大学物理(力学、电磁学)浓缩例题

1、大学物理（力学） 例题讲解（精华版） ktjtitr 385)( 2 kjrrr 38 01 1、求第、求第1秒内的位移，图示。秒内的位移，图示。 2、轨迹方程。、轨迹方程。 ir 5 0 kjir 385 1 0 r tz ty x 3 8 5 2 9 8 5 2 z yx 例例1 1 已知：已知： r 5 5 8 8 3 3 x z y 1 r jtitj dt dy i dt dx v 123 2 2 3 1,tytx j yi xr ji t dt vd a 26 jtit 2 3 1解：解： 例例1.质点运动方程为质点运动方程为 试求质点的 和)(tv ).(ta dt dv a 已

2、知已知a=C，求运动方程求运动方程: : dt dx v 2 2 1 00 tatrtr v推广到三维：推广到三维： v v 0 t 0 at 0 vv dvdta tx x0 0 2 2 1 00 attxtxv dtatdx)( 0 v 1.4 1.4 匀加速运动匀加速运动 2 2 1 00 tatxtx xx v 2 2 1 00 tatyty yy v 2 2 1 00 tatztz zz v 即：即： 标量分式标量分式 例、已知例、已知a=8-6t, v0=0, x0=0,求运动方程求运动方程. 非匀加速直线运动非匀加速直线运动 t dt dv a68 dt dx v dt6t-8d

3、v 2 38tt v v 0 t 0 dtttdx)38 ( 2 32 4tttx 2 38tt x 0 t 0 已知已知13 2 xa 解：解： , t=0时时(x0 ,v0)。 求求v dt dv a vdvadx v v 0 x x0 dt dx dx dv v dx dv vdvdxx 13 2 两类计算两类计算: avr dtadtv avr a dt vd v dt rd 微分微分 积分积分 dtav dtav dtav zz yy xx dtvz dtvy dtvx z y x 补充例题补充例题1 1：质点在：质点在xyxy平面上运动，运动函数为平面上运动，运动函数为x=2t,x

4、=2t, y=4ty=4t2 2-8,-8,求质点在求质点在xyxy方向上的速度方向上的速度v vx x，v vy y，并写出位，并写出位 矢、速度和加速度的矢量表示矢、速度和加速度的矢量表示。 解：解： 2 dt dx vxt dt dy v y 80 dt dv a x x 8 dt dv a y y 84 2 2 ty tx 8 2 xy 1 j yi xr 2 jti t )84(2 2 j ti dt rd v 82 j dt vd a 8 求小船的求小船的速度和加速度速度和加速度. . 222 hlx dt dx v 2 2 0 22 htvhsx dt dv a h xs l 2

5、2 hs tvhsl 0 22 o x 例例 Overview 位置矢量位置矢量: 位移位移: 速度速度 速率速率 加速度加速度 kzj yi xr A B r s x y o B r A r AB rrr dt rd t r t 0 limv v s t dt vd a A v B v v 对于对于圆周运动圆周运动，加速度可按自然坐，加速度可按自然坐 标分解为：标分解为： R v a n 2 dt dv a t aaa nt 描述速度大小描述速度大小 的变化的变化 描述速度方向描述速度方向 的变化的变化 切向切向加速度加速度法向加速度法向加速度 解： 22 tn aaa n a 沿R方向，

6、n a t a tav v Ra Rv a a a tg t tt n t 22 / t a 沿V方向 R V tn aa 例例1 1 一物体从静止开始运动，切向加速度一物体从静止开始运动，切向加速度 为为a at t（常量），圆半径为（常量），圆半径为R R。问经过多少时。问经过多少时 间，物体的加速度间，物体的加速度a a恰好与半径成恰好与半径成角？角？ 例例2：初速为：初速为v0 ，与水平成，与水平成 的抛物运动中，的抛物运动中， 求物体在最高点时的轨迹的曲率半径。求物体在最高点时的轨迹的曲率半径。 分析：在最高点分析：在最高点 gvx g x v cos 0 vvx 即即g是向心加速度

