第四章弯曲应力

1、第四章第四章 梁的应力梁的应力 梁的横截面形式：梁的横截面形式： 梁的内力回顾梁的内力回顾剪力和弯矩剪力和弯矩 内力两个分量：内力两个分量：剪力和弯矩剪力和弯矩 剪力：剪力：与横截面相切的与横截面相切的 内力内力FS称为横截面称为横截面II 上的剪力，它是与横截上的剪力，它是与横截 面相切的分布内力系的面相切的分布内力系的 合力。合力。 弯矩：弯矩：内力偶矩称为横内力偶矩称为横 截面截面II上的上的弯矩弯矩。它。它 是与横截面垂直的分布是与横截面垂直的分布 内力系的合力偶矩。内力系的合力偶矩。 FSFS 4-4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 横弯曲横

2、弯曲梁的横截面上同时存在梁的横截面上同时存在 剪力和弯矩的弯曲。剪力和弯矩的弯曲。 纯弯曲纯弯曲FS = 0，M = 常数的常数的 弯曲问题。弯曲问题。 纯弯曲：纯弯曲： FS 观察与分析实验现象观察与分析实验现象 （2）横线：横线：仍是直线，与纵线正交，只是发生相对转动。仍是直线，与纵线正交，只是发生相对转动。 （1）纵线：纵线：变为曲线，且平行，一侧伸长，另一侧缩短。变为曲线，且平行，一侧伸长，另一侧缩短。 平面假设平面假设梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于 变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个

3、角度。 假设假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力 作用。作用。 中性层：中性层：梁弯曲后，其纵向层一梁弯曲后，其纵向层一 部分产生伸长变形，另一部分则部分产生伸长变形，另一部分则 产生缩短变形，二者交界处存在产生缩短变形，二者交界处存在 既不伸长也不缩短的一层。既不伸长也不缩短的一层。 中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。 dx的微段：的微段：x轴沿梁的轴轴沿梁的轴 线线，y轴与横截面的对称轴与横截面的对称 轴重合，轴重合，z轴为中性轴轴为中性轴。 y d ddy )( 1几何方面几何方面 正应力公式推导正应力

4、公式推导 则距中性轴为则距中性轴为y处的纵向处的纵向 层层a-a弯曲后的长度为弯曲后的长度为 （+y)d，其纵向正应，其纵向正应 变为变为 2物理关系物理关系 E 于是有于是有y E 式中式中E、均为常数，上式表明：均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上任一纯弯梁横截面上任一 点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成正比。即成正比。即 正应力沿着截面高度按线性分布。正应力沿着截面高度按线性分布。 梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层 之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点处于单向应之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点

5、处于单向应 力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律 3静力关系静力关系 AdN A AdyM A z 在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩Mz，而轴力，而轴力N零。零。 横截面上所有微面积上的力将组成：横截面上所有微面积上的力将组成： A ydA E N 0S E ydA E z A AyydAS c A z 称为截面对称为截面对z轴的静矩。轴的静矩。 因为因为E/0，故，故Sz=0。表明：。表明：中性轴中性轴z通过截面形心通过截面形心。 E y y A MzdA 0 0 M 2 z A E My dA z I yM 2 A E y

6、 dA z E I M A 2 z dAyI 称为截面对称为截面对z轴的轴的惯性矩惯性矩。 z I yM 1、的正负号：的正负号：拉应力为正，压应力为负。拉应力为正，压应力为负。 2、公式适用于纯弯曲，也适用于横弯曲正应力。、公式适用于纯弯曲，也适用于横弯曲正应力。 说明：说明： 3、惯性矩的计算：、惯性矩的计算： zzmax WI / y max max z M y I 弯曲截面系数弯曲截面系数 max z M W z EI M 1 EIZ称为截面的称为截面的弯曲刚度弯曲刚度。 惯性矩惯性矩 dAyI z 2 dAzI y 2 o z y dA 面积面积A z y 惯性矩的性质：惯性矩的性质

