第四章 层流、湍流与湍流流动

1、第四章 层流、湍流与湍流流动 4.1 流动的两种状态 4.2 层流流动的定解问题 4.3 流动问题求解方法 4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解 4.5 湍流 4.6 可压缩流体流动 4.1 流动的两种状态 18831883年雷诺实验年雷诺实验 结论：当流速不同时，流体质点的运动可能有两种完全不同的形式。结论：当流速不同时，流体质点的运动可能有两种完全不同的形式。 层流：规则的层状流动，流体层与层之间互不相混，质点轨迹为平滑层流：规则的层状流动，流体层与层之间互不相混，质点轨迹为平滑 的随时间变化较慢的曲线。的随时间变化较慢的曲线。 湍流：无规则的运动方式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化，流体

2、微湍流：无规则的运动方式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化，流体微 团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动，与周围流团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动，与周围流 体混掺，随机、非定常、三维有旋流。体混掺，随机、非定常、三维有旋流。 层流层流湍流转变：临界速度。湍流转变：临界速度。 速度速度 发生转变，除此之外，发生转变，除此之外， 、L L、也对转变时机构成影响。也对转变时机构成影响。 所以，定义无量纲特征数：所以，定义无量纲特征数： 临 vv Re 衡量流动状态衡量流动状态 ： 流体粘性对流动状态有何影响？流体粘性对流动状态有何影响？ 粘性对扰动有耗散的作用，保证低粘

3、性对扰动有耗散的作用，保证低ReRe下层流的稳定。下层流的稳定。 在边界层内，粘性作用使流体内产生较高的速度梯度，产生有旋，粘在边界层内，粘性作用使流体内产生较高的速度梯度，产生有旋，粘 性力小于惯性力不能阻止其湍流化。性力小于惯性力不能阻止其湍流化。 uL Re 54 1023106 23002100 . Re 边界层流： 光滑管流： 临 4.2 层流流动的定解问题 求解实际流体的流动问题应用连续方程和运动方程。对于不可压缩及求解实际流体的流动问题应用连续方程和运动方程。对于不可压缩及 粘性为常量的情况下方程组封闭。否则，需补充状态方程、温度场方粘性为常量的情况下方程组封闭。否则，需补充状态

4、方程、温度场方 程等。我们首先分析定解条件。程等。我们首先分析定解条件。 1 1 初值问题：初值问题： 非稳态问题需给出初始时刻值：非稳态问题需给出初始时刻值： 2 2 边值问题（边界值）：边值问题（边界值）： 固体壁面无渗透、无滑移边界条件贴近固体壁面处一层流体的速固体壁面无渗透、无滑移边界条件贴近固体壁面处一层流体的速 度与固体壁面保持相对静止：度与固体壁面保持相对静止： zyx, 0 zyxtvzyxtv w w t , ：固体壁面的切线速度。：固体壁面的切线速度。 在与固体边壁垂直方向上，流体不能穿透而进入固体之内，即：在与固体边壁垂直方向上，流体不能穿透而进入固体之内，即： 对称边值

5、条件。对称边值条件。 对称面：物理量在对称面上的变化率为零。对称面：物理量在对称面上的变化率为零。 w v 0 w n zyxtv, 如：管道流中坐标选在管道中心线上时：如：管道流中坐标选在管道中心线上时： 0 0 r r 出入口边值条件。出入口边值条件。 入口：入口： （给定）（给定） 出口：已知或单方向无影响。出口：已知或单方向无影响。 zyxtzyxt in , 0 4.3 流动问题求解方法 数值法，近似逼值 确解解析法，积分变换求精 初值条件 边值条件 控制方程 4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解 1.1.两平行平板间的等温层流流动（两平行平板间的等温层流流动（P68P68） 两无

