大学物理_角动量_转动惯量

1、 一一理解理解角动量角动量概念，掌握概念，掌握角动量定理、角动量守角动量定理、角动量守 恒恒及其应用；及其应用； 二二理解描写刚体理解描写刚体定轴转动定轴转动的物理量，并掌握的物理量，并掌握角量角量 与线量的关系与线量的关系； 三三理解理解力矩力矩和和转动惯量转动惯量概念，计算转动惯量，掌概念，计算转动惯量，掌 握刚体绕定轴转动的握刚体绕定轴转动的转动定律转动定律； 四四理解刚体定轴转动的理解刚体定轴转动的转动动能转动动能概念，能在有刚概念，能在有刚 体绕定轴转动的问题中正确地应用体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒机械能守恒 定律定律。 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单能运用

2、以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单 系统的力学问题。系统的力学问题。 刚体刚体（rigid body） ：在外力作用下，：在外力作用下，形状形状和和大小大小都不都不 发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变 的的特殊质点系特殊质点系）。）。 刚体的运动形式：刚体的运动形式： 平动平动(translation)、 转动转动(rotation)。 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：平动： 刚体内任意两点间连线刚体内任意两点间连线 的空间方向总保持不变的空间方向总保持不变 特点：特点：各点位移、速度、各点位移、速度、 加速度均相同。加速

3、度均相同。 转动：转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。 转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心 转动）。转动）。 刚体的平面运动：刚体的平面运动： A点作圆周运动，点作圆周运动，B 点作直线运动，因此，点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平动杆的运动既不是平动 也不是定轴转动，而是也不是定轴转动，而是 平面运动平面运动。 例：例：曲柄连杆机构中连杆曲柄连杆机构中连杆AB的运动。的运动。 刚体的一般运动：刚体的一般运动： 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ 质心质心 ：刚

4、体的质量分布的中心：刚体的质量分布的中心 C rdm r dm 角动量角动量概念的建立，和概念的建立，和转动转动有密切的关系。有密切的关系。 在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着某一在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着某一 个确定点或轴转动的情况。例如，行星绕太阳的公转，个确定点或轴转动的情况。例如，行星绕太阳的公转， 人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的 转动等等。转动等等。 在这些问题中，动量及机械能的有关规律并不能在这些问题中，动量及机械能的有关规律并不能 直接用，这时若采用直接用，这时若采用角动量角动量概念讨论问题就很方便。概

5、念讨论问题就很方便。 转动问题与平动问题的描述有许多相似之处，如：转动问题与平动问题的描述有许多相似之处，如： 力的时间累积效应力的时间累积效应冲量、动量、动量定理。冲量、动量、动量定理。 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应冲量矩、动量矩冲量矩、动量矩(角动量角动量)、 角动量定理。角动量定理。 角动量角动量 角动量定理角动量定理 ( (5.1,5.2) ) 预备知识：二矢量的矢积（叉乘）预备知识：二矢量的矢积（叉乘） 1 12 23 3 AAeA eAe 1 12 23 3 BB eB eB e AB 大小：大小： (, ) sin A B ABA B 方向：方向：与与 和和 都垂直，都垂

6、直， 且成由且成由 转到转到 的右手螺旋关系的右手螺旋关系 A B A B 性质：性质： ()ABBA (以以 和和 为边的平行四边形面积为边的平行四边形面积)A B 1 1223 31 1223 3 ()()ABAeA eA eB eB eB e 12 1221 21 23 2332 32 31 3113 13 + + AB eeA B ee A B eeA B ee A B eeAB ee 122132332131132 ()+() +()ABA B eA BA B eA BAB e 123 123 123 eee ABAAA BBB 大小：大小： 方向：方向：右手螺旋定则判定右手螺旋定则

7、判定 力臂力臂: (力与力臂的乘积力与力臂的乘积) MrF 和 FrM 定义：定义： 为作用在质点上的力为作用在质点上的力 对参考点对参考点O的力矩。的力矩。F 是作用点是作用点P相对于固定点相对于固定点O的位矢。的位矢。r FdFrFrMsin rdsin 单位：单位：Nm （注意：（注意：不能写作功的单位不能写作功的单位J ） 一、力矩一、力矩 1、对参考点的力矩、对参考点的力矩 p O d M r F 在直角坐标系中，力矩可表示为：在直角坐标系中，力矩可表示为： kMjMiM FFF zyx kji FrM zyx zyx 注意：注意：同一个力对于不同的参考点同一个力对于不同的参考点(转

