【毕业论文】考虑摩擦的平衡问题

1、考虑摩擦的平衡问题 仪11 逯瑶 010691理论力学是一门深入研究物体最基本的运动机械运动规律的基础性学科。它是很多工程技术的基础，同时也在这些工程中有具体、直接的应用。因此力学是我们这些工科学生必备的基础知识。理论力学的核心问题是动力学问题。动力学的任务是在牛顿定律或者力学变分原理的基础上研究力与运动之间的关系。而静力学又是动力学的特例，静力学问题通常是在已知系统处于静止状态下求力的问题。无论是静力学还是动力学，只要两物体有相对运动的接触面非光滑，并且互相有压力作用，他们就都要受到对方的摩擦。摩擦又很多种，常见的有干摩擦（滑动摩擦）、粘性摩擦和滚动摩阻等，它们的力学机理和性质是不同的。我们

2、所学习的课程中不涉及摩擦的机理，而主要介绍如何利用摩擦的性质研究必须考虑摩擦的动力学（包括静力学）问题。在我们学习“考虑摩擦的平衡问题”这一节时，先介绍了两个重要概念“摩擦角”和“摩擦锥”。让我们在重温一下这两个摩擦学中的概念。首先，库仑定律给出：fmax=n，其中fmax为最大静摩擦力，为摩擦系数，n是约束面的法向反力。有摩擦力的平衡问题中，静摩擦力应满足不等式fn当摩擦力达到最大静摩擦力时，全反约束力r（包括法向反力和摩擦力）和约束面法向的夹角称为摩擦角，记为m ；以约束面法向为中心轴，以2m为顶角的正圆锥叫做摩擦锥。容易发现摩擦系数与摩擦角的关系是 =tanm利用上述两式可以得到如下几个

3、结论：（1） 有摩擦的平衡问题中，摩擦面的约束反力r的作用线一定位于摩擦锥之内。（2） 有摩擦锥的平衡问题中，平衡的充分必要条件是主动力作用线在摩擦锥内且方向指向接触点。因此，如果主动力落在摩擦锥之内且方向指向接触点，则无论主动力有多大，都不能使物体运动，这种现象叫自锁现象。在求解考虑摩擦的平衡问题时，解决一般平衡问题的方法仍然适用，同时，约束面法向反力和最大静摩擦力通过摩擦系数得到联系，而摩擦锥，摩擦角的引入就是根据此直接考虑平衡问题时约束面法向反力和最大静摩擦力的整体影响，因此，事实上，大多符合条件的考虑摩擦的平衡问题同时也可以用摩擦角的方法解决，为了能更快更好的解决摩擦问题，我们在做题的

4、同时，注意观察什么时候用一般静力学平衡方法，什么时候用摩擦角的方法更为简单。下面让我们来看一下考虑摩擦的平衡问题的例题例1（取自教材中例5-9）设一物块放在粗糙斜面上，如右图所示。斜面与物块间的摩擦系数为，问平衡时满足什么条件？ 解法一：列出沿着斜面和垂直斜面方向的平衡方程 n=wcos, f=wsin又由于平衡时有 fn故 tan解法二：物块受主动力为重力w 根据平衡的充分必要条件是主动力作用在摩擦锥内且方向指向接触点 因此主动力w与约束面法向的夹角应满足 m=arctan（f/n）=arctan评论：这是有摩擦平衡问题中最基本的例题，此题的受力分析图也是最根本有摩擦受力图。选此题的目的主要

