第十章电磁感应 (2) (1)

1、 一一 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 dt d m B L m S m dSBcos dt d m dt SdB dt Sd B dt d m B L n e m 二、 楞次定律(Lenz Law)（P P129 129） ） t m 负负极极 正正极极 0 m 0 新新 1 m i d I Rdt 2 1 1m m m d R 感应电流感应电流 dtIq t t ii 2 1 感生电量感生电量21 1 mm R 回路电阻回路电阻 2 t 1 t 在一段时间内通过导线中在一段时间内通过导线中任一截面任一截面的的感生电量感生电量 仅与通过导线仅与通过导线回路所围面积回路所围面积的磁通量的

2、的磁通量的变化量变化量 有关，有关，与与变化的变化的快慢无关快慢无关。 （磁通计原理）（磁通计原理） = = N m dt d N m N m 例例1 1 d12 I r 12 I 12 3 A rr L 21 II )sin( 021 tIII V S m dSBcos Ldx xd I x I rr r m )( 2 210 21 1 31 322110 )( ln 2rr rrrrLI d12 I r 12 I 12 3 A rr L 0 102 22 () II B xdx LdxdS P x )sin( 021 tIII m d dt )cos( )( ln 2 0 31 32210

3、 tI rr rrrrL 001223 1 3 ()() lnsin() 2 m I Lrrrr t rr d12 I r 12 I 12 3 A rr L V d12 I r 12 I 12 3 A rr L 00121 112 ()() lnsin() 2() I Lrrdr t r drr 此时，不仅电流随时间变化，此时，不仅电流随时间变化， 、 也随也随 时间变化。时间变化。 1 r 3 r V dt dr 1 001223 1 3 ()() lnsin() 2 m I Lrrrr t rr V m d dt 物理竞赛校内选拔考试物理竞赛校内选拔考试 时间：时间：1111月月1414日

4、日 请今天各班班长将本班名单交给任课老师请今天各班班长将本班名单交给任课老师 例例2 2 ( (书书P P131 131例 例1) 1) B 0 n e B t o ， o B 解：解： m cos m S BdS StB)cos( 0 n e m t m d dt )sin( 0 tBS o ， o B n e N dt Nd m )( )sin( 0 tNBS 磁畴 m 磁畴 m 磁畴 m 磁畴 m 磁畴 m 磁畴 m 例例2 2 m d dt () mm t 2NBS t cos m S NBdS NBS B m t 例3 )cos( 0 tkxB C O D M N V x 0t0 x

5、 V MNV B k x B cos m S BdS 磁场磁场分布，且分布，且 变化（变化（均匀均匀稳恒稳恒场场）B 22 tan 2 1 tVB dt d m tVBtg 2 O D M N C V B x NM ）（ ）（ cos m S BdS x O C M N D V B x （2）非均匀的时变磁场非均匀的时变磁场( ( 为常数为常数) )k 0 cos()Bk xt 0 0 cos() Vt kxtxtg dx 3 3 0 1 cos() 3 ktgtV t dt d m 3 2 0 cos()ktgtV t 3 3 0 1 sin() 3 k tgtV t cos m S BdS

6、 0 cos() S k xtydx cos1 例例4 4 a aL a )1 ( 0 0 t t Q a 2a Q a 2a BnI B = 0 2 2 2 m Q a a B L 穿过线圈的磁通量穿过线圈的磁通量 2 2 dQa d i RdtRLdt 0 0 2 2tRL Qa B i 2 Q L L I圆筒总电流 dt d cos m S NBdS l dBV b a )( b a dlVBcos)sin( ：V B ：l d ：V l d ：B l d ： )(BV l d 伸开右手，手掌迎着磁场（磁力线）的方向，伸开右手，手掌迎着磁场（磁力线）的方向， 大拇指指向导线运动的速度方向

7、，则：其余大拇指指向导线运动的速度方向，则：其余 四指所指的就是导线中动生电动势方向（正四指所指的就是导线中动生电动势方向（正 极方向）极方向） （ ）（BV ）（BV sinVB ）（BV )(BV l dBV b a )( b a dlVBcossin B V l d )(BV l d dlVB b a cossin （ ）（BV B L 2 2 1 LB V Vl 例1 dl = 2 0 sincos b a VBdl 0 L lBdl 2 2 1 RB 边缘圆心 B L 2 2 1 RB 边缘圆心 B L 例2 sinBIdldF l dBV b a )(BVl BIlF R VlB