8、轴转轴)的力矩的力矩 不同，因此说不同，因此说“力矩力矩”时必须指明是时必须指明是相对相对 于哪一点于哪一点（或哪一个转轴（或哪一个转轴) 而言的。而言的。 xzy yxz zyx MyFzF MzFxF MxFyF 其中：其中： 质点系所受的总力矩（对同一参考点）：质点系所受的总力矩（对同一参考点）： ii i MrF ( ) MrdF r 特别，对刚体特别，对刚体 dm a L O 例：例：如图，长为如图，长为L 的细棒的质量密的细棒的质量密 度分布为度分布为 , 其中其中l 为距左端的长度，求其为距左端的长度，求其 所受重力对所受重力对O点的力矩。点的力矩。 00 ( )/ll L 解：

9、解： ()( ) 0 L r MrdFrgdmla egl dl g 大小：大小： 00 0 () sin(/2)(/) L Mla gl L dl 32 00 (/cos )(/3/2)gLLaL 方向：方向：垂直纸面向里垂直纸面向里 P z * O FdFrMsin M F r d : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转，力轴旋转，力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P (P点在转动点在转动 平面内平面内), 为力的作用点为力的作用点 P 到到 转轴转轴的径矢的径矢。 F r FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 0,0 ii MF 0,0 ii MF F F F F M 2、对

10、转轴的力矩、对转轴的力矩 z O k F r FFF z FrkM z rFM z sin z F F 1）若若力力 不在转动平面内，把力不在转动平面内，把力分解分解为平行和垂为平行和垂 直于转轴方向的两个分量：直于转轴方向的两个分量： F 2）合力矩）合力矩等于各分力矩的等于各分力矩的矢量和。矢量和。 321 MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力 矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的 力矩：力矩： z F F 讨论：讨论： 注意注意：合力矩合力矩与与合力的矩合力的矩是不同的概念，不要混淆。是不同的概念，不要混淆。 3） 刚体内部，作刚体内部，作 用力和用力和反反作用力对作用力对 同一点

11、（或转轴）同一点（或转轴） 的力矩互相的力矩互相抵消。抵消。 jiij MM j r i r i j ij F ji F d O ij M ji M FdrFMsin 计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。 力矩的计算：力矩的计算： 计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的 办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计 算方法进行计算，最后求和。算方法进行计算，最后求和。 例：例：一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m ，在摩擦系数为

12、，在摩擦系数为 的的水平桌面上转动，水平桌面上转动，求：求：摩擦力的力矩摩擦力的力矩 M阻 阻。 。 解：解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦 阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质 元受阻力矩大，元受阻力矩大， m l o dm dx x x 细杆的质量密度：细杆的质量密度： l m 质元质量：质元质量： dxdm 质元受阻力矩：质元受阻力矩： dMdm g x 阻 细杆受的阻力矩：细杆受的阻力矩： 阻阻 dMM 2 2 1 gl lm mgl 2 1 l gxdx 0 R 练习：练习：

13、如图一圆盘面密度为如图一圆盘面密度为，半径为，半径为R，与桌面，与桌面 的摩擦系数为的摩擦系数为，求：求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直圆盘绕过圆心且和盘面垂直 的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。 O 解：解：取一小环为面元，取一小环为面元， r dr df 若圆盘以若圆盘以0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止的初角速度转动，圆盘转多少圈静止? 2 2grdr dm2 r dr 则： dfdm g2 gr dr dMr df 2 0 2 R Mgr dr 3 2 3 gR 问题：问题： (解答需要转动情况下的动能定理解答需要转动情况下的动能定理) v 1、质点的角动量、

14、质点的角动量旧称动量矩旧称动量矩 (Angular Momentum) Lrprm v v r L L r x y z o m 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点，质点相对于原相对于原 点的角动量点的角动量定义为定义为 m r v sinvrmL 大小：大小： 方向：服从右手螺旋定则。方向：服从右手螺旋定则。 Lrp 和 m O r L m 单位：单位： kg m2/s 二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理 2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是对）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是对 哪一

