第六章 多自由度体系的微振动

1、第六章第六章 多自由度体系的微振动多自由度体系的微振动 内容：内容： 振动概述振动概述 两个自由度保守系的自由振动两个自由度保守系的自由振动 n个自由度保守系的自由振动个自由度保守系的自由振动 简正坐标和简正振动简正坐标和简正振动 重点：重点： 两个自由度的自由振动两个自由度的自由振动 简正坐标简正坐标 难点：难点： 多自由度的自由振动多自由度的自由振动 难点：难点： 多自由度的自由振动多自由度的自由振动 振动现象在宏观的工程技术中和微观领域（如固体物理中的晶格、光学振动现象在宏观的工程技术中和微观领域（如固体物理中的晶格、光学 中的分子振动光谱等）中普遍存在。本章讨论多自由度体系微振动的一般

2、中的分子振动光谱等）中普遍存在。本章讨论多自由度体系微振动的一般 处理方法和微振动在物理上的应用。处理方法和微振动在物理上的应用。 6.1 振动概述振动概述 （1）振动的分类振动的分类 按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振 动（机械能不断转化为热能）和强迫振动（不断从外界获得能量）三类，动（机械能不断转化为热能）和强迫振动（不断从外界获得能量）三类， 其运动微分方程是同一种类型的。其运动微分方程是同一种类型的。 按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由按体系的自由度划分，振动分为

3、单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由 度振动三类。度振动三类。 按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。 （2）线性振动概念）线性振动概念 凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低 级）近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。级）近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。 （3）力学体系平衡位置的性质）力学体系平衡位置的性质 平衡位置的三种情况：如图平衡位置的三种情况：如图6.1所示所示 （a）稳定平衡）稳定平

4、衡 如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳 定平衡位置定平衡位置保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即 0,0 2 2 dq Vd dq dV （自由度为（自由度为1） （6.1） 0,0 )2(1)( 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 21 2 21 q V q V q V q V qq V q V q V 自由度为自由度为（6.2） （b）不稳定平衡）不稳定平衡 势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。 （c）随遇

5、平衡）随遇平衡 势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。 6.2 两个自由度保守系的自由振动两个自由度保守系的自由振动 （1）拉格朗日方程）拉格朗日方程 设体系的两个广义坐标为设体系的两个广义坐标为、 1 x 2 x，则体系的拉格朗日方程为，则体系的拉格朗日方程为 0 0 212 111 x V x T x T dt d x V x T x T dt d （6.1） 对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的 二次齐次式，即二次齐次式，即 )2( 2 1 2 1 2 2222112

6、 2 111 2 1, xAxxAxAxxAT ji ji ij （6.2） 其中其中 ij A是广义坐标的函数，且是广义坐标的函数，且 ),(),( 2121 xxAxxA ijiij 势能仅是广义坐标的函数势能仅是广义坐标的函数 ),( 21 xxVV ),( 21 xxV),( 21 xxAij为了简化和近似，广义坐标零点取平衡位置上，将为了简化和近似，广义坐标零点取平衡位置上，将和和T T中的中的 在平衡位置用泰勒级数展开在平衡位置用泰勒级数展开 (*)( 2 1 )()0 , 0(),( 0 2 1, 2 0 2 1 21 ji ji ji i i i xx xx V x x V V

7、xxV （6.3） .)()0 , 0(),( 0 2 1 021 i i i ij ij x x A AxxA （6.4） 2 2222112 2 1110 2 1, 21 2 21 2( 2 1 )( 2 1 2 1 ),(xbxxbxbxx xx V xxV ji ji （6.36.3）式中的（）式中的（* * *）是）是 i x 三次以上的项。如果保留到最低阶的非零小量，三次以上的项。如果保留到最低阶的非零小量， （6.36.3）式可简化为）式可简化为 （6.5） 式中式中 ji ji ij b xx V b 0 2 )( ，是常数。，是常数。 0)0 , 0( 0 V0)( 0 i

8、x V 思考：（思考：（6.36.3）式中为何可略去（）式中为何可略去（* * *）项和取）项和取 ，？ 动能动能T T的表式中也只要保留到二级小量，故的表式中也只要保留到二级小量，故),( 21 xxAij 只取零级近似即可。只取零级近似即可。 ijijij aAxxA )0 , 0(),( 21 )2( 2 1 2 1 2 2222112 2 111 2 0 xaxxaxaxxaT ji ij ij 式中式中 jiij aa 也都是常数。也都是常数。 将（将（6.5）和（）和（6.6）代入（）代入（6.1）得）得 0 0 222121222121 212111212111 xbxbxaxa

9、 xbxbxaxa （6.7） 或或 2 , 10)( 2 1 ixbxa jijj j ij （6.86.8） 上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐 次次 微分方程组。微分方程组。 （2）微分方程的解）微分方程的解.频率方程（久期方程）频率方程（久期方程） 用常规方法求解。设（用常规方法求解。设（6.7）式的解为）式的解为 )sin( )sin( 22 11 tAx tAx （6.96.9） 将（将（6.9）式代入（）式代入（6.7）得）得 0)()( 0)()( 2 22222 2 21211 2

