第07讲自主招生数学试题中的三角函数

1、 第七讲:三角函数 1 第七讲:自主招生数学试题中的三角函数杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码 三角函数既有其丰富的性质和理论体系,又具有独特的方法功能,因此是各类考试必关注的重点之一.纵向分析,高考重点考察三角函数的性质,联赛着意于变形及应用的技巧,自主招生考试中的三角函数问题则更关注三角变换、反三角函数和综合应用. .知识拓展 1.三倍角公式:sin3=3sin-4sin3=4sin(-)sinsin(+),cos3=4cos3-3cos=4cos(-)coscos(+),tan3=tan(-)tantan(+); 2.万能公式:sin=,cos=,t

2、an=; 3.积化和差公式:sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-); 4.和差化积公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2cossin,cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin; 5.最小正周期:若周期函数f(x),g(x)的最小正周期分别是t1,t2,且是有理数,则f(x)g(x),f(x)g(x),(g(x)0)均是周期函数,且f(x)g(x)的最小正周期t是t1与t2的“最小公倍数t1,t2”,f(x)g(x), 的最小

3、正周期t不超过t1与t2的“最小公倍数t1,t2”;函数定义域值域奇偶性单调性y=arcsinx-1,1-,奇函数递增y=arccosx-1,10,非奇非偶递减y=arctanxr(-,)奇函数递增y=arccotxr(0,)非奇非偶递减 6.反三角函数:性质:公式:当x-1,1时,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x,sin(arccosx)=,cos(arcsinx)=,arcsin(-x)=-arcsinx,arcos(-x)=-arccosx,arcsinx+arccosx=;当xr时,tan(arctanx)=x,cot(arccotx)=x,tan(arcco

4、tx)=(x0),cot(arctanx)=(x0),arctan(-x)=-arctanx,arccot(-x)=-arccotx,arctanx+arccotx=. 7.简单三角方程:定义:当|a|1时,sinx=a的解集为,当|a|1时,sinx=a的解集为x|x=k+(-1)karcsina,kz,当|a|1时,cosx=a的解集为,当|a|1时,cosx=a的解集为x|x=2karccosa,kz,当r时,tanx=a的解集为x|x=k+arctana,kz,当r时,cotx=a的解集为x|x=k+arccota,kz. 2 第七讲:三角函数 .归类分析 1.同角关系:例1:(200

5、7年复旦大学保送生考试试题)已知sin、cos是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,这里ar,则sin3+cos3=( )(a)-1- (b)1+ (c)-2+ (d)2-解析:练习1:1.(2008年清华大学自主招生数学试题)已知sin+cos=,求的取值范围. (2008年武汉大学保送生考试试题)如果sin3+cos30,那么sin+cos的取值范围为( )(a)-,0) (b)-,1) (c)(0, (d)(0,) (2008年上海交通大学保送生考试试题)若cosx-sinx=,则cos3x-sin3x= .2.(2005年复旦大学保送生考试试题)已知sin+cos=a(0a),求关

6、于sinn+cosn的表达式. (2006年清华大学自主招生数学试题)已知sin,sin,cos为等差数列,sin,sin,cos为等比数列,求cos2-cos2的值. (2008年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知0x0,0,+,求tan2. (1992年全国高考试题)己知a)在0x中有两个相异实根,求cos(+). (2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a=+,b=+,则= . (原创题)己知数列an的前n项和sn=an+n2.()求数列an的通项公式;()设bn=cosan,求数列bn的前n项和tn. 6.三角方程:例6:(2010年北京大学自主招生数学试题)是否存在0x0,y0,

7、且满足,则有序数对(x,y)= . (2012年全国高中数学联合竞赛江西预赛试题)如果两个锐角,满足:(sin+cos)(sin+cos)=2,则(sin2+cos3)2+(sin2+cos3)2= . (2012年全国高中数学联合竞赛山东预赛试题)设函数f(x)=sinx+cosx+1.()求函数f(x)在0,上的最大值与最小值;()若实数a,b,c使得af(x)+bf(x+c)=1对任意xr恒成立,求的值. 第七讲:三角函数 5 7.周期性质:例7:(2007年复旦大学保送生考试试题)已知函数f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+2sin(+2x).其中 x为实数,且k为整数,则f

8、(x)的最小正周期为( )(a) (b) (c) (d)2解析:练习7:1.(2001年复旦大学保送生考试试题)函数g(x)=cosxcos(x-)的最小正周期为( )(a)2 (b) (c)2 (d)1 (2012年全国高中数学联赛河北初赛试题)函数f(x)=2sin-cosx的最小正周期为_. (2012年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=arcsin(cosx),则f(f(f(x)的最小正周期为 .2.(2012年“卓越联盟”自主招生数学试题)设f(x)=sin(x+)(0,r),若存在t(t0,且a1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=axm;()若函数f(x)

9、=sinkxm,求实数k的取值范围. (2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)是周期函数,t和1是f(x)的周期,且0tanan+10(n=1,2,),且每个an(n=1,2,)都是f(x)的周期. 8.对称性质:例8:(2012年“北约”自主招生数学试题)求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在0,)有唯一解的a.解析:练习8:1.(1993年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=asinx+b+4(a,b为实数),且f(lglog310)5，则f(lglg3)的值是( )(a)-5 (b)-3 (c)3 (d)随a,b取不同值而取不同值 (1994全国高中数学联赛试题)已知x

