组合与组合数公式2

1、2021/3/10讲解：XX1 组合与组合数公式 （二） 2021/3/10讲解：XX2 98 100 2 10 2 4 2 3 2 2 )2( 1 C CCCC）（ 计算： 2021/3/10讲解：XX3 ! ) 1()2)(1( m mnnnn P P C m m m n m n ! )( ! ! mnm n C m n 一、组合的定义 二、组合数公式 复习 2021/3/10讲解：XX4 例. 1 1 C mn m C m n m n :求证 , ! : ）（ ！ 证明 mnm n C m n )!1()!1( ! 111 mnm n mn m mn m C m n )!1)( ! )!

2、1( 1 mnmn n m m . ! )( ! ! C mnm n m n 2021/3/10讲解：XX5 写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。 a abc ， abd ， acd ， bcd . bcd d b c c d 2021/3/10讲解：XX6 abc abd acd bcd d c b a 4 3 4 C 4 1 4 C 34 4 3 4 CC 从从4个不同元素中每次取出个不同元素中每次取出3个的一个组合，个的一个组合， 和剩下的（和剩下的（4-3）个元素的组合是一一对应的。）个元素的组合是一一对应的。 2021/3/10讲解：XX7 推广推

3、广: 从从 n个不同元素中取出个不同元素中取出 m个元素的每个元素的每 一个组合，与剩下的一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个个元素的每一个 组合一一对应，所以从组合一一对应，所以从 n个不同元素中取个不同元素中取 出出 m个元素的组合数，等于从这个元素的组合数，等于从这n 个元素个元素 中取出中取出n-m 个元素的组合数，即个元素的组合数，即 cc mn n m n 2021/3/10讲解：XX8 组合数的两个性质 .1 CC mn n m n : 定理 , ! : ）（ ！ 证明 mnm n C m n ! ! )( ）（ ！ mnnmn n C mn n ! )( ! mnm n ！

4、. CC mn n m n 2021/3/10讲解：XX9 3、性质1的应用 (1)当m 时，利用这个公式，可使 的计算简化 2 n c m n 如：如： 36 21 892 9 79 9 7 9 ccc 4950 21 991002 100 98 100 cc （2）当）当m=n时时, 有有 所以规定所以规定1 0 c c n n n 1 0 c n 2021/3/10讲解：XX10 1、（课本、（课本101例例4）一个口袋内装有大小相同的）一个口袋内装有大小相同的 7个白球和个白球和1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内

5、取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，个黑球， 有多少种取法？有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？多少种取法？ 56 3 8 C 21 2 7 C 35 3 7 C 解：解：（1） 性质性质2 2021/3/10讲解：XX11 我们可以这样解释：我们可以这样解释：从口袋内的从口袋内的 8个球中所取出的个球中所取出的3个球，可以分为个球，可以分为 两类：一类两类：一类含有含有1个个黑球，一类不含黑球，一类不含 有黑球因此根据分类计数原理，有黑球因此根据分类计数原理， 上述等式成立上述等式成立 我们发现：我们发现：

6、3 8 C 2 7 C 3 7 C 为什么呢为什么呢 2021/3/10讲解：XX12 到一个怎样的公式？）从上面的结果可以得（ 的？个是不含有）在这些组合里有多少（ 的？个是含有）在这些组合里有多少（ 组合？）可以有多少个不同的（ 个元素。每次取出 个不同元素中，这从 4 3 2 1 1, 1 1 1321 a a m naaaa n 2021/3/10讲解：XX13 推广推广:从从 这这n+1个不同个不同 的元素中，取出的元素中，取出m个元素的组合数个元素的组合数 ，这些组合，这些组合 可以分成两类：一类含可以分成两类：一类含 ，一类不含，一类不含 。含。含 的组的组 合是从合是从 这这n

7、个不同元素中取出个不同元素中取出m-1个个 元素的组合数为元素的组合数为 ；不含；不含 的组合是从的组合是从 这这n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的组合数为个元素的组合数为 ， 再由加法原理，得再由加法原理，得 aaa n121 , a1 a1a1 aaa n132 , c m n 1 a1aaan 132 , c m n c m n1 ccc m n m n m n 1 1 性质性质2 2021/3/10讲解：XX14 .2 1 1CCC m n m n m n : 定理 CC m n m n 1 :证明 )!1()!1( ! )!( ! ! mnm n mnm n )!1(

8、! !) 1( ! mnm mnmnn )!1( ! !)1( mnm nmmn !) 1(! )!1( mnm n . 1C m n 2021/3/10讲解：XX15 注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之 和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较 大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用 ccc m n m n m n 1 1 2021/3/10讲解：XX16 例计算： ; 198 200 )1( C ; 2 99 3 99 )2( CC . 2 2 8 3 9 3 8 )3( CCC )19900 1

9、2 199200 ( 2 200 C 161700 123 9899100 3 100 C 56 3 8 2 8 2 8 3 8 3 8 )(2 CCCCC 2021/3/10讲解：XX17 ; 1 11 1 1 )1( CCCC m n m n m n m n . 2 1 2 11 )2( CCCC m n m n m n m n 例2 求证: . 1 1 1 11 1 )1( C CC CCC m n m n m n m n m n m n 证明: . )()( 2 1 2 1 1 1 11 11 )2( C CC CCCC CCC m n m n m n m n m n m n m n

10、m n m n m n 2021/3/10讲解：XX18 计算：计算： 6 9 5 8 4 7 3 7 CCCC 求证：求证： n m C 2 n m C + 1 2 n m C+ 2n m C 解方程：解方程： 32 13 1 13 xx CC 解方程：解方程： 3 3 3 2 2 2 10 1 x x x x x ACC 计算：计算： 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 5 CCCCCC 推广：推广： nn n n nnnn CCCCC2 1210 练习: 2021/3/10讲解：XX19 例3平面内有12个点，任何3点不在 同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个

11、三角形? 220 123 101112 3 12 C 答:一共可画220个三角形. 2021/3/10讲解：XX20 思考交流 1. 从9名学生中选出3人做值日,有多 少种不同的选法? 2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本, 有多少种不同的借法? )84 123 789 ( 3 9 C )10 12 45 ( 2 5 C 2021/3/10讲解：XX21 例4有13个队参加篮球赛,比赛时先 分成两组,第一组7个队,第二组6个队. 各组都进行单循环赛(即每队都要与 本组其它各队比赛一场),然后由各组 的前两名共4个队进行单循环赛决出 冠军、亚军,共需要比赛多少场? )4261521 2 4 2 6 2 7 ( CC C 2021/3/10讲解：XX22 例5 在产品检验时,常