10、12122 2 11111 abAabA abAabA （6.106.10） 或或 2 , 1,0)( 2 2 1 iabA ijij j j （6.11） 由（由（6.10）知：）知： 0 21 AA ，由此得，由此得 0 21 xx ，对应于体系的平衡状态，对应于体系的平衡状态， 不是不是 所需要的解。要使（所需要的解。要使（6.10）中的）中的 21,A A有异于零的解，方程的系数行有异于零的解，方程的系数行 列式必须为列式必须为 零，因 零，因 12211221 ,bbaa ，得，得， 0)()( 22 1212 2 2222 2 1111 2 2222 2 1212 2 1212 2

11、 1111 ababab abab abab （6.12） 2 1 2 2 为为 和和 （方程（方程6.12）称为频率方程（或久期方程）。可以证明它恒有两个正的实根。）称为频率方程（或久期方程）。可以证明它恒有两个正的实根。 设设 ，根据线性方程的原理，经过计算得方程（，根据线性方程的原理，经过计算得方程（6.7）的通解为）的通解为 )sin()sin( )sin()sin( 22 )2( 1 )2( 211 )1( 1 )1( 22 22 )2( 111 )1( 11 tAtAx tAtAx （6.13） )0(),0(),0(),0( 2121 xxxx式中四个常数式中四个常数 21 )2

12、( 1 )1( 1 , AA由初始条件由初始条件 决定。决定。 若两个正根相等（正等根）：若两个正根相等（正等根）： 21 ，则通解为，则通解为 )sin( )sin( 222 111 tAx tAx （6.14） 例例1 两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。 1 2 解：解：自由度为自由度为2 2，取，取和和 为广义坐为广义坐标，则标，则 )2( 2 1 )22( 2 1 2 2 2 1 21 2 2 2 1 2 mglV mlT （1） 将（将（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 0 022 221 121 l g

13、 l g （2） 令（令（2）式的特解为）式的特解为 )sin( )sin( 22 11 tA tA （3） 将（将（3）代入（）代入（2）得）得 0)( 0)(2 2 2 1 2 2 2 1 2 A l g A AA l g （4） 要使上式的要使上式的 21,A A有不恒为零的解，必须有不恒为零的解，必须 0)(2 )(2 422 22 22 l g l g l g （5） 由（由（5）得）得 )22(),22( 2 2 2 1 l g l g （6） 将（将（6）代入（）代入（4）中的任一式得振幅比值）中的任一式得振幅比值 2 )(2 2 1 2 1 )1( 1 )1( 2 l g A

14、A 2 )(2 2 2 2 2 )2( 1 )2( 2 l g A A （7） )sin(2)sin(2 )sin()sin( 22 )2( 111 )1( 12 22 )2( 111 )1( 11 tAtA tAtA （8） 这里这里 )2( 2 )1( 2 )2( 1 )1( 1 ,AAAA为方程（为方程（4）的根，于是两个特解即可确定，两个特）的根，于是两个特解即可确定，两个特 解的解的 线性叠加即得通解线性叠加即得通解 常数常数 21 )2( 2 )1( 1 , AA由初始条件决定。由初始条件决定。 例例2 试求如图试求如图6.3所示的两个耦合振子的振动频率。所示的两个耦合振子的振动频

15、率。 解：解：自由度为自由度为2，以位移，以位移 21,x x为广义坐标，则为广义坐标，则 )( 2 1 )( 2 1 2 2 2 12 2 1 2 2 2 1 xxxxkV xxmT （1） 将（将（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 211 2kxkxxm （2） 212 2kxkxxm （3） 引进两个新的坐标引进两个新的坐标 , 212211 xxqxxq 分别将（分别将（2）和（）和（3）相加减，得）相加减，得 0 11 q m k q 0 3 22 q m k q 1 q 2 q 由此得由此得和和振动模式的频率分别为振动模式的频率分别为 mk / 1 mk/3 2 和和 6

16、.3 n个自由度保守体系的自由振动个自由度保守体系的自由振动 （1）拉格朗日方程）拉格朗日方程 将体系的动能和势能在平衡位置展开成泰勒级数保留到二级小量，得将体系的动能和势能在平衡位置展开成泰勒级数保留到二级小量，得 n ji jiij n ji jiij xxbV xxaT 1, 1, 2 1 2 1 （6.15） 代入拉格朗方程，得代入拉格朗方程，得 nixbxa jij n j jij , 2 , 1, 0 1 （6.16） （2）振动规律（拉格朗方程的通解）振动规律（拉格朗方程的通解） 令（令（6.16）的特解为）的特解为 nitAx ii , 2 , 1),sin( （6.17） （