7、： （1）惯性矩为正，即）惯性矩为正，即,I z 00 y I pyz III （2）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之和等于）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之和等于 极惯性矩极惯性矩 Ip 值值 （3）组合图形惯性矩为各个子图惯性矩之和）组合图形惯性矩为各个子图惯性矩之和 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 例题例题 圆截面的惯性矩圆截面的惯性矩 设圆截面直径设圆截面直径D，则圆方程为，则圆方程为 4 2 22 D zy 64 4 2 0 0 222 2 D d d )(cosdAzI D y z y dA d siny cosz 64 4 2

8、 0 0 222 2 D d d )(sindAyI D z d d dA 对于对于矩形截面：矩形截面： （宽度为（宽度为b、高度为、高度为h ） 12 bh I 3 z 圆截面圆截面： 4 z d 64 I 空心圆截面空心圆截面： （内径为（内径为d，外径为，外径为D ） 4 4 z 1 64 D I D d 轧制型钢（工字钢、槽钢等）可从型钢表中查得。轧制型钢（工字钢、槽钢等）可从型钢表中查得。 弯曲应力例题弯曲应力例题 例例 简支梁简支梁 求：求： （1 1）1 11 1截面上截面上1 1、2 2两点的两点的 正应力；正应力； （2 2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力； （

9、3 3）全梁的最大正应力）全梁的最大正应力； （4 4）已知）已知 E E = 200 GPa= 200 GPa，求，求 1 11 1截面中性层的曲率半径。截面中性层的曲率半径。 q=60kN/m A B 1m2m 1 1 12 120 180 z y 30 M x + 8 2 qL M1Mmax kNm5 .678/ 2 max qLM 45 3 m10832. 5 12 bh Iz 34 max m1048. 6/ yIW zz MPa7 .6110 832. 5 6060 5 1 21 z I yM 2 2 求应力求应力 解：解：1 1 画画 M M 图求有关弯矩图求有关弯矩 kNm60

10、) 22 ( 1 2 1 x qxqLx M 12 120 180 z y 30 q=60kN/m A B 1m2m 1 1 MPa6 .9210 48. 6 60 4 1 max1 z W M m4 .19410 60 832. 5200 1 1 M EI z MPa2 .10410 48. 6 5 .67 4 max max z W M 3 3 求曲率半径求曲率半径 z EI M 1 EIZ称为截面的称为截面的弯曲刚度弯曲刚度。 弯曲强度条件及其应用弯曲强度条件及其应用 细长梁细长梁：进行强度计算时：进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响。主要考虑弯矩的影响。 I yM z maxmax ma

11、x 如果研究对象：是如果研究对象：是等截面直梁等截面直梁，材料的拉、压强，材料的拉、压强 度相等，则：度相等，则： max max z W M 危险截面危险截面：最大弯矩所在截面；：最大弯矩所在截面； 危险点危险点：危险截面上距中性轴最远的点。：危险截面上距中性轴最远的点。 强度条件强度条件可表达为：可表达为： max z z y I W 称为称为抗弯截面系数抗弯截面系数，其量纲为，其量纲为长长 度度3。国际单位用。国际单位用m3或或mm3。 6 bh 2h 12 bh W 2 3 z 对于对于矩形截面矩形截面： 圆截面圆截面： 32 d 2 d d 64 W 3 4 z 空心圆截面空心圆截面

12、： 4 3 4 4 z 1 32 D 2 D 1 64 D W D d 轧制型钢（工字钢、槽钢等）可从型钢表中查得。轧制型钢（工字钢、槽钢等）可从型钢表中查得。 1、强度校核；、强度校核； 2、截面设计；、截面设计； 3、和许用载荷计算。、和许用载荷计算。 对于由对于由脆性材料脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和制成的梁，由于其抗拉强度和 抗压强度相差甚大，所以要对最大抗压强度相差甚大，所以要对最大拉拉应力点和最大应力点和最大 压压应力点分别进行校核。应力点分别进行校核。 I yM z maxmax max 根据上式，可以解决三类强度问题，即根据上式，可以解决三类强度问题，即 cc yz I,I

