数学物理方程举例和基本概念讲解

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章第一章 典型方程与定解条件典型方程与定解条件 引言引言 物理过程、物理现象 u物物理理量量 如：如：位移、时间、温度、位移、时间、温度、 密度、场强，等等密度、场强，等等. 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。 拉普拉斯拉普拉斯 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿牛顿 基本规律或定律 变化规律 ,y,zx空空间间位位置置 t时时间间 , , ,zuu t x y 物物理理规规律律 从数量形式上刻画了从数量形式上刻画了由相应由相应 的物理定律所确立的的物理定律所确立

2、的某些物某些物 理量之间的相互制约关系理量之间的相互制约关系 泛泛定定方方程程 偏偏微微分分方方程程 边边界界条条件件 初初始始条条件件 定定解解条条件件 += 确确定定系系数数 定定解解问问题题 泛定方程泛定方程反映的是反映的是同一类物理现象的共性同一类物理现象的共性，和具体条件无关。，和具体条件无关。 求解求解 目录 上页 下页 返回 结束 , , u x t P x t x Y 张张应应力力杨杨氏氏模模量量相相对对伸伸长长 概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律： Newton;Fma 牛牛顿顿第第二二定定律律： Hooke

3、 胡胡克克定定律律： 弹弹性性体体的的相相对对和和应应变变成成伸伸长长正正比比，即即 u n n 与与沿沿面面积积元元外外法法线线方方向向 的的温温度度变变化化率率成成正正比比， ddtS也也与与和和成成正正比比，即即 dddtSQ在在时时间间内内，通通过过面面积积元元流流入入小小体体积积元元的的热热量量 在在弹弹性性限限度度内内，弹弹性性体体的的张张单单位位横横截截应应力力面面上上的的内内力力 dd d u QkS t n , , k其其中中， 为为热热传传导导系系数数，由由物物体体的的材材料料决决定定。 u qk n Newton 牛牛顿顿冷冷却却定定律律：k u 物物体体冷冷却却时时放放

4、出出的的热热量量， Fourier 热热传传导导定定律律： FourierFourier实实验验定定律律 q热热流流强强度度 与与物物体体和和外外界界的的 0 uu 边边 温温度度差差成成正正比比，即即 0 uH其其中中为为外外界界介介质质的的温温度度，为为比比例例系系数数。 0 k uH uu 边边 目录 上页 下页 返回 结束 热热量量 质质量量 守守恒恒定定律律： 费费克克 FickFick 定定律律： 扩扩散散定定律律 高高斯斯 GuassGuass 定定律律： 11 , , ,Dtu x y z t物物体体 内内部部各各点点温温度度由由任任一一时时刻刻 的的温温度度 221 , ,

5、,tu x y z tQ变变化化为为 的的温温度度所所吸吸收收 或或放放出出 的的热热量量， 浓浓度度变变化化所所需需增增加加 或或减减少少 的的质质量量 12 tt等等于于从从 到到 这这段段时时间间内内进进入入 或或流流出出 物物体体内内部部的的净净 23 QQ流流热热量量与与物物体体内内部部的的源源所所产产生生的的热热量量之之和和，即即 123. QQQ 一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移 ，这种现象叫，这种现象叫扩散扩散。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。例如：气体、液体、固体中都有扩散现

6、象。 S通通过过任任一一闭闭曲曲面面 的的电电通通量量，等等于于这这个个闭闭曲曲面面所所包包围围的的 1 自自由由电电荷荷的的电电量量的的倍倍，即即 其其中中， 为为介介电电常常数数， 为为电电荷荷体体密密度度。 1 dd, SV ESV nn qqk u 粒粒子子流流强强度度 与与浓浓度度的的下下降降率率成成正正比比，即即 k其其中中， 为为扩扩散散系系数数，负负号号表表示示浓浓度度减减少少的的方方向向。 目录 上页 下页 返回 结束 参考书目参考书目: 数学物理方程学习指导与习题解答数学物理方程学习指导与习题解答 陈才生陈才生 科学出版社科学出版社 2010年年 数学物理方程与特殊函数学习

