9.1分式及其基本性质

1、9.1 分式及其基本性质1了解分式产生的背景和分式的概念，理解分式与整式概念的区别与联系2了解分式的定义，会求一个分式有意义、无意义、值为零的条件3理解分式的基本性质及其内涵要点，能灵活使用分式的基本性质实行分式的变形4增强数学的符号感，感受类比思想在数学中的巨大作用1分式(1)分式及有理式的概念一般地，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式，其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母分式是两个整式相除的一种表达方式，正如分数可看成两个整数相除的一种表达方式一样理解分式的概念还应弄清两个问题：一是分式是两个整式相除的商，那么分子就是被除式，分母就是除式，而分数线能够理解为除号，

2、还兼有括号作用；二是分式的分子能够含字母，也能够不含字母，但分式的分母必须有字母并且不能为0.整式和分式统称为有理式，即有理式整式和分式的区别在于分式的分母中含有字母所以，在判断一个代数式是否是分式时，只需看未化简的代数式的分母中是否含有字母即可【例11】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？，.解：分式有：，；整式有：，.分式是形式定义，判断一个代数式是否为分式，只看形式，不能看化简后的结果如虽然化简之后为y，但是是分式(2)分式有意义、无意义的条件分式的分母相当于除式中的除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即分式有意义的条件是分母b0；分式无意义的条件是分母b0.【例12】(

3、1)当x_时，分式有意义(2)当x_时，分式没有意义解析：(1)当x240，即x2时，分式有意义；(2)当x10，即x1时，分式没有意义答案：(1)2 (2)1使一个分式有意义或无意义，只看分母，可令分母等于零，列出方程，求出未知数的值，若使分式有意义则该字母不等于求出的数值，若使分式无意义则该字母等于求出的数值(3)分式值为零的条件分式值为零有两个条件：一是分子等于零，二是分母的值不为零两者必须同时满足，缺一不可【例13】已知分式的值是零，那么x的值是( )A1 B0C1 D1解析：由题意知，当x10，x10时，分式的值等于0，所以x1.故选C答案：Ca0，且b0时，分式值为0.2分式的基本

4、性质(1)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变即(a，b，m都是整式，且m0)(2)理解分式的基本性质的注意事项：性质中的a，b，m表示整式m0，因为字母取值是任意的，所以m有可能等于零，应用性质时应着重考查m值是否为零应用基本性质时，要充分理解“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误【例21】判断下列各式中从左边得到右边的变形是否准确(1)( )；(2)( )；(3)( )；(4)( )解析：(1)中的变换分子、分母不相同；(2)中的分子、分母同乘以字母c，但是题目中无法确定字母c是否为0，故不一定准确；(3)中的分式有意义，

5、隐含条件xy0，所以变换准确；(4)中的分子的变换与分母的变换不相同，不符合分式的基本性质，故错误答案：(1)错误 (2)错误 (3)准确 (4)错误解答这类问题，主要考虑三方面：(1)分子和分母是否实行了同样的乘除；(2)所同乘以(或同除以)的数(或整式)是否确保不为0；(3)变换前后分式的值是否发生了变化，只有值不变的才可能准确【例22】填空：(1)；(2)；(3)；(4).解析：(1)将分式的分母乘以xy，才能得到3x2y，所以只有分子也同乘以xy，分式的值才能不变；(2)根据分式的基本性质分子分母同时乘以(xy)，值不变，且最后结果的分子是xyx2；(3)分子分母同时除以xy；(4)分

6、子分母同时乘以(ab)答案：(1)xy2 (2)xy xy x22xyy2 (3)5x (4)ab ab a2b23分式的约分(1)约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分即约分时分式的分子和分母都同除以分子和分母的公因式(2)约分的方法：当分子、分母是单项式时，约去分子、分母的公因式；当分子、分母是多项式时，要先将分子、分母因式分解，将其转化为因式相乘的形式，然后实行约分；当分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边(3)最简分式分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式一个分式约分的结果应为最简分式或者整式【例3】约分：(1)；(2).

7、分析：(1)分子是一个完全平方式，能够分解，分母符合平方差公式的结构特点，也能够分解(2)分子、分母是多项式，要先将分子、分母因式分解，将其转化为因式相乘的形式，然后实行约分，还应注意分母中符号的处理解：(1).(2).(1)能熟练地分解因式，是实行约分的关键，一般一个一次多项式，不能提取公因式的话就不能再分解；二次二项式，且符号相反，每一项都是平方项，考虑用平方差公式分解；二次三项式，有两项是平方项，且符号相同，另外一项是两个底数积的2倍或者2倍的相反数，考虑用完全平方公式分解(2)切记约分是对于分子、分母是乘积形式时实行的变形，分子、分母不是乘积形式的不能实行约分诸如，都是错误的4分式有意

