数学建模论文储油罐的变位识别与罐容表标定1

1、储油罐的变位识别与罐容表标记摘 要 本文讨论的是储油罐的变位识别与罐容表的标定问题。由于储油罐的变位分纵向倾斜和横向偏转两种情况，我们运用数学分析中求立体图形体积的方法（重积分）对储油罐中油的体积作了详细的研究，求出了在变位的情况下储油量与油浮子高度及变位参数之间的函数关系,从而精确地给出了罐体变位后油位高度的罐容表标定值。对于问题一我们先就罐体无变位前的情况运用微元法，将罐体横向切割成若干块再对其任意一块求它的定积分，从而得到了油的体积；对罐体发生纵向变位后我们先运用几何学中扇形面积公式求出了两种情况下的侧面面积，又考虑到储油罐的倾斜，我们再分七种不同情况，通过积分分别求出了相应的油的体积，

2、最后我们用matlab软件在油面高度相同的情况下做出了变位前和变位后油的体积的散点图，接着我们通过所得到的模型一，给出了变位后油面高度间隔为1cm的罐容表的标定值（见附表一）。对于问题二我们将罐体的变位过程划分为没有发生变位前,发生纵向倾斜，发生横向偏转3个独立的过程来求解。运用解析几何学中求曲面方程的方法分别在3个过程中求出了油表面的各个曲面的方程，通过计算二重积分得到了罐内储油量与油位高度及变位参数之间的函数关系，并利用实验数据拟合出了变位参数的值，。给出了变位后油位高度间隔为10厘米的罐容表标定值。计算了模型的误差，验证了方法的可靠性。关键词： 微元法 解析几何 变位 参数拟合一. 问题

3、的提出通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决

4、储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm

5、的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二. 问题的分析本题是关于储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。题中两个问题分别提及了小椭圆型储油罐和实际储油罐，对此我们作出了如下分析：对问题一的分析：考虑到小椭圆型储油罐变位后对罐容表的影响，我们可以先就储油罐没有发生变位时罐内所装油的体积做研究，对此我们应以储油罐的中心为坐标原点，建立坐标系，再采用分割求和的思想将小椭圆型储油罐横向切割成若干块，求出任意一块的横截面积，然后通过定积分，求出罐内所装油的体积。对于储油罐发生纵向变位的情况，我们可以 先计算储油罐侧面椭圆的面积，按照罐内油的高度超过其面积一

6、半和没有超过其面积的一半这两种情况分别讨论，如下图： 根据扇形面积计算公式分别求出油的纵向截面的面积，分别根据侧面积的变化求出油的体积。针对储油罐没有发生变位和发生变位的两种情况，在罐内油面高度相同时对油的体积做比较并计算它们的值，从而确立变位对罐容表的影响。对问题二的分析：考虑到罐体变位后罐容表的标定问题，首先我们以储油罐的中心为坐标原点，水平方向为y轴，竖直方向为z轴垂直于yoz面为x轴，建立直角坐标系，分别求出在三个过程（没有发生变位时，发生纵向倾斜后，发生横向倾斜后）中围成油的各个曲面的方程，即油面方程，柱面方程，油罐两端处的球面方程，然后利用这些方程通过计算重积分计算出油的体积，从而

7、确定出油的体积（储油量）与油面高度及变位参数之间的关系。利用所给实验数据可确定出的值并检验模型的精确度。三. 模型假设 在对上述问题进行深入探讨之后，我们作出如下假设：（1） 不考虑储油罐罐壁的厚度；（2） 忽略油位探针，注油管，出油管的体积对储油罐内油量体积的影响；（3） 假设储油罐位置发生变化时，储油罐本身只有旋转，没有平移；（4） 假设储油罐罐容校正系统符合国家标准；（5） 不计卸油过程中液面波动对液位仪的影响； 四. 符号说明 罐体无变位时油量高度 罐体变位时的油量高度 小椭圆型储油罐长半轴长 小椭圆型储油罐短半轴长 储油罐的长度 罐体纵向变位后油量的高度 任意侧切界面上的油面高度v