8、22 dt dV m 例3 3 B aboo ab 5 L o o 5 4L B l d V B sinVBBV lB abl d l d V lBdl 4 5 0 L ob lBdl 2 16 50 BL 22 50 16 50 1 BLBLU ab 2 3 10 BL ab 0 l dBV )(cos)(ldBV ob ( )( ) 5 0 L oa lBdl 2 1 50 BLoa ( )( ) 例4： ? NM UU V a I b o MN C V B MN MCNM 常量 MNCM 0 m MNCM d dt 0 NMMCN MNNMMCN 0 0 2 I B r I a I M

9、N V ln 22 a b MCN a b IVIVab dl lab ()cos MN VBd l dl 0 0 2 I B r B ba ba IV UU NM ln 2 ： MN VB 0 sin 22 I V l VB 练习： O C DE F d I V a O oo dl dl VB VB 0 DC 0 FE ln 22 d a CF d IVIVad dl ld ln 22 d a ED d IVIVad dl ld 0 CDEF O C DE F d I V a O dl dl 0 CF 0 ED V VB sincos CD VBdl 2 I V DC d VB 2 () E

10、F I V FE da CDEFCDEF ：12-7 12-8 12-12 12-13 S d B dS dt 计算公式计算公式 EdrEdr 非静 非静 麦克斯韦假设：感生电场假设麦克斯韦假设：感生电场假设（涡旋电场假设）（涡旋电场假设） 随时间变化的磁场都要激发感生电场。随时间变化的磁场都要激发感生电场。 ne EEE 非静感 适合计算一适合计算一 个个回路回路的的 适合计算适合计算 一段一段静止静止 直棒的直棒的 定义：定义： 静止静止于于随时间变化的磁场随时间变化的磁场（非（非稳恒磁场稳恒磁场） 中的线圈或线段中所产生的感应电动势。中的线圈或线段中所产生的感应电动势。 S B dS t

11、 与与 的关系的关系 t B 感 E 大小关系大小关系 感生电场感生电场 沿任一沿任一闭合回路闭合回路的的线线积分积分 等于磁感应强度的等于磁感应强度的时间变化率时间变化率 沿沿该该 回路回路所围面积的所围面积的面面积分。积分。 感 E t B 方向关系方向关系 感生电场感生电场 与与 遵循遵循左左手螺旋关系。手螺旋关系。 感 E t B S Sd t B rdE L 感 左左手：大拇指手：大拇指 弯曲四指弯曲四指 左左手螺旋手螺旋 法则：法则： t B 感 E 感生电场的电场线是感生电场的电场线是闭合闭合曲线曲线 0 t B 感 E 感生电流感生电流 （涡电流（涡电流 Eddy Curren

12、tEddy Current） 感 I 危害：危害： 焦耳热焦耳热 涡流损耗涡流损耗 安全隐患安全隐患 利用：利用：焦耳热焦耳热 高频感应冶金炉高频感应冶金炉 S Sd t B rdE L 感 S Jd S L H dr cos L Ed r 感 例例1： 图中半径为图中半径为R的无限长的无限长 圆柱区域内有垂直向里圆柱区域内有垂直向里 的匀强磁场。求：感的匀强磁场。求：感 生电场分布。生电场分布。 B R 如垂直向里的匀强如垂直向里的匀强 磁场限制在如图所磁场限制在如图所 示的截面为正方形示的截面为正方形 的柱状区域。则：的柱状区域。则： t B A B C ? AC 4/ l 4/ l 2/

13、 l 2/ l l 0 B t r r Er 感 2 L EdrEr 感感 r t B E 2 1 感内 )(Rr r R t B E 2 2 1 感外 )(Rr 0Edr 感 径向 例例1 1 图中半径为图中半径为R的圆柱区域内有垂直向里的匀的圆柱区域内有垂直向里的匀 强磁场强磁场 ，它随时间的变化率，它随时间的变化率 ，此处，此处 是一个正的常数。导体棒是一个正的常数。导体棒 的长度为的长度为2R， 其中一半在圆内，问：因电磁感应，棒的哪其中一半在圆内，问：因电磁感应，棒的哪 一端为正极？棒的感应电动势大小为多少？一端为正极？棒的感应电动势大小为多少？ M N B k dt dB kMN

14、R 感 E 感 E r 端为端为正正极极 N 注意注意：本情形：本情形rE 感 沿沿半径半径方向方向 无无感生电动势感生电动势 o MAN 解一：解一： o 沿沿半径方向半径方向作如图所示作如图所示 、 它们与它们与 构成闭合回路构成闭合回路 OMON MNOMNO m OMNO S dB dS dtt OACOOMAOOMNO S t B S t B 扇形三角形 C 2 ) 3 3( 4 1 kR MN rE 感 由于00 NOOM 所以， MNOMNO cos S B dS t M N R 感 E 感 E r h 解二：解二： rdE 感 N M rdE cos 感 SL Sd t B r