13、已知：已知： yz I ,I 计算：计算： 11 yyazzb o C(zc, yc) z y a b dA 1 z 1 y 面积A 平行移轴公式：平行移轴公式： 2 z 2 1 Iy dA ( ya ) dA 同理同理 AbII c yy 2 o C(zc, yc) z y a b dA 1 z 1 y 面积A 22 11 y dA2ay dAadA c 2 zc I2a yAa A c 2 z Ia A 1 1 yya zzb 例例 题题 矩形矩形1 12 3 1 th I z thA 1 矩形矩形2 12 3 2 bt I z tbA 2 已知组合截面尺寸：已知组合截面尺寸： mmbmm

14、hmmt100,140,20 计算截面对轴计算截面对轴 zc 的惯性的惯性 矩矩 b t h t z2 z1 zc C1 C2 C y s 以（以（z2, y)为基准坐标，则为基准坐标，则 21 2211 AA AyAy sy cc c 2 0 12 ht y ,y cc 确定移轴量（确定移轴量（a, b) 矩形矩形1到到 zc 轴的距离轴的距离: 1 th as 22 矩形矩形2到到 zc 轴的距离轴的距离: 2 as 由平行移轴定理由平行移轴定理 1 2 1 )1( 1 AaII zz 矩形矩形1对对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩: 矩形矩形2对对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩: 2 2 2 )2

15、( 2 AaII zz 整个截面的惯性矩：整个截面的惯性矩： )2()1( zzz III b t h t z2 z1 zc C1 C2 C y s 例例2 2 外伸梁外伸梁 T形梁截面，用铸铁制成，形梁截面，用铸铁制成， mmymmymmI z 60,140,100 . 4 21 47 MPaMPa ct 100 ,35 校核梁的强度。校核梁的强度。 C y2 y1 2m q=10kN/m A D B E P20kN 2m2m 解：解： （1 1）梁的内力分析，找出危险截面梁的内力分析，找出危险截面 q=10kN/m A D B E P20kN 5kN 35kN A D B E 10kN*m

16、 20kN*m (-) (+) 计算反力计算反力 画弯矩图：画弯矩图： 危险截面：危险截面： B, D？ 2m2m2m （2 2）找出危险截面上的危险点找出危险截面上的危险点 危险点：危险点： a, b, d C y2 y1 A D B E 10kN*m 20kN*m (-) (+) B截面截面D截面截面 压应力压应力 拉应力拉应力 a b e d 拉应力拉应力 压应力压应力 y I M z （3 3）计算）计算危险点应力危险点应力 校核强度校核强度 （拉）（拉）MPa I yM z B a 30 2 （压）（压）MPa I yM z B b 70 1 （拉）（拉）MPa I yM z d d

17、 35 1 最大压应力：最大压应力： 70 maxcbc MPa 最大拉应力：最大拉应力： 35 maxtdt MPa 梁的强度符合要求梁的强度符合要求 B截面截面D截面截面 压应力压应力 拉应力拉应力 a b e d 拉应力拉应力 压应力压应力 4-5 梁横截面的切应力梁横截面的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 梁受横弯曲：横截面上既有正应力，又有切应力。梁受横弯曲：横截面上既有正应力，又有切应力。 正应力：对梁的强度和变形的影响属于主要因素。正应力：对梁的强度和变形的影响属于主要因素。 切应力：对梁的强度和变形的影响属于次要因素。切应力：对梁

18、的强度和变形的影响属于次要因素。 切应力的研究：不再用变形、物理和静力关系进行推导，切应力的研究：不再用变形、物理和静力关系进行推导， 而是在承认正应力公式的基础上，而是在承认正应力公式的基础上，假定切应力在横截面上假定切应力在横截面上 的分布规律，然后根据平衡条件导出切应力的计算公式。的分布规律，然后根据平衡条件导出切应力的计算公式。 1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力Fs 。 2）切应力沿截面宽度均匀分布。）切应力沿截面宽度均匀分布。 作如下假设：作如下假设： S F 1矩形截面梁矩形截面梁 理由：理由： 1）切应力成对定理，横线两端的切