7、是向心加速度 2 0 2 cosv v g x 解：解： 补充例题：补充例题：半径为半径为R，S6t2-3t+1的圆周运动的圆周运动 中，求向心加速度与切向加速度的表达式。中，求向心加速度与切向加速度的表达式。 分析：由运动方程分析：由运动方程S 6t2-3t+1可求质点可求质点 运动速率运动速率v R v a n 2 向心加速度向心加速度 dt dv a t 切向切向加速度加速度 5 5. .角量与线量的关系角量与线量的关系 Rv Rat 2 Ran d R ds dt ds v dt Rd dt dv at dt d R R v an 2 dtdt dt d dt d 6 6. . 角量的

8、角量的计算计算 例例. 求匀变速圆周运动的角量公式求匀变速圆周运动的角量公式 表示。表示。 解：解： 00 0t dt d dt d dtd t 0 0 0 t dttd 0 2 00 2 1 tt 00 t 某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方 程为程为 (1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？时，该点的角速度和角加速度为多大？ (2) 若主轴直径若主轴直径D = 40 cm，求，求 t = 1 s 时时, ,该点的速度和该点的速度和 加速度加速度 )SI(34 3 tt 例例. -12 srad16423:s2t 2 srad122

9、6 解解: (1)由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度 t t t t 6 d d 43 d d 2 )SI(34 3 tt 2 . 043 2 . 12 . 06 432 . 04 . 043 2 1 2 1 2 22 22 tra ttra ttDrv n (2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加 速度和法向加速度速度和法向加速度 )sm( 8 . 92 . 043 )sm(2 . 1 )sm(4 . 1)43(2 . 0s 1 2 2 2 1 n a a vt 时， 0 .83 2 . 1 8

10、 . 9 arctgarctg )sm(87. 98 . 92 . 1 222 22 a a va aaa n n 的夹角为与 此时总加速度的大小为 v a a n a 本章重点：本章重点： 二、动量守恒（无外力）内力合冲量恒等于零 一、冲量定理（牛顿定律）： 三、质点的角动量 一 般在转动问题中考虑 sinrpL 顺时针转为正逆时针转为负 为 r 和 v 的夹角 圆周运动 L=m v r 四、角动量守恒 合外力矩为零，角动量不变 合外力为零，动量不变 sinrFM 为 r和 F 的夹角 vmp dt Ld M pddtF 动量守恒定律几点说明：动量守恒定律几点说明： 1.动量守恒定律是牛顿第

11、三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，动量若在某一惯性系中守恒， 则在其它一则在其它一 切惯性系中均守恒。切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，若某个方向上合外力为零，则该方向上动 则该方向上动 量守恒，量守恒， 尽管总动量可能并不守恒。尽管总动量可能并不守恒。 5.当外力当外力内力内力 6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 且作用时间极短时且作用时间极短时 （如碰撞），（如碰撞）， 可认为动量近似守恒。可认

12、为动量近似守恒。 的定律，的定律， 它在宏观和微观领域均适用。它在宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题，应注意分析用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统过程、系统 和条件。和条件。 1.1.刚体刚体 -理想模型，特殊质点组，理想模型，特殊质点组， 形状和体积不变化。形状和体积不变化。 5.1 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一 刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系， 位置保持不变。位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，质点系的规律都可用于刚体， 般的般的质点质点系有所简化。系有所简化。 其上各质点间的

13、相对其上各质点间的相对 ri i m 运动各个时刻的位置都彼此平行。运动各个时刻的位置都彼此平行。 2 .2 .刚体的运动形式刚体的运动形式 1.平动平动： 刚体做平动时，可用质心或其上任何一刚体做平动时，可用质心或其上任何一 平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。 2.转动转动： 转动也是刚体的基本运动形式之一，转动也是刚体的基本运动形式之一， 它又可分为它又可分为定轴转动定轴转动和和定点转动。定点转动。 连接刚体内任意两点的直线在连接刚体内任意两点的直线在 点的运动来代表整体的运动。点的运动来代表整体的运动。 5.2 5.2 转动定律转动定律 刚体刚体 i FrM i

