2021-2022学年九年级上册人教版数学教学课件 24.2.2直线和圆的位置关系

1、24.2.2直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系 九年级上册九年级上册 RJ 第一课时第一课时 知识回顾知识回顾 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr d=r dr 1.了解直线和圆的位置关系. 2.理解直线和圆的三种位置关系时，圆心到直线的距 离d和圆的半径r之间的数量关系. 3.会从公共点的个数或d和r的数量关系判定直线和圆 的位置关系. 学习目标学习目标 如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线， 太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？ 课堂导入课堂导入 如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看作一个圆.

2、在纸 上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与 直线 l 的公共点个数的变化情况吗？ 知识点新知探究新知探究 可以发现，直线和圆有三种位置关系，如图： 如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直 线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. 可以发现，直线和圆有三种位置关系，如图： 如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直 线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 可以发现，直线和圆有三种位置关系，如图： 如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线 和圆相离. 直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2 交点 1 切点 切线 0 相离相

3、切相交 位置关系公共点个数 AB C 割线 如何用数量关系来度 量这种位置关系呢？ O d 用圆心到直线的距离d与 半径r的大小关系来判断 直线与圆的位置关系. r 直线和圆相交 d r 位置关系数量关系 r d o 公共点个数 r d o AB r d o C 1.判断直线和圆的位置关系有两种方法: 将圆心到直线的距离与圆的半径相比较； 根据直线与圆的公共点的个数判定. 2.直线与圆相切是一种特殊的位置关系，一个圆有无 数条切线，每一条切线与圆都只有一个公共点. 1 1.如如图，在图，在RtABC中，中，ACB90，B30， BC4 cm，以点，以点C为圆心，为圆心，2 cm为半径作圆为半径

4、作圆，则，则 C 与与AB的的位置关系是位置关系是() A相离相离B相切相切C相交相交D相切或相交相切或相交 B 解：如图，过点C作CHAB于点H，在RtCHB中， 易得CH2 cm，即dr2 cm，所以 C与AB的位置 关系是相切 分析：通过比较圆心到直线的距离与 半径的大小来判断 比较学校到马路 的最短距离与 240m的大小即可. D 已知圆的直径为13 cm，设直线和圆心的距离为d. (1) 若d =4.5 cm，则直线与圆 ，直线与圆 有 个公共点； (2) 若d =6.5 cm，则直线与圆 ，直线与圆 有 个公共点； (3) 若d = 8 cm，则直线与圆 ，直线与圆 有 个公共点.

5、 相交 2 相切 1 相离 0 跟踪训练新知探究新知探究 2.在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3 为半径的圆，一定() A与x轴相切，与y轴相切 B与x轴相切，与y轴相交 C与x轴相交，与y轴相切 D与x轴相交，与y轴相交 C 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的 P的 圆心P的坐标为(3，0)，将 P沿x轴正方向平移， 使 P与y轴相切，则平移的距离为() A1 B1或5 C3 D5 B P与y轴可能在左侧相切，也 可能在右侧相切，注意分类讨论 1.已知 O的半径为5 cm，圆心O到直线 l 的距离为 5 cm，则直线 l 与 O的位置关系为( )B A.相交B.相切 C

6、.相离D.无法确定 随堂练习随堂练习 2.如图，RtABC中，C=90，AC=3 cm，BC=4 cm， 判断以点C为圆心，下列 r 为半径的 C与AB的位置关系： (1) r =2 cm； (2) r=2.4 cm； (3) r =3 cm. 解：作CDAB于D，如图， B CA D (1) 当 r=2时，CDr，所以 C与AB相离； (2) 当 r=2.4时，CD=r，所以 C与AB相切； (3) 当 r=3时，CDr，所以 C与AB相交 直线与 圆的位 置关系 定义 性质 判定 相离、相切、相交 公共点的个数 d与r的数量关系 定义法 性质法 相离：dr 相切：d=r 相交：dr:相离,

7、d=r:相切, d0)个单位长度，若平移后得到的直线与半径为6 的 O相交(点O为坐标原点) ，试确定m的取值范. OA B x y l D 3.如图，已知 P的半径为2，圆心P在抛物线yx21上运动， 当 P与x轴相切时，圆心P的坐标为_ 此时点P的纵坐标 为2或-2，然后转化 为求方程根的问题. 24.2.2直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系 九年级上册九年级上册 RJ 第二课时第二课时 课堂小结课堂小结 直线与 圆的位 置关系 定义 性质 判定 相离、相切、相交 公共点的个数 d与r的数量关系 定义法 性质法 相离：dr 相切：d=

8、r 相交：dr:相离,d=r:相切 dr:相交 相离：0个 相切：1个 相交：2个 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作 圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 学习目标学习目标 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花， 都是沿着什么方向飞出的？ 课堂导入课堂导入 知识点1新知探究新知探究 如图，在如图，在O中，经过半径中，经过半径OA的外端点的外端点A作直线作直线 lOA，则圆心，则圆心O到直线到直线l的距离是多少？直线的距离是多少？直线l和和 O有什么位置关系？有什么位置关系？ O l A OA 为 O的