17、6.17）代入（）代入（6.16）式：）式： niabA ijij n j j , 2 , 1,0)( 2 1 （6.18） 要使上式有不为零的解的条件为要使上式有不为零的解的条件为 0 22 22 2 11 2 22 2 2222 2 2121 2 11 2 1212 2 1111 nnnnnnnn nn nn ababab ababab ababab （6.19） 2 ), 2 , 1( 2 nj j 上式是关于上式是关于的的n次多项式，有次多项式，有n个根个根且都是正的实根。且都是正的实根。 振幅比：振幅比： 2 j 1 A 将将代入（代入（6.18）式，把）式，把看作已知的，然后已知对

18、（看作已知的，然后已知对（n-1）个）个 n AAA, 32 求解，可得求解，可得 )( 1 )()()( 1 )( 3 )( 3 )( 1 )( 2 )( 2 , jj n j n jjjjjj AAAAAA （6.20） 这些这些 )( j i 都是常数，共有都是常数，共有n（n-1）个。）个。 方程（方程（6.16）的一个特解为）的一个特解为 nitAx jj j ii , 2 , 1),sin( )( （6.21） 这些特解的线性叠加即为通解：这些特解的线性叠加即为通解： nitAx jj n j j ii , 2 , 1)sin( 1 )( （6.22） 个振幅个振幅 ,（6.20）

19、式中提供了）式中提供了n（n-1）个已知的比）个已知的比 2 n )( j i A 2 nnnnn )1( 2 )( 1 )2( 1 )1( 1 , n AAA n , 21 方程（方程（6.22）中共有）中共有 个振幅中独立的只有个振幅中独立的只有个，即个，即 再加上再加上n个相角个相角，共有，共有2n个待定常数，可由初始条件决定。个待定常数，可由初始条件决定。 值，因此，值，因此， 6.4 简振坐标和简正振动简振坐标和简正振动 力学体系的广义坐标可有多种选取方式，广义坐标选取得当，拉格朗日方程很力学体系的广义坐标可有多种选取方式，广义坐标选取得当，拉格朗日方程很 容易求解。容易求解。 以双

20、单摆为例。以双单摆为例。 2 q 1 q 若选取若选取为广义坐标：为广义坐标：和和 212 211 2 1 2 1 q q 2 2 21 2 21 1 qq q qq 或或 （6.23） 由此可得由此可得 )( 2 1 )2( 2 1 ) 2 1 1() 2 1 1( 2 1 )22( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 221 2 1 2 qqmglmglV qqml mlT （6.24） 代入拉格朗日方程，得代入拉格朗日方程，得 0 12 2 0 12 2 22 11 q l g q q l g q （6.25） 显然通解为显然通解为 )sin( )sin( 2

21、222 1111 tAq tAq （6.26） 其中其中 )22( 12 2 )22( 12 2 2 2 2 1 l g l g l g l g （6.27） i q i q和广义坐标和广义坐标的平方和的形式的平方和的形式 因此，在处理线性振动问题如果所选取的广义坐标能使因此，在处理线性振动问题如果所选取的广义坐标能使T和和V同时成为广义速度同时成为广义速度 ),( 2 1 ),( 2 1 22 222 2 111 22 222 2 111 nnn nnn qbqbqbV qaqaqaT （6.28） 则代入拉格朗方程得则代入拉格朗方程得 0 0 0 2222222 111111 nnnnnn

22、 qbqa qbqa qbqa （6.29） 其解即为其解即为 nn nnnnn a bnn tAq a b tAq a b tAq 2 22 222 22222 11 112 11111 )sin( )sin( )sin( （6.30） 选取这种能使选取这种能使T和和V同时表示为同时表示为 i q i q 和和的平方和形式的广义坐标称为的平方和形式的广义坐标称为 简正坐标。简正坐标。 简正坐标描述了体系在振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激简正坐标描述了体系在振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激 发，这种以单一频率的振动模式称为简正振动式本征振动。体系的任一种振动状态

23、，发，这种以单一频率的振动模式称为简正振动式本征振动。体系的任一种振动状态， 则是各种简正振动的线性叠加。则是各种简正振动的线性叠加。 6.5 解题指导解题指导 （1）习题类型基本解法）习题类型基本解法 本章习题的基本类型是已知体系所受的力及运动的某些条件，求体系本章习题的基本类型是已知体系所受的力及运动的某些条件，求体系 振动振动 频率、周期和振动方程（规律）。频率、周期和振动方程（规律）。 基本解法：基本解法：先应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，然后解先应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，然后解 方程。方程。 （2）范例）范例 弦的等分点上三个相同质点弦的等分点上三个相同质点m的振动（的振动（P.181例例） 解解：弦的伸长量：弦的伸长量l 为为 )()()()( 4 4)( )( 2322321221 22 3 22 23 22 12 22 1 a y a yy a yy a ya aayayy ayyayl （1） 弦的弹性势能和动能为弦的弹性势能和动能为 2 3 2 23 2 12 2 1 )()( 2 yyyyyy a F lFV )( 2 1 2 3 2 2 2 1 yyymT 将将T、V代入拉格朗日方程