=z坐标 a a a A x y z 投影轴与坐标轴的关系：投影轴与坐标轴的关系： 坐标轴是有方向的。 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 例2：已知点A的坐标为(50, 30, 40)， 求其三面投影。 （2）点的任意两个投影包含了点 的三个坐标，由此可以得到：根据 点的三个坐标值和点的投影规律， 就能作出该点的三面投影图。 v分析：分析： （1）点的一个投影由其中的两个坐标所决定： V面投影a由x和z确定 H面投影a由x和y确定 W面投影a由y和z确定 X X O O Z Z Y Y a a a A x y z 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大

14、机械学院 v作图方法：作图方法： （1）画坐标轴，且分别在X、Y、Z轴上量取： Oax=50 OayH =30 OaZ=40 X O Z YW YH aX aZ aYH 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 （2）根据点的投影规律：根据点的投影规律：投影连线垂直于投影轴 分别过ax作OX轴的垂直线、过az作Z轴的垂 直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a, 过ayH作OY轴的垂直线与aax的延长线相交 得点A的H面投影a X O Z YW YH aX aZ aYH a a 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 （3）过原点O作YHOYW的角平分线

15、 （4）延长ayH与平分线相交，再过交点作垂 直于w轴的直线 （5）过a作Z轴的垂线与垂直w轴的直线相交 于a，即为A的W面投影。 X O Z YW YH aX aZ aYH a a a 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 1.3 1.3 两点间的相对位置关系两点间的相对位置关系 一、两点间的相对位置判别一、两点间的相对位置判别 1 1、根据它们在投影图中的各组同面投影来判断，即：、根据它们在投影图中的各组同面投影来判断，即： Y H V W a a aA X b b b B Z b b b X O YW YH a a a 正面和侧面投影反映上下关系正面和侧面投影反映

16、上下关系 上上 下下 上上 下下 正面和水平投影反映左右关系正面和水平投影反映左右关系 左左右右 左左右右 水平和侧面投影反映前后关系水平和侧面投影反映前后关系 后后前前 后后 前前 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 2 2、通过比较两点的坐标（坐标差）来判断它们的相、通过比较两点的坐标（坐标差）来判断它们的相 对位置，即：对位置，即： YH Y H V W a a aA x y z b b b X b b b B Z X O YW a a a x y z Z 上上 下下 上上 下下 左左右右 左左右右 后后前前 后后 前前 x x坐标大的点在左方；坐标大的点在左方

17、； y y坐标大的点在前方；坐标大的点在前方； z z坐标大的点在上方。坐标大的点在上方。 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 例3：已知空间点A和空间点B的三面投影， 试判断A、B的相对位置。 v分析：分析： 因a在b上方，即：zAzB, 故点A在点B的上方； 因a在b前方，即：yAyB, 故点A在点B的前方； 因a在b左方，即：xAxB, 故点A在点B的左方； v结果：结果：点A在点B的左、前、上方。 YH b b b X O YW a a a x y z Z 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 二、重影点及其投影的可见性二、重影点及其投

18、影的可见性 1 1、 重影点重影点 当空间两点位于某一投影面的同一投射线上 时，它们在该投影面上的投影重合成一个点，此 两点称为对该投影面（对H、V、W面）的重影点。 a b c (c) d d CD a(b) A B v 点A在点B的正上方，则两点 A、B是对H面的重影点。 v 点D在点C的正前方，则两点 C、D是对V面的重影点。 v 重影点必然有两对同名坐标值 相等，而另一对坐标值不等。 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西南交大机械学院 2 2、重影点投影可见性判断、重影点投影可见性判断 判断方法：判断方法：可见性判断与 投影方向有关，并且要比 较两点不相同的那个坐标， 其中坐标大的可见，坐标 小的不可见，不可见点的 投影加上圆括号。 a b c (c) d d CD a(b) A B 返回返回下页下页上页上页 2021-6-24西