含杂质的一维双原子链中的晶格振动论文

1、长 治 学 院2008届学士学位毕业论文含杂质的一维双原子链中的晶格振动学 号： 05105188 姓 名： 指导教师： 专 业： 物理学 系 别：电子信息与物理系 完成时间：2009年05月含杂质的一维双原子链中的晶格振动专业：物理学 姓名：何俊霞 学号：05105109指导教师：逯美红摘要：晶体内的原子不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕其平衡位置作微振动，称为晶格振动。由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也并非是孤立的，而是相互联系着的，因此在晶体中形成了各种模式的波，称为格波。格波和一般连续介质波有共同的波的特征，但也有不同的特点。本文讨论了一维双原子链的晶格振动，主要讨论了

2、链中有杂质原子的局域振动，对杂质原子替代大原子和替代小原子的情况分别进行了分析，得到这两种情况下的高频模和隙模的频率。关键词：一维双原子链；晶格振动；杂质；局域模1 引言晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在作振动，其结果表现为晶格中的格波。在固体物理教材中1,3，对晶体振动的研究是从解释固体的热学性质开始的，最初把晶体中的原子看作是一组相互独立的振子，应用能量均分定理可以说明固体比热容服从杜隆-珀替定律，但与t=0k时的的规律不符。1906年爱因斯坦提出固体比热容的量子理论，认为独立谐振子的能量是量子化的，可以得到t=0k时的规律的结论，但与低温下的实验结果不符。1912年德拜提出固体的比热

3、容理论，把固体当成连续介质，晶格振动的格波看连续介质中的弹性波，得到低温下的结果。随后，玻恩及玻恩学派逐步建立和发展了比较系统的晶格振动理论成为最早发展的固体理论之一。晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质、结构相变等许多物理性质都是极为重要的，是研究固体物理性质的基础。本文讨论了一维双原子链的晶格振动，结论指出当晶体中存在有杂质时，就可能产生局域振动，这种局域振动只是局限在杂质附近，其振动频率与杂质原子质量有关。一维双原子链中杂质对晶格振动的影响，在固体物理学教材中未见讨论，所以本文的研究不仅有助于对相关概念的进一步理解，而且对于教学研究也有很重要的意义。2 一维双原子链晶格振动模型一维

4、无限长双原子链，原子质量m和m（mm），相邻原子间平衡距离为a，在简谐近似下的力常数为，如图所示，原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移用，u2n、u2n+1表示，得到原子运动方程md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u2n+1dt2=u2n+2+u2n-2u2n+1 (2-1)这个方程组有下列形式的格波解 u2n=aei t-2naqu2n+1=bei t-2n+1aq (2-2)代入运动方程(2-1)除去共同的指数因子后，得到 -m2a=+e-iaq+eiaqb-2a-m2a=+e-iaq+eiaqb-2b (2-3)方程(2-3)可看作是以a，b为未知数的线性齐次方

5、程 m2-2a+2cosaqb=02cosaqa+m2-2b=0 (2-4)它的有解条件是m2-22cosaq2cosaqm2-2=0 (2-5)得关于2的一元二次方程 mm4-2m+m2+42sin2aq=0 (2-6)解得：2=m+mmm11-4m+mm+m2sin2aq12 (2-7)属于+的格波称为光学波，属于-的格波称为声学波23 一维双原子链中杂质的局域振动 设质量分别为m和m（mm）的两种原子组成一维双原子链，相邻原子间的平衡距离为a，在简谐近似下的力常数为，对于一维双原子链中的一个杂质原子，其位置可以是替代小原子，也可以是替代大原子，下面分别进行讨论。为简明起见，设杂质原子两侧

6、的力常数仍为。3.1 杂质原子替代大原子的情况质量为m的杂质原子替代大原子的一维双原子链如图1所示。大、小原子相对平衡位置的位移分别记为u2n、u2n+1，取杂质原子所在的原胞为n=0原胞。 3.1.1 晶格振动方程及其解 在简谐近似和最近邻近似下晶格振动运动方程为 md2u2n+2dt2=u2n+1+u2n-2u2n+1md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u0dt2=u1+u-1-2u0 (3-1)令ule-it，式（3-1）写为 m2u2n+1+u2n+1+u2n-2u2n+1=0m2u2n+u2n+1+u2n-1-2u2n=0 m2u0+u1+u-1-2u0=0 (