15、dE 感 第一：第一： 取半径取半径 、圆心在圆柱轴线上、且所、圆心在圆柱轴线上、且所 围平面垂直于柱轴的围平面垂直于柱轴的圆环为回路圆环为回路。 r rEl dE L 2 感感 则：则： 柱内柱内 )(Rr dS t B Sd t B SS cos 2 r t B r t B E 2 1 感内 kr 2 1 )(Rr M N R 感 E 感 E r h 柱外柱外)(Rr r Sd t B S 2 R t B rEl dE L 2 感感 r R t B E 2 2 1 感外 r R k 2 2 1 )(Rr 第二：求直棒第二：求直棒MN上的感应电动势上的感应电动势 rdE N M 感 A M

16、rdE cos 感内 N A rdE cos 感外 A （1）N （2） 2 ) 3 3( 4 1 kR MN 2 2 2 1 R R dl r h kr 2 3 2 2 2 1 R R dl r h r R k 222 hlr 222 ) 2 (h R R 作业作业： 10.5 10.17（1） 通通 知知 大学物理考试时间：大学物理考试时间：1313周周二下午周周二下午 M N R 感 E o B L 五、自感 自感（现象）自感（现象）(Selfinductance) 由于回路中电流产生的通过回由于回路中电流产生的通过回 路路本身所围面积本身所围面积的磁通量发生的磁通量发生 变化，而在变化

17、，而在自身自身回路中激起感回路中激起感 应电动势的现象。应电动势的现象。 I 自感全磁通自感全磁通 SdBNN S 自感电动势自感电动势 由于自感现象而在回路中产生的感应电动势。由于自感现象而在回路中产生的感应电动势。 L LI 自感自感系数：系数：与与介质、线圈形状、介质、线圈形状、 大小均大小均有有关；但关；但与与 电流强度电流强度无无关。关。 ( ) t B )(t 自感自感L的计算方法的计算方法 dSBN S cos （1 1）设回路中电流强度为设回路中电流强度为I I （2 2）求出回路所围面上任一点求出回路所围面上任一点 的大小，的大小，判判 断方向，画在图上断方向，画在图上 B

18、（3）求出通过回路所围面积的磁通量求出通过回路所围面积的磁通量 乘以线乘以线 圈匝数圈匝数得全磁通得全磁通SdBN S )(LI dt d dt d L 自感电动势自感电动势 I L dtdI L / dt dI L L 不不随随时间时间 变变 L 作以螺绕环轴线为中心，作以螺绕环轴线为中心， 半径半径 的的圆周圆周为安培为安培 环路。环路。 r rHrdH L 2 0 2 r NI B r )(bra NII int 根据根据 r NI H 2 int IrdH L 1 R 2 R （剖面图）（剖面图） P r h 例1 1 计算计算P P278 278 习题 习题8.138.13所示螺绕环

19、的自感（系数）所示螺绕环的自感（系数） L。设环中充满相对磁导率为。设环中充满相对磁导率为 的磁介质。的磁介质。 r 解：设螺绕环中电流强度为解：设螺绕环中电流强度为I I 1 R 2 R （剖面图）（剖面图） P r h dShdr 通过螺绕环横截面的磁通量通过螺绕环横截面的磁通量 S m dSBcos 2 1 0 2 R r R NI hdr r 02 1 ln 2 r NIhR R mm N 2 02 1 ln 2 r NIhR R 通过螺绕环的总磁通量通过螺绕环的总磁通量 2 02 1 ln 2 mr NhR L IR 例3 计算无限长直螺绕管的自感（系数）计算无限长直螺绕管的自感（系

20、数）L。设。设 管的截面积为管的截面积为S，管的长度为，管的长度为R，单位长度，单位长度 上的匝数为上的匝数为n，管中充满相对磁导率为，管中充满相对磁导率为 的的 磁介质。磁介质。 r 例2 2 （书中（书中P P334 334例 例10.6 10.710.6 10.7）（）（自学自学） 2 0r LnRS 六、互感六、互感 互感（现象）互感（现象）(Mutual Induction)(Mutual Induction) 两个载流回路中的电流两个载流回路中的电流 发生变化时，发生变化时，相互相互在在对对 方方回路中激起感应电动回路中激起感应电动 势的现象。势的现象。 互感电动势互感电动势 1(