8、义、无意义的条件及分式值为零的条件的综合使用分式有意义、无意义的条件及分式值为零的条件的考查，常与绝对值、乘方等知识一起综合出题，特别是考查分式值为零的题目，在利用分子求出字母的取值后，一定要代入分母中实行检验，看是否使分母为零，把使分母为零的值舍去【例4】(1)如果分式的值为0，则a_；(2)若分式的值为零，则x的值为_解析：分式的值为零的条件是：分子等于零，且分母不等于零(1)由条件可得|a|20，且(a2)(a3)0，解得a2.(2)由条件可得x290，且x24x30，解得x3.答案：(1)2 (2)35分式的求值由已知条件，根据分式的基本性质，适当把分式实行变形，然后把已知条件代入变形

9、后的分式，来求分式的值若是已知条件是分式的形式，常常把要求值的分式的分子、分母同除以一个适当式子实行变形，使要求值的分式出现已知的形式有的还要把已知条件变形【例5】已知3，求的值分析：由已知条件可知y0.利用分式的基本性质，用y2去除待求式的分子与分母，再将其变形，使之出现条件式，把3代入即可求解解：由题意可知y0，3，所以.6分式基本性质的灵活使用分式的变形是多样的，但无论哪一种变形，其依据都是分式的基本性质分式基本性质的应用主要有以下几种情况：(1)分式的分子、分母改变符号的问题分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变它是处理分式的分子、分母和它本身的符号问题的主要

10、依据，在使用时，能够分为以下三种情况，分列为三条法则：分式的分子、分母同时改变符号，分式的值不变；分式的分子、分母中有一个改变符号，仅当分式本身的符号也改变，分式的值不变；分式的本身若改变符号，仅当分子、分母中的一个也改变符号，分式的值不变例如，根据有，；根据和，有，.应用这个法则时，应注意：当分子、分母是多项式时，它们的第一项的符号并不一定是分子或分母的符号所以应注意添括号法则的应用如把分式的分子、分母的最高次项的系数化为正数时，应有添括号的步骤，再应用法则，同时改变分子及分式本身的符号，则分式的值保持不变，即.又如.把分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数的一般方法是：先将分子、分母降幂

11、排列；若分子(或分母)的最高次项的系数是负数，则将整个分子(或分母)放入带有“”的括号内(注意：放入括号内的各项都要变号)；再根据分式的符号变化法则调整即可(2)分式中系数化整问题把分式中的分子、分母的各项系数化为整数，只要找各项系数的最小公倍数即可(3)分式中字母倍增问题当分式中的字母有倍数变化时，要分别观察分子、分母的倍数变化，方可探究整个分式的变化【例61】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号：(1)；(2)；(3).分析：由分式的基本性质可得，分式的分子、分母以及分式本身的符号改变其中的任何两个，分式的值不变(1)需将分子的负号去掉，则分式本身的符号要改变；(2)只改变分母

12、的符号，则分式本身的符号也要改变；(3)同时改变分子和分母的符号，分式本身不改变符号解：(1).(2).(3).【例62】下列各式从左到右的变形准确的是( )A BC D解析：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母扩大相同的倍数，不能漏乘分子、分母中的任何一项，故B项错误同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变其中的两个符号其值才不变，故C，D两项也错误A项是分式的分子、分母都乘以2得到的，是准确的故选A答案：A【例63】不改变分式的值，把分式中的分子、分母的各项系数化为整数，并使次数最高项的系数为正数分析：分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数是12

13、，利用分式的基本性质，分式的分子、分母同乘以12，得，再利用分式的符号变化法则，改变分式及分式分子的符号，结果不变解：分式中的分子、分母同时乘以12，得.分式本身及分式分子的符号都变为“”，得.【例64】若分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则此分式的值( )A不变 B扩大为原来的3倍C缩小为原来的 D缩小为原来的解析：当x，y都扩大为原来的3倍时，分母xy的值相对应地扩大为原来的9倍，分子x2y相对应地扩大为原来的3倍，故分式的值缩小为原来的.具体化简过程如下：.答案：C7分式的实际应用分式的知识在现实生活、经济生活及生产实际中都有广泛应用主要是利用分式表示现实情境中的数量关系，同时它也是表示现实世界一类量的数学模型，解答的关键是认真审题，找到题目中的数量关系，列出分式解答相关分式的应用题时，要记住常用的几个数量关系，如工作效率与工作时间和工作量之间的关系，路程、速度、时间之间的关系等再者要明确常用图形的面积、体积公式及公式变形【例7】如图，在一幅矩形风景画四周镶有宽度相同的木条，风景画的长为a cm，设四周木条的宽为x cm.整幅风景画(包括四周木框)的矩形面积是S