高中数学教学论文：函数新视点：谈三次函数为背景的不等式问题

1、函数新视点：谈三次函数为背景的不等式问题【摘 要】 导数进入高中数学教材，使函数研究的范围也随之扩大特别是以三次函数为背景的不等式问题正成为考试中的新亮点，以构造三次函数解决不等式问题、求三次函数中含参变量的取值范围、以三次函数形式下构筑二次函数问题等为突出，形成考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的综合题，因此它应是高考复习的一个重点探索三次函数的性态和解题规律与方法成为必要本文就以下三个方面进行了论述：1、构造三次函数背景，转化问题解决策略；2、运用三次函数的性态，求解含参变量范围；3、利用三次函数背景，构筑二次函数问题综观函数、不等式、数列、解析几何为一体的三次函数问题正成为高考的新热

2、点，这类题考查学生的综合素质，凸现数学潜能【关键词】三次函数不等式构造单调性极值点取值范围导数进入高中数学教材，赋予函数以新的活力，使函数研究的范围也随之扩大由于三次函数的导数为二次函数，它交汇了函数、不等式、方程、数列等众多知识，因此以三次函数为载体的试题层出不穷特别是以三次函数为背景的不等式问题正成为考试中的新亮点，这类问题背景新颖独特，选拔功能强，以构造三次函数解决不等式问题、求三次函数中含参变量的取值范围、以三次函数形式下构筑二次函数问题等为突出，形成考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的综合题它较好的体现了课本知识内容与能力要求的关系，具有较好的区分度和选拔功能，因此它应是高考复习

3、的一个重点下面就相关试题进行解析，旨在探索三次函数的性态和解题规律与方法1构造三次函数背景，转化问题解决策略 问题解决的策略选择，是学习数学的重要环节，是学生思维能力的重要体现在各类考试中，占据着特殊的地位构造三次函数的背景，利用三次函数的导数大于零或小于零来判断的三次函数的单调性，从而解决问题例1 解不等式：解：设，因为，所以在上单调递增函数原函数等价于，所以解得：例2 已知数列满足，且（）证明 ； （）比较的大小；（）是否存在正实数，使得，对一切恒成立？若存在，则求出的取值范围，否则说明理由解：（）设，则当时， 所以在为增函数，由知， 以下可用数学归纳法证明 （）因为，所以 ，即 （） 对

4、恒成立 由（2）知所以为递增数列 所以，对恒成立2运用三次函数的性态，求解含参变量范围根据二次函数图象与性质的图表，类似地得出三次函数图象与性质的图表：三次函数三次函数的导函数的判别式三次函数的简图方程的实根三实根两实根两实根一实根一实根不等式的解集不等式的解集函数的极值有极大值,极小值无极值函数的单调性单调递增区间，单调递减区间单调递增对称中心奇偶性当时,为奇函数上述图表，例举了三次函数的图象与性质，把函数、求导数、可导函数与其单调性的关系，二次函数的性质以及不等式的解法集合在一起以三次函数为背景的问题，考查知识的综合应用能力、分析推理能力，涉及函数思想、方程思想、分类讨论及数形结合等思想方

5、法，把知识点、能力融入新课程改革中去充份理解上述图表，以下问题可以迎刃而解了，如：例3、如下图，已知，记，则当且时，的图像可能为（考试报2008.04.08. 2008年高考模拟试题（一） （ ）此题显然c为正确答案cabd 例4、设为实数，函数（1）求的极值；（2）当为何值方程恰有两个实数根。（2006年福福州4月检测题高中数学总复习导与练，学生用书p20）解：（1）令得又因为当时，；当时，；当时，所以的极小值为；的极大值为（）因为在上单调递减，且当时，又在上单调递减，且当时，而，即函数的极大值大于极小值，所以，当极大值等于时，极小值小于待添加的隐藏文字内容2此时曲线与x轴恰有两个交点，即方

6、程恰有两个实根，所以；当极小值等于时，极大值大于，此时曲线与x轴恰有两个交点，所以综上，当和时方程恰好有两个实数根（如图）1(a=2)1(a= -2)例5、已知函数的图象与函数的图象相切，（1）求实数的值以及函数的极值（2）若关于的方程恰有三个不同的实数根，求实数的值。（高中数学总复习导与练，学生用书p20）解：（）依题意知，在切点处有，得，所以函数的图象与图象的切点为，则，于是，故，令，得或，列表如下： x+00+递增极大值递减极小值递增由上表可知：在处取得极大值，在处取得极小值y=k2（）根据上表可画出函数的大致图象，如图，由图象可知：当的图象与直线有三个不同交点时，关x于的方程恰有三个不

7、同的实数根此时实数的取值范围是例6 若函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，求的范围(2004全国卷文科)解：令得或 （1）当时，函数在上为增函数，不合题意，舍去 （2）当时，函数在上为增函数，在上为减函数；在上为增函数，由题意得，故的范围是例7 已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为（）求的值；（）求证：；（）求的取值范围( 2003-2004年高考数学仿真试题)解：()，在上是增函数，在上是减函数当时，取到极大值，（），的两根分别为，函数在上是减函数，（）是方程的三个根，可设， 例8 设函数 （a、b、c、dr）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值 （）求a、b、c

8、、d的值；（）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； （）若时，求证：.（江苏省高三数学适应性考试）解：（）函数图象关于原点对称，对任意实数，即恒成立 ，时，取极小值，解得 （）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，则由知两点处的切线斜率分别为，且（*）、，此与（*）相矛盾，故假设不成立.证明（），或，上是减函数，且 在1，1上，时，（2004重庆理科）设函数 （）求导数；并证明有两个不同的极值点；（）若不等式成立，求的取值范围 （2004浙江文科）已知为实数，（）求导数；（）当，求在上的最大值和最小值；（）若在上单调递增的，求的取值范围 3利用三次函数背景，构筑二次函数问题例9 设曲线在点处的切线斜率为，且，对一切实数，不等式恒成立（）求的值；（）求函数的表达式例9就是函数题（二次函数的图象经过点且对一切的实数均成立，求函数的解析式）的基础上设制了三次函数的背景，而问题的本质没能变化利用三次函数背景来构筑二次函数问题，突出了二次