21、 ) t I 1线圈 2( ) t I 2线圈 dt d 21 21 dt d 12 12 产生产生磁场磁场的线圈号的线圈号获得获得全磁通、全磁通、 获得获得互感电动互感电动 势势的线圈号的线圈号 121 IM 212 IM 21 12112 1 SdBN S 2 I 1 I 212 2 SdBN S 互感互感系数：系数：与与介质、两线圈形状、介质、两线圈形状、 大小、相对位置均大小、相对位置均有有 关；但关；但与与两电流强度两电流强度 无无关。关。 1 MI 2 MI 互互感感M的计算的计算方法一方法一 1 B （1 1）设任一回路中电流强度为设任一回路中电流强度为I I1 1 （2 2）求

22、出该电流求出该电流I I1 1在另一回路（设为在另一回路（设为2 2）所围面上）所围面上 任一点的任一点的 的大小，判断的大小，判断方向方向，画在图上画在图上 （3）求出通过回路求出通过回路2 2所围面积的磁通量，所围面积的磁通量，乘以该回乘以该回 路线圈匝数得全磁通路线圈匝数得全磁通 21 （4）用互感系数定义式求出用互感系数定义式求出 1 21 I M 1 21 2 12 II M 互感电动势互感电动势 )( 1 21 21 MI dt d dt d M dt dI M 1 21 )( 2 12 12 MI dt d dt d dt dI M 2 12 M dt dI 2 12 dt dI

23、 M 1 21 r 例1 两线圈绕在同一螺线管上，管内充有相对磁两线圈绕在同一螺线管上，管内充有相对磁 导率为导率为 的介质，管上单位长度上的线圈匝的介质，管上单位长度上的线圈匝 数分别为数分别为n n1 1、n n2 2 ，管长为，管长为 ，横截面积为，横截面积为S S， 求：求： 互感系数互感系数M 各自的自感系数各自的自感系数L1 、L2 无漏磁时，无漏磁时，M与与L1、L2关系。关系。 l 1 I 101 1r Bn I 21212 N B S 120 1r n n lI S 2 110r LnlS 2 220r LnlS 120r Mn nSl 12 ML L 例例2 在相距为在相距

24、为L的的 根无限长平行导线（左、右根无限长平行导线（左、右 根数相等）之间有一边长为根数相等）之间有一边长为 的正方形线圈的正方形线圈 ABCD，匝数为，匝数为 ，左导线与线圈左边相距，左导线与线圈左边相距 为为 。求：。求： （1 1）它们之间的互感系数）它们之间的互感系数M （2 2）当正方形线圈）当正方形线圈ABCD为载流线圈，且电为载流线圈，且电 流强度为流强度为 时，求两平时，求两平 行导线中的互感电动势。行导线中的互感电动势。 )sin( 00 tII a b 1 2N 2 N 设设直直电流中电流强度为电流中电流强度为I I1 1解：解： 由于是由于是线圈线圈，必须设，必须设两两

25、边边电流电流方向方向相反相反。 ) 11 ( 2 10 11 xLx I NB 21221 cos 2 dSBN S adx xLx I NN ba b ) 11 ( 2 10 12 )( )( ln 2 10 21 baLa aLbaaI NN 1 N b a L 1 N 2 N x 1 I 1 I b a L 1 I 01 2112 ()() ln 2() aIab La N N a Lab 1 N 1 N 2 N x 1 I 互感系数互感系数 1 21 I M 0 12 ()() ln 2() aab La MN N a Lab （2）当正方形线圈当正方形线圈ABCD为为 载流线圈，且电

26、流强度载流线圈，且电流强度 为为 时，时， 求两平行导线中的互感电动势。求两平行导线中的互感电动势。 )sin( 00 tII dt dI M 2 12 )cos( 00 tMI 例例3 3 一半径为一半径为 ，线密度为，线密度为的均匀带电圆环，的均匀带电圆环， 里边有一半径为里边有一半径为 总电阻为总电阻为R的导体环，两环的导体环，两环 共面同心，且共面同心，且 ，当大环以变角速度，当大环以变角速度 绕垂直于环面的中心轴旋转时，绕垂直于环面的中心轴旋转时， 求：求： 小环中感应电流的大小和方向小环中感应电流的大小和方向 大环中的互感电动势。大环中的互感电动势。 1 r 2 r 21 rr )

27、(t 由于由于 ，所以小环所围，所以小环所围 面上所有点磁感应强度相等，面上所有点磁感应强度相等， 且等于大环中心的且等于大环中心的 21 rr 大中心 B 1 2 I B r 大 大中心 解：解： ）（大t r T r I 1 1 2 1 r 2 r 1 r 2 r 通过小环所围面的全磁通通过小环所围面的全磁通 小大中心小小大小小大 小 SBNdSBN S 2 2 1 2 r I r 大 小小环中感应电流的大小环中感应电流的大小 1 d I Rdt 小大 小 2 2 2 t dr Rdt （） 方向：方向：相同与旋转方向相反，反之随时间增加时， 小 I 大大环中的互感电动势环中的互感电动势