15、哪一参照点参照点而言而言； 例例 作作圆周运动圆周运动的质点的角动量。的质点的角动量。 1）角动量是描述转动角动量是描述转动状态状态的物理量的物理量； 说明：说明： 2 Lrmvmr 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径 为为 的圆周运动，相对圆心的圆周运动，相对圆心 的角动量大小为：的角动量大小为： r 质点作质点作匀速率匀速率圆周运动时，角动量是恒量。圆周运动时，角动量是恒量。 L r p m o 3) 在在直角坐标系直角坐标系中，角动量的表达式为：中，角动量的表达式为： () zyx Lxpyp () yxz Lzpxp () xzy Lypzp zyx ppp zyx kji prL

16、 kLjLiL zyx 例例 当质点在当质点在 xoy 面内面内作作平面运动平面运动时，角动量为：时，角动量为： 0 0 yx pp yx kji prL () yx xpyp k 例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子还有例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子还有 内禀的自旋运动，因而具有自旋角动量，等等。内禀的自旋运动，因而具有自旋角动量，等等。 4) 角动量的概念，不但能描述经典力学中的宏观运角动量的概念，不但能描述经典力学中的宏观运 动，在近代物理理论中仍然是表征动，在近代物理理论中仍然是表征微观运动微观运动状态状态 的重要物理量。的重要物理量。 角动量是原子、分子和原子核系统的基

17、本性质之一，角动量是原子、分子和原子核系统的基本性质之一， 并且只能取特定的不连续的量值，此称为角动量的并且只能取特定的不连续的量值，此称为角动量的 量子化。在这些微观系统的性质的描述中，角动量量子化。在这些微观系统的性质的描述中，角动量 起着非常重要的作用。起着非常重要的作用。 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考 点点O 的角动量（动量矩），也可称为质点的角动量（动量矩），也可称为质点对过对过 O 点垂点垂 直于运动平面的轴直于运动平面的轴的角动量（动量矩）。的角动量（动量矩）。 md1 d2 d3 A BC v 解：解： vmdL 1A v

18、mdL 1B 0 C L 例例1: 一质点一质点m，速度为，如图所示，速度为，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点，此时分别为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分相对三个点的距离分 别为别为d1 、d2 、 d3 ，试分别，试分别求求此时刻质点对三个参此时刻质点对三个参 考点的角动量。考点的角动量。 v Lrp 大小：大小： 方向：方向：都垂直纸面向里都垂直纸面向里 例例2：有一个质量为有一个质量为 m = 1 kg 的物体的物体, 在力在力 的作用下运动。的作用下运动。 当当 t = 0 时，时， 求求: t = 1s时对原点时对原点 此此1s内，力所做的功？对物体冲量？内，力所做的功？

19、对物体冲量？? ?ML 00 0,0.rv 2 1262 (SI)Ft itjk 单位制 MrF Lrprmv /aF m 0 ( ) t va t dt 0 ( )( )( )( )( )(0) t kk WF tdr tF tv t dtE tE 0 0 ( )( ) t IF t dtmv tmv ,? dpdL F dtdt () dpddr rFrrpp dtdtdt dL M dt 质点对质点对参考点参考点O 的的角动量角动量随时间的随时间的 变化率变化率，等于作用于质点的合力对，等于作用于质点的合力对 该点该点 O 的力矩的力矩 。 () ddL rFrp dtdt 0 dr m

20、v dt 2、质点的角动量定理、质点的角动量定理 Lrp 质点角动量定理的微分形式：质点角动量定理的微分形式：dLMdt 冲量矩冲量矩 2 1 d t t M t 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O ，质点所受到，质点所受到 的冲量矩等于质点角动量的增量。的冲量矩等于质点角动量的增量。 2 1 21 t t M dtLL dL M dt 注意：注意： 定理中的定理中的力矩力矩和和角动量角动量都必须是都必须是相对于同一相对于同一 参考点参考点而言的。而言的。 说明说明: : (1) 冲量矩是质点角动量变化的原因。冲量矩是质点角动量变化的原因。 (2) 质点角动量的变

