第十一章 动量矩定理

1、第11章 动量矩定理 11.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 11.2 动量矩定理动量矩定理 11.3 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 11.4 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 11.5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 11.1.1 质点的动量矩质点的动量矩 O r mv xy mv x y z M () O mMv 设有质点设有质点M，其质量为，其质量为m， 速度为速度为v，动量为，动量为mv，点，点M的的 矢径为矢径为r，如图所示。把质点，如图所示。把质点M 的动量的动量mv 对对O点的矩，即点的矩，即 () OO mmMv

2、Lrv 定义为质点的动量对于点定义为质点的动量对于点O的动量矩。由式可以看出，的动量矩。由式可以看出， 质点的动量对于点质点的动量对于点O的动量矩是矢量。的动量矩是矢量。 质点动量质点动量mv 在在Oxy平面上的投影平面上的投影 mvxy 对于点对于点O 的动量的动量 矩，定义为质点的动量对矩，定义为质点的动量对z 轴的矩。即轴的矩。即 ()() zzOxy LM mMmvv 11.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 质点的动量对于质点的动量对于 z 轴的动量矩是代数量。轴的动量矩是代数量。 由投影关系可知由投影关系可知 ()() zOz MmmvMv 即质点的动量对于某点即质点的动

3、量对于某点 O 的动量矩矢在通过该点的的动量矩矢在通过该点的 z 轴轴 上的投影时等于该质点的动量对于该轴的动量矩。动量矩上的投影时等于该质点的动量对于该轴的动量矩。动量矩 的单位为的单位为kgm2/s。 11.1.2 质点系的动量矩质点系的动量矩 质点系对点质点系对点O 的动量矩等于各质点对同一点的动量矩等于各质点对同一点O 的动量的动量 矩的矢量和，或称为质点系动量对点矩的矢量和，或称为质点系动量对点O 的主矩，即的主矩，即 1 () n OOii i m LMv 质点系对某轴质点系对某轴z 的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩 的代数和，即的代数和，即 1

4、 () n zzii i LMm v 11.1.3 刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩 11 () nn zziiii i ii LMm vm v r n i ii n i iii rmrrm 1 2 1 )( ii m v z x y i r O i m 工程中，常需计算作定轴转动工程中，常需计算作定轴转动 的刚体对固定轴的动量矩。刚的刚体对固定轴的动量矩。刚 体绕定轴转动时对转轴的动量体绕定轴转动时对转轴的动量 矩可表示为矩可表示为 从转动惯量的公式可见，影响其大小的有两个因素，从转动惯量的公式可见，影响其大小的有两个因素， 一是它的质量大小，另一个因素具体反映在

5、刚体的形状及一是它的质量大小，另一个因素具体反映在刚体的形状及 其与转轴的相对位置。转动惯量的单位为其与转轴的相对位置。转动惯量的单位为kgm2。 结论：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对结论：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。 引入引入 ，称为刚体对，称为刚体对z z轴的转动惯量，它表轴的转动惯量，它表 明了刚绕定轴明了刚绕定轴z 转动时的惯性大小。则上式可写为转动时的惯性大小。则上式可写为 z n i ii Jrm 1 2 zz JL 11.1.4 常见物体的转动惯量常见物体的转动惯量 若刚体的质量是连续分布

6、的，则转动惯量公式又可若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量公式又可 改写成如下形式改写成如下形式 2 0 d m z Jrm x x dx l z O 利用上式可将几种常见的形状规则、质量均匀刚体利用上式可将几种常见的形状规则、质量均匀刚体 的转动惯量计算出来。的转动惯量计算出来。 (1) 长为长为l，质量为，质量为m的均质直杆的均质直杆 均质直杆对过端点均质直杆对过端点O的的z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 22 0 1 3 l z m Jxdxml l x dx l x z O i m r O O d 均质直杆对过中点均质直杆对过中点O的的z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 22 2 2 1

7、 12 l lz m Jxdxml l 22 1 mrrmJ n i iO (2) 半径为半径为r，质量为，质量为m的均质的均质 薄圆环对中心轴的转动惯量为薄圆环对中心轴的转动惯量为 (3) 半径为半径为R，质量为，质量为m的均质圆的均质圆 板对中心轴的转动惯量为板对中心轴的转动惯量为 2 2 0 2 d R O Jm R 32 2 0 21 d 2 R m mR R 11.1.5 回转半径回转半径 在工程实际中有时也把转动惯量写成刚体的总质量在工程实际中有时也把转动惯量写成刚体的总质量m与与 当量长度当量长度z的平方的乘积形式，即的平方的乘积形式，即 2 zz mJ 上式中，上式中，z为刚体