28、dt dI M 小 大小 1 2 2 2r r I M 大 小大 2 2 1 4 2 22 4dt d Rr r t）（ 大小 作业作业：P346348 10.13 10.14 10.17 (2)(2) 10.23 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 dt d 动生动生电动势电动势感生感生电动势电动势自感自感电动势电动势互感互感电动势电动势 l dBV b a )( 条件条件： 与 无关B t 适用适用求一段求一段运动运动 直棒直棒上的上的 l dE 感 条件条件：直棒：直棒静止静止 适用求一段适用求一段静止静止 直棒直棒上的上的 SL Sd t B l dE 感 （感生电场（感生电场 与与

29、 遵循遵循左左手螺旋关系）手螺旋关系） 感 E t B )(LI dt d L I L SdBN S )( 121 MI dt d 2 12 1 21 II M 21221 SdBN S 12112 SdBN S 适合求适合求回回路路 上产生的上产生的 回路 122 () d MI dt S B dS t L Edr 感 b a dlVBcos)sin( m d dt 法拉第的感应电动势公式法拉第的感应电动势公式注意：注意： 适应于适应于任何原因任何原因产生的感应电动势产生的感应电动势 （动生、感生、自感、互感）。应（动生、感生、自感、互感）。应 用此式无用此式无任何特殊条件任何特殊条件。 七

30、、磁场的能量七、磁场的能量 电源 ( ) t i di LiR dt 00 2 000 tIt idtLidii R dt 总 0 0 t 时间间 隔内电源提 供的能量 0 0 t 时间间 隔内电阻消 耗的焦尔热 存的自感磁能 时线圈中储 线圈中电流为 I 总 R K 自感线圈自感线圈 2 2 1 LIWm 自感自感磁能磁能公式公式 BH B wm 2 1 2 2 磁场能量磁场能量密度密度 L dVwdW mm 体积元体积元dVdV中的中的磁能磁能 半径半径 、厚度、厚度 、长、长 的的柱壳柱壳中的中的 磁磁场能量场能量 rdrh 2 2 2 m B dWrhdr 磁场磁场总总能量能量 dV

31、B W V 2 2 磁场磁场所占空间的体积所占空间的体积 （不是载流体不是载流体的体积）的体积） 注意：注意：不同的区域往不同的区域往 往有不同的磁感强度，往有不同的磁感强度， 不同的磁导率，注意：不同的磁导率，注意： 积分积分要要分段进行分段进行。 Lrdr B W R R m 2) 2 ( 2 2 1 无限长均匀分布柱状电流产生的磁场中，无限长均匀分布柱状电流产生的磁场中， R R1 1R R2 2范围内的磁场能量 范围内的磁场能量 无限长均匀分布柱状电流产生的磁场中，无限长均匀分布柱状电流产生的磁场中， 半径为半径为 、厚度为、厚度为 、长为、长为L L的柱壳中的柱壳中 的磁场能量的磁场

32、能量 rdr LrdrwdW mm 2 思考思考： 无限长均匀分布柱状电流产生的磁场中的无限长均匀分布柱状电流产生的磁场中的 总总磁场能量磁场能量 Lrdr B Wm 2) 2 ( 2 0 （注意分段积分）（注意分段积分） （注意分段积分）（注意分段积分） 例6 两长直密绕螺线管，长度及线圈匝数相同两长直密绕螺线管，长度及线圈匝数相同, ,半半 径之比为径之比为 ，磁导率之比，磁导率之比 求：求： 自感系数之比自感系数之比 通以相同的电流时，所储存的磁通以相同的电流时，所储存的磁 能之比能之比 2: 1: 21 rr 1 : 2: 21 ?: 21 LL ?: 21 mm WW 2 Lnl S

33、 第十一章 麦克斯韦方程组 麦 克 斯 韦 方 程 组 SV dVSdD Sd t B rdE LS S SdB0 Sd t D JrdH LS )( 例例. .（23392339）（）（3 3分）分）反映电磁场基本性质和规律的麦克反映电磁场基本性质和规律的麦克 斯韦方程组为：斯韦方程组为： SV dVSdD LS Sd t B l dE S 0SdB LS Sd ）（ t D Jl dH 试判断下列结论是包含于或等效于哪一个试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方麦克斯韦方 程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的 空白处空白处 （1