21、化是质点角动量的变化是力矩对时间的积累力矩对时间的积累的结果。的结果。 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩总为零时，质点对的合力矩总为零时，质点对 该参考点该参考点 O 的角动量为一恒矢量。的角动量为一恒矢量。 0, ML 如则恒矢量 3、质点的角动量守恒定律：、质点的角动量守恒定律： 说明：说明： 1）质点的角动量守恒的条件是力矩总和为零。）质点的角动量守恒的条件是力矩总和为零。 思考：质点作匀速直线运动和匀速率圆周运动思考：质点作匀速直线运动和匀速率圆周运动 注意：合力为零，合力矩未必为零！注意：合力为零，合力矩未必为零！ 合力不为零时，合力矩可能为零合力不为零时，合力矩可能为

22、零，有两种情况：，有两种情况： dL M dt 一、一、力的作用点就在参考点力的作用点就在参考点，此时位置矢量，此时位置矢量 = 0； 二、二、沿力的方向的延长线通过参考点沿力的方向的延长线通过参考点，此时：，此时： sin0.例：匀速率圆周运动；地球绕日转动例：匀速率圆周运动；地球绕日转动 例如，行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动例如，行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动 量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的 角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核 的角动量守恒。的角动量守恒。 如果质点在运动

23、中受到的力始终指向某个固定如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定 的中心，这种力叫做的中心，这种力叫做有心力有心力，该固定中心称为，该固定中心称为力心力心。 有心力相对于力心的力矩恒为零有心力相对于力心的力矩恒为零。所以，在有心力。所以，在有心力 作用下质点对力心的角动量都是守恒的。作用下质点对力心的角动量都是守恒的。 2）有心力问题）有心力问题 解：解：摆球受力如图。摆球受力如图。 mg T 为为参参考考点点以以O1 G MRmg G MRmg T MR T 0 sin 90 T MRTcosRTRmg 逆时针逆时针 顺时针顺时针 重力矩重力矩 张力矩张力矩 例：例：质量为的圆锥摆摆球，以

24、速率质量为的圆锥摆摆球，以速率 v 运动时，对运动时，对 参考点的角动量是否守恒？对参考点的角动量是参考点的角动量是否守恒？对参考点的角动量是 否守恒？否守恒？ O对 点的合力矩为零，角动量守恒。 l m O R C 2C以 为参考点 G Mlmg 重力矩： 张力矩 sin G Mlmg 0 T MlT 夹角为 C对 点的合外力矩不为零，角动量不守恒! l m o R C mg T 例例5 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。一质量的光滑圆环置于竖直平面内。一质量 为为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开 始时静止于圆环上的点始

25、时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面的水平面 上上)，然后从，然后从 A 点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略 去不计。去不计。求：求：小球滑到任意点小球滑到任意点 B 时对环心时对环心 O 的角动量的角动量 和角速度。和角速度。 解：解：小球受重力和支持力作小球受重力和支持力作 用用. 对对O点点, 支持力的力矩为支持力的力矩为 零，重力矩垂直纸面向里。零，重力矩垂直纸面向里。 由质点的角动量定理：由质点的角动量定理： cosmgRM t L mgR d d cos t L mgR d d cos cosdLmgRdt 考虑到考

26、虑到 2 ,ddt LmRvmR 23 cosLdLm gRd 有有 由题设条件由题设条件, 对上式积分对上式积分, 有有 0 32 0 dcosdgRmLL L 2123 )sin2(gmRL 21 )sin 2 ( R g 2 mRL 例例6 ：用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率 圆周运动，其半径为圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为，角速度为0 。现通过圆心。现通过圆心 处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求：求：当半当半 径缩为径缩为 r 时的角速度。时的角速度。 解：解： m r0r o v 以小孔

27、以小孔 O 为原点，绳对小球的拉力为有心力，为原点，绳对小球的拉力为有心力， 对对O 点其力矩为零，点其力矩为零， 则小球对则小球对O 点的角动量守恒。点的角动量守恒。 初态：初态： 末态：末态： 2 0 000 mv rmr 2 mvrmr 角动量守恒：角动量守恒： 22 00 mrmr 所以：所以：或：或： 2 0 0 2 r r 0 0 r vv r 应用角动量守恒定律可以证明应用角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律开普勒第二定律: 16世纪末至世纪末至17世纪初，世纪初，开普勒开普勒仔细地分析整理仔细地分析整理 了前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，了前人记录下的大量精确的有关