7、指南数学物理方程与特殊函数学习指南 王元明王元明 高等教育出版社高等教育出版社 2004年年 数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解 赵振海赵振海 大连理工大学出大连理工大学出 版社版社 2003年年 数学物理方法学习指导数学物理方法学习指导 姚端正姚端正 科学出版社科学出版社 2001年年 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 导教导教导学导学导考导考 张慧清张慧清 西北工业大学出版西北工业大学出版 社社 2005年年 超星数字图书馆超星数字图书馆（注（注: 网络图书馆）网络图书馆） 目录 上页 下页 返回 结束 数学物理方程：数学物理方程：

8、 方程的几个基本概念方程的几个基本概念 定义：定义： 主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有 时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。例如：例如： 1 描描绘绘振振动动和和波波 振振动动波波，电电磁磁波波 动动特特征征的的波波动动方方程程: : 2 . ttxx ua uf 2:热热传传导导 反反映映输输或或扩扩运运程程的的散散 方方程程过过 2 , Laplace. t uauf 其其中中 是是算算子子 ;3 描描述述稳稳定

9、定过过程程或或状状态态，如如：引引力力势势和和PoissoPoisso静静电电势势满满足足n n方方程程的的 2 0, Laplace.auh 其其中中 是是算算子子 0, 0.hu 若若则则退退化化为为L La ap pl la ac ce e方方程程: : 双曲型双曲型 抛物型抛物型 椭圆型椭圆型 典型方程典型方程 数学物理方程的发展历史简述数学物理方程的发展历史简述 偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后），偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后）， 人们将力人们将力 学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。 例如：

10、例如：1715年，泰勒年，泰勒（17 46年，达朗贝尔）年，达朗贝尔）研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。这一这一 目录 上页 下页 返回 结束 讨论吸引了众多数学家的注意。讨论吸引了众多数学家的注意。例如：欧拉（例如：欧拉（1759年）和丹年）和丹贝努利（贝努利（1762年年 ）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。 这样就由对弦振动的研究这样就由对弦振动的研究开创开创 了了数学物理方程数学物理方程这门学科这门学科。 随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁随后，人们陆续地了解了

11、流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁 相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规 律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。例如：例如：1780 年，年，Laplace在研究引力势的工作中提出了在研究引力势的工作中提出了Laplace方程。方程。 Euler与与 Lagrange 在流体力学的工作中，在流体力学的工作中，Legendre和和Laplace在天体力学的工作中都研究了调在天体力学的工作中都研究了调 和方程。和方程。

12、所有这些都所有这些都丰富了丰富了这门学科的内容。这门学科的内容。 数学物理问题的研究数学物理问题的研究繁荣起来繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的 解决做出了贡献。如：解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年）年） ，在研究热的传播中，提出了三维，在研究热的传播中，提出了三维 空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，给出了第一个关于解的存在定理，开创了开创了PDE的现代理论的现代理论。到。到19世纪末，二阶世

13、纪末，二阶 线性线性PDE的一般理论已基本建立，的一般理论已基本建立，PDE这门这门学科开始形成学科开始形成。 从二十世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也从二十世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也有了新的面貌有了新的面貌。 不断涌现新的数学物理方程、理论（广义函数论和索伯列夫空间）、方法。不断涌现新的数学物理方程、理论（广义函数论和索伯列夫空间）、方法。 例如：例如： 爱因斯坦方程（引力场），爱因斯坦方程（引力场），Yang-Mills方程（规范场）方程（规范场） 目录 上页 下页 返回 结束 偏微分方程偏微分方程 方程中除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未知函数的偏导

14、数方程中除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未知函数的偏导数( ( 也可仅含偏导数也可仅含偏导数) )的方程称为偏微分方程。的方程称为偏微分方程。 定义定义 一般形式：一般形式： 12 12 , ,0. n n uuu Fx xx uF xxx ，其其中中 为为已已知知函函数数 方程的阶方程的阶 方程中涉及到的未知函数偏导数的最高阶数称为方程中涉及到的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶偏微分方程的阶。 方程的分类方程的分类 线性偏微分方程线性偏微分方程 如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次 的），且其