8、对于为刚体对于z z轴的回转半径，又称惯性半径。于是轴的回转半径，又称惯性半径。于是 z z m J 表表1 1 简单形状均质物体的转动惯量简单形状均质物体的转动惯量 工程中几种常用简单形状均质物体的转动惯量的工程中几种常用简单形状均质物体的转动惯量的 计算可查下表。计算可查下表。 11.1.6 平行移轴公式平行移轴公式 2 1 mdJJ C zz 刚体对于任一轴刚体对于任一轴z1的转动惯量，等于刚体对与此轴平的转动惯量，等于刚体对与此轴平 行的质心轴的转动惯量行的质心轴的转动惯量JzC，加上刚体的质量与，加上刚体的质量与z1轴到质轴到质 心轴心轴zC的距离的距离d平方的乘积。平方的乘积。 O

9、 l d C 【例【例11-1】钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘】钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘 的质量分别为的质量分别为m1和和m2，杆长为，杆长为l，圆盘直径为，圆盘直径为d。求钟摆对。求钟摆对 于通过悬挂点于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量。的水平轴的转动惯量。 解：分别计算杆和圆盘对于解：分别计算杆和圆盘对于 水平轴水平轴O的转动惯量的转动惯量 2 1 1 3 O Jm l 杆 2 2 2 CO d JJm l 盘 22 2 3 8 mdlld 222 12 13 38 O Jmlmdlld 钟摆对于通过悬挂点钟摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量为的水平轴的转动惯量为

10、 11.2 动量矩定理动量矩定理 11.2.1 质点的动量矩定理质点的动量矩定理 r mv () O MF () O mMv x y z O F M 如图所示的质点如图所示的质点M，其动量为，其动量为mv，则质点，则质点M对点对点O的的 动量矩用矢积可表示为动量矩用矢积可表示为 () O mmMvrv 上式两边分别对时间求导数，可得上式两边分别对时间求导数，可得 d () = d O mm t MvvvrF 即即 d ()() d OO m t MvrFMF 上式称为质点动量矩定理，即质点对某定点的动量矩对上式称为质点动量矩定理，即质点对某定点的动量矩对 时间的一阶导数等于作用于质点的力对同一

11、点的矩。时间的一阶导数等于作用于质点的力对同一点的矩。 11.2.2 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 设有设有n个质点组成的质点系，每个质点的力分成内力个质点组成的质点系，每个质点的力分成内力 和外力和外力 ，根据质点的动量矩定理有，根据质点的动量矩定理有 i i F e i F ie d ()()() d OiiOiOi m t MvMFMF 对于对于n个质点组成的质点系，共有个质点组成的质点系，共有n个这样的方程，个这样的方程， 将这将这n n个方程相加，可得个方程相加，可得 ie 111 d ()()() d nnn OiiOiOi iii m t MvMFMF 由于内力总是成对出

12、现，故由于内力总是成对出现，故 ，上式可写为，上式可写为 i 1 ()0 n Oi i MF e 11 d ()() d nn OiiOi ii m t MvMF 即即 e 1 d () d n OOi i t LMF 上式就是质点系的动量矩定理。可表述为：质点系对于上式就是质点系的动量矩定理。可表述为：质点系对于 某定点某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有 外力对于同一点的矩的矢量和外力对于同一点的矩的矢量和( (外力对点外力对点O的主矩的主矩) )。 上式写成投影形式为上式写成投影形式为 e 1 d () d n xxi i LM

13、 t F e 1 d () d n yyi i LM t F e 1 d () d n zzi i LM t F 11.2.3 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 若作用于质点系上外力对某点之矩的矢量和若作用于质点系上外力对某点之矩的矢量和(即外力偶即外力偶 系的主矩系的主矩)为零，则质点系的总动量矩保持不变。即如为零，则质点系的总动量矩保持不变。即如 果果 ，则，则LO=常矢量。若作用在质点系上的外常矢量。若作用在质点系上的外 力对某固定轴之矩的代数和等于零，如果力对某固定轴之矩的代数和等于零，如果 ， 则则Lz=常数。这个结论称为动量矩守恒定律。常数。这个结论称为动量矩守恒定律。 e 1 ()0