9、半径, 且OAl, l为 O的切线. d= r , 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线. OA为 O的半径 BC OA于A BC为 O的切线 A B C 切线的判定定理 数学表示 O 注意：应用该定理时，两个条件缺一不可： 一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径. O. l A O. l A B A O l (1)(2)(3) 判断下面的直线是不是圆的切线： 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆 的切线. 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等 于半径，即d=r. 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. A l

10、 O l r d A O l A O 切线判定常用的证明方法切线判定常用的证明方法： (1)有切点,连半径，证垂直.如果已知直线 经过圆上的一点，那么连接这点和圆心， 得到半径，再证明所作半径与这条直线垂 直即可 (2)无切点,作垂直，证半径.如果已知条件 中不知道直线与圆是否有公共点，那么过 圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长 度等于半径即可 1.如图，点D在 O的直径AB的延长线上，点C在 O 上，AC=CD，D = 30.求证：CD是 O的切线. 解：如图，连接OC. AC=CD，D=30, A= D = 30. OA=OC， ACO=A = 30，COD=60， OCD=90，即OC

11、CD. CD是 O的切线. 跟踪训练新知探究新知探究 点在圆上，连 半径，证垂直 2.如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， 腰AB与 O相切于点D.求证：AC是 O的切线. 证明：如图，作OEAC于E ,连接OD. . O A D B C 无切点，作垂 直，证半径， E OEC=90. AB是 O的切线, ODAB. ODB=90 =OEC. AB=AC ,B=C. O是BC的中点， OB=OC . OBD OCE(AAS), OD=OE . AC与 O相切. 如图，如果直线l是 O 的切线，点A为切点，那么OA 与l垂直吗？ A l O 直线 l 是 O 的切线，A是切点， 直线

12、l OA. 数学表示 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 知识点2新知探究新知探究 (1) 假设AB与CD不垂直，过点O作一条 直线垂直于CD,垂足为M. (2) 则OMOA，即圆心到直线CD的 距离小于 O的半径，因此，CD与 O相交.这与已知 条件“直线与 O相切”相矛盾. CD B O A (3) 所以AB与CD垂直. M 反证法： 切线的性质定理的证明 切线的性质定理的推论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 1.如图，AB是 O的直径，MN是 O的切线，切点为N， 如果MNB =52，那么NOA的度数为( ) A A.

13、76B.56C.54D.52 解：MN是 O的切线， ONNM，ONM=90， ONB=90-MNB=90-52=38. ON=OB， B=ONB=38， NOA=2B=76 跟踪训练新知探究新知探究 有切线，用性质 2 如图，AB是 O的直径，BC与 O相切于点B，AC 交 O于点D，若ACB50，则BOD等于() A40 B50 C60 D80 D 解 :BC是 O的切线，ABC90， A90ACB905040. 由圆周角定理，得BOD2A80. 3.如图，AB是 O的直径，CD是 O的切线，切点 为D，CD与AB的延长线交于点C，A30，给 出下面三个结论：ADCD；BDBC；AB 2B

14、C.其中正确结论的个数是() A3 B2 C1 D0 A 1.如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，连接OC 交 O于点D，连接BD，C=40，则ABD的度数 是( ) B A.30B.25C.20D.15 解：AC是 O的切线， OAC=90. C=40，AOC=50. OB=OD，ABD=BDO. ABD+BDO=AOC， ABD=25. 随堂练习随堂练习 3.如图，在RtABC中，ABC=90 ，BAC的平分线 交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作 D. 求证：AC与 D相切. 证明：如图过点D作DEAC于点E. ABC=90， ABBC. 又AD平分BAC，DEAC， DE=DB

15、， AC与 D相切. E 证相切，用判定 切线的 判定方 法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线 垂直于经 过切点的 半径 有切线时常用 辅助添加方法： 见切线，连切 点，得垂直 课堂小结课堂小结 对接中考对接中考 1.（2020长沙中考节选）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D， AC平分DAB 求证：DC为 O的切线 证明：如图，连接OC. OAOC，OACOCA. AC平分DAB，DACOAC， OCADAC

16、，ADOC. ADDC，OCDC. 又OC是 O的半径，DC为 O的切线. 2.（2020山西中考）如图，四边形OABC是平行四边 形，以点O为圆心，OC为半径的 O与AB相切于点B ，与AO相交于点D，AO的延长线交 O于点E，连接 EB交OC于点F求C和E的度数 解：如图，连接OB. O与AB相切于点B，OBAB. 四边形ABCO为平行四边形， ABOC，OABC，OBOC，BOC90. OBOC，OCB为等腰直角三角形，COBC45. AOBC，AOBOBC45，E22.5 24.2.2直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系 九年级上册

