大学物理(II)5刚体的定轴转动-2

1、 v v v R O v P v R 圆周运动圆周运动 2 iin iit Ra Ra z i v i R O i R i v P 匀速：匀速： t const 0 ,0 匀变速：匀变速： )(2 2 1 , 0 2 0 2 2 00 0 tt t const 一、对转轴的力矩一、对转轴的力矩 1 1、力在转动平面内：、力在转动平面内：FrM F r d M F F F r 转动转动 平面平面 对转动无贡献。对转动无贡献。 2 2、力不在转动平面内：力不在转动平面内： FrM 1 Fr )( 21 FFr 2 1 外力对转轴外力对转轴z的力矩的力矩: 2 FrM z 方向方向(平行转轴向上平行

2、转轴向上)： 0 i mi r i i 二、二、 转动定律转动定律 i f i F 外力外力: i F 内力内力: i f 质元质元 i m 仅考虑转动平面内受的力仅考虑转动平面内受的力: 对对 i m 用牛二律：用牛二律： 切向：切向： itiiiii amfF)(sinsin )( ii rm 法向法向: 分力垂直转轴分力垂直转轴 -对转动无影响对转动无影响 iiiiii rfrFsinsin)( 2 iir m 乘以乘以 ri 外力矩外力矩 内力矩内力矩 dt d IIM zzz 刚体定轴转动的转动定律。刚体定轴转动的转动定律。 整个刚体：整个刚体： ii i iii i i rfrF

3、sinsin )( 2 ii i rm 合外力矩合外力矩MZ 合内力矩合内力矩=0转动惯量转动惯量I (形式同牛二律 F=ma) )( dt d IIM 三、三、(刚体对转轴的)转动惯量：转动惯量： 大小与刚体的总质量、质量分布以及转大小与刚体的总质量、质量分布以及转 轴的位置有关。轴的位置有关。 求法：求法： 1、分离质量：、分离质量： i iir mI 2 是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度 i iir mI 2 定义定义: 质量线密度质量线密度 质量面分布：质量面分布： 质量面密度质量面密度 质量体分布：质量体分布： dvdm 质量体密度质量体密度 质量线分布：质量线分布：

4、 2、质量连续分布：、质量连续分布： I dmr 2 dldm dsdm 例例求质量求质量m，长，长 l 的均匀细棒对下列转轴的均匀细棒对下列转轴 的的I: 1.过过O并垂直棒的轴；并垂直棒的轴； 2.过端点并垂直棒的轴；过端点并垂直棒的轴； 3.距距O为为 h 并垂直棒的轴。并垂直棒的轴。 dmrI 2 0 dxx l l 2 2 2 2 12 1 ml m l o dm xdxdm l m dx x 解：解： m l dmrI 2 dm x dxx l 0 2 2 3 1 ml x dx o o m l h dxxI h l h l h 2 ) 2 ( 2 x o o 22 12 1 mh

5、ml 2 0 mhII h 平行轴定理平行轴定理 对过质心的轴的转动惯量对过质心的轴的转动惯量 0 I a b y dy dsdmady abm 2 2 2 1 b b dmyI 3 12 1 ab 2 12 1 mb a b y dy b adyyI 0 2 2 2 3 1 mb 2 2 ) 2 (bmII C 22 4 1 12 1 mbmb 2 3 1 mb xy z O dm r m z dmrI 2 m dmyx)( 22 mm dmydmx 22 xyz III （展开） y o 30 x y z 解：解：细棒质量密度为细棒质量密度为lm 在棒上取长为在棒上取长为dl的质量元的质量

6、元 sindldy cosdldx dldm dl 例例 长长l、质量、质量m的均匀细棒放在的均匀细棒放在xoy平面内，棒平面内，棒 与与x轴成角轴成角 其中心在其中心在O点。求它对点。求它对x、y和和z z轴轴 的转动惯量的转动惯量 0 30 230cos 230cos o 2 o o 30cos l l dx x m x dmyI 2 dly l 2 230sin 230sin o 2 o o 30sin l l dy y 2 48 1 ml m y dmxI 2 2 16 1 ml yxz III 2 12 1 ml sindldy cosdldx dldm dl y o 30 x y