6、限大平板，其一静止，其二以两无限大平板，其一静止，其二以 速度匀速运动，流体为等温、速度匀速运动，流体为等温、 不可压层流流动不可压层流流动( ( = =常数常数) )求稳定后的速度场分布。求稳定后的速度场分布。 定解问题：实际流体定解问题：实际流体 两平面无限大两平面无限大稳定态稳定态 0 v 连续性方程连续性方程 ： 运动方程运动方程 X X方向：方向： Y Y方向：方向： 边值条件：边值条件： x v x + y v y =0 22 22 1 xxxx xy vvvvp vv xyxxy 22 yyyy y 22 1 x vvvv p vvg xyyxy 0 0 0 0,0 ,0 xy

7、y y xy y h y h vv vvv 定解问题简化定解问题简化 平板无限大，不同平板无限大，不同x x处任意截面上速度分处任意截面上速度分 布相同布相同 2 2 0 xx vv xx xx vdv ydy 据连续性方程：据连续性方程：0 y v y 设：设： 代入边值：代入边值： y vfx 00 0 yy yyy h vf xv 0 y v 变动量方程为：变动量方程为： X X方向：方向： Y Y方向：方向： 2 2 1 0 x vp xy 1 p g y 简化后的方程为：简化后的方程为： 则得：则得： 由边界条件：（由边界条件：（y=0y=0时，时，y=hy=h时）时） ， 代入得：

8、代入得： 2 1 2 1 x d vp C xdy 2 1 2 x C vyDyB 0B 0 1 2 vp Dh hx 2 00 1 2 x vyhp yy vhvx hh 讨论：讨论： 无压力下流动无压力下流动 ，速度分布为一直线，速度分布为一直线 ，压力梯度使流体加速，压力梯度使流体加速， 0 0 x vdPy dxvh 0 P d dx 10 y h 第二项为正，第二项为正， 增大，向前突出增大，向前突出 x v ，压力梯度使流动减速，可能有部分返流。，压力梯度使流动减速，可能有部分返流。 0 P d dx 圆管内的层流流动（圆管内的层流流动（P71P71） 不可压流体，在长为不可压流体

9、，在长为L L，半径为，半径为R R的圆管内做充分发展的稳态层流，的圆管内做充分发展的稳态层流， 求管内速度分布及沿程阻力。求管内速度分布及沿程阻力。 定解问题：定解问题： 圆管中心对称圆管中心对称 二维问题二维问题 连续方程：连续方程： 动量方程动量方程： 1 0 z r v rv rrz X X方向：方向： Y Y方向：方向： 边值条件：边值条件： 2 2 11 rrr rzr vvvp vvrv rzrr rrz 2 2 11 zzzz rzz vvvvp vvgr rzzrrrz 0 0,0 z z r R r v v r 0 0,0 r r r R r v v r 问题简化：设问题简

10、化：设L L为足够长为足够长无限长，流动达到稳态后速度分无限长，流动达到稳态后速度分 布与布与z z无关无关 0 z v z 2 2 0 z v z 0 r v r r方向：方向： z z方向：方向： 1 0 p r 11 0 z z vp gr zrrr 11 z z vdp gr dzrrr 1 z z dpv gr dzrrr 0 L dppp dzL 1 z dp gC dz 1 1 () z v Cr rrr 1 z Cdv rr rdr 2 1 2 z Cdv rrA dr 记：记： ， （3）简化后方程的解：）简化后方程的解： 由上式由上式 积分一次得：积分一次得： r=0r=0

11、时，时， 00 z dv A dr 1 2 z Cdv r dr 再积分再积分 2 1 4 z C rvB r=Rr=R时，时， =0 ,=0 ,将将 替换替换z v 2 1 4 C BR 1 z dp Cg dz 1 C 0 22 4 L z z pp g L vrR 22 0 2 1 4 L zz ppRr vg LR 讨论讨论 水平管道：水平管道：gzgz=0,=0, 水平管内最大速度：水平管内最大速度：r=0r=0时：时： max=max= 截面的平均速度：截面的平均速度： 22 0 2 1 4 L z ppRr v LR 2 0 4 L ppR L 2 0 2 0 11 2max 8

