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文档简介

1、加qq719283511第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1); 解 =2(-4)3+0(-1)(-1)+118 -013-2(-1)8-1(-4)(-1) =-24+8+16-4=-4. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). 4. 计算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 6. 证明: (1)=(a-b)3; 证明 =(a-b)3 . (2); 证明 . 8. 计算下列各行列式(dk为k阶行列式): (1), 其中对角线上元

2、素都是a, 未写出的元素都是0; 解 (按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 , 再将各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n第二章矩阵及其运算1. 计算下列乘积:(5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 2. 设, , 求3ab-2a及atb. 解 , . 3. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 4. 设, , 问: (1)ab=ba吗

3、? 解 abba. 因为, , 所以abba. (3)(a+b)(a-b)=a2-b2吗? 解 (a+b)(a-b)a2-b2. 因为, , , 而 , 故(a+b)(a-b)a2-b2. 5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若a2=0, 则a=0; 解 取, 则a2=0, 但a0. (2)若a2=a, 则a=0或a=e; 解 取, 则a2=a, 但a0且ae. (3)若ax=ay, 且a0, 则x=y . 解 取 , , , 则ax=ay, 且a0, 但xy .7. 设, 求ak . 解 首先观察 , , , , , . 用数学归纳法证明: 当k=2时, 显然成立. 假设k时成立,则k

4、+1时, , 由数学归纳法原理知: . 8. 设a, b为n阶矩阵,且a为对称矩阵,证明btab也是对称矩阵. 证明 因为at=a, 所以 (btab)t=bt(bta)t=btatb=btab, 从而btab是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1); 解 . |a|=1, 故a-1存在. 因为 , 故 . (3); 解 . |a|=20, 故a-1存在. 因为 , 所以 . (4)(a1a2 an 0) . 解 , 由对角矩阵的性质知 . 12. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1); 解 方程组可表示为 , 故 , 从而有 . 19.设p-1ap=l, 其中, , 求a11. 解

5、 由p-1ap=l, 得a=plp-1, 所以a11= a=pl11p-1. |p|=3, , , 而 , 故 .20. 设ap=pl, 其中, , 求j(a)=a8(5e-6a+a2). 解 j(l)=l8(5e-6l+l2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(a)=pj(l)p-1 . 21. 设ak=o (k为正整数), 证明(e-a)-1=e+a+a2+ +ak-1. 证明 因为ak=o , 所以e-ak=e. 又因为 e-ak=(

6、e-a)(e+a+a2+ +ak-1), 所以 (e-a)(e+a+a2+ +ak-1)=e, 由定理2推论知(e-a)可逆, 且 (e-a)-1=e+a+a2+ +ak-1. 证明 一方面, 有e=(e-a)-1(e-a). 另一方面, 由ak=o, 有 e=(e-a)+(a-a2)+a2- -ak-1+(ak-1-ak) =(e+a+a2+ +a k-1)(e-a), 故 (e-a)-1(e-a)=(e+a+a2+ +ak-1)(e-a),两端同时右乘(e-a)-1, 就有 (e-a)-1(e-a)=e+a+a2+ +ak-1. 22. 设方阵a满足a2-a-2e=o, 证明a及a+2e都

7、可逆, 并求a-1及(a+2e)-1. 证明 由a2-a-2e=o得 a2-a=2e, 即a(a-e)=2e, 或 , 由定理2推论知a可逆, 且. 由a2-a-2e=o得 a2-a-6e=-4e, 即(a+2e)(a-3e)=-4e, 或 由定理2推论知(a+2e)可逆, 且. 证明 由a2-a-2e=o得a2-a=2e, 两端同时取行列式得 |a2-a|=2, 即 |a|a-e|=2, 故 |a|0, 所以a可逆, 而a+2e=a2, |a+2e|=|a2|=|a|20, 故a+2e也可逆.由 a2-a-2e=o a(a-e)=2e a-1a(a-e)=2a-1e, 又由 a2-a-2e=

8、o(a+2e)a-3(a+2e)=-4e (a+2e)(a-3e)=-4 e, 所以 (a+2e)-1(a+2e)(a-3e)=-4(a+2 e)-1, . 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2(-1), r3(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r33. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2(-4),

9、r3(-3) , r4(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . 3. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1); 解 故逆矩阵为. (2). 解 故逆矩阵为. 5. (2)设, , 求x使xa=b. 解 考虑atxt=bt. 因为 , 所以 , 从而 . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵: ,

10、此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 12. 设, 问k为何值, 可使 (1)r(a)=1; (2)r(a)=2; (3)r(a)=3. 解 . (1)当k=1时, r(a)=1; (2)当k=-2且k1时, r(a)=2; (3)当k1且k-2时, r(a)=3. p106/1.已知向量组 a: a1=(0, 1, 2, 3)t, a2=(3, 0, 1, 2)t, a3=(2, 3, 0, 1)t; b: b1=(2, 1, 1, 2)t, b2=(0, -2, 1, 1)t, b3=(4, 4, 1, 3)t, 证明b组能由a组线性表示, 但a组不能由b组线性表示. 证明 由

11、知r(a)=r(a, b)=3, 所以b组能由a组线性表示. 由 知r(b)=2. 因为r(b)r(b, a), 所以a组不能由b组线性表示.4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)t, (2, 1, 0)t, (1, 4, 1)t; (2) (2, 3, 0)t, (-1, 4, 0)t, (0, 0, 2)t. 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为a. 因为 , 所以r(a)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为b. 因为 , 所以r(b)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a取什么值时下列

12、向量组线性相关? a1=(a, 1, 1)t, a2=(1, a, -1)t, a3=(1, -1, a)t. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为a. 由 知, 当a=-1、0、1时, r(a)3, 此时向量组线性相关.9.设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明 由已知条件得 a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是 a1 =b1-b2+a3 =b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1,从而 b1-b2+b3-b4=0, 这说明向量组b1, b

13、2, b3, b4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a1=(1, 2, -1, 4)t, a2=(9, 100, 10, 4)t, a3=(-2, -4, 2, -8)t; 解由 , 知r(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组. 12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1); 解 因为,所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2). 解 因为,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.13. 设向量组(a, 3, 1)t, (2, b, 3)t, (

14、1, 2, 1)t, (2, 3, 1)t的秩为2, 求a, b. 解 设a1=(a, 3, 1)t, a2=(2, b, 3)t, a3=(1, 2, 1)t, a4=(2, 3, 1)t. 因为, 而r(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系: (1); 解对系数矩阵进行初等行变换, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)t=(4, 0)t, 得(x1, x2)t=(-16, 3)t; 取(x3, x4)t=(0, 4)t, 得(x1, x2)t=(0, 1)t. 因此方程组的基础解系为 x1=(-16, 3, 4, 0)t, x2=(0, 1, 0, 4)t. (2). 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)t=(19, 0)t, 得(x1, x2)t=(-2, 14)t; 取(x3, x4)t=(0, 19)t, 得(x1, x2)t=(1, 7)t. 因此方程组的基础解系为 x1=(-2, 14, 19, 0)t, x2=(1, 7, 0, 19)t. 26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: (1); 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有. 与所给方程组同解的方程为. 当x3=0时, 得所给方程组的一个解h=(-8, 13, 0, 2)t

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