第二章 生命表函数与生命表构造

1、第二章 生命表函数与生命表构造第一节 生命表函数一、生存函数1、 定义： 2、 概率意义：新生儿能活到 的概率3、 与分布函数的关系： 4、 与密度函数的关系： 二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记 ），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作t(x)。2、剩余寿命的分布函数5、 ： ，它的概率意义为： 将在未来的 年内去世的概率，简记 3、剩余寿命的生存函数： ，它的概率意义为： 能活过 岁的概率，简记 特别：（1） （2） （3） （4） ： 将在 岁与 岁之间去世的概率4、 整值剩余寿命（1）定义： 未来存活的完整年数，简记 （2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿

2、命： 剩余寿命的期望值（均值），简记 （2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值（均值），简记 （2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义： 的人瞬时死亡率，记作 2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记 为剩余寿命 的分布函数， 为 的密度函数，则第二节 生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de moivre模型（1729）2、gompertz模型（1825）3、makeham模型（1860）4、weibull模型（1939）二、生命表的起源 1、参数模型的缺点 （1）至今为

3、止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。2、生命表的起源 （1）生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,jone graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。1693年，edmund halley,根据breslau城出生与下

4、葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把halley称为生命表的创始人。（3）生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法） 三、生命表的构造1、原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）2、常用符号（1）新生生命组个体数： （2）年龄： （3）极限年龄： （4） 个新生生命能生存到年龄 的期望个数： （5） 个新生生命中在年龄 与 之间死亡的期望个数： 特别，当 时，记作 （6） 个新生生命在年龄 与 区间共存活年数： （7） 个新生生命中能活到年龄 的个体的剩余寿

5、命总数： 四、选择与终极生命表1、选择-终极生命构造的原因（1）需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。（2）需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失2、选择-终极生命表的使用第三节 有关分数年龄的假设一、使用背景生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况 二、基本原理插值法三、常用假定1、均匀分布（uniform distribution）假定:(线形插值)2、恒定死亡效力（constant force）假定（几

6、何插值）3、balducci假定（调和插值）四、三个假定下的生命表函数函数均匀分布假定恒定死亡效力假定balducci假定1.用附录2示例生命表及有效年利率6%，计算现龄50岁人在20年后活着时应付额1000的精算现实值。2.在上题条件下，计算50岁时1000到70岁时的精算积累值 。3.证明并解释一下关系式4.在每一年龄死亡平均分布下的假设下，用示例生命表及有效年利率6%计算（1） .（2）x=20,50,80时的 提示：用（3.3.6）及（2.3.2）5.用第4题得到的值计算下列现实值随机变量的标准差与变量系数/。（1）在20岁，50岁，80岁生效的个人终身生存年金，每年数额1000连续支

7、付。（2）一组生存年金共1800份，每份都在50岁生效，年金额1000连续支付。6.证明 可表示成，其中 基于利息效力2。7.计算 。8.如采用决定性（比率函数）观点，连续生存年金可从（3.3.26）出发： .（1） 用积分因子 解以上微分方程式得出（3.2.1）。（2） 用积分因子 得出方程并作一个解释。9.定义 并写出与（3.3.21）（3.3.24）相似的有关 公式。10.证明 11.证明并解释以下关系（1） .（2） .12.从（3.4.11）出发导出（3.4.32）。13.公式是否正确？如不正确，请予以纠正。14.考虑,其中k是（x）的整值剩余寿命， 当 ， j=0,1,m-1,s=

8、t-k，用第二章习题15证明（1） .除 情况（概率为0）外， .这里方括号表示最大整数部分。15.在每个年龄中假定 h=0,1.,m-1,验证.16.写出（3.5.15）及（3.5.15）的传统近似公式，并用（3.5.8）予以验证。17。证明与（3.5.3）相似的期末年金公式，并在每一个年龄死亡均匀分布的假设下，得出.18.证明与（3.5.4）相似的期末年金公式.并在每个年龄死亡均匀分布的假设下，得出，其中 .19.在每个年龄死亡均匀分布的假设下，,又根据，可得出请直接用 的表达式验证上述关系。20.（1）从（3.5.1）出发验证.（2）用（3.5.8）以及以上（1）中结果证明.（3）从（3