28、行星运动的资料， 总结出行星运动的规律、即开普勒三定律。总结出行星运动的规律、即开普勒三定律。 只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已 传达了重大的传达了重大的“天机天机”。由于角动量正比于位矢的。由于角动量正比于位矢的 掠面速度，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。掠面速度，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。 事实上，牛顿定律及万有引力定律提出时都以开普勒定律为验证实例事实上，牛顿定律及万有引力定律提出时都以开普勒定律为验证实例 行星与太阳的连线在相同时间行星与太阳的连线在相同时间 内扫过相等的面积内扫过相等的面积. 行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨

29、道运动，由行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由 于引力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢于引力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢 反平行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为零。反平行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为零。 角动量的方向不变，角动量的方向不变， 表明位矢和速度所决定的表明位矢和速度所决定的 平面的方位不变，行星就平面的方位不变，行星就 在这个平面内运动，它的在这个平面内运动，它的 轨道是二维的。轨道是二维的。 所以，行星在运行过程中，它对太阳的角动量所以，行星在运行过程中，它对太阳的角动量 保持不变。保持不变。 A A L r 在在dt时间间隔内，时间间隔内， 扫过的面

30、积为扫过的面积为 1 2 dSrdr 而行星对太阳的角动量的大小而行星对太阳的角动量的大小 2 rdrdS mm dtdt dr Lrpm r dt 有心力作用，角动量有心力作用，角动量 L 守恒，故面积变化率恒定。守恒，故面积变化率恒定。 Kepler第二定律的证明：第二定律的证明： 2 L dS dtm 在低轨道上运行的地球卫星，由于大气摩擦阻在低轨道上运行的地球卫星，由于大气摩擦阻 力对地心的矩不为零，其对地心的角动量不守恒。力对地心的矩不为零，其对地心的角动量不守恒。 在此力矩的作用下，卫星的角动量值不断减小，最在此力矩的作用下，卫星的角动量值不断减小，最 后陨落地面。后陨落地面。 角

31、动量守恒是自然界的普遍规律。角动量守恒是自然界的普遍规律。 角动量守恒、动量守恒、能量守恒定律并称为角动量守恒、动量守恒、能量守恒定律并称为三三 大守恒定律大守恒定律，这三大守恒定律的成立有着深刻的内，这三大守恒定律的成立有着深刻的内 在原因。现代物理学已确认，这些守恒定律是和自在原因。现代物理学已确认，这些守恒定律是和自 然界的更为普遍的属性然界的更为普遍的属性时空对称性相联系的。时空对称性相联系的。 能量守恒能量守恒和和动量守恒动量守恒分别是分别是时间平移时间平移对称性和对称性和空空 间平移间平移对称性的结果，而对称性的结果，而角动量守恒角动量守恒是是空间旋转空间旋转对对 称性的结果。称性

32、的结果。(参参6.4, 自学自学) 例例7: 一颗地球卫星，近地点一颗地球卫星，近地点181km，速率，速率8.0km/s， 远地点远地点327km，求：求：在远地点处的卫星速率。在远地点处的卫星速率。 解：解： 卫星对地球的角动量守恒卫星对地球的角动量守恒 近地点近地点 11 vr 远地点远地点 22 vr 则则 2 21 1 mv rmv r 7.83km/s 1 21 2 r vv r 6370 181 8.0 6370327 且且 思考：行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？思考：行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？ 1 r 1 v 2 r 2 v o 惯性系中某给定参考点惯性系

33、中某给定参考点 内 内 外 外 某给定某给定 参考点参考点 i i dL M dt 系 外 1 111 外内 dL MMM dt 2 222 外内 dL MMM dt 对质点系对质点系: 0 i内 i M 角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式 角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式 dL M dt 外 作用于质点系的外力对作用于质点系的外力对参考点参考点 O 的合力矩的合力矩 ，等于质点系对该点的，等于质点系对该点的角角 动量动量随时间的随时间的变化率变化率. 对同一对同一参考点参考点 O ，质点系所受的，质点系所受的 冲量矩冲量矩等于质点系等于质点系角动量角动量的增量的增量. 2 1

34、21 t t M dtLL 外 若质点系所受的外力对某固定参照点的力矩的矢若质点系所受的外力对某固定参照点的力矩的矢 量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律 由：由： dL M dt 外外 0,ML 外 时恒矢量 （1） （2） （3） （4） 两人同时到达；两人同时到达； 用力上爬者先到；用力上爬者先到； 握绳不动者先到；握绳不动者先到； 以上结果都不对。以上结果都不对。 两人质量相等两人质量相等 一一 人人 握握 绳绳 不不 动动 一一 人人 用用 力力 上上 爬爬 可能出现的情况可能出现的情况 是是