34、 1） 变化的磁场一定伴随有电场：变化的磁场一定伴随有电场： （2 2） 磁感线是无头无尾的：磁感线是无头无尾的： （3 3） 电荷总伴随有电场：电荷总伴随有电场： 例例4 (2765)4 (2765) 电量电量Q均匀分布在半径为均匀分布在半径为 、长为、长为L L （ ）的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒）的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒 以角速度以角速度 绕中心轴旋转，一半径为绕中心轴旋转，一半径为2 2 、 电阻为电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上。若的单匝圆形线圈套在圆筒上。若 圆筒转速按照圆筒转速按照 的规律随时间线的规律随时间线 性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和性地减小，求圆形线圈中感应

35、电流的大小和 方向。方向。 a aL a )1 ( 0 0 t t Q a 2a Q a 2a BnI 筒内：筒内： 筒外：筒外：B = 0 2 2 2 m Q a a B L 穿过线圈的磁通量穿过线圈的磁通量 2 2 dQa d i RdtRLdt 0 0 2 2tRL Qa B i 2 Q I L 单位长度 例例3 3 如图所示，矩形线框通有电流如图所示，矩形线框通有电流 线框旁有一无限长直导线线框旁有一无限长直导线OOOO，求直导线中，求直导线中 的感应电动势。的感应电动势。 tII o sin O C I a O b 解：解： dt dI M 线圈 直线，线圈 直线 线圈，直线 I M

36、 线圈 线圈直线线圈线圈，直线 S dSBN ac c bdr r I 2 直线 c acb ln 2 t c acbI cosln 2 0 线圈，直线 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 dt d 动生动生电动势电动势 感生感生电动势电动势自感自感电动势电动势互感互感电动势电动势 l dBV b a )( 条件条件： 与 无关B t 适用适用求一段求一段运动运动 直棒直棒上的上的 l dE 感 条件条件：直棒：直棒静止静止 适用求一段适用求一段静止静止 直棒直棒上的上的 SL Sd t B l dE 感 （感生电场（感生电场 与与 遵循遵循左左手螺旋关系）手螺旋关系） 感 E t B )(

37、LI dt d L I L SdBN S )( 121 MI dt d 2 12 1 21 II M 21221 SdBN S 12112 SdBN S 适合求适合求回回路路 上产生的上产生的 回路 例2 一圆形均匀刚性线圈，一圆形均匀刚性线圈， 总电阻为总电阻为R，半径为，半径为 ， 在稳恒均匀磁场在稳恒均匀磁场 中以中以 匀角速度匀角速度 绕其轴绕其轴OO 转动，转轴垂直于转动，转轴垂直于 ， 当线圈平面转自与当线圈平面转自与 平平 行时（如图所示），求：行时（如图所示），求： ( ( 弧等于弧等于1/81/8圆周。圆周。) ) ( ( 弧等于弧等于1/41/4圆周。圆周。) ) r B

38、B B ? ab ab ? ac ac ? ac U o , o B c b a r o , o a c b B 解：解：任任取取 l d sinrV BV sinrB BV dlrB) 2 cos(sin l dBV ）（dlrB 2 sin 方向：方向： 铅直向下铅直向下 2 l d dBr ac 22 2 0 sin Br 2 4 1 dBr ab 22 4 0 sin BrBr 22 4 1 8 1 ? ac U o , o B c b a r acacac UIR 4 R R ac 圆周 0 思考思考: : 0 ab U ? 0 ab U 在匀强磁场中，导线在匀强磁场中，导线 ， ，

39、 OMN整体可绕整体可绕O O点在垂直点在垂直 于磁场的平面内逆时针转动，如图，若转于磁场的平面内逆时针转动，如图，若转 动角速度为动角速度为，求：，求： OM间电势差间电势差 ON间电势差间电势差 O、M、N哪点哪点 电势最高？电势最高？ x x x x x x x x x x x x x x x O M N B 120 o OM U ON U aMNOM 0 120OMN 练习：练习： 思考：思考：（1 1）磁场均匀分布，且）磁场均匀分布，且 不随时间变化不随时间变化 （2 2）非均匀的时变磁场）非均匀的时变磁场( ( 为常数为常数) ) （3 3）非均匀磁场）非均匀磁场 )cos( 0

40、tkxB C O D M N V x B k x kxB 问：问： 求解求解（1 1）（）（2 2）（3 3）时，能否用）时，能否用动生电动势动生电动势公式公式？ l dBV b a )( （1 1）（3 3）可用）可用；（2 2）不能用（磁场随时间变化）不能用（磁场随时间变化）答：答： B 思考思考: : 总总 复复 习习 习习 题题 课课 例1（50905090）一半径为）一半径为 的细圆弧，对圆心的张角为的细圆弧，对圆心的张角为 ， 其上均匀分布有正电荷其上均匀分布有正电荷 ，如图所示。，如图所示。 试以试以 、 、 表示出圆心处的电场强度表示出圆心处的电场强度 如果是电流强度为如果是电