19、应力必与截面两侧边相）切应力成对定理，横线两端的切应力必与截面两侧边相 切切。 2）由于对称的关系，横线中点处的切应力也必与）由于对称的关系，横线中点处的切应力也必与Fs的方向的方向 相同。相同。 3）因截面高度）因截面高度h大于宽大于宽 度度b，切应力的数值沿横，切应力的数值沿横 线不可能有太大变化。线不可能有太大变化。 4）基于上述假定得到的）基于上述假定得到的 解，与精确解相比有足解，与精确解相比有足 够的精确度。够的精确度。 S F S F S F 微块左右侧面上正应力的合力分别为微块左右侧面上正应力的合力分别为N1和和N2，其中，其中 * *1 1Iz zz AA MyM NdAdA

20、S II * *1 2IIz zz AA ( MdM )y( MdM ) NdAdAS II * * z1 A Sy dA x0 12 NNbdx0 * z z dM Sbdx0 I * z z SdM dx bI 因因 s dM F dx * sz z F S bI 对于矩形截面梁，可取对于矩形截面梁，可取dA=bdy1，于是，于是 h2 *2 2 z111 y A b h Sy dAby dy(y ) 24 2 2s z Fh (y ) 2I4 s max F3 2 A S F * sz z F S bI 2圆形截面梁圆形截面梁 1 s max F4 3 A 式中式中A=d2/4，即圆截面

21、的最大，即圆截面的最大 切应力为其平均切应力的切应力为其平均切应力的4/3倍。倍。 在圆形截面上，任一平行于中在圆形截面上，任一平行于中 性轴的横线性轴的横线aa两端处，切应力两端处，切应力 的方向必切于圆周，并相交于的方向必切于圆周，并相交于 y轴上的轴上的c点。因此，横线上各点。因此，横线上各 点切应力方向是变化的。但在点切应力方向是变化的。但在 中性轴上各点切应力的方向皆中性轴上各点切应力的方向皆 平行于剪力平行于剪力Fs，设为均匀分布，设为均匀分布， 其值为最大为其值为最大为 3工字形截面梁工字形截面梁 工字形截面梁由腹板和翼缘组工字形截面梁由腹板和翼缘组 成。在翼缘上切应力很小，在成

22、。在翼缘上切应力很小，在 腹板上切应力沿腹板高度按抛腹板上切应力沿腹板高度按抛 物线规律变化。最大切应力在物线规律变化。最大切应力在 中性轴上，其值为中性轴上，其值为 szmax max z F ( S ) dI 计算结果表明，腹板承担的剪计算结果表明，腹板承担的剪 力约为（力约为（0.950.97）Fs，因此，因此 也可用下式计算也可用下式计算max的近似值的近似值 s max 1 F h d 一般作法：先按正应力的强一般作法：先按正应力的强 度条件选择截面的尺寸，然度条件选择截面的尺寸，然 后按切应力强度条件校核。后按切应力强度条件校核。 szmax max z F ( S ) dI 弯曲

23、切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： 例例 外伸梁受力如图外伸梁受力如图a所示。梁由钢板焊接而成，截面所示。梁由钢板焊接而成，截面 尺寸如图尺寸如图d所示。已知所示。已知 120 60MPa MPa 试校核梁的强度。试校核梁的强度。 25 A R105 B RkN kN 25kNm 40kNm 解：解：1）求支座反力）求支座反力 并画内力图并画内力图 25 A R105 B RkN kN max M40 kNm max Q65 kN （2）计算截面的几何性质）计算截面的几何性质 82 20200220100 1002020021020100 C y )(mm1097. 3)1820200200

24、20 12 1 (2 )722010020100 12 1 ( 4723 23 z I 9 .118 1097. 3 1181040 7 6 max max max z I yM MPa 正应力满足强度要求正应力满足强度要求 （3）强度校核）强度校核 最大正应力发生在截面的下边缘处：最大正应力发生在截面的下边缘处： 沿沿B左 左截面的高 截面的高 度剪应力分布度剪应力分布 如图如图f所示，最所示，最 大剪应力发生大剪应力发生 在中性轴处，在中性轴处， * 35 zmax max max7 z Q( S ) 65102.7510 11.4 bI2203.9710 MPa * zmax 5 1 S