15、系数仅依赖于自变量，就称之为的），且其系数仅依赖于自变量，就称之为线性偏微分方程线性偏微分方程。 非线性偏微分方程非线性偏微分方程 如果非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），如果非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的）， 则称其为则称其为拟线性偏微分方程拟线性偏微分方程。 若非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），而若非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），而 其系数不含未知函数及其低阶偏导数，则称其为其系数不含未知函数及其低阶偏导数，则称其为半线性偏微分方程半线性偏微分方程。 目录 上页 下页 返回 结束 对对线性偏微分

16、方程线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称之为而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称之为自由自由 项项。 线性偏微分方线性偏微分方 程可分为程可分为 当自由项为零时当自由项为零时齐次方程齐次方程 当自由项为非零时当自由项为非零时非齐次方程非齐次方程 判判断断下下列列方方程程的的类类型型，并并指指例例如如：出出方方程程的的阶阶 222 2 222 1 , , ,; uuuu afx y z t txyz 222 222 2 0; uuu xyy 22 2 22 3 ; uu a tx 24 2 24 4 ,; uu afx t tx 2 2 222 22 5 1210; u

17、uu uuuu yxxyx yxy 3 3 6 0; uuu cu txx 0 7 ; 0 uv xy uv yx 2 0 8 ; 0 u u txx uuc u txx 2阶阶 2阶阶 2阶阶 4阶阶 2阶阶 1阶阶 1阶阶 3阶阶 线性线性 线性线性 线性线性 线性线性 非线性非线性 非线性非线性 线性线性 非线性非线性 非齐次非齐次 齐次齐次 齐次齐次 非齐次非齐次 齐次齐次 半线性半线性 拟线性拟线性 拟线性拟线性 目录 上页 下页 返回 结束 判判断断下下列列方方程程的的类类型型，并并指指例例如如：出出方方程程的的阶阶 22 22 1 1; p uuu up txy ，其其中中是是常

18、常数数2阶阶 22 22 2 , , , ,; uuuuuu a x yb ufx y u xyxyxy 2阶阶 22 22 22 3 ; uu u xy 2阶阶 非线性非线性半线性半线性 非线性非线性拟线性拟线性 非线性非线性完全非线性完全非线性 偏微分方程具有偏微分方程具有3个特点个特点 特点特点1：解的自由度比常微分方程大解的自由度比常微分方程大。这是因为。这是因为n阶常微分方程的解通常依阶常微分方程的解通常依 赖于赖于n个任意个任意常数常数；而对；而对n阶偏微分方程，其解通常依赖于阶偏微分方程，其解通常依赖于n个任意个任意函数函数. 注注：一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等一般地，

19、任意函数的个数与方程的阶数相等. 特点特点2：偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。 注注：常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也 有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。 特点特点2：解具有叠加性解具有叠加性 注注：解的叠加原理对解的叠加原理对任何阶的线性方程任何阶的线性方程都适用，而对都适用，而对非线性方程非线性方程不成立不成立. 目录 上页 下页 返回 结束 定解

20、条件与定解问题定解条件与定解问题 定解条件的定义定解条件的定义 定解条件是确定数学物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一定解条件是确定数学物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一 性的充分必要条件。性的充分必要条件。 定解条件的种类定解条件的种类 定定解解条条件件 初初始始条条件件 边边界界条条件件 衔衔接接条条件件 定定义义：体体现现物物理理过过程程初初始始状状况况的的数数学学表表达达式式 个数：个数：关于时间关于时间t的的n阶偏微分方程，要给出阶偏微分方程，要给出n个个 初始条件才能确定一个特解初始条件才能确定一个特解 定义：体现物理过程边界状况的数学表达式定义：体现物理过程

21、边界状况的数学表达式 种类种类 第一类边值条件第一类边值条件 第二类边值条件第二类边值条件 第三类边值条件第三类边值条件 个数：类似于初始条件的情况个数：类似于初始条件的情况 由于系统由不同介质组成，在两种不同介质的交由于系统由不同介质组成，在两种不同介质的交 界处需给定两个衔接条件界处需给定两个衔接条件 其其他他条条件件：由于物理上的合理性的需要，有时还需对未知函 由于物理上的合理性的需要，有时还需对未知函 数附加以单值、有限、周期性等限制，这类附加数附加以单值、有限、周期性等限制，这类附加 条件称为条件称为自然边界条件自然边界条件. 目录 上页 下页 返回 结束 定解问题定解问题 初值问题