35、终点线终点线 滑轮质量 既忽略 轮绳摩擦 又忽略 同高从静态开始 往上爬 忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系 若系统受合外力矩为零，角动量守恒。 系统的初 态角动量 系统的末 态角动量 得 不论体力强弱, 两人等速上升。 若系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。 例例8 一质量一质量 的登月飞船的登月飞船, 在离在离 月球表面高度月球表面高度 处绕月球作圆周运动。现处绕月球作圆周运动。现 飞船采用如下登月方式：当飞船位于点飞船采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向时，它向 外侧短时间喷气，使飞船与月球相切地到达点外侧短时间喷气，使飞船与月球相切地到达点

36、B，且，且 OA 与与 OB 垂直。飞船所喷气体相对飞船的速率为垂直。飞船所喷气体相对飞船的速率为 。已知。已知 月球半径月球半径 ; 在飞船登月过程中，月球在飞船登月过程中，月球 的重力加速度视为常量的重力加速度视为常量 。 试求：试求：登月飞船在登月过登月飞船在登月过 程中所需消耗燃料的质量程中所需消耗燃料的质量 是多少是多少?m 0 v A v B B v u v h O R A kg1020. 1 4 m km100h 14 sm1000. 1 u km1700R 2 sm62. 1 g 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的的 速度速度 , 月球质量月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定

37、律由万有引力和牛顿定律 0 v hR m hR mm G 2 0 2 M )( v 2 M R m Gg 0 v A v B B v u v h O R A kg1020. 1 4 mkm100h 14 sm1000. 1 ukm1700R 2 sm62. 1 g 已知已知 求求 所需消耗燃料的质量所需消耗燃料的质量 .m 得得 121 2 0 sm1612)( hR gR v 21 )( 22 0 vvv A RmhRm B vv)( 0 1 sm1709)( RhR 0B vv得得 当飞船在当飞船在A点以相对速度点以相对速度 向外喷气的短时间里，飞船的向外喷气的短时间里，飞船的 质量减少了

38、质量减少了m而为而为 ，并获，并获 得速度的增量得速度的增量 ，使飞船的，使飞船的 速度变为速度变为 ，其值为：，其值为： v A v m u 质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用，角动量守恒点只受有心力作用，角动量守恒m 0 v A v B B v u v h O R A 飞船在飞船在 A点喷出气体后点喷出气体后, 在到在到 达月球的过程中达月球的过程中, 机械能守恒机械能守恒 21 )( 22 0 vvv A 1 sm1709 B v R mm G hR mm G M M 2 B 2 A vm vm 2 1 2 1 R m G hR m G MM 22 2 B 2 A vv即

39、即 1 sm1615 A v 于是于是 121 sm100)( 2 0 2 A vvv 而而 vmum)(kg120ummv 0 v A v B B v u v h O R A 定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 (5.3, 5.4) 1、刚体刚体定轴转动的角动量定轴转动的角动量 2 () zi iii i ii Lm rm r v Oi r i m i v z LJ z (所有质元的角动量之和所有质元的角动量之和) 对于刚体的定轴转动，我们对于刚体的定轴转动，我们 应当用角动量来描述刚体运应当用角动量来描述刚体运 动状态，而不是用动量。动状态，而不是用动

40、量。 2 i i i Jm r 引入引入转动惯量转动惯量(后详述后详述) 有有 LJ 一般一般: 2、刚体刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 O i r i m i v z dL M dt 外 质点系：质点系： LJ 定轴转动：定轴转动： ()d J M dt 外 故故 2 1 21 () t t M dtJ 外 对刚体对刚体: 定轴转动的角动量定理：定轴转动的角动量定理：作用在刚体上的合外力作用在刚体上的合外力 矩的冲量矩等于作用时间内角动量的增量。矩的冲量矩等于作用时间内角动量的增量。 对非刚体：对非刚体： 2 1 2211 () t t M dtJJ 外 内力矩不改变系统的角动