14、 n Oi i M F e ()0 zi m F M m2g x F F m1g O 【例【例11-211-2】 如图所示提升装置中，已知滚筒直径如图所示提升装置中，已知滚筒直径d，它，它 对转轴的转动惯量为对转轴的转动惯量为J。求重物上升的加速度。求重物上升的加速度。 解：取滚筒和重物组成的质点解：取滚筒和重物组成的质点 系为研究对象，受力分析如图所示。系为研究对象，受力分析如图所示。 设某瞬时滚筒转动的角速设某瞬时滚筒转动的角速度为度为， 则重物上升的速度为则重物上升的速度为v=d /2。整个。整个 系统对转轴系统对转轴O的动量矩为的动量矩为 2 22 24 O dd LJm vJm 由质

15、点系的动量矩定理，有由质点系的动量矩定理，有 2 ) 4 ( d d d d 2 2 2 d gmM d mJ t L t O 于是滚筒角加速度为于是滚筒角加速度为 2 2 2 4 24 dmJ gdmM 重物上升的加速度等于滚筒边缘上任意一点的重物上升的加速度等于滚筒边缘上任意一点的 切向加速度，可表示为切向加速度，可表示为 2 2 2 2 4 2 2dmJ gdmMdd a M m2g x F F m1g O RO F g 1 m gm r1 r2 O 1 a A g 2 m B 【例【例11-3】 均质滑轮半径分别为均质滑轮半径分别为r1和和r2，两轮固连在一起，两轮固连在一起 并安装在

16、同一转轴并安装在同一转轴O上，两轮共重为上，两轮共重为mg，对轮心，对轮心O 的转动的转动 惯量为惯量为JO ，如图所示。重物，如图所示。重物A、B的质量分别为的质量分别为m1、m2。 求重物求重物A向下运动的加速度。向下运动的加速度。 解：取整体为研究对象，其受力分析和运动分析如图所解：取整体为研究对象，其受力分析和运动分析如图所 示。应用质点系的动量矩定理，有示。应用质点系的动量矩定理，有 e d () d OO LM t F 而质点系对点而质点系对点O 的动量矩为的动量矩为 1 1 12 2 2OO LJmv rm v r 22 1 112 2 1 () O v Jmrmr r 质点系所

17、有外力对质点系所有外力对O点的矩的代数和为点的矩的代数和为 e 1122 () O Mm grm gr F 由质点系的动量矩定理，有由质点系的动量矩定理，有 2211 1 1 2 22 2 11 )(grmgrm r a rmrmJ O 这样，重物这样，重物A向下运动的加速度为向下运动的加速度为 2 22 2 11 12211 1 )( rmrmJ grrmrm a O RO F g 1 m gm r1 r2 O 1 a A g 2 m B 11.3 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 设定轴转动刚体上作用有主动力设定轴转动刚体上作用有主动力F1、F2、Fn和轴和轴 承的约束反力

18、承的约束反力FN1和和FN2，如图所示。刚体对，如图所示。刚体对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量 为为Jz，角速度为，角速度为，刚体绕固定轴，刚体绕固定轴 z 转动时刚体的动量矩为转动时刚体的动量矩为 zz JL z 1 F n F 2 F N2 F N1 F O 如果不计轴承中摩擦，根据如果不计轴承中摩擦，根据 质点系对质点系对z 轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有 1 d ()() d n zzi i JM t F 上式称为刚体绕定轴的转动微分方程。即刚体对定轴的上式称为刚体绕定轴的转动微分方程。即刚体对定轴的 转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力转动惯量与角加速度的乘积，等

19、于作用于刚体上的主动力 对该轴的矩的代数和。对该轴的矩的代数和。 上式也可以写为上式也可以写为 2 2 1 d () d n zzi i JM t F 即即 1 () n zzi i JM F 【例【例11-511-5】均质直杆】均质直杆AB和和OD, ,长度都是长度都是l，质量均为，质量均为m，垂，垂 直地固接成丁字形直地固接成丁字形, ,且且D为为AB的中点，如图所示。此丁字杆的中点，如图所示。此丁字杆 可绕过点可绕过点O的固定轴转动，开始时的固定轴转动，开始时OD段静止于水平位置。段静止于水平位置。 求杆转过求杆转过 角时的角速度和角加速度。角时的角速度和角加速度。 A Ox F Oy

