弹塑性力学第6章

1、第六章第六章 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲 一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样 在数学上总能归结为，在数学上总能归结为， 一个偏微分方程组的边值一个偏微分方程组的边值 问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的 偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难，偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难， 所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确 解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。 6.1 6.1 简单梁弹塑性弯曲问题简

2、单梁弹塑性弯曲问题 圆形截面杆的弹塑性扭转问题；圆形截面杆的弹塑性扭转问题； 轴对称和球对称的问题；轴对称和球对称的问题； 简单桁架问题。简单桁架问题。 具有该类求解特点的问题有：具有该类求解特点的问题有： 简单梁的弹塑性弯曲问题的特点：简单梁的弹塑性弯曲问题的特点： 在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函 数和方程式的数目相等。数和方程式的数目相等。 求解的特点：求解的特点： 结合边界条件及力的平衡条件可直接结合边界条件及力的平衡条件可直接 求出应力分布；求出应力分布； 应变和位移则根据物理关系和几何的应变和位移则根据物理关系和几何的 连续方程求出。连续方程

3、求出。 梁弹塑性弯曲的基本假定条件：梁弹塑性弯曲的基本假定条件： 平断面假定条件；平断面假定条件； 不考虑纤维层之间的挤压应力；不考虑纤维层之间的挤压应力； 在弹性区：在弹性区： x x 呈线性关系；呈线性关系； 在塑性区：在塑性区： x 仅考虑应力仅考虑应力 对屈服条件的影响对屈服条件的影响 x xxe E xsxe 对于理想弹塑性材料对于理想弹塑性材料 截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时，截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时， 截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现 三种情况：三种情况： xs xs 弹性极限状态弹性极限状态弹塑性状态

4、弹塑性状态塑性极限状态塑性极限状态 s s e Mp M e h e h （具有两对对称轴三个阶段中性层位置不变）（具有两对对称轴三个阶段中性层位置不变） 6.2 梁的弹塑性纯弯曲问题梁的弹塑性纯弯曲问题 弹性极限状态下梁曲率弹性极限状态下梁曲率ke （1）弹性极限状态）弹性极限状态 弹性极限状态下弯矩值弹性极限状态下弯矩值弹性极限弯矩弹性极限弯矩 s s h h 2 es 2 Mh b 3 es W e W e e e M1 Eh W 2 e 2 Wbh 3 2 e bH W 6 s e 2 EH （2）塑性极限状态）塑性极限状态 p M塑性极限状态下弯矩值塑性极限状态下弯矩值塑性极限弯矩塑

5、性极限弯矩 s 2 ps Mbh 塑性极限状态下梁曲率塑性极限状态下梁曲率 s e Eh h0 p 梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个“铰铰” 塑性铰塑性铰与通常铰的区别：与通常铰的区别： *塑性铰上作用有大小保持为塑性铰上作用有大小保持为 的弯矩；的弯矩； *塑性铰转动角度的方向必须与作用的弯矩方向一致。塑性铰转动角度的方向必须与作用的弯矩方向一致。 p M p W塑性断面剖面模数塑性断面剖面模数 ps W 2 p Wbh 弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点 2 es 2 Mbh 3 2 ps Mbh 矩形截面矩形截面

6、是矩形截面形状固有的性质是矩形截面形状固有的性质 定义：定义： p e M M 截面形状系数截面形状系数 显然：矩形截面的形状系数显然：矩形截面的形状系数=1.5 它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设 计时梁截面的强度比。计时梁截面的强度比。 p e W W 形状系数仅与截面形状相关。形状系数仅与截面形状相关。 其他截面形状系数其他截面形状系数 s e h e h 弹性核的高度弹性核的高度he M y e h 0 2 b ydy e h h 2 b ydy 弹性区：弹性区： e 0yh s e y h 塑性区：塑性区： e hyh s （3）梁弹

7、塑性状态分析）梁弹塑性状态分析 弹塑性状态弹塑性弯矩弹塑性状态弹塑性弯矩 e h 2 s e0 y 2 bdy h M= e h s h 2 bydy 2 2e s h1 bh1 3h 2 e s 2h b 3 22 se bhh e hh 弹性极限状态弹性极限状态 2 es 2 M=Mbh 3 e h0 塑性极限状态塑性极限状态 2 ps M=Mbh 2e s 3M bh = 2 e e hM = 3-2 hM e e hM = 3-2 hM 得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系 该公式的用途之一：该公式的用途之一： 已知梁截面上的弹塑性弯矩数据已知梁截面上的弹塑