41、流强度为I I的载流细圆弧，圆心处的载流细圆弧，圆心处 的磁感应强度的磁感应强度 等于多少？等于多少？ a 0 qa 0 q 0 E 0 B a q a I 0 0 方向方向的分析是关键的分析是关键 r dq dl 2 4 1 r dq dE rEd / Ed r Idl 2 sin 4r Idl dB rBd ）（rlIdBd /lIdBd Bd 由于由于方向方向与与电荷元位置电荷元位置有有 关关，因此需建立坐标，因此需建立坐标，分分 解解 后，再积分后，再积分 Ed 由于由于方向方向与与电流元位置电流元位置无无 关关，因此可直接积分，因此可直接积分 2 sin 4r Idl B 22 0

42、a I 2 sin 2 0 0 2 0 0 a q E 例2 （1013）一无限长均匀带电的一无限长均匀带电的半半圆柱面。半径为圆柱面。半径为R R， 设设半半圆柱面上沿轴线单位长度上的电量为圆柱面上沿轴线单位长度上的电量为 ，试求，试求 轴线轴线上上一点的电场强度一点的电场强度 。 如果是电流强度为如果是电流强度为 的载流的载流半半圆柱面，圆柱面，轴线轴线上上一点一点 的磁感应强度的磁感应强度 等于多少？等于多少？ 如果是如果是圆柱面圆柱面，情况会怎样？，情况会怎样？ E B I o o 取取宽宽为为 的的无限长无限长直线直线dl dl R dl R I I dl a I dB 2 a aB

43、d 与电流成右手螺旋与电流成右手螺旋 Bd 由于由于方向方向均均与无限长直线位置与无限长直线位置有有关关，因此需建立坐标，因此需建立坐标， 分解分解 、 后，再积分后，再积分 Ed Bd dl a dE 2 a aEd / Ed R E 0 2 R I B 2 如果是如果是圆柱面圆柱面，情况会怎样？，情况会怎样？ 带电带电圆柱面圆柱面载流载流圆柱面圆柱面 S i qSdD S DlrSdD2 EED r 0 L i IrdH S HrrdH2 HHB r 0 类似情况：类似情况： 宽度宽度 的无限长带电、载流平板的无限长带电、载流平板d 例例3 3 一一半径为半径为R R的的带电球体，其电荷带

44、电球体，其电荷 体密度分布为（体密度分布为（A A为常数为常数） )3(nRrAr n ； )(0Rr （1 1）求场强分布求场强分布 （2 2）作）作 图图 解：解： S i qSdE 应用 S rESdE 2 4 i q drr r r 2 0 4 ）（ 32 0 3 4 4 n r n r n A drrAr ）（Rr r drr R r 2 0 4 ）（ 32 0 3 4 4 n R n R n A drrAr ）（Rr r rE E 1 3 n r n A ）（Rr 2 3 3 r R n A n ）（Rr 规律规律 如果是如果是球球状带电体状带电体 rE / 如果是如果是柱柱状带电

45、体状带电体 r E 1 外 1 n rE 内 ）（ 内 n r )2(n 1 n rE 内 ）（ 内 n r 2 1 r E 外 ) 3(n or E R 1 n rE 2 1 r E 外 例例4 4 (1286) (1286)真空中有一高为真空中有一高为h = 20cmh = 20cm，底面，底面 半径半径R = 10cmR = 10cm的圆锥体。在其顶点与的圆锥体。在其顶点与 底面中心连线的中点上置一底面中心连线的中点上置一q = 10q = 10-6 -6C C的 的 点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场 强度通量。强度通量。 q ）（ ）（ 侧 24 2 4

46、 4 2 2 2 2 0 0 hh RR h R qq e 例6 (1424) 一底面半径为一底面半径为R R的圆锥体，锥面上均的圆锥体，锥面上均 匀带电，电荷面密度为匀带电，电荷面密度为 ，证明：锥顶，证明：锥顶O O点的点的 电势与圆锥高度无关（设无穷远处为电势零电势与圆锥高度无关（设无穷远处为电势零 点），其值为：点），其值为： 0 2 R U o 解：解： 利用利用带电带电圆环的电势圆环的电势公式及公式及 电势电势叠加原理解决此问题叠加原理解决此问题 r drr z 首先在距离首先在距离O O点任意位置点任意位置z z处处 取高为取高为dzdz的小圆环。的小圆环。 zdz dz rdS