41、量。内力矩不改变系统的角动量。 守恒条件：守恒条件：. 0M 若若 不变，不变， 不变；不变； 若若 变，变， 也变，但也变，但 不变。不变。 J JLJ 定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 2 1 2211 d t t MtJJ 外 0M LJ 常矢量，则，则若若 注注 LMM 内外 故常矢量， 在在冲击冲击等问题中，等问题中， 当刚体受到的合外力矩恒为当刚体受到的合外力矩恒为0 时，其角动量守恒。时，其角动量守恒。 守恒有两种情况：守恒有两种情况： 3、刚体刚体定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律 讨论讨论守恒条件：守恒条件：0M 合外力矩 不仅要分析力（是外力还是内力）

42、，而且重要的是不仅要分析力（是外力还是内力），而且重要的是 要分析外力力矩的和。要分析外力力矩的和。 当合外力不为当合外力不为0时，合外时，合外 力矩可以为力矩可以为0 (看对何轴看对何轴) F F F O 当合外力为当合外力为0时，时， 合外力矩不一定为合外力矩不一定为0； 解：解：两飞轮通过摩擦达到共两飞轮通过摩擦达到共 同速度同速度,合外力矩为合外力矩为0，系统角，系统角 动量守恒。动量守恒。 1 J 2 J 1 2 JJJJ)( 212211 21 2211 JJ JJ 共同角速度共同角速度 例例9两个共轴飞轮转动惯量分别为两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分，角速度分 别为

43、别为 1 、 、 2， ，求：求：两飞轮啮合后共同的角速度两飞轮啮合后共同的角速度 。 王注王注: 对点和对轴转动情形都可用上式定义，但其中对点和对轴转动情形都可用上式定义，但其中 的的 r 含义不同含义不同(教材中只涉及对定轴转动情形教材中只涉及对定轴转动情形)： 对参考点转动：对参考点转动：r 为各质点为各质点(元元) 到参考点的距离到参考点的距离； 对参考轴转动：对参考轴转动：r 为各质点为各质点(元元) 到转轴的垂直距离到转轴的垂直距离。 物理意义：物理意义：是是刚体刚体转动的惯性的量度。转动的惯性的量度。 刚体的转动惯量的大小：刚体的转动惯量的大小： 1）与刚体的与刚体的总质量、形状

44、、大小总质量、形状、大小有关。有关。 2）与与质量对轴的分布质量对轴的分布有关。有关。 3）与与轴的位置轴的位置有关。有关。(所以必须指明对何轴所以必须指明对何轴/点的点的J ) 2d Jrm 对确定的刚体、给定的转轴对确定的刚体、给定的转轴(或定点或定点)，J是一常数是一常数 2 i i i Jmr 定义定义: 转动惯量转动惯量问题问题 2 ii i Jr m 质点系：质点系： 质量离散分布质点系的转动惯量：质量离散分布质点系的转动惯量： 222 1 12 2i i i Jmrmrm r 转动惯性的计算转动惯性的计算: 质量连续分布的刚体的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量: 2d Jrm

45、 ：质量元：质量元 md 线分布线分布 体分布体分布 面分布面分布 质量质量线分布线分布的刚体：的刚体： lmdd ：质量线密度质量线密度 质量质量面分布面分布的刚体：的刚体：Smdd ：质量面密度质量面密度 质量质量体分布体分布的刚体：的刚体：Vmdd ：质量体密度质量体密度 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体 才能用积分直接计算出刚体的转动惯量。才能用积分直接计算出刚体的转动惯量。 对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。 质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体: mdrrmJ i

46、i i 22 ：质量元质量元 md 转轴转轴 若连接两小球（视为质点）的若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则：轻细硬杆的质量可以忽略，则： 可视为分立质点结构的刚体可视为分立质点结构的刚体: 转轴转轴 22 1 12 2 Jm lm l 22 1 12 2 Jm rm r 2 11 2 22 ( sin60 ) ( sin60 ) m l m l 22 1 22 2 3()/4m lm l M o 例例1：求半径为求半径为 R 质量为质量为 M 的圆环绕垂直于圆环平面的圆环绕垂直于圆环平面 的质心轴转动的转动惯量的质心轴转动的转动惯量J。 解：解： dm 2 0 M JR d