7、3-2)令m2=2m， m2=2m,=m-mm,式（3-2）简化为： u2n+2+u2n+22m2-1u2n+1=0u2n+1+u2n-1+22m2-1u2n=0u1+u-1+21-2m2-1u0=0 (3-3)由式（3-3）可知杂质原子的存在不影响格波反对称解（ul=-u-l），这时ul+u-l=0，且u0=0；下面只讨论（ul=-u-l）对称解。设方程（3-3）解的一般形式为： u2n=a22n+b2-2n=a22n+b2-2nu2n+2=a12n+1+b1-2n+1=a12n+12+b1-2n+12 (3-4) 将其代入式（3-3）得：a22n+2+b2-2n+2+a22n+b2-2n+

8、22m2-1a12n+1+b1-2n+1=0a12n+1+b1-2n+1+a12n-1+b1-2n-1+22m2-1a22n+b2-2n=02a11+b1-1+212m2a1+b2=0 (3-5) 由上式中第一个方程，对于n0整理得到：2n2+1a2+22m2-1a1+-2n+22+1b2+22m2-1b1=0(3-6)由于2n与-2n+2线性无关，得到：2+1a2+22m2-1a1=02+1b2+22m2-1b1=0 （3-7） 式中a1、a2及b1、b1均为待定常数，作为的方程，式（3-7）的二式无本质区别，故可只讨论第一式；对于n0，同样可得到式（3-7）。这样由式（3-5）的前两个方程

9、可得：22m2-1a1+2+1a2=02+1a1+22m2-1a2=0 （3-8） 式（3-8）是关于a1、a2的线性齐次方程组，有非零解的条件是其系数行列式为零，22m2-12+12+122m2-1=0 （3-9）得到： 4+2-42m2-12m2-12+1=0 （3-10） 式（3-10）作为2的一元二次方程，其根的判别式为=162m22m222-12m2-12m2-1 （3-11）其中2=2,=mmm+m 当m或m时，1,“-”解|2|1.下面只讨论|2|）或隙模（mm）。3.1.2 高频模和隙模 由式（3-5）的第三个方程，考虑到与-1线性无关，与式（3-7）类似可得 a1+(1-)2

10、m2-1a2=0 (3-13)将式（3-13）与式（3-8）联立，消去和得到： 2+1+21-1-2m22m2-1=02+1+1+2m2-1-22m2-1=0 (3-14) 方程组（3-14）消去，得关于2的一元二次方程，解得 2=2m2+1-2m242m4+1-2m421-2 （3-15）其中+为高频模频率，-处于m与m之间为隙模频率。对于高频模，有 +2-2=22m2+1-2m2+42m4+1-2m421-20 (3-16)由式（3-16）可知，随2的减小，+减小；当0时，+；将式（3-12）代入式（3-14）可知，这时0，即m0-2-m2=2m2-1-2m2-42m4+1-2m421-2

11、0，即mm,也是轻杂质情形。替代大原子的轻杂质，在一维双原子链中同时产生高频模和隙模。3.2 杂质原子替代小原子情况 质量为m的杂质替代小原子m的一维双原子链如图2所示.大小原子相对平衡位置的位移分别记为u2n+2、u2n,取杂质原子所在的原胞为,n=0原胞.晶格振动方程为：md2u2n+1dt2=u2n+2+u2n-2u2n+1md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u0dt2=u1+u-1-2u0 (3-18)令ule-it，式（3-18）写为 m2u2n+1+u2n+1+u2n-2u2n+1=0m2u2n+u2n+1+u2n-1-2u2n=0 m2u0+u1+u-1-2

12、u0=0 (3-19)令m2=2m， m2=2m,=m-mm,式（3-19）简化为： u2n+2+u2n+22m2-1u2n+1=0u2n+1+u2n-1+22m2-1u2n=0u1+u-1+21-2m2-1u0=0 （3-20）由式（3-20）可知杂质原子的存在不影响格波反对称解（ul=-u-l），这时ul+u-l=0，且u0=0；下面只讨论（ul=-u-l）对称解。设方程（3-20）解的一般形式为： u2n=a22n+b2-2n=a22n+b2-2nu2n+1=a12n+1+b1-2n+1=a12n+12+b1-2n+12 (3-21) 将其代入式（3-20）得：a22n+2+b2-2n+