47、 cos tan 2 cos 2面积面积 o z 如圆锥高度为如圆锥高度为h h，O O点的电场强度点的电场强度 如圆锥绕轴线以匀角速度如圆锥绕轴线以匀角速度 转动，转动， O O点的磁点的磁 感应强度感应强度 磁矩磁矩 ?E ?B ?m 例例7 (1509)7 (1509) 如图所示，在电矩为如图所示，在电矩为 的电偶极子的电偶极子 的电场中，将一电量为的电场中，将一电量为q q的点电荷从的点电荷从A A点沿点沿 半径为半径为R的圆弧（圆心与电偶极子的中心重的圆弧（圆心与电偶极子的中心重 合，合，RR电偶极子正负电荷之间距离）移到电偶极子正负电荷之间距离）移到 B B点，求此过程中电场力所作

48、的功。点，求此过程中电场力所作的功。 2 0 2R qp p qq AB p ）（ BA qA 电偶极矩电偶极矩 的的 方向从方向从负负 正正 p 00 4()4() 22 A qq ll RR 00 4()4() 22 A qq ll RR 2. 如图所示，CDEF为一矩形，边长分别为 和 ，在DC 延长线上CA= 处的A点有点电荷 ，在CF的中点B 点有点电荷 ，若使单位正电荷从C点沿CDEF路径 运动到F点，则电场力所作的功等于 ll 2 lq q C D E F A B q q l l 2 l ll q 5 15 4 0 （A） （B） （C） （D） 5 51 4 0 l q 3 1

49、3 4 0 l q 5 15 4 0 l q （D）对 例8 (2290) 有一无限大平面导体薄板，自下而上有一无限大平面导体薄板，自下而上 均匀通有电流，已知其面电流密度为（即单均匀通有电流，已知其面电流密度为（即单 位宽度上通有的电流强度）位宽度上通有的电流强度） （1 1）试求板外空间任一点磁感强度的大小和试求板外空间任一点磁感强度的大小和 方向。方向。 （2 2）有一质量为有一质量为m m，带正电量为，带正电量为q q的粒子以速的粒子以速 度度 沿平板法线方向向外运动沿平板法线方向向外运动 （a a）带电粒子最初至少在距板什么位置处才带电粒子最初至少在距板什么位置处才 不与大平板碰撞？

50、不与大平板碰撞？ （b b）需经多长时间，才能回到初始位置？需经多长时间，才能回到初始位置？ （不计粒子重力）（不计粒子重力） i V B B ab c d i L IrdB cos abicdBabB 2 i B iq mv Rx 0 2 V x iq m Tt 0 4 （1 1） （2 2）（）（a a） m F （2 2）（）（b b） 电电场变化场变化 产产生生磁磁场场 磁磁场变化场变化 产产生生电电场场 位移电流位移电流密度密度 t E t D J 位移电流位移电流Sd t E Sd t D I SS d d L d IrdH 位移电流与其产位移电流与其产 生的磁场的关系生的磁场的关

51、系 SL Sd t B l dE 感 运运动动电电荷荷 产产生生磁磁场场 2 4r eVq B r 霍尔效应霍尔效应 霍尔电势差霍尔电势差 nqb IB U H 霍尔系数霍尔系数 nq RH 1 指向电势指向电势高高的表面时，的表面时，电流由电流由正正 电荷运动形成。（电荷运动形成。（空穴型空穴型半导体）半导体） ）（BI 指向电势指向电势低低的表面时，的表面时，电流由电流由负负 电荷运动形成。（电荷运动形成。（电子型电子型半导体）半导体） ）（BI 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 dt d 动生动生电动势电动势 感生感生电动势电动势自感自感电动势电动势互感互感电动势电动势 l dBV

52、b a )( 条件条件： 与 无关B t 适用适用求一段求一段运动运动 直棒直棒上的上的 l dE 感 条件条件：直棒：直棒静止静止 适用求一段适用求一段静止静止 直棒直棒上的上的 SL Sd t B l dE 感 （感生电场（感生电场 与与 遵循遵循左左手螺旋关系）手螺旋关系） 感 E t B )(LI dt d L I L SdBN S )( 121 MI dt d 2 12 1 21 II M 21221 SdBN S 12112 SdBN S 适合求适合求回回路路 上产生的上产生的 回路 在匀强磁场中，导线在匀强磁场中，导线 ， ， OMN整体可绕整体可绕O O点在垂直点在垂直 于磁场的平面内逆时针转动，如图，若转于磁场的平面内逆时针转动，如图，若转 动角速度为动角速度为，求：，求： OM间电势差间电势差 ON间电势差间电势差 O、M、N哪点哪点 电势最高？电势最高？ x x x x x x x x x x x