20、F O gm2 D B C ( ) OOi JM F 解：选丁字杆为研究对象，进行解：选丁字杆为研究对象，进行 受力分析。当杆受力分析。当杆OD与水平直线的夹与水平直线的夹 角为角为 时时, ,丁字杆转动的角速度为丁字杆转动的角速度为 ，如图所示。应用刚体定轴转动，如图所示。应用刚体定轴转动 微分方程，有微分方程，有 由平行移轴定理，有由平行移轴定理，有 2222 12 17 12 1 3 1 mlmlmlmlJO 通过计算，可知质心通过计算，可知质心C到转到转 轴轴O的距离为的距离为OC=3l/4。故有。故有 cos 2 3 cos 4 3 2)(mgllmgM O F 将以上两式代入刚体定

21、轴转动微分方程得将以上两式代入刚体定轴转动微分方程得 cos 2 3 12 17 2 mglml 解得杆的角加速度为解得杆的角加速度为 cos 17 18 l g A Ox F Oy F O gm2 D B C ddd dddt 由于由于 刚体定轴转动微分方程可写为刚体定轴转动微分方程可写为 dcos 17 18 d l g 两边积分，并利用初始条件，可得两边积分，并利用初始条件，可得 0 0 18 dcos d 17 g l 解得杆的角速度解得杆的角速度为为 l g 17 sin 6 A Ox F Oy F O gm2 D B C 11.4 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量

22、矩定理 如果质点系如果质点系( (如做平面运动的刚体如做平面运动的刚体) )的运动可分解为随质的运动可分解为随质 心的平动和相对于质心的转动，前者可用动量定理或质心运心的平动和相对于质心的转动，前者可用动量定理或质心运 动定理描述，后者能否用动量矩定理来描述呢？动定理描述，后者能否用动量矩定理来描述呢？ C x y z O x z y C r i r i m r i v i r 以质心以质心C为原点，取一平动坐为原点，取一平动坐 标系标系Cxyz，如图所示。在此平动，如图所示。在此平动 坐标系中，质点坐标系中，质点mi相对矢径为相对矢径为 ， 相对速度为相对速度为vir。质点系对于质心。质点系

23、对于质心C 的动量矩为的动量矩为 i r () CCiiiii mm LMvrv C x y z O x z y C r i r i m r i v i r 根据点的速度合成定理，有根据点的速度合成定理，有 riCi vvv 质点系对于质点系对于C点的动量矩可表示为点的动量矩可表示为 rr () CiiCii iCii i mm m Lrvvrvrv 由质心坐标公式，有由质心坐标公式，有 i iC m m rr 由于由于rC=0，故有，故有 0 i i m r 故质点系对于质心点故质点系对于质心点C的动量矩为的动量矩为 rCiii m Lrv () OOi iii i mm LMvrv 质点系

24、对于点质点系对于点O的动量矩为的动量矩为 () ii OiiCiiCiiii mmmm iLrvrrvrvrv 于是于是 C x y z O x z y C r i r i m r i v i r 这样，质点系对于点这样，质点系对于点O的动量矩可表示为的动量矩可表示为 OCCC mLrvL 上式表明，质点系对任一点上式表明，质点系对任一点O 的动量矩等于集中于系统的动量矩等于集中于系统 质心的动量质心的动量mvC对于点对于点O的动量矩与此系统对于质心的动量矩与此系统对于质心C 的动的动 量矩量矩LC 的矢量和。的矢量和。 e d () d OOi t LMF 由质点系对定点的动量矩定理由质点系

25、对定点的动量矩定理 e dd () dd CCCii m tt rvLrF 可得可得 e ddd ()() ddd C CCCCCii mm ttt r vrvLrrF 即即 上式右端是外力对于质心的主矩，于是得上式右端是外力对于质心的主矩，于是得 e d () d CCi t LMF 上式可写为上式可写为 e d d Cii t LrF 即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用 于质点系的外力对于质心的主矩。这个结论称为质点系对于于质点系的外力对于质心的主矩。这个结论称为质点系对于 质心的动量矩定理。该定理在形式上与质点系对于固定点的质