7、z 例例 求半径为求半径为R质量为质量为m的均匀圆的均匀圆 环环,对于沿直径转轴的转动惯量对于沿直径转轴的转动惯量. R d dmr dldm Rd R m 2 dmRdmrdI 22 cos 2 2 22 2 cos2 Rd R m R 2 2 1 mR dII x y 方法二方法二: 对过环心并与环垂直的转对过环心并与环垂直的转 轴的轴的 m z dmRI 2 m dmR 22 mR R yx II yxz III x I2 zx II 2 1 2 2 1 mR 例例 物体物体A A、B B的质量分别为的质量分别为m m1 1和和m m2 2，用一轻绳，用一轻绳 相连，绳子跨过质量为相连，

8、绳子跨过质量为M M，半径为，半径为R R的匀质定的匀质定 滑轮滑轮C C。如。如A A下降，下降，B B与水平桌面间的滑动摩与水平桌面间的滑动摩 擦系数为擦系数为，绳与滑轮之间无相对滑动，求，绳与滑轮之间无相对滑动，求 系统的加速度及绳中的张力系统的加速度及绳中的张力T T1 1和和T T2 2 A BC 四、转动定律应用举例四、转动定律应用举例 B N k f gm 2 2 T A gm 1 1 T 2 T 1 T 1111 amTgm 0 2 gmN Nf k 222 amfT k IRTRTM 21 21 aa R 2 2 1 MRI 由牛二律由牛二律 1 m： 2 m： 转动定律转动

9、定律滑轮滑轮： 线量与角量的关系线量与角量的关系 g Mmm mm a 2 21 21 gm Mmm Mm T 1 21 2 1 2 2) 1( gm Mmm Mm T 2 21 1 2 2 2) 1( 例例 一轻绳跨过定滑轮，两端一轻绳跨过定滑轮，两端 分别悬挂物体分别悬挂物体m1m2R2时，物时，物 体运动方向与所设相体运动方向与所设相 同，反之则相反同，反之则相反 1 m 2 m 1 R 2 R 例例 一半经一半经R、质量、质量m的均质圆盘，平放在的均质圆盘，平放在 粗糙水平面上，盘与水平面的摩擦系数粗糙水平面上，盘与水平面的摩擦系数 ， 最初盘以最初盘以 0绕过中心且垂直盘面的轴转动，

10、绕过中心且垂直盘面的轴转动， 问它需多少时间才能停止转动？问它需多少时间才能停止转动？ 解解: 取质量元取质量元 dsdm 2 R m rdrdds r dr d o 受摩擦力受摩擦力dm drrd R m ggdmdfr 2 摩擦力矩摩擦力矩 drdr R m grdfdM rr 2 2 rr dMM 2 00 2 2 ddrr R m g R mgR 3 2 圆盘受到的摩擦力矩圆盘受到的摩擦力矩 dt d IM 由由 有：有： t dtg 0 3 2 dt d mR 2 2 1 mgR 3 2 0 02 1 dR 得得 0 4 3 g R t 问题：问题： 它转多少圈才停止转动？它转多少圈

11、才停止转动？ 一、力矩的功一、力矩的功 0 0 r F rd d rdFdA dFr 2 cos Md 外力矩使刚体由外力矩使刚体由 21 作功：作功： 2 1 MdA 力矩在空间（角位移）上力矩在空间（角位移）上 的积累。的积累。 M 即为即为MZ z i m i r i v 2 2 1 iiki vmE 22 2 1 iir m 二、转动动能二、转动动能质元质元 i m 的转动动能的转动动能: 整个刚体：整个刚体： i kik EE 22 2 1 i iir m i iir mI 2 2 2 1 IEk-转动动能转动动能）（类比 2 m 2 1 vEk 三、转动的动能定理三、转动的动能定理

12、 dt d IM MddA d dt d I dI 2 1 2 2 2 1 2 1 IIA 2 1 2 1 dIMd -定轴转动动能定理定轴转动动能定理 四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能 可看作是将质量集中在质心的质点所具可看作是将质量集中在质心的质点所具 有的重力势能有的重力势能 x y m i m i y C C y i iiP gymE i ii ymg 质心高度质心高度: m ym y i ii C m ym mg i ii c mgy 五、重力对刚体的力矩五、重力对刚体的力矩 可看作是将全部重力集中作用于质可看作是将全部重力集中作用于质 心所产生的力矩心所产生的力矩 m 转轴 i

13、 m i x C C x x y i iiG gmxM i ii mxg m mx mg i ii C mgx 例例 均质细杆均质细杆m、 l，一端固定于光滑的水，一端固定于光滑的水 平轴，求细杆其从水平位置静止开始转过平轴，求细杆其从水平位置静止开始转过 角时角时A端的端的 , 距距O点点2/3长度处长度处 呢？呢？ AA av , O A A A v B 解解: 2 1 2 2 2 1 2 1 IIA 0 2 1 cos 2 2 0 Id l mg 2 3 1 mlI lv A 刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理 即 又 sin3glvA A mg O l B cos 2 3 A g