14、 JM 质点质点i J i tii amr 2 iir m 转动惯量转动惯量J J 转动定律转动定律 iiii FrMsin i Fr i maF 平动平动 转动转动 ri i m J 的物理意义：的物理意义：转动中物体惯性的量度。转动中物体惯性的量度。 例例5.8静止释放静止释放m下落并带动刚体下落并带动刚体 旋转。求旋转。求m下落下落h时的时的a和和v。 m h maTmg JTR T Ra ahv2 J， R amTgmm 1111 : amgmTm 2222 : JRTTJ 21 : Ra 例例. .滑轮是刚体滑轮是刚体, ,已知已知 J,R,mJ,R,m1 1 m m2 2。求系统的

15、求系统的 加速度和拉力。加速度和拉力。 解解: : gm 1 1 T 2 T gm 2 a J 例例. .求系统的加求系统的加 速度和拉力速度和拉力 11 Ra M2R2 M1R1 a T3 T2 gm 2 T1 gm 1 amgmT 111 amTgm 222 22232 JRTT 11113 JRTT 2 222 1 2 2 112 1 1 RMJ RMJ 22 R 2121 12 2 2 MMmm gmm a 2121 2121 1 2 4 MMmm gMMmm T 2121 2112 2 2 4 MMmm gMMmm T g MMmm MmMmmm T 2121 122121 3 2

16、4 0 t S u tc S (c t)2 (u t)2 2 tc t2 (c2 u2) c 0 0 2 0 u t c t 车上的钟车上的钟 比我的慢比我的慢 2.2.时间延缓时间延缓 固有时间固有时间 ( (原时原时) ) 在相对静止在相对静止 系中测得系中测得 时间膨胀时间膨胀 在相对运动在相对运动 系中测得系中测得 t 0 2 1 1 c u 地上的钟地上的钟 比我的慢比我的慢 1 1、在、在相对静止系相对静止系中测得的是固有时间中测得的是固有时间 0 0 它是不变的值它是不变的值, ,是原时是原时, ,原时最小。原时最小。 2 2、在、在相对运动系相对运动系中测得的是膨胀了的时中测得

17、的是膨胀了的时 间间 t = 0 0 ， ，运动系运动速度运动系运动速度u越大越大, , t越越 大。大。 2 1 1 c u 相对论因子相对论因子 u 1 8 10 例例6.26.2已知：已知： cu99.0 8 0 105 . 2 0 u 1.7 1 1 2 c u tul m53 u 实验室实验室 S S 问：实验室中观察，问：实验室中观察， p p走了多长距离时衰变？走了多长距离时衰变？ 经典：经典： mcu4 . 7105 . 299. 0 8 0 相对论：相对论： 与实验相符与实验相符 孪生子效应孪生子效应： 20岁时，岁时，哥哥哥哥从地球出发乘飞船运行从地球出发乘飞船运行10年后

18、再回年后再回 到地球到地球 ，兄弟见面的情景？兄弟见面的情景？ 366.22999. 0 cu 哥哥测的是原时，弟弟测的是两地时哥哥测的是原时，弟弟测的是两地时 2 2 1 c u t yeart447. 00447. 0 20.5 岁和岁和 30岁岁 飞船速度飞船速度 如果在哥哥看来呢？如果在哥哥看来呢？ x c u tt zz yy tuxx 2 逆变换逆变换 utxx yy zz x c u tt 2 正变换正变换 u u S S S 洛仑兹洛仑兹坐标坐标变换公式：变换公式： utxx x c u tt 2 u S S tuxx x c u tt 2 时间间隔时间间隔和和空间间隔空间间隔