9、.3.2b）出发，对积分用梯形规则近似，得出（2）中结果。21.用（3.5.8）给出的传统近似公式，建立（1） （2） .（3） .22.（1）建立用 表示 的公式。（2）根据附录中示例生命表，按年利率6%计算： . 23.给出计算基数表示的公式：（1） . （2） （3） .（4） . （5） . （6） （7） . （8） .24.为估价岁入为b的期初年金，可使用特殊计算基数 及一般公式用 写出下列三种情况的公式(1) . （2） . （3） .25.考虑（小）的标准递增定期生存年金;第1年岁入1，第2年岁入2，以此类推到第n年岁入为止，且每年分m次期初支付，其精算现实值记作 ，证明 可按

10、以下方式表示：（1） .（2） （3） .（4） .26、考虑（x）的递减定期生存年金：第1年岁入n，第二年岁入n-1，以此类推倒第n年岁入1为止，且每年分m次期初支付，其精算现值记作（d ） ，证明可按以下方式表示: （1） .(2) .(3) .(4) nn (s ).27、在习题25中，如果岁入并不在x+n岁终止，而是当（x）继续或者保持定额岁入n，这种生存年金的精算现值记为(i ) ，证明(i ) 的以下表达式成立：(1) . (2) .(3) .(4) (s -s ).28验证公式： ，其中t是(x)的剩余寿命。用这个公式证明，这里 是t年时支付率为t连续支付终生年金的精算现值。29

11、（1）证明当m=1时，公式（3.8.6）成为 （2）将（1）中公式用期末年金值来表示，得出 ， ， 并给出解释。30对给定的n与x ，证明以下递归公式对h=0,1,.,n1成立： （1） （2） ，其中 31（1）在用综合支付技巧估计 时，说明现值随机变量为 = ， 其中k，t 分别是（x）的整值与完全剩余寿命，并说明可约化成 （2）证明 并得出 var 的一个表达式。32（1）说明 的现值随机变量为 并可约化成 。（2）证明 综合题33在每一年龄的死亡均匀分布假设下，对0t1证明（1） （2） (3) (4) 34.得出下列（x）的期初生存年金求值公式，初始支付额为1，此后每年递增额为 （1

12、）初始年支付额的3% （2）前一年支付额的3%35用积分表示 并证明 36给出下列按月支付的生存年金在70岁时的精算现值：从30 岁到40 岁每月底100 从40 岁到50岁每月底200从50 岁到60 岁每月底500 从60岁到70 岁每月底100037对于（35）的死亡即刻赔付的25年定期寿险，受益额在35+t岁死亡情况下为 ， 0t25 ,导出净趸缴保费的简化表达式，并解释所得结果。38对于（x）的死亡年末赔付的n年定期寿险，受益额在第k+1年死亡的清况下为 ，0kn,导出净趸缴保费的简化表达式，并解释所得结果。39导出下式的简化表达式： 40.将延期n年的年支付额为1的连续生存年金看作

13、理赔概率为 并具有随机理赔额 的保险，这里t的概率密度函数为 。 运用风险理论中式（2.2.13）证明该保险的方差等于 并验证它可以化成（3.3.20）。 41写出习题40中方差公式在离散情形的类似公式。42设 是指示随机变量， 。验证： （1）在(x)活到x+k岁时年支付 的生存年金的精算现值可写成 （2） jkcov jk(3) var .43.用左上标2表示利息效力为 ，证明（1） （2）var 44（1）将年金系数 展开成 的幂级数（只求三项）， （2）当 时以上所展开式变成什么？45设g(x)是非负数，x是概率密度函数为f(x)的随机变量，验证不等式 e k0并利用它证明 。461单位金额用于购买某种受益组合，包括当（x）活着时每年i的生存收入及（x）死亡时即刻支付j的保险。写出这种组合的现值随机变量并给出其均值和方差。47根据每一年死亡均匀分布假设，按示例生命表及实质年利率6%计算 （1） （2） （3） 48当 .49. 设精算现值 与 是根据以下假定计算的： 在前n 年中年利率为i ，nm; 在剩余mn年中利率为 。用代数方法证明并解释 （1） =1 （2） =1 50验证 ，其中 .解释以上关系式。51如果例371中的年金支付在（1）10次递增（2）20次递增 之后保持固定，求年金的精算现值。52验证死亡效力增加一个