14、 dt vd a A t sin3 2 A g l v a A n 得得 d dv dt d d dv dt dv AAA ? B v ? B t a ? B n a 解解: 又 例例 均质细杆均质细杆m、 l，一端固定，求其从水平位置静，一端固定，求其从水平位置静 止开始转过止开始转过 角时角时:细杆的细杆的, IM 刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律 mg mglM P cos 2 1 2 3 1 mlI lg2cos3 只有保守力只有保守力(矩矩)做功做功, 系统系统(杆、地球杆、地球)机械能守恒机械能守恒: 重力势能零点重力势能零点: (杆的水平初位置杆的水平初位置) sin 2

15、 1 2 1 0 2 lmgI l g sin3 C O A 0 v l 2 0 2 1 I 0 0 C mgh C 2 0 2 1 mghI g v h 2 0 C 6 1 O A 0 v 2 3 1 mlI 00 lv C h h g v h 2 0 3 1 )cos1 ( 2 l h C )cos1 ( lh iiiiz vmrL 一、刚体定轴转动的动量矩一、刚体定轴转动的动量矩 2 iir m方向：方向： , 对对O动量矩：动量矩： i m取质元取质元 刚体绕定轴刚体绕定轴 z 的动量矩：的动量矩： i izz LL z I i iir m 2 方向：方向： i r i v i m z

16、 i L O 右手法则判断右手法则判断 讨论：讨论： (2)动量与动量矩是两个单位不同的物理动量与动量矩是两个单位不同的物理 量量，不可混用不可混用 (1)与质点动量与质点动量 相比，可看出动相比，可看出动 量矩量矩 与之对应与之对应 vmp zz IL 二、刚体定轴转动的动量矩定理二、刚体定轴转动的动量矩定理 )( zz IddtM -刚体的动量矩定理的微分形式刚体的动量矩定理的微分形式 )( z Ld )(dPFdt 类比 dt d IIM zzz dt Id z 2 1 2 1 zz L L dLdtM t t 1z12z2 II IZ 可变化可变化, 刚体或非刚体的定轴转动均适用。刚体

17、或非刚体的定轴转动均适用。 2 2 1 1 Z Z I I Id 积分形式积分形式 2 1 z t t dtM 冲量矩冲量矩 当当MZ=0时，时， zz IL 三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律 =常量常量 z M dt d)I ( z 当F=0时，mvp =常量 类比动量守恒定律: 例例 人和转盘的转动惯量人和转盘的转动惯量I0，哑铃的质量，哑铃的质量m， 整体初始转速整体初始转速 0。 求：双臂收缩由求：双臂收缩由 r1r2时的角速度时的角速度. r r1 2 mm I0 对轴的合外力矩为零，动量矩守恒：对轴的合外力矩为零，动量矩守恒： 21 LL 0 2 1

18、 2 10 )(mrmrI )( 2 2 2 20 mrmrI 0 2 20 2 10 2 2 mrI mrI 例例 均匀棒质量均匀棒质量 M,长长 , 可在竖直面内绕水平的质可在竖直面内绕水平的质 心轴心轴O转动。开始时棒静止在水平位置。有质量转动。开始时棒静止在水平位置。有质量m 的小球的小球(Mm)以速度以速度u垂直落到棒的端点。设小垂直落到棒的端点。设小 球与棒作完全弹性碰撞，求碰后小球的反弹速度球与棒作完全弹性碰撞，求碰后小球的反弹速度 和棒的角速度。和棒的角速度。 l2 m o u l 2 M v m o u l 2 M 解解 碰撞过程碰撞过程, , 合外力对转轴的力矩合外力对转轴的力矩 Imvlmul 机械能守恒机械能守恒: 2 2 1 2 2 1 2 2 1 Imvmu 动量矩守恒：动量矩守恒： 0M 小球重力与冲击力相比可忽略小球重力与冲击力相比可忽略 21 LL 2 3 1 mlI 杆末初 LLL mm mM mMu v 3 )3( lmM mu )3( 6 解得解得 碰后棒：碰后棒： 碰后球：碰后球： 例例 两摩擦轮对接两摩擦轮对接,若对接前两轮的角速度若对接前两轮的角速度 分别为分别为 1, 2。求求:(1)对接后共同的角速对接后共同的角速 度度 ;(2)对接过程