8、同一页面高度下椭圆柱体内油的体积h 罐内油的液面高度（标定高度） 不同情况下储油罐中油的体积（i=0，1，2，3，4，5，6）s 椭圆里的扇形面积 油量超过一半时椭圆油面面积 油量未过半时椭圆油面面积r 实际储油罐球的半径 横向偏转后的油面高度五. 模型的建立通过上述对问题的分析我们建立了如下模型：模型一分别考虑储油罐无变位和纵向变位两种状况：一、储油罐发生变位前 o-bxbyhh)-aa 根据积分概念，体积元素 因为： 所以： 二、储油罐发生纵向变位后设油罐两端侧面的椭圆表达式为，先把椭圆中的扇形面积放到第一象限考虑,有则面积的积分为从0到a的定积分;由参数方程:则面积的积分化为：-从到的定

9、积分,也就是从到的定积分(注意交换积分区域)现在考虑任意扇形面积，为从扇形的终止边对应的角到起始边对应的角的积分.即：从到的定积分等于： 1、储油罐无变位时考虑到储油罐中油量高度超过椭圆面的一半和不超过椭圆面的一半的情况不同，我们做出了如下的两种情况：情况一：如下图一这个问题不是求扇形面积,但相当于扇形与三角形的组合.由于下面半椭圆面积为pi*ab/2, 三角形用底*高/2就可以解决.剩下两块对称的扇形,做从到的定积分的倍(就是扇形和三角形交界线和水平x轴的夹角)扇形面积=化简得:扇形面积于是得下图一黑色部分面积储油罐中油量总体积为： 图一 图二情况二：如图二右侧情况相当于整个椭圆面积减去黑色

10、部分扇形面积储油罐中油量总体积为： 2、储油罐有变位时根据储油罐内所装油的体积变化我们可以划分为以下7种情况：如下图（直线代表的是此情况下的油面高度，它们始终与水平面平行）：第7种分法第6种分法油位探针5储油罐右侧椭圆中心4储油罐左侧椭圆中心3第1种分法2 a) 油浮子紧贴罐底内壁时罐内的油量（） 此时，虽然罐内有油，罐容表示数为零，油浮子失去作用。b) 储油罐中油面的高度在右侧到达椭圆轴的底部，左侧在椭圆轴的底部和中心之间（）此时储油罐体积代入上式得： c) 储油罐中油面的高度右侧在椭圆轴底部和中心之间，左侧到达椭圆轴中心 （）此时储油罐体积 d) 储油罐中油面的高度右侧在椭圆轴底部和中间之

11、间，左侧在椭圆轴中心和轴上部之间 （）此时油面有超过椭圆中心的低于椭圆中心的两部分，因此我们可以把储油罐再借点分开，分开时界点离储油罐左端的距离：代入上述公式：此时储油罐体积 e) 储油罐中油面的高度右侧在椭圆轴中心和轴上部之间，左侧到达椭圆轴顶部 （）此时储油罐体积 f) 储油罐中油面的高度还在上升，但左侧的油将沿储油罐的内上壁向右开始蔓延（）我们把储油罐分为装满有部分和没有装满两部分。此时储油罐体积 g) 油浮子紧贴罐内上壁时罐内的油量 （）此时，罐容表示数达到最大，油浮子失去作用。模型二：考虑到罐内油的表面是由各个不同的曲面围成的，对此我们列出了3个过程中各自的曲面方程如下图，以中心为坐

12、标原点，通过所给数据可算出圆半径： 由 算出圆半径r=1.625m所以两端处圆心坐标分别为：(0,-3.375,0) (0,3.375,0) zxy没有发生变位前油罐各个平面方程：（1）圆柱面方程： 两端处球面方程为：（1） 油平面方程为：可以得到：纵向倾斜角为时各平面方程：（1）柱面方程：（2） 球面方程：(3)油面方程为： 横向偏转角为时，仅有出油管注油口检查口水平线倾斜时，我们将油的体积分成三部分如上图所示，每一个部分由一个二重积分来计算 六. 模型的求解（1） 对问题一的求解首先我们把油面高度0-1.5dm以间隔为1cm划分开后就模型一的两种情况，计算了储油量，如下表：油面高度00.1