47、m 分割质量元分割质量元 dm，各质量，各质量 元到轴的距离相等，元到轴的距离相等， 2 0 M Rdm 2 MR 绕圆环质心轴绕圆环质心轴 的转动惯量为的转动惯量为: 2 JMR R 相当于质量为相当于质量为M的质点对轴的转动惯量，的质点对轴的转动惯量， 与质量在环上的分布无关。与质量在环上的分布无关。 4 0 3 2 d2R rrJ R 例例 2： 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，的均匀圆盘，求：求： 通过盘中心通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。并与盘面垂直的轴的转动惯量。 mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为

48、的圆环。的圆环。 r rd 2 Rm d2dmr r 圆环质量圆环质量 2 1 2 JmR 所以所以: 23 dd2dJrmrr 圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量 转动惯量与盘上质转动惯量与盘上质 量对轴的分布有关量对轴的分布有关 思考思考: 圆柱圆柱如何？如何？ 解题时常用到解题时常用到 l O O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 , r rmdd l rrJ 0 2d rd /2 23 0 1 2d 12 l Jrrl 2 1 3 ml r rrmrJddd 22 例例 3 : 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细

49、长棒，均匀细长棒，求：求： 通过棒通过棒中心中心（和（和端点端点）并与棒垂直的轴的转动惯量。）并与棒垂直的轴的转动惯量。 ml rd 2l2l O O 2 1 12 ml 如转轴过如转轴过端点端点垂直于棒垂直于棒 转动惯量与轴的位置有关。转动惯量与轴的位置有关。 匀质矩形薄板匀质矩形薄板 转轴通过中转轴通过中 心垂直板面心垂直板面 I = (a + b ) 2 2 m 12 匀质细圆环匀质细圆环 转轴通过中转轴通过中 心垂直环面心垂直环面 I = m R 2 匀质细圆环匀质细圆环 转轴沿着转轴沿着 环的直径环的直径 2 I = 2 m R 匀质厚圆筒匀质厚圆筒 转轴沿几何轴转轴沿几何轴 I =

50、 (R1 - R2 ) 22m 2 匀质圆柱体匀质圆柱体 转轴通过中心转轴通过中心 垂直于几何轴垂直于几何轴 m I = R + 2 2m 124 L 匀质薄球壳匀质薄球壳 转轴通过球心转轴通过球心 2 I = 2 m R 3 R2=0时时, 即为圆柱即为圆柱 2 C JJmd 平行轴定理平行轴定理: P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形状形状、 大小大小、质量分布质量分布及及转轴的位置转轴的位置。 质量为质量为 的刚体，如果对的刚体，如果对 过质心轴的转动惯量为过质心轴的转动惯量为 ，则，则 对任一与该轴平行，相距为对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为

51、：的转轴的转动惯量为： C J m d d C O m 注意注意 22 2 1 mRmRJ P 例例:圆盘对圆盘对P 轴轴 的转动惯量的转动惯量: RmO (证明需用质心性质，此略证明需用质心性质，此略) 例：例：如图所示，如图所示，求：求：刚体对经过棒端刚体对经过棒端O且与棒垂直的且与棒垂直的 轴的转动惯量？轴的转动惯量？(棒长为棒长为L、圆圆盘盘半径为半径为R） 例：例：以长为以长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆绕其一端垂直的匀质细杆绕其一端垂直 于杆的轴转动为例，利用平行轴定理于杆的轴转动为例，利用平行轴定理求求转动惯量转动惯量 。 解：解：绕细杆质心的转动惯量为：绕细杆质心的转动

52、惯量为： 2 12 1 mlJC 绕杆的一端转动惯量为绕杆的一端转动惯量为 2 2 212 1 l mmlJ 2 3 1 ml 2 1 1 3 L Jm L， 2 1 2 OO Jm R 2 2OO JJm d 222 12 11 () 32 LOO JJJm Lm RmLR L m O m O 记住！记住！ 转动惯量的计算方法：转动惯量的计算方法： ）直接由定义求直接由定义求：（注意：（注意 r 为到轴的垂直距离）为到轴的垂直距离） 或或 2 iir mJdmrJ 2 ）复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的，复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的， 再相加。再相加。（注意对同一轴）（注意对同一轴） ）平行轴定理：平行轴定理： 2 mdJJ C 例例5 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心的均匀细杆，可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水 平位置时，有一只小虫以速率平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点处，并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行。设小虫与细杆的爬行。设小虫与细杆的 质量均为质量均为m。求：求：欲使细杆