三视图与体积面积计算

1、 (2009) _ 1 _ 珠海二模 一个五面体的三视图如下： 正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图是 直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的 体积为 例 将三视图还原成直观图再进行计算 12 232. 2 11 322. 33 ShPA VSh 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其 直观图如下图所示 由直观图结合三视图可知，此四棱锥的底面为直角 梯形，其面积，高为故体 积 解析： 4 1三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考 重点考查的内容解答此类问题，必须熟练掌握 三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正俯 之间长相等，侧俯之间宽相等，正侧之间高相等， 即“正俯长对正，正侧高平齐，

2、侧俯宽相等” 2解答此类问题，要善于将三视图还原成空间几 何体，再结合三视图进行处理 (2010) / / / / 3 ( ) 1 ABCAABB C CC CABC AABBC CAB ABCA B C 广 东 卷 如 右 图 ， 为 正 三 角 形 ， ，平 面， 且 ， 则 多 面 体的 正 视 图 也 称 主 视 图 是 变 式 解析：答案为D 如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视 图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 ( ) . 答案：答案：C 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如 图所示，则其侧面积等于（ ） A. B.2 C.2 D.6 答案：D 3 3 4.一个

3、几何体的三视图如图所示，则这个几何 体的体积等于( ) A.12B.4 C. D. 答案：B 2 cm 60 . 1 2 2 PABCDPBC PBPC ABCDABC 在四棱锥中，侧面是等腰直角 三角形，且垂直底面，底面 是菱形， 求： 这个四棱锥的体积； 这个四棱 例 锥的全面积 求体积的关键是求出 底面积和高；求全面积的关键 是求出各个侧面 切入点： 的面积 1 . 2 cm 2cm2 2cm PBCABCD PPEBCEPEABCD PBCPBPC PEBC 平面平面， 过 作于 ，则有平面 是等腰直角三角形， : ， 解 ， 析 2 3 sin60 3 2 22 24 3 cm 2

4、11 4 32 33 4 6 cm 3 ABCD PABCDABCD ABCD ABCDSBC AB VSPE 底面 底面 又底面为菱形， 底面的面积为 2 260 . . / /. 2cmsin606 cm 2 2 cm.2 2 cm 11 2 22 24 cm 22 PAD ABCDABCEBC ABC AEAEBCBCPEAEPEE BCPAEBCPA ADBCADPA PAEPEAEAC PAADBC SAD PA 底面是菱形， 为的中点， 为等边三角形 连接，则有又， 平面， ， 在中，由， 得又， 22 2 22 . 36 . 22 314 2. 22 1114 2 27 cm 2

5、22 7 cm2 cm PAB PCDPBC EEGABGPGPGAB EGBEGBE PEGPGPEEG SAB PG SS 过 作于 ，连接，则 在中， 在中， 同理， 2 2 4 347724 3 (4 32 76) 76 m 2cm .c ABCDPADPABPCDPBC SSSSSS 全底面 四棱锥的全面积为 面积与体积的计算要注意如下两个方面： 1目标明确，根据相应的面积与体积公式， 弄清已知了什么量，还需要什么量，怎样得到 这些量 2保证计算的合理性在运用公式计算之前， 要有必要的推理与证明 111 111 4 608. ABCABC A ABA ACAA 斜三棱柱中，底面是边长

6、为 的正 三角形，且，求它的全面 积 变式2 与体积 - 11 BCC B 利用直截面面积与侧棱的积求侧面积；或 用“分解法”求出各侧面面积，从而得全面积运 用此法的关键在 切入点： 于证明侧面是矩形 1 1 1 . . 90. 4 sin602 3. BDAADCD BADCAD CDABDAAACD BDCDD AABCDBCD BDCD 如图，作于 ，连接 可证 ，即 而， 平面，即平面为直截面 易知 解析： 22 1 1(2 32 34)8 3232 3 2. 1 24324 2 2 4 2 40 332 8.32 BCD BCD Scl SSS S VSAA 侧直截面 侧全底 ， （

7、2）， 3R半径为 的球有一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径 为何值时，它的侧面积最大？最大 例 值是多少？ 选择适当的截面图，建立侧面积的 函数关系，利用函数求出相应 切入点： 的最值 . . ABCDO rhS OBOHABABH 取圆柱的一个轴截面，则为球的 一个大圆设圆柱的半径为 ，高为 ，侧面积为 连接，作交 解 于 析： 22222 2222 2 2222222222 Rt( )2. 2 2224. 161616. h OBHRrhRr SrhrRrrRr SrRrrR r 在中，有，即 2 222 2 2 222 2 162 2( 16)22 22 4() 2 2. 22 . r