13、2+a22n+b2-2n+22m2-1a12n+1+b1-2n+1=0a12n+1+b1-2n+1+a12n-1+b1-2n-1+22m2-1a22n+b2-2n=02a11+b1-1+212m2a1+b2=0 (3-22) 由上式中第一个方程，对于n0整理得到：2n2+1a2+22m2-1a1+-2n+22+1b2+22m2-1b1=0(3-23)由于2n与-2n+2线性无关，得到：2+1a2+22m2-1a1=02+1b2+22m2-1b1=0 （3-24） 式中a1、a2及b1、b1均为待定常数，作为的方程，式（3-24）的二式无本质区别，故可只讨论第一式；对于n0，同样可得到式（3-2

14、4）。这样由式（3-22）的前两个方程可得：22m2-1a1+2+1a2=02+1a1+22m2-1a2=0 （3-25） 式（3-25）是关于a1、a2的线性齐次方程组，有非零解的条件是其系数行列式为零，22m2-12+12+122m2-1=0 （3-26）得到： 4+2-42m2-12m2-12+1=0 （3-27）的一元二次方程，其根的判别式为=162m22m222-12m2-12m2-1 （3-28）其中2=2,=mmm+m 当m或m时，1,“-”解|2|1.下面只讨论|2|）或隙模（mm）。3.2.1 高频模和隙模 由式（3-22）的第三个方程，考虑到与-1线性无关，与式（3-24）

15、类似可得 a1+(1-)2m2-1a2=0 (3-30)将式（3-30）与式（3-25）联立，消去和得到： 2+1+21-1-2m22m2-1=02+1+1+2m2-1-22m2-1=0 (3-31) 方程组（3-31）消去，得关于2的一元二次方程，解得 2=2m2+1-2m242m4+1-2m421-2 （3-32）其中+为高频模频率，-处于m与m之间为隙模频率。对于高频模，有 +2-2=22m2+1-2m2+42m4+1-2m421-20 (3-33)由式（3-33）可知，随2的减小，+减小；当0时，+；将式（3-29）代入式（3-31）可知，这时0，即m0-2-m2=2m2-1-2m2-

16、42m4+1-2m421-20 (3-34)由式（3-34）可知，随2的减小，-减小；当0时，-m；将式（3-29）代入式（3-31）可知，这时m,也是重杂质情形。4 结论与讨论 一维双原子链的晶格振动有声频支和光频支，两支格波之间存在频隙。一维双原子链中的杂质，有可能在光频支之上产生局域的高频模，也可能在频隙中产生局域的隙模，或者不产生局域模。 对于杂质原子替代大原子的情况，若为轻杂质，则同时产生高频模和隙模，其频率均随杂质原子质量的增大而减小；若为重杂质，则不产生局域振动。 对于杂质原子替代小原子的情况，若为轻杂质，则产生高频模，其频率随杂质原子质量的增大而减小；若为重杂质，则产生隙模，其

17、频率随杂质原子质量的减小而增大。以上结果与教材4中的定性结论相一致。 当一维双原子链中两种原子相同时，一维双原子链就退化为一维单原子链，本文的讨论结果可以正确地退化为一维单原子链的结果。令m=m，则式(3-15)和式 (3-32)均退化为 2=2m21-2 (3-35) 式(35)就是一维单原子链中杂质产生的高频模频率公式，其中2m2=4m为一维单原子链允许频带的上限。参考文献：1黄昆，韩汝琦。固体物理学.北京：高等教育出版社，1988.82-962方俊鑫，陆栋。固体物理学。上海科学技术出版社，1980，1013 李正中固体理论m.北京：高等教育出版社，1985 415 4224（美）基泰尔

18、著，项金钟，吴兴惠 译。固体物理导论。化学工业出版社，2005lattice vibration of one dimensional diatomic chain with an impurityhejunxiaabstract：the atom in the crystals is not static in the equilibrium position of the lattice , but revolves its equilibrium position to make the micro vibration, which is called lattice vibration. it has the mutual action between the atoms in the crystals, each atom of vibration is not isolated, but is relating mutually, thus in the crystal forms various modes of wave, which is called lattice wave. lattice wave and general continuous medium wave have the common characteristics of wave, bu