17、九年级上册 RJ 第三课时第三课时 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线. 1.切线的判定定理 2.切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 知识回顾知识回顾 1.掌握切线长的定义及切线长定理. 学习目标学习目标 2.会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和 性质. 3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单 的问题. 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图 所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 课堂导入课堂导入 知识点1新知探究新知探究 切线是直线，不能度量. 切线长是线段

18、的长，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点，可以度量 切线长与切线的区别在哪里？切线长与切线的区别在哪里？ 如图，过圆外一点如图，过圆外一点P有两条直线有两条直线PA,PB分别与分别与 O相切相切. 经过圆外一点的圆的切线上，经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的这点和切点之间线段的 长长，叫做这点到圆的，叫做这点到圆的切线长切线长. O. P B A 例 已知，如图PA ， PB是O的两条切线，A,B为切点. 求证：(1)PA=PB，APO=BPO. 证明：PA切O于点A， OAPA. 同理可得OBPB. OA=OB，OP=OP， RtOAP RtOBP， PA=PB，APO=B

19、PO. O . P A B 例 已知，如图PA ， PB是O的两条切线，A,B为切点. (2)连接两切点A,B，AB交OP于点M. 求证：OP垂直平分AB. 证明：PA，PB是 O的切线， 点A，B是切点， PA = PB ，OPA=OPB， PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线， OP垂直平分AB. O. P A B M 切线长定理* PA，PB分别 切O于A，B PA = PB OPA=OPB 几何语言: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等. 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 1.如图，已知四边形ABCD的每条边都和 O相切，且 BC= 10，AD = 7，则四边形AB

20、CD的周长为( ) A.32B.34C.36D.38 B 解：设四边形的各边与圆的切点分别 为P，Q，M，N， 则AQ=AM，BN=BM，CN=CP，DP=DQ. 所以四边形ABCD的两组对边的和相等， 所以四边形ABCD的周长=2(7+10)=34 P Q M N D C AB 跟踪训练新知探究新知探究 2.如图，PA，PB是 O的切线，A，B是切点，点C是 AB上一点，过点C作 O的切线分别交PA，PB于点D， E.已知APB60， O的半径为 ，则PDE的 周长为_，DOE的度数为_ 3 6 66060 O. P A B E C D 解：如图，由切线长定理知PAPB， DCDA，ECEB

21、，因而PDE的周 长可转化为PAPB，即2PA. 由切线长定理易得DOC AOD，EOC BOE， DOE DOCEOC AOB. 1 2 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形 废料进行加工，裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？ 知识点2新知探究新知探究 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切. 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I注意：1. 三角形的内心都在三 角形的内部

22、. 2.一个圆可以有无数个外切三 角形，但是一个三角形只有一 个内切圆. 如何作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的O与ABC的三边都相切，那么圆 心 O 应满足什么条件？ (2) 在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心O呢？ 圆心O到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三 边距离相等.圆心O 应是三角形的三条角平分线的交点. 三角形内切圆的作法： 作三角形任意两个内角的平分线，以两条角平分线 的交点为圆心，以交点到三角形任意一边的距离为 半径作圆即可. B A C I 如图，I是ABC的内切圆，那么线段IA，IB，IC有 什

23、么特点？ 线段IA，IB ，IC 分别是A，B，C 的平分线. 如图，分别过点 I 作AB，AC，BC的垂线，垂足分别 为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？ B A C I E F G IE=IF=IG 三角形内心的性质 三角形的内心到三角形的三边距离相等，且等于其内 切圆的半径. B A C I E F G B A C I E F G 111 . 222 ABCABIIBCAIC ABC SSSS SAB EIBC GIAC FI 11 () 22 ABC EIGIFIr Sr ABACBClr 三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径乘积的一半. 三角形的周长 r, ,

24、. 2 CECFr cADBDAEBFarbr abc r A b c a r CB D E F O O内切于RtABC， AD=AE，BD=BF，CE=CF. 又四边形ECFO为正方形， 名称 外心(三角形的外接圆圆心，即 三角形三边垂直平分线的交点). 内心(三角形的内切圆圆心，即 三角形三条角平分线的交点). 图形 性质 三角形的外心到三角形三个 顶点的距离相等. 三角形的内心到三角形三边 的距离相等. 位置外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度 关系 BOC=2A. 三角形外心、内心的区别 1.如图，已知ABC的内切圆O与BC边相切于点D， 连接OB，OD.若ABC=40，则BOD的度数是_.70 跟踪训练新知探究新知探究 2.在ABC中，已知C90，BC6，AC8， 则它的内切圆半径是() A. B2 C4 D. 3 2 2 3 用 可快速求解 2 abc r B 3.如图，点如图，点O是是ABC的内切圆的圆心，若的内切圆的圆心，若BAC 80，则，则BOC的度数为的度数为() A130 B100 C50 D65 A 用 可快速求解 1.如图，AB,BC,CD分别与 O相切于E,F,G三点，且 ABCD，BO6 cm，CO8 cm，求BC的长. 解：AB，BC，CD分别与 O