8、性弯矩数据 可直接确定截面上的弹性区与塑可直接确定截面上的弹性区与塑 性区的交线，进而求得截面上的应力分布性区的交线，进而求得截面上的应力分布 得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系 利用利用平断面假定平断面假定 梁的曲率与弯矩的关系梁的曲率与弯矩的关系 梁进入到弹塑性状态时，梁进入到弹塑性状态时， 梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩具有下面的关梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩具有下面的关 系：系： 2 2 d v1 M= EI= EI d x =EI x y y M= EI 不成立不成立 x y 弹性核内虎克定律仍然成立：弹性核内虎克定律仍然成立： x x y E 在在h

9、=heh=he高度上高度上的曲率就是弹塑性梁的曲率就是弹塑性梁 在该点的曲率在该点的曲率 ss e e h EEh e h e h 如何求解此时的曲率？如何求解此时的曲率？ 弹塑性状态梁曲率弹塑性状态梁曲率 s e Eh 已知弹性极限状态下梁曲率：已知弹性极限状态下梁曲率： s e Eh 弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比：弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比： ee h kh 得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系：得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系： e e hM = 3-2 hM 2 ee ee MM1 = 3-23 kMM2k 利用以上公式已知弹塑性梁截面的弯矩就利用以上

10、公式已知弹塑性梁截面的弯矩就 可确定梁在该截面的弯曲曲率可确定梁在该截面的弯曲曲率 2、理想弹塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解、理想弹塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解 具有一个对称轴截面求解的基本思想具有一个对称轴截面求解的基本思想 截面上力的平衡条件截面上力的平衡条件 x A dA0 例题例题 等腰三角形截面截面中性层位置求解等腰三角形截面截面中性层位置求解. 顶部、底部、全部达到屈服时中心轴顶部、底部、全部达到屈服时中心轴y y距底边距底边 的高度的高度 线性强化材料：线性强化材料： 线性强化材料的应力应变曲线：线性强化材料的应力应变曲线： se1 y ggE s s1 E E

11、 1 1s E E1 E M e h 0 2 bydy e h h 2 bydy e h 2 s e0 y =2 bdy h e h 1 1s h E 2 by E1dy E 2 e s 2h b 3 s e 1 Eh y s e y Eh e h s1 1s eh E 2 by E y1dy EhE e h 2s1 1s eh E 2bE yy 1dy EhE 23 2e1 s e hE2 h bh E3 h3 2 2e s h bh 3 矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的 关系关系 2 2e s h1 Mbh1 3h e e hM = 3-2

12、hM e p hM = 3 1- hM 3 3、理想弹塑性材料矩形截面梁塑性区的判断、理想弹塑性材料矩形截面梁塑性区的判断 当梁的弯矩分布已知时，当梁的弯矩分布已知时， 可通过上式求出核高沿杆件的分布可通过上式求出核高沿杆件的分布 简支梁简支梁 极限情况：极限情况： p x MM1 l p M e p M h =h 3 1- M e x h =h 3 l e h =0 x=0 e l h =hx= 3 当当x=l/3时截面完全处于时截面完全处于 弹性工作状态弹性工作状态 l x= 3 l x= 3 p M 2 2 p x MM1 l e p M h =h 3 1- M e x h = 3h l

13、 e h =0 x=0 e l h =hx= 3 此时截面完全处于此时截面完全处于 弹性工作状态弹性工作状态 x=0.577l x=0.577l 求解基本思想：求解基本思想： 4 4、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解 找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点 弯曲分布已知时，可直接通过弯曲分布已知时，可直接通过 判断判断 e MorM 在弹性区：在弹性区： 成立成立M=EIv M v x =dx dxcxd EI 根据根据M M分布分布求解完全弹性区内挠度求解完全弹性区内挠度 根据根据M M分布分布求解弹塑性区内挠度求解弹塑性区内挠

14、度 根据弹塑性区与完全弹性区交点上变形连续条件根据弹塑性区与完全弹性区交点上变形连续条件 求得待定参数求得待定参数 得弹塑性区挠度函数：得弹塑性区挠度函数： eses s e hh1 EEh 弹塑性区：弹塑性区： e e M h =h 3-2 M e p M h =h 3 1- M 思路：思路： A A）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系 B B）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系 2 s 2 e d v dxEh 得：得： 2 s 2 e d v dxM Eh 3-2 M 2 s 2 p d v dx M Eh 3 1- M s p v x(dx )dxaxb M x Eh 3 1- M