22、：初值问题：由泛定方程和初始条件构成的定解问题，也称为柯西 由泛定方程和初始条件构成的定解问题，也称为柯西 （Cauchy）问题）问题. 边值问题：边值问题：由泛定方程和边值条件构成的定解问题由泛定方程和边值条件构成的定解问题. 混合问题：混合问题：由泛定方程和初、边值条件构成的定解问题由泛定方程和初、边值条件构成的定解问题 . 注意：注意：泛定方程只能反映和描述同一类现象的共同规律，即共性泛定方程只能反映和描述同一类现象的共同规律，即共性. 定解条件定解条件 描述物理问题的特性，即个性。二者构成了描述具体物理问题的定解描述物理问题的特性，即个性。二者构成了描述具体物理问题的定解 问题（数学模

23、型）问题（数学模型）. 定解问题、微分方程的解、定解问题的适定性定解问题、微分方程的解、定解问题的适定性 微分方程的解微分方程的解假设方程的阶数为假设方程的阶数为n，若函数，若函数u在所考虑的区域内具有在所考虑的区域内具有n阶的连阶的连 续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式，续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式，则称则称u为为方程的方程的 解解（或（或古典解古典解）. 若方程解若方程解u的表达式中含有的表达式中含有n个任意常数（或函数），则称个任意常数（或函数），则称u是是 方程的方程的通解通解（或（或一般解一般解）. 通过定解条件确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的通过定解条件

24、确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的 解，称之为解，称之为定解问题的解定解问题的解。 未经过验证的解，称之为未经过验证的解，称之为形式解形式解。 注注：除了古典解外，根据实际应用需要，还研究各种广义意义下的解。它们：除了古典解外，根据实际应用需要，还研究各种广义意义下的解。它们 按较弱的意义满足方程，这种解称为按较弱的意义满足方程，这种解称为广义解广义解。 目录 上页 下页 返回 结束 定解问题的适定性定解问题的适定性 或者，定解问题的提法是否适合？或者，定解问题的提法是否适合？ 如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依

25、赖于定解条件中的初始数据 或边界数据，则称该定解问题是或边界数据，则称该定解问题是适定的适定的，否则称它是，否则称它是不适定的不适定的. 注：注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！对不适定问题的研究也是非常有意义的！ 例如：例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中. 例如：例如： 注：注：对不适定问题的研究已成为偏微分方程的一个重要研究方向。对不适定问题的研究已成为偏微分方程的一个重要研究方向。 1923年，阿达马（年，阿达马（J.S. Hadamard，法国）提出，法国）提出 目录 上页 下页 返回 结束 基本步骤基本步骤

26、数学物理方程的导出数学物理方程的导出 1 1、明确要研究的物理量是什么？建立适当的坐标系，从所研究的系统中、明确要研究的物理量是什么？建立适当的坐标系，从所研究的系统中 2 2、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达这个作用；、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达这个作用； 3 3、化简、整理即得所研究问题的偏微分方程（泛定方程）。、化简、整理即得所研究问题的偏微分方程（泛定方程）。 划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用；划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用； 弦振动弦振动方程和定解条件方程和定解条件 物理模型物理模型（弦的微小横振动问题弦的微小横振动问题） l

27、细细弦弦设设有有一一根根拉拉紧紧的的均均匀匀，其其长长为为 ，线线密密软软度度为为柔柔，且 且在在单单位位长长度度上上受受到到 F垂垂直直于于弦弦向向上上的的力力 初初始始小小扰扰动动后后，在在平平衡衡位位置置附附近近作作微微小小横横振振动动. . 试试确确定定该该弦弦上上各各点点的的运运动动规规律律. . 分分析析. .如如图图选选择择坐坐标标系系， x P xx Q F x u o A ,u x ttx设设表表示示弦弦上上各各点点在在时时刻刻 沿沿垂垂直直于于 方方向向的的位位移移. . 利利用用建建微微元元法法立立方方程程. . ,x xx 任任取取一一弧弧段段它它的的弧弧长长为为 2