12、2 R L z zz ppR vvrdrv RL 水平管内阻力：水平管内阻力： 摩擦阻力损失摩擦阻力损失: : 则：则： ：摩擦阻力系数：摩擦阻力系数 0 L hpp 22 2 864 22Re zzzLvLvLv h Rdd 250 31640 64 . Re . Re 光滑管湍流 光滑管流层 4.5 湍流 湍流脉动及其时均化湍流脉动及其时均化 流体在做湍流运动时，流体质点在运动中不断混掺，因此，诸如：速流体在做湍流运动时，流体质点在运动中不断混掺，因此，诸如：速 度、压力等物理量都不断随时间而变化，发生不规则的脉动现象。度、压力等物理量都不断随时间而变化，发生不规则的脉动现象。 以速度为例

13、，我们按图所示，以速度为例，我们按图所示， 可做如下处理：可做如下处理： 式中：式中： 为某时刻实际速度为某时刻实际速度 为时均速度为时均速度 为瞬态脉动速度为瞬态脉动速度 z zz uuu z u zu z u 则：则： 而：而： =0=0 同样有：同样有： 0 1 t z z uut dt t 0 1 t zz uut dt t PPP 湍流连续性方程湍流连续性方程 湍流流体仍满足连续性方程：湍流流体仍满足连续性方程： 0u t 如对方程做时均化可得：如对方程做时均化可得： 对于不可压流体：对于不可压流体： 上式说明，不可压湍流体的时均速度仍满足连续性方程。上式说明，不可压湍流体的时均速度

14、仍满足连续性方程。 3 3湍流流动的运动方程湍流流动的运动方程 湍流流动仍满足实际流体的运动方程，但同样，我们把握不住规律性。湍流流动仍满足实际流体的运动方程，但同样，我们把握不住规律性。 对于不可压缩流体：对于不可压缩流体：N NS S方程（以方程（以X X方向为例）取时均：方向为例）取时均： 0 ii i i uu tx 0u 0 y xz u uu xyz 222 222 2 xxxxxxx xyz yx xzx vvvvpvvv vvv txyzxxyz v v vv v xyz 后三项可写为：后三项可写为： 对照对流动量通量对照对流动量通量 , ,可以认为可以认为 是由于流体脉动所附

15、加的动量通量，是由于流体脉动所附加的动量通量， 定义其为雷诺应力，并据此假设（仿粘性力定义）：定义其为雷诺应力，并据此假设（仿粘性力定义）： ：湍流粘性系数：湍流粘性系数 则可引入有粘度系数：则可引入有粘度系数： ，并有，并有N NS S方程：方程： xjj x j xxj v v uu xj i ijijt j v vv x t efft xxxx xyz vvvv vvv txyz 222 222 xxz eff pvvv xxyz lt dv pg dt 4.4.普朗特混合长度模型普朗特混合长度模型 据分子运动论，气体分子杂乱无章的运动会产生粘性：据分子运动论，气体分子杂乱无章的运动会产

16、生粘性： L L：分子运动平均自由程，：分子运动平均自由程， ：分子运动平均速度：分子运动平均速度 普朗特据此提出，湍流粘性是由于杂乱无章的微团运动引起，形式上普朗特据此提出，湍流粘性是由于杂乱无章的微团运动引起，形式上 有：有： ：普朗特混合长度，：普朗特混合长度， ：微团脉动速度：微团脉动速度 进一步假设：进一步假设： 则，则， 1 3 Lv v tmt L v m L t v i tm j v vL x 2 i tm j v L x 如何求？经验式如何求？经验式 m L 5.5.光滑管中湍流光滑管中湍流 层流底层的流动层流底层的流动 由于厚度很小，假设速度分布为线性：由于厚度很小，假设速