13、0.20.30.40.50.60.7未变位储油量05.314.927.442.058.676.896.6变位后储油量023.245.968.290.0111.4132.3152.7油面高度0.80.91.01.11.21.31.41.5未变位储油量117.7140.0163.6188.2213.9240.6268.1296.5变位后储油量172.7192.2211.3229.8247.9265.6282.7299.3为了使得到的结果更明显，我们又画出了随油面高度变化，变位前储油量和变位后储油量的散点图，如下 图像说明：o代表变位后储油量随油面高度的变化情况 代表变位前储油量随着油面高度的变化情

14、况由图中我们可以得到油浮子高度在0到1.5dm时储油量的变化情况。依次类推，作出纵向变位后在前面所述的7种情况下，油面高度变化时储油量的变化图，然后通过matlab软件将各段的图像链接起来作出下图：图中我们可以得到，油浮子高度在0到12dm时，随着高度的变化，无变位储油量的变化率逐渐升高，而无变位的油量变化率基本上是一个定值，而且当油位高度一定时，变位后的储油量总比无变位时测出的储油量多。罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值见附表一。模型检验：通过matlab软件我们将78个同一油面高度下的实际值和我们做出来的理论值之差的绝对值算出后，然后加起来为483.0876l,由于实际储油量都在

15、500l到4000l之间，平均误差大约为l,误差比较小。（2） 对问题二的求解在模型二中，利用所给的实验数据拟合出的值，并且计算出油浮子高度从500毫米到2500毫米（间隔100毫米）对应的储油量（单位：升）如下：58368492.311149138051646119118217742443027086297433239935055377124036843024456814833750993536495630658962作为罐容表标定值。为了验证我们的方法的可靠性和准确性，我们计算了模型理论值与实验数据的误差为501.3。 我们还做出了在有变位和无变位情况下罐容量与油浮子高度的关系图。如下图，

16、图中显示，变位后油位高度在同体积的情况下较无变位时略低。七. 模型的评价（1）模型一能分别对不同情况讨论并巧妙运用微元法求出罐内油的体积。（2）所建立的模型在检验中只使用了一部分数据，因此产生了误差。参考文献1吕林根 许子道，解析几何，北京：高等教育出版社，2006.52华东师范大学数学系编，数学分析，北京：高等教育出版社，20013赵静 但琦，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2003.6附表一当油浮子在储油罐中的高度（单位为l）从0 dm到12 dm变化时储油量的变化（间隔为0.1dm）：:200.21245.1289.54333.58377.26420.63463.72506.5

17、4549.13591.49633.64675.61717.39759800.45841.75882.9923.92964.81005.61046.21086.71127.11167.41207.61247.71287.71327.71367.51407.21446.91486.51525.91565.41604.716441683.21722.31761.41800.31839.31878.11916.91955.71994.420332071.62110.12148.621872225.32263.62301.92340.12378.32416.42454.42492.52530.42568

18、.42606.22644.12681.92719.72757.42795.12832.72870.32907.92945.42982.93020.33057.73095.13132.53169.832073244.33281.53318.73355.83392.9343034673504354135783614.93651.83688.73725.53762.33799.13835.83872.63909.33945.93982.64019.24055.84092.34128.94165.44201.9附表二调用函数一：function y=wubian(h)a=8.9;b=6;l=24.5;

19、y=a/b*l*(h-b).*sqrt(h.*(2*b-h)+b2*asin(h./b-1)+1/2*pi*b2调用函数二：function f=tixing(x,y)sum=0;s=size(x,2);for i=2:s-1 sum=sum+y(i);end;f=0.001*(2*sum+y(1)+y(s)/2;算出油面高度从0dm到1.5dm储油量的主程序：clearx=0:0.1:1.5;y=wubian(x);hold onplot(x,y,*)alfa=4.1*pi/180;a=0;for i=1:15 h=0.01*i; x=(h-0.01):0.001:h; y=you1(x); a=(a