19、的变换式的变换式 注意谁是运动系？注意谁是运动系？ 则在则在S S 系中系中观察这两件事的空间和时间间隔为：观察这两件事的空间和时间间隔为： 2211 ,txBtxA 12 xxx 已知在已知在S S发生发生ABAB两件事的时空两件事的时空 1122 utxutx tux x c u t x c u t 1 2 12 2 2 12 ttt xt c u 2 1212 ttuxx )( 2 x c u tt 5 5、洛伦兹变换与同时的相对性及时间延缓、洛伦兹变换与同时的相对性及时间延缓 1）t=0，x0，t0 S S系中同时不同地，系中同时不同地，SS 系中不同时。系中不同时。 t=0， x=0

20、， t=0 只有只有S S系中同时又同地，系中同时又同地， SS系中才同时。系中才同时。 2 2）互不相关的两事件，两参考系中的时间顺序）互不相关的两事件，两参考系中的时间顺序 可能会颠倒。可能会颠倒。 3 3）有因果关系的两事件，两参考系中的时间顺）有因果关系的两事件，两参考系中的时间顺 序不应该颠倒序不应该颠倒。 )( 2 x c u tt 时间延缓0, 0tx 注意：注意： u u S S 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 先后顺序不能颠倒！先后顺序不能颠倒！ 1.1.先后顺序问题先后顺序问题 例例6.76.7北京上海（北京上海（1000km1000km）同时各自开出一列）同时各自

21、开出一列 车，一飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过，车，一飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过， 速率为速率为9km/s9km/s。宇航员看到那列车先开？。宇航员看到那列车先开？ smskmu tmkmx /109/9 01010 6 63 )(10 )()( 7 2 12 2 12 sx c u xx c u ttt 宇航员发现从上海发车的时刻比从北京出发的宇航员发现从上海发车的时刻比从北京出发的 早早1010 7 7s s S S 在速度在速度0.98c的飞船中观的飞船中观 察时，他跑了多长时间察时，他跑了多长时间 和多大距离？和多大距离？ x c u tt tuxx 2 100m10s s

22、t mx 50 105 . 1 10 S 例例.运动员在地面运动员在地面10s内跑完内跑完100m。 例例. .在惯性系在惯性系S S中测得在同一地点发生的中测得在同一地点发生的 两件事的时间为两件事的时间为4 4秒，而在惯性系秒，而在惯性系S S 中测中测 得这两件事的时间为得这两件事的时间为5 5秒。求：秒。求： 1 1）S S 相对于相对于S S的运动速度。的运动速度。 2 2）S S 测得这两件事发生的地点的距离。测得这两件事发生的地点的距离。 u=0.6c tuxx 4 5 x c u tt 2 m 8 109 2 2 1 1 c u 045xtt解：已知解：已知 6.7 6.7 相

23、对论质量和动量相对论质量和动量 2 2 0 0 1 c u m mm 当当u uc c时时,m,m. .说明只能说明只能ucuR)(rR)： 0 2 4 Q rE 外外 Qq S i r S 2 0 4r Q E 外外 (2)(2)带电球壳内部带电球壳内部(rR)(rR)： 0 S i q 内内 0E O R r E r S 例例7.10 7.10 已知已知Q、R。 求均匀带电球体的求均匀带电球体的E E分布。分布。 3333 / 3 4 3 4 RQrrRQVq i 3 0 4 1 R Qr E 解：解：球对称球对称 内内 r r 1 1、球体内（、球体内（rRrR） r r 2 0 r Q