28、1d xx x x PQux .x 目录 上页 下页 返回 结束 xxxx P Q F u P T Q T ,x xx 这这说说明明：弧弧段段在在整整个个振振动动过过程程中中始始终终没没 .发发生生伸伸长长变变化化HookeTt由由定定律律，张张力力 与与时时间间 无无关关. . 另另一一方方面面，注注意意到到 coscosT xT xx cos1,cos1由由于于，所所以以 T xT xx Tx这这说说明明：张张力力 与与位位置置 无无关关. .T故故张张力力 是是一一个个常常数数. . ,x xxTu 作作用用于于弧弧段段的的张张力力 沿沿着着 轴轴方方向向的的分分量量为为 sinsin,

29、TT 其其中中 sintancos 1 tan sec 2 1 tan 1tan 2 1 x x u u ,. x ux t sin,. x uxx t 类类似似地地， ,x xx 作作用用于于弧弧段段的的合合外外力力为为 sinsin,TTF x dx根根据据NewtonNewton第第二二定定律律，可可得得微微元元的的横横振振动动方方程程为为 sinsin tt TTF xx u 目录 上页 下页 返回 结束 即即 , xxtt Tuxx tTux tF xx u 应应用用LagrangeLagrange微微分分中中值值定定理理，有有 , xxtt Tuxx txF xx u 0,1 .

30、0 xxxx 令令，有有，上上式式可可写写为为 , xxtt Tux tFu 2 TF af 记记，上上式式可可化化简简为为 2 ,. ttxx ua ux tf 公式被称为公式被称为弦的强迫横振动方程弦的强迫横振动方程（又称一维非齐次波动方程）（又称一维非齐次波动方程）. 0FF 若若外外力力 消消失失，即即，则则公公式式弦弦的的自自由由横横振振被被称称为为动动方方程程. . 讨论讨论 若考虑弦的重量若考虑弦的重量，则，则 ,x xx 作作用用于于弧弧段段的的合合外外力力为为 sinsinTTF xxg dx根根据据NewtonNewton第第二二定定律律，可可得得微微元元的的横横振振动动方

31、方程程为为 sinsin tt TTF xxgx u 或或者者 , xxtt Tux tFgu 2 ,. ttxx ua ux tfg 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广 （如薄膜振动等）（如薄膜振动等） 22 (), ( , , ) ttxxyyttxxyy ua uuua uuf x y t 或或) ) （如弹性体振动、电磁波或声波传播等）（如弹性体振动、电磁波或声波传播等） 2 2 () ( , , ) ttxxyyzz ttxxyyzz ua uuu ua uuuf x y t 或或 ) ) 222 222 Laplace xyz 称为算子 上述公式虽然为弦振动方程，但在力学上上述

32、公式虽然为弦振动方程，但在力学上弹性杆的纵振动弹性杆的纵振动，建筑物的剪振建筑物的剪振 动动，潮汐波潮汐波，地震波地震波，管道中气体小扰动的传播管道中气体小扰动的传播以及以及电报方程电报方程等问题，都等问题，都 说明：说明： 只是其只是其可以用这个方程描述。可以用这个方程描述。 这些物理现象的这些物理现象的共性共性是振动产生波的传播。是振动产生波的传播。 中的未知函数中的未知函数表示的物理意义不同表示的物理意义不同。 目录 上页 下页 返回 结束 定解条件的提法定解条件的提法 初始条件初始条件 （初始状态）（初始状态） 注注：未知函数关于时间为二阶导数，需要两个初始条件！未知函数关于时间为二阶

33、导数，需要两个初始条件！ 0 0 ,0 ,0 t t t u xxux u x xux t 初初始始位位移移 或或 初初始始速速度度 或或 边值边值条件条件 （边界上的约束）（边界上的约束） 注注：如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件 ，但有时需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实，但有时需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实 际上也是边值条件际上也是边值条件 1第第一一类类 固固定定端端边边值值条条件件 （Dirichlet边界条件）边界条件） 12 0 , 0. xx l ututt 2第第二二类类 自自由由端端边边值值条条件