17、度分布为线性： s dv dy 则：则： s vy 定义摩擦速度：定义摩擦速度： 则，速度分布方程为：则，速度分布方程为： 引入无量纲速度和距离：引入无量纲速度和距离： ； ，则有：，则有： 实验测定结果：实验测定结果： 为层流底层。为层流底层。 s v vv y v v v v v y y vy 5y 湍流中心速度分布：湍流中心速度分布： 设：设： 雷诺应力雷诺应力 ：距壁面距离，：距壁面距离， ：常数：常数 t ts Ll ky m 常量 ： y k 则：则： 2 2 t dv l dy 2 22 ts dv k y dy 则：据则：据 定义：定义： 积分得：积分得： 进一步令：进一步令：

18、 （将（将 变成变成 ） 得：得： 尼古拉兹结论：尼古拉兹结论： ，此时，此时， 。 如：如： ，则：，则： v s v dv vky dy 1 ln v yC vk 1 lnCC kv yy 1 ln v vyC vk 2.5ln5.5vy 30y 530y 11 63 2 55 5 . . ln. vy y vy 层流 6311.y 湍流 6311.y 4.6 可压缩流体流动 流动过程密度变化对运动的影响不可忽略。本节内容主要讲述气流动过程密度变化对运动的影响不可忽略。本节内容主要讲述气 体一维稳态等熵（可逆绝热过程）流动。体一维稳态等熵（可逆绝热过程）流动。 用途：喷枪，喷嘴设计用途：喷

19、枪，喷嘴设计 1 1一维等熵流动的运动方程一维等熵流动的运动方程 如过程阻力不计，如过程阻力不计， 据：据： ， 是是 质量体积质量体积 则：则： 积分得：积分得： 10 pp 2 1 2 v ddpd 1 0gdzdpvdv 1 0,dz 0dpvdv 11 vp vp vdvdp 流股与介质换热不考虑，则视该过程为绝热过程：流股与介质换热不考虑，则视该过程为绝热过程： ， ：气体绝热指数：气体绝热指数 ，空气的，空气的 将其代入积分式可得：将其代入积分式可得： 当当 时，由连续性方程，时，由连续性方程， 说明：说明： 减小，减小， 变大，直到变大，直到 止。止。 1 1 pp P V C

20、C 1.4k 1 2 11 1 1 2 1 1 p vvp p 1 AA 1 0v 1 1 1 1 2 1 1 p vp p p v 0 pp 2 2一维稳态等熵流动的基本特性一维稳态等熵流动的基本特性 由连续性方程：由连续性方程： 为截面面积。为截面面积。 将速度式及代入上式：将速度式及代入上式： 1 11xxx GAvA v x xx G A v A 1 1 1 x x p p 21 11 11 2 1 x xx G A pp p pp 分母极大时，分母极大时， 有极小，以有极小，以 为自变量求导可得，分母有极大为自变量求导可得，分母有极大 值的条件是：值的条件是： 此状态用下标此状态用下

21、标C C表示，并据此定义临界界面和临界压力：表示，并据此定义临界界面和临界压力： ： 将上式代入速度式：将上式代入速度式： 临界速度临界速度 x A 1x pp 1 1 2 1 x pp , cc P A 1 1 2 1 c pp 2 11 1 22 11 c vpRT u v cccc vpRT 相等说明压缩气体流出时临界速度为该条件下音速。相等说明压缩气体流出时临界速度为该条件下音速。 可压缩性气体流出特点：可压缩性气体流出特点： 流出后流出后 为止为止 流出气体流股截面有极小值流出气体流股截面有极小值临界截面，对于空气临界截面，对于空气 ， 此时气体速度达到音速此时气体速度达到音速 产生音速流速条件，原始气体压力等于或超过外部介质压力两产生音速流速条件，原始气体压力等于或超过外部介质压力两 倍以上（空气）。倍以上（空气）。 M 287RJ kg K 空气 s p vpRT , cs v v 0 ,PvP 1.4k 1 11 21 12 cc PPPP 11 p p d dp vs 另据音速 R M R 1000 -摩尔质量摩尔质量 3 3。