10、,y-,ar,且,则cos(x+2y)= . (2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)若f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)为奇函数,且在0,为减函数,则的一个值为( )(a) (b) (c)- (d)-2.(2007年第十八届希望杯数学邀请赛高一试题)函数y=asin(x+)(a0,0)在同一周期内,当x=时,ymax=3;当x=时,ymin=-3,则函数y的解析式是 . 6 第七讲:三角函数 (2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知函数y=sinx+acosx的图像关于直线x=对称.则函数y=asinx+cosx的图像关于直线( )对称.(a)x= (b)x= (c)x=

11、(d)x= (2007年全国高中数学联赛试题)已知函数f(x)=(x),则f(x)的最小值为 . 9.有界性质:例9:(2012年“卓越联盟”自主招生数学试题)函数y=(r)的值域是 .解析:练习9:1.(2002年上海交通大学保送生考试试题)函数y=的值域是 . (2007年上海交通大学保送生考试试题)设函数f(x)=|sinx|+|cosx|,试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性),求极值,并作出其在0,2内的图像. (2007年上海交通大学保送生考试试题)设a0,且函数f(x)=(a+cosx)(a+sinx)的最大值为,则a= .2.(2010年全国高中数学联赛试题)已

12、知函数y=(acos2x-3)sinx的最小值为-3,则实数a的取值范围是 . (2004年复旦大学保送生考试试题)若存在m,使对任意xd(d为函数f(x)的定义域),都有|f(x)|m,则称函数f(x)有界.问函数f(x)=sin在(0,)上是否有界？ (2009年上海春季高考试题)设函数fn()=sinn+(-1)ncosn,0,其中n为正整数.()判断函数f1()、f3()的单调性,并就f1()的情形证明你的结论;()证明:2f6()-f4()=(cos4-sin4)(cos2-sin2);()对于任意给定的正整数n,求函数fn()的最大值和最小值. 10.三角代换:例10:(2004年

13、同济大学保送生考试数学试题)试用三角函数求函数f(x)=4-2x2+x的最大值与最小值.解析:练习10:1.(2002年复旦大学保送生考试试题)在0,内,方程acos2x+3asinx-2=0有且仅有两解,求a的取值范围. (2003年同济大学保送生考试数学试题)函数y=cos2x-2cosx,x0,2的单调区间是 . (2009年北京大学自主招生数学试题)已知对任意x均有acosx+bcos2x-1恒成立,求a+b的最小值. (2012年全国高中数学联赛试题(a卷)已知函数f(x)=asinx-cos2x+a-+,ar,a0.()若对任意xr,都有f(x)0,求a的取值范围;()若a2,且存

14、在xr,使得f(x)0,求a的取值范围.2.(2012年全国高中数学联合竞赛湖北预赛试题)已知正实数a,b满足a2+b2=1,且a3+b3+1=m(a+b+1)3,求m的最小值. (2008年江苏高考试题)设函数f(x)=ax3-3x+1(xr),若对于任意x-1,1,都有f(x)0成立,则实数a的值为 . (2010年复旦大学保送生考试试题)参数方程(a0)所表示的函数y=f(x)是( )(a)图像关于原点对称 (b)图像关于直线x=对称 (c)周期为2a的周期函数 (d)周期为2的周期函数 第七讲:三角函数 7 11.三角构造:例11:(2008年同济大学保送生考试数学试题)设方程acos

15、x+bsinx+c=0(a0,ca)在0xb0)上任意两点p,q,若opoq,则乘积|op|oq|的最小值为 .2.(2009年中科大保送生考试数学试题)0,则+的最小值是 . (2012年全国高中数学联合竞赛江西预赛试题)函数y=x(1+)的最大值是 . (中等数学.2007年第12期.数学奥林匹克高中训练题(104)已知数列an满足:a1=1,an+1=an+.求证:a1+ 8 第七讲:三角函数 a2+an. 第七讲:三角函数详解 1 第七讲:三角函数详解杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码 三角函数既有其丰富的性质和理论体系,又具有独特的方法功能,因此

16、是各类考试必关注的重点之一.纵向分析,高考重点考察三角函数的性质,联赛着意于变形及应用的技巧,自主招生考试中的三角函数问题则更关注三角变换、反三角函数和综合应用. .知识拓展 1.三倍角公式:sin3=3sin-4sin3=4sin(-)sinsin(+),cos3=4cos3-3cos=4cos(-)coscos(+),tan3=tan(-)tantan(+); 2.万能公式:sin=,cos=,tan=; 3.积化和差公式:sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-)

17、; 4.和差化积公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2cossin,cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin; 5.最小正周期:若周期函数f(x),g(x)的最小正周期分别是t1,t2,且是有理数,则f(x)g(x),f(x)g(x),(g(x)0)均是周期函数,且f(x)g(x)的最小正周期t是t1与t2的“最小公倍数t1,t2”,f(x)g(x), 的最小正周期t不超过t1与t2的“最小公倍数t1,t2”;函数定义域值域奇偶性单调性y=arcsinx-1,1-,奇函数递增y=arccosx-1,10,非奇非偶递减y=arctanxr(-,)奇函数递