25、 )220118118 2 2.7510 （ （mm3） 4-6 梁的合理设计梁的合理设计 max max z W M 弯曲正应力是影响弯曲强度的弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素主要因素。 提高弯曲强度的措施主要是从提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑三方面考虑： 根据弯曲正应力的强度条件根据弯曲正应力的强度条件 1、减小最大弯矩；、减小最大弯矩； 2、提高抗弯截面系数；、提高抗弯截面系数； 3、提高材料的力学性能。、提高材料的力学性能。 1减小最大弯矩（三种方法）减小最大弯矩（三种方法） 如当集中力作用在简支梁跨如当集中力作用在简支梁跨 度中间时，其最大弯矩为度中间时，其最大弯矩为 Pl

26、4 1 是原最大弯矩的是原最大弯矩的0.56倍倍 Pl 36 5 6 l 当载荷的作用点移到梁的一侧，当载荷的作用点移到梁的一侧， 如距左侧如距左侧 时，则最大弯矩变时，则最大弯矩变 为为 1）改变加载的位置）改变加载的位置 pl 4 1 x M pl 36 5 M x 例如：例如：利用副梁把作用于跨中的集利用副梁把作用于跨中的集 中力分散为两个集中力中力分散为两个集中力,而使最大弯而使最大弯 矩降低为矩降低为 Pl 8 1 2）利用副梁）利用副梁 方法：方法：当载荷的位置不能改变时，当载荷的位置不能改变时， 可以把集中力分散成较小的力，或可以把集中力分散成较小的力，或 者改变成分布载荷，从而

27、减小最大者改变成分布载荷，从而减小最大 弯矩。弯矩。 利用副梁来达到分散载荷，减小最利用副梁来达到分散载荷，减小最 大弯矩是工程中经常采用的方法。大弯矩是工程中经常采用的方法。 pl 4 1 x M pl 8 1 x M 3）改变支座的位置）改变支座的位置 通过改变支座的位置来减小最大弯矩。通过改变支座的位置来减小最大弯矩。 x x M M 2 pl 8 1 2 pl 40 1 2 pl 50 1 门式起重机的大梁，锅炉筒体等，其支承点门式起重机的大梁，锅炉筒体等，其支承点 略向中间移动，都是通过合理布置支座位置，略向中间移动，都是通过合理布置支座位置， 以减小以减小 的工程实例。的工程实例。

28、 max M 2提高抗弯截面系数（两方面考虑）提高抗弯截面系数（两方面考虑） 在截面积相同的条件下，抗弯截面系数在截面积相同的条件下，抗弯截面系数 W愈大，愈大， 则梁的承载能力就愈高。例如对截面高度则梁的承载能力就愈高。例如对截面高度h大于宽大于宽 度度b的矩形截面梁的矩形截面梁: 梁竖放时梁竖放时: 2 1 6 1 bhW 梁平放时梁平放时: 2 2 6 1 hbW 所以竖放比平放有较高的抗弯能力。所以竖放比平放有较高的抗弯能力。 1）选用合理的截面形状）选用合理的截面形状 当截面的形状不同时，可以用比值当截面的形状不同时，可以用比值W/A来衡量来衡量 截面形状的合理性和经济性。常见截面的

29、截面形状的合理性和经济性。常见截面的W/A 值：值： 表明表明：材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形：材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形 等）比较经济合理。等）比较经济合理。 因为：因为：弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附 近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将 这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它们得到这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它们得到 充分利用，形成充分利用，形成“合理截面合理截面”。 工程中：工程中：吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形 截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板。截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板。 说明：说明：对于矩形，工字形等截面，增加截面高度虽对于矩形，工字形等截面，增加截面高度虽 然能有效地提高抗弯截面系数；但若高度过大，宽然能有效地提高抗弯截面系数；但若高度过大，宽 度过小，则在载荷作用下梁