34、件 （Neumann边界条件）边界条件） 00 sintan xx TT 0 , 0. x u Tt x 3第第三三 弹弹类类性性支支承承端端边边值值条条件件 （Robin边界条件）边界条件） 0 0, 0, . xx xx L k uuuu T 目录 上页 下页 返回 结束 两端弦的张力对外界沿着垂直方向的作用力分别是两端弦的张力对外界沿着垂直方向的作用力分别是 两端受垂直方向的（已知）外力的作用。两端受垂直方向的（已知）外力的作用。 两端不受垂直方向的外力的作用（即，可沿着垂直方向自由滑动）。两端不受垂直方向的外力的作用（即，可沿着垂直方向自由滑动）。 12 tt记记垂垂直直方方向向的的外

35、外力力分分别别为为：， l0 x A B T u 由于由于 0 xx l uu TT xx ， 它们的负值应分别等于沿着垂直方向所受外力，即它们的负值应分别等于沿着垂直方向所受外力，即 12 0 . xx l uu TtTt xx ， 12 0 . xx l ttuu nTnT ， 此时边界条件为此时边界条件为 0 0. xx l uu xx 称为称为自由边界条件自由边界条件 2第第二二类类 自自由由端端边边值值条条件件 目录 上页 下页 返回 结束 3第第三三 弹弹类类性性支支承承端端边边值值条条件件 若若弦弦的的两两端端被被束束缚缚在在可可沿沿垂垂直直方方向向位位移移的的弹弹簧簧上上，其其

36、中中左左、右右两两弹弹簧簧平平衡衡位位 0101 uu置置的的高高度度分分别别为为和和 ，弹弹性性系系数数分分别别为为和和。 0 -u u根根据据胡胡可可定定律律，左左边边弹弹簧簧产产生生偏偏离离其其平平衡衡位位置置的的位位移移的的作作用用力力为为 00 0 , x uu 它它应应等等于于弦弦对对左左侧侧弹弹簧簧沿沿垂垂直直方方向向的的作作用用力力 0 , x u T x 即即 0 0 0 0 . x x uu u T x 或或者者 0 0 0 0 . x u xT u T u 11 , x l uu , x l u T x 11 . x x l l u x uuT 11 1. x l u u

37、 xT u T 01 01 TT 记记，则则上上面面边边界界条条件件可可写写成成 0 101100 , xx l uu nn uuuu 目录 上页 下页 返回 结束 热传导热传导方程方程（也统称为输运方程）（也统称为输运方程）和定解条件和定解条件 物理模型物理模型（热传导问题热传导问题） G在在三三维维空空间间中中，考考虑虑一一、的的导导热热物物体体 ，假假设设它它的的均均匀匀各各向向同同性性内内部部有有热热源源， 且且与与周周围围介介质质有有热热交交换换，.研研究究它它的的内内部部各各点点在在任任意意时时刻刻的的温温度度所所满满足足的的方方程程 物理定律物理定律： 热量守恒定律： 1 Q物物

38、体体内内部部的的热热量量的的增增加加 或或减减少少 = 3 Q物物体体内内部部的的热热源源所所产产生生的的热热量量 2 Q通通过过物物体体截截面面流流入入 或或流流出出 的的热热量量 + Fourier实热传导定律验定律 ： . uu qnqk nn 热热流流强强度度 与与温温度度沿沿界界面面外外法法向向 的的变变化化率率成成正正比比，即即 , ,.kk x y z 其其中中为为热热传传导导系系数数 分分析析. . 3 , , ,RGu x y z tt设设导导热热物物体体在在空空间间内内占占据据的的区区域域为为 ，表表示示它它在在 时时刻刻 利利用用建建微微元元法法立立方方程程. . , ,

39、x y z 处处的的温温度度. . M S D n dS 1 .DQ内内温温度度改改变变所所需需要要的的热热量量 1 dQ , ,c x y z , ,dx y zV 21 , , , , ,u x y z tu x y z t 12 , , , , ,Du x y z tu x y z t则则在在区区域域 内内，温温度度由由到到所所需需的的热热量量为为 目录 上页 下页 返回 结束 M S D n dS 121 , , , , ,d D Qcu x y z tu x y z tV 2 1 , , , d d t t D u x y z t ctV t 2 1 dd t t D u cVt t