18、增y=arccotxr(0,)非奇非偶递减 6.反三角函数:性质:公式:当x-1,1时,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x,sin(arccosx)=,cos(arcsinx)=,arcsin(-x)=-arcsinx,arcos(-x)=-arccosx,arcsinx+arccosx=;当xr时,tan(arctanx)=x,cot(arccotx)=x,tan(arccotx)=(x0),cot(arctanx)=(x0),arctan(-x)=-arctanx,arccot(-x)=-arccotx,arctanx+arccotx=. 7.简单三角方程:定义:当

19、|a|1时,sinx=a的解集为,当|a|1时,sinx=a的解集为x|x=k+(-1)karcsina,kz,当|a|1时,cosx=a的解集为,当|a|1时,cosx=a的解集为x|x=2karccosa,kz,当r时,tanx=a的解集为x|x=k+arctana,kz,当r时,cotx=a的解集为x|x=k+arccota,kz. 2 第七讲:三角函数详解 .归类分析 1.同角关系:例1:(2007年复旦大学保送生考试试题)已知sin、cos是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,这里ar,则sin3+cos3=( )(a)-1- (b)1+ (c)-2+ (d)2-解析:由sin+

20、cos=a,sincos=a,(sin+cos)2=1+2sincosa2=1+2aa=1,又因a=sin+cos=sin(+)a=1-sin3+cos3=(sin+cos)(1-sincos)=a-a2=-1-a=-2+.选(c).练习1:1.(2008年清华大学自主招生数学试题)已知sin+cos=,求的取值范围.解:因sin+cos=sin+cos=sin+cos02k-,2k+,kz. (2008年武汉大学保送生考试试题)如果sin3+cos30,那么sin+cos的取值范围为( )(a)-,0) (b)-,1) (c)(0, (d)(0,)解:设t=sin+cos=sin(+)-,由

21、(sin+cos)2=1+2sincossincos=(t2-1),所以,sin3+cos30t1-(t2-1)0-t.综上t-,0).选(a). (2008年上海交通大学保送生考试试题)若cosx-sinx=,则cos3x-sin3x= .解:由cosx-sinx=1-2sinxcosx=sinxcosx=cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(1+sinxcosx)=.2.(2005年复旦大学保送生考试试题)已知sin+cos=a(0a),求关于sinn+cosn的表达式.解:由sin+cos=a,(sin+cos)2+(sin-cos)2=2sin-cos=sin=,cos=si

22、nn+cosn=()n+()n. (2006年清华大学自主招生数学试题)已知sin,sin,cos为等差数列,sin,sin,cos为等比数列,求cos2-cos2的值.解:由2sin=sin+cos,sin2=sincos4sin2=1+2sin22(1-cos2)=1+(1-cos2)cos2-cos2=0. (2008年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知0x0,0,+,求tan2.解:由0+,sin(+)=cos(+)=,-,sin(-)=-cos(-)=tan(+)=,tan(-)=-tan2=tan(+)+(-)=. (1992年全国高考试题)己知,cos(-)=,sin(+)=-,

23、求sin2的值.解:由0-,+02k-x2k+;y=sinx+cosx=sin(x+),由2k+x+2k+2k+x2k+f(x)的单调递增区间是2k+,2k+)(kz). (2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数y=|sinx|+|cosx|(xr)的单调减区间是 .解:函数y=|sinx|+|cosx|=,t=k+k+.2.(2011年“华约”自主招生试题)若a+b=,则cos2a+cos2b的最小值和最大值分别为( )(a)1-, (b), (c)1-,1+ (d),1+解:cos2a+cos2b=(cos2a+cos2b)+1=cos2a+cos(-2a)+1=-sin(2a-)+

24、1,.选(b). (2010年复旦大学保送生考试试题)设,-,且满足sincos+sincos=1,则sin+sin的取值范围是( )(a)-, (b)-1, (c)0, (d)1,解:由,-,+-,;又由sincos+sincos=1sin(+)=1+=-,0,+,sin(+),1sin+sin=sin+cos=sin(+)1,.选(d). (2009年复旦大学保送生考试试题)已知关于x的方程sinx+2cos2=a在区间(0,2)内有两个不同的根,则常数a的取值范围是( )(a)-1,3 (b)(-1,2)(2,3) (c)(-1,3) (d)-1,2)(2,3解:sinx+2cos2=asinx+cosx=a-1sin(x+)=(a-1);在区间(0,2)内有两个不同的根-1(a-1)a)在0x中有两个相异实根,求cos(+).解:由a(cos-cos)+b(sin-sin)=0-2asinsin+2bcossin=0(sin0)tan=cos(+)=; (2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a=+,b=+,则= .解:显然=+=cos1.50+cos3.50+cos43.50(注意到2cosxsin10=sin(x+10)-sin(x-10)cosx=sin(x+10)-sin(x-10)=(sin2.50-sin0.50)