24、 4 1 E 外外 作作E-r曲线如右图曲线如右图 球外作高斯面球外作高斯面S S， 面内：面内：qi=Q 则：则：E外 外4r2=Q/e0 O R r E E S S 例例7.11已知已知 ,求均匀带电长直线的求均匀带电长直线的E E分布分布. . 解解：柱对称柱对称, ,选同轴圆柱面为选同轴圆柱面为S,S,则则: : r S l = E2 rl = qi/ 0 0 r E 0 2 qi= l E 2 rl= l/ 0 0 侧面 0cosdSE 侧面 dSE 侧面 SdESdESdE S 两底 例例7.12 已知已知s s，求无限大均匀带电平面激求无限大均匀带电平面激 发的电场。发的电场。

25、s s 解解:1:1）分析）分析E E的对称性：的对称性： E E均匀均匀面对称分布：面对称分布： 2 2）选高斯面：）选高斯面： 底面为底面为 S的圆柱面的圆柱面 E s s 3）写出）写出 P 0 内S i S q SdE Sq S i s 内 4）据）据 SE20 0coscos 2 EdSdSE 侧侧 两底两底 0 sS 0 2 s E n 侧侧 n n 0 sS E S侧 侧 E n / S两底 两底E n 求求E s E s E E E 例例7.13 7.13 两块等量异号两块等量异号无限大均匀带电无限大均匀带电 平面激发的电场。平面激发的电场。 0 s E0E0E 几种常见的对称

26、问题几种常见的对称问题 0 2 4 i q rESdE * *球对称球对称（均匀带电球体（均匀带电球体,球面球面等等） *柱对称柱对称( (均匀带电长直线均匀带电长直线, ,长圆柱体等长圆柱体等) ) 0 2 i q rlESdE *面对称面对称 （无限大均匀带电平面）（无限大均匀带电平面） 0 2 s E 1-10 0 Q SdE S 六面共 每面 /6= Q/60 过顶点有八个象限 每个象限 /8= Q/80 每个象限有三个面有通量 （三个面的电力线相切） 每个面 /24= Q/240 一一. . 电容器的电容电容器的电容 （F） pFFF 126 10101 10.4 电容器电容器和它的

27、电容和它的电容 U Q C 皮法皮法微法微法 法拉法拉 二二. . 电容的计算电容的计算 1.1.平板电容器的电容平板电容器的电容 S d 求求E；求电压求电压 l dEU 求电容求电容 U Q C 0 sE 0 SQ 0 SQdEdU dSUQC 0 已知已知S,d -Q Q - - - + 2.2.圆柱形电容器电容圆柱形电容器电容 l dEU 2 1 R R drE 2 10 2 R R dr rl Q 1 2 0 ln 2R R l Q U Q C 1 2 0 ln 2 R R l 0 2 i q rlE柱对称柱对称 0 2rl Q E l Q Q 已知已知l, R1 ,R2 , 0 0

28、 3.3.球形电容器球形电容器 2 1 R R Edr 12 21 0 4 RR RR U Q C 210 2 1 2 0 11 44RR Q r drQ R R 2 0 4r Q E l dEU 球对称：球对称： 0 2 4 i qrE Q -Q 已知已知R1 ,R2 , 0 0 例例.两等量异号长直导线两等量异号长直导线, 半半 径径a，求单位长度电容。，求单位长度电容。 x ad a EdxU a d-a + dx xdx ad a 11 2 0 a ad ln 0 C=Q/U= /U x d E+= /20 x 方向方向 xdx 11 2 0 E=E+E E = /20(d-x) a ad ln 0 电容器的联接电容器的联接 21 CCC 21 111 CCC 串联串联并联并联 特点特点: Q-Q -QQ V=V1+V2 Q=Q1=Q2 Q-Q Q=Q1+Q2 V=V1=V2 r1 r2 011 1 s r S Q E 02 2 rS Q E 210 21 11 222 rr S Qdd E d EU 21 210 2 rr rr d S U Q C 已知已知S，d， r1 ， r2 。求电容。求电容。 用串联公式计算？用串联公式计算？ 例例 r1 r2 1 E 02 2 2 2 r S Q E 20 2 10 1