5、为说明摩擦平衡问题的最一般解法：在受力平衡的条件下，保证fn，以求解。由于摩擦角的引入就是为了简化这种解题过程。他将受力平衡直接归结为三个力的平衡问题，即：法向约束反力n、摩擦力f和主动力p.，在将所有力平衡转化为三力平衡的同时，将约束条件m转化为主动力作用线在摩擦锥内且方向指向接触点。这样一来有摩擦的平衡问题就被大大简化。以例一为例，解法一中的fn实际就是m，而也就是主动力与平面法向的夹角。所以说，用摩擦角及摩擦锥的概念，是解决考虑摩擦的平衡问题的简化解法。例2如右图，在倾角为的两个斜面上，放一长l的水平办，板上有一重物。设板与斜面间的摩擦角为m，板的重量不计，求平衡是重物在板上的位置x。解

6、：ab板上只受三个力的作用，采用几何法比较方便。当接触处光滑时，根据三力平衡汇交定理，可知重力w的作用线必定通过a、b出法向反力的交点e，即重物应位于平板的重点（x=l/2）才能使板平衡。但考虑到摩擦阻力的作用，则重物可以放在板中间的某一范围，仍使板平衡，平衡范围的左、右两端是重物的极限位置。 设重物自中点k向右移动，此时a点将沿斜面有向上滑动趋势，而b点将沿斜面有向下滑动的趋势。当重物右移到极限位置x0时，a、b处的全约束力为ra与rb，它们与法线的夹角均等于摩擦角m。摩擦角相对于发现的偏转方向与相对滑动趋势的方向相反，即与摩擦力的指向一致。根据三力平衡汇交定理，重力w的作用线必通过全约束力

7、ra与rb的交点o,其受力图如下所示。由摩擦力的性质知，a、b处的全反约束力只能在摩擦角之内，即全约束反力ra与rb的作用线的交点，只可能在o点或o 点的左侧直至e点。故当重力w的作用线在eo阴影区中时，无论此力多么大，三力必将汇交，因而板处于平衡状态。若力w的作用线在o点右侧，则三力不可能汇交，因此板将滑动。 根据图中的几何关系可知oba=90-+maob=2 由正弦定理得 oa=(l/sin2)sin(90-+)= (l/sin2)cos(-m) 又x0=ac=oacos(90-m) =(l/sin2)cos(-m)sin(+m)=l(1+sin2m/sin2)/2 (1)当重物自中点k向

8、左移动时，板仍可保持平衡，但此时b点将沿斜面有向上滑动趋势，a点将沿斜面有向下滑动趋势，当重物左移到临届位置x0 时，全反约束力ra与rb 的作用线位置如图所示。三力汇交点o即为重物左移时的极限位置。当重力w的作用线在oe阴影区内时，必能满足三力汇交条件，无论力w多大板将保持平衡。同理可求得x=ad=l(1- sin2m/sin2 )/2 (2)综合式（1）与式（2），重物的位置必须满足一定的范围，才能保证板平衡，即 l(1- sin2m/sin2)/2xl(1+sin2m/sin2)/2从式（1）、（2）分析中可知，当m或90-m时， xcl, xd 0, 即重物在板上任何位置均能保持平衡。

9、评论：由上例可见，当物体只受三力作用而平衡时，采用几何法求解较为方便，其解题步骤如下：（1） 取研究对象并画受力图 与解析法所不同的是：在有摩擦处，应根据摩擦角的位置画出全反约束力的方向及作用线的位置。画出极限状态下物体的受力图。（2） 求解根据题目的要求，从受力图中求得极限状态下物体的几何尺寸，或力的作用线位置。亦可根据平衡的几何条件，画出封闭力三角形，求得未知力。（3） 分析平衡范围补充等式即fmax=n,这时，求得的将是极限状态下的平衡条件；因此，还必须根据问题的性质分析解答的平衡范围。例2 （习题课例题）梯子ab靠在墙上，其重为p=200n，如图所示。梯长为l，并与水平面交角=60。已知接触面间的摩擦系数均为0.25。今有一重650n的人沿梯上爬，问人所能达到的最高点c到a的距离s应为多少？解：杆与人所组成的系统在重力、支持力、摩擦力下起初处于平衡态 由r=0: rx=0即 fa=nb (1) ry=