8、RR rrRS RRRR R R 这是一个关于 的二次函数， 当，即时 有最大值， 最大值为 故当这个圆柱的底面半径为 时，它的侧面积最大， 最大值是 1有关旋转体的切接问题一般通过轴截面图 化归为平面问题解决 2立体几何中的最值问题，可构造目标函数， 用求最值的方法加以解决 2 . 1 2 aa已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为 求： 它的外接球的体积； 它的内切球的 变式3 表面积 - SABCDSAC设正四棱锥，如图所示 的外接圆是外接球的一个大圆，所以只要求出 这个外接圆的半径即可而内切球的球心到 棱锥的各个面的距离相等，所以可由正四棱锥 的体积求出内切球 解析： 的半径 33 1 2

9、 22 6 2 sinsin603 2 64 . 33 ROOA OCOSOSAC SAC ABBCaACaSAC ACa Ra AS RRa C aV 外接球 设外接球的半径为 ，球心为 ，则 ，所以 为的外心， 即的外接圆半径就是球的半径 ，为正三角形 由正弦定理得， 因此，则 2222 2 2 2. . 7 2 22 117 222 4( 71). SBC SBC rSEE SFBCFEF a SFSBBFaa SBC SFaaa SSSa 棱锥全底 设内切球的半径为 作底面于 ， 作于 ，连接 则有， ， 2222 23 3 22 2 76 222 116 . 332 6 3 3426

10、 6 1271 4. 47 3 a SESFEFaa VShaaa a a V ra Sa Sr 棱锥底 球 又， ， 32 1在三视图中，正俯和正侧视图的对应关系比较 直观，易于理解掌握，而难点在于侧俯两视图的宽 相等和前后方位的理解和判断 2对于几何体的表面积与体积问题，要熟记各类 几何体的表面积与体积公式，做到正确选用，准确 计算 3几何体的切接问题： (1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是 把握球的直径即它们的体对角线 (2)柱、锥的内切球问题，需找准切点的位置，化 归为平面几何问题 1.(2010) 2 A 44 3 B 12 C 4 3 D 8 深圳一模 如图，一个简单空间

11、几何体的三视图中， 正视图与侧视图都是边长为 的正三角形，俯视图轮廓为 正方形，则此几何体的表面积是 21 . 2 解由几何体的三视图可知，该几何体是底面为边长 是 的正方形，高为的正四棱锥易计算得表面积是 析： 2.(2010) A 372 B 360 C 292 D 280 安徽卷 一个几何体的三视图如图，该几何体的 表面积是 4 2(10 810282)2(6 882).360S 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于 下面长方体的全面积加上面长方体的 个侧面面积之和 故 解析： 3. . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的 表面积为 22 2 2 3 3 3 2 3 4

12、 16 4( 3 ). 3 R VR 由三视图知该几何体是底面为直径是 的圆，高为 的圆锥所以该几何体外接球的半径为，所以 解析： 4. 44 ( ) 已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图 都是矩形，俯视图为正方形在该几何体上任意 选择 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 个顶点，这些几何形体是 写出所有正 确结论的编号 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为直角三角形，有一个面为等腰 三角形的四面体； 每个面都是等腰三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体 由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体 显然可能，不可能，由下图甲、乙、丙知 解析： 都有可能 5./ / 1225.

13、 3 (). 4 1 2() 3. PACABCPMBC PAPCACBCPMAB PABC S PMABCV 如图所示的几何体中，平面平面， ，已知该几何体 的侧视图 左视图的面积为 求证：； 画出该几何体的正视图 主视图，并求其面积 ； 求出多面体的体积 222 1125 . . . ACBCAB ACBCABACBC PACABCPACABCAC BCPAC PAPACPABC 证明：， ， 平面平面，平面平面， 平面 平面， 解析： 2 .PAPCACDPDPDAC PACABCPDABC 该几何体的正视图如下： 因为，取的中点 ，连接，则 又平面平面，则平面， 113 1 224 3 1 2 12 1 13 42 33 . 2 ACPDPD PDPAC PDS 该几何体的左视图面积为， ，从而易知是边长为 的正三角形 主视图的面积是上、下底面边长分别为 和 ， 为高的直角梯形的面积，所以 3.