26、心的动量矩定理。该定理在形式上与质点系对于固定点的 动量矩定理完全相同。动量矩定理完全相同。 11.5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 O y x C A 如图所示的刚做作平面运动，结合质心运动定理和质如图所示的刚做作平面运动，结合质心运动定理和质 点系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程可点系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程可 写为写为 d ()() d C CC m JM t aF F 写成投影形式为写成投影形式为 () Cx Cy CC mxF myF JM F O z C x y i r i r i M C r 【例【例11-6】试证明质点系对于某定点】试

27、证明质点系对于某定点O的动量矩等于总质量的动量矩等于总质量 集中于质心时的动量矩，加上各质点的动量对于质心矩的集中于质心时的动量矩，加上各质点的动量对于质心矩的 矢量和。即矢量和。即 ()()() iiiiCOO C mmm MvMvMv 证明：设质点证明：设质点 Mi的质量为的质量为mi，该质点的速度为，该质点的速度为vi。质点。质点 Mi的矢径为的矢径为ri，质点，质点Mi相对质心相对质心C的矢径为的矢径为ri，质心，质心C矢径矢径 为为rC，质心，质心C的速度为的速度为vC。原点。原点O为定点为定点, ,如图所示。故有如图所示。故有 ()() Oi iii iCii i mmm Mvrv

28、rrv Ciiiii mm rvrv () CCCii mm rvMv ()() OCCii mmMvMv r C M N F C a gm F x 【例【例11-7】半径为】半径为r，质量为，质量为m 的均质圆轮沿水平直线做纯的均质圆轮沿水平直线做纯 滚动，如图所示。设圆轮的惯性半径为滚动，如图所示。设圆轮的惯性半径为C, , 作用在圆轮上的作用在圆轮上的 力偶矩为力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静摩擦。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静摩擦 系数为系数为 fs，问力偶矩，问力偶矩M 必须符合什么条件才能不致使圆轮必须符合什么条件才能不致使圆轮 滑动。滑动。 解：取圆轮为研究对象

29、。作用在圆轮上的外力有重物的解：取圆轮为研究对象。作用在圆轮上的外力有重物的 重量重量mg，地面对圆轮的正压力，地面对圆轮的正压力FN，滑动摩擦力，滑动摩擦力F，以及作，以及作 用在圆轮上的力偶矩用在圆轮上的力偶矩M，如图所示。根据刚体平面运动的，如图所示。根据刚体平面运动的 微分方程可列出如下三个方程微分方程可列出如下三个方程 Cx maF NCy maFmg 2 C mMF r 因为因为 ，根据圆轮滚动而不滑动的，根据圆轮滚动而不滑动的 条件，有条件，有 0 CxCCy aaa， C ar C Fma N Fmg 22 () C C Mr a mr 22 () C Fr M r 联立求解，

30、可得联立求解，可得 欲使圆轮滚而不滑，必须有欲使圆轮滚而不滑，必须有 sNs Ff Ff mg 22 s C r Mf mg r 于是圆轮滚而不滑的条件为于是圆轮滚而不滑的条件为 r C M N F C a gm F x O r r A B B P B T F B a C O A Oy F P A Ox F T F 【例【例11-911-9】均质圆柱体】均质圆柱体A和和B的重量均为的重量均为P，半径均为，半径均为r，一，一 绳缠在绕固定轴绳缠在绕固定轴O转动的圆柱体转动的圆柱体A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一端绕在圆柱 体体B上，如图所示。不计摩擦及绳子自重。求：上，如图所示。不计摩擦及绳子自重。求：(1) (1) 圆柱体圆柱体B 下降时质心的加速度；下降时质心的加速度；(2) (2) 若在圆柱体若在圆柱体A上作用一逆时针转上作用一逆时针转 向的转矩向的转矩M，试问在什么条件下圆柱体，试问在什么条件下圆柱体B的质心将上升。的质心将上升。 解：分别取轮解：分别取轮A和和B为研究对象，受力如图所示。轮为研究对象，受力如图所示。轮A做做 定轴转动，轮定轴转动，轮B做平面运动。对轮做平面运动。对轮A应用刚体定轴转动微分应用刚体定轴转动微分 方程，有方程，有 TAA JFr 对轮对轮B应用平面运动微分方程，有应用平面运动微分方程