40、 2 .SDQ 通通过过 进进入入 内内的的热热量量 根根据据热热传传导导定定律律， ddtnSn在在时时刻刻内内通通过过法法向向 的的曲曲面面微微元元，流流向向 所所指指那那一一侧侧的的 热热量量为为: : 2 dddQqtS dd u ktS n 12 ttSD则则从从时时刻刻 到到 ，通通过过 进进入入 的的热热量量为为 2 1 2 dd t t S u QkSt n 2 1 dd t t S k nuSt T 123 .,nn n n 其其中中 2 1 123 dd t t S kukuku nnnSt xyz 2 1 dd t t D uuu kkkVt xxyyzz 目录 上页 下

41、页 返回 结束 3 .Q 热热源源提提供供的的热热量量 ddtV在在时时刻刻内内从从微微体体积积内内放放出出的的热热量量为为 3 d, , ,ddQF x y z ttV , , ,.F x y z t其其中中是是热热源源强强度度 12 ttD则则从从时时刻刻 到到 ， 内内热热源源提提供供的的热热量量为为 2 1 3 , , , dd . t t D QF x y z tVt 123 +QQQ 于于是是，根根据据热热量量守守恒恒定定律律：，有有 2 1 dd t t D u cVt t 2 1 dd t t D uuu kkkVt xxxyxz 2 1 +, , , dd . t t D F

42、 x y z tVt 12 ttD由由时时刻刻 ， 和和区区域域 的的任任意意性性，可可得得 +, , ,. uuuu ckkkF x y z t txxxyxz .各各向向同同性性体体的的非非均均匀匀热热传传为为的的方方称称导导方方程程程程 目录 上页 下页 返回 结束 k c 如如果果导导热热体体是是均均匀匀的的，此此时时 , , , ,以以及及 均均为为常常数数. . 2 , , , k afx y z t c 记记， 1 , , ,. F x y z t c 则则上上述述方方程程化化为为 222 2 222 +, , , uuuu afx y z t txyz 2 , , ,.aufx

43、 y z t .方方程程称称为为三三维维热热传传导导方方程程 特例特例 1 若考虑一根均匀的导热细杆，假设它的侧面绝热且在同一截面上的温度分 布相同，,ux t那么温度 只与有关，方程变成一一维维热热传传导导方方程程 2 . txx ua u 2 若考虑一块导热的薄板，且它的侧面绝热，则可得二二维维热热传传导导方方程程 2 . txxyy uauu 说明说明 方程虽通常被称为热传导方程，但绝不只用于表述热传导现象方程虽通常被称为热传导方程，但绝不只用于表述热传导现象. 例如：例如： 考察气体的扩散考察气体的扩散, ,液体的渗透液体的渗透, , 半导体材料中的杂质扩散等物理过程，都可用半导体材料

44、中的杂质扩散等物理过程，都可用 这个方程来刻画这个方程来刻画. . 故该方程也被称为故该方程也被称为扩散方程扩散方程. . 目录 上页 下页 返回 结束 定解条件的提法定解条件的提法 初始条件初始条件 （初始状态）（初始状态） 注：注：未知函数关于时间为一阶导数，故只需一个初始条件！未知函数关于时间为一阶导数，故只需一个初始条件！ 0 , , t ux y z 初初始始温温度度 ，其其中中 是是已已知知函函数数。 边值边值条件条件 u 在在边边界界上上直直接接给给出出未未知知函函数数第第一一边边值值条条件件的的值值，即即 , , , , ,0.ux y z tx y zt 当当为为常常数数时时

45、，表表示示物物体体的的边边界界保保持持恒恒温温。 un 在在边边界界上上给给出出未未知知第第二二函函数数 沿沿边边界界的的外外法法向向边边值值条条件件的的方方向向导导 数数的的值值，即即 , , , , ,0. u x y z tx y zt n ， , , ,0 x y z t 特特别别地地，当当，表表示示边边界界面面绝绝热热。 Fourier在在导导热热过过程程中中，由由定定律律知知， , , , 0. u kx y z tt n ， 故故已已知知通通过过物物体体第第二二的的边边界界流流入入物物体体类类边边界界条条件件表表示示：的的热热流流强强度度。 目录 上页 下页 返回 结束 un 在

46、在边边界界上上给给出出未未知知函函第第三三边边数数 及及其其沿沿边边界界的的外外法法向向值值条条件件的的方方向向 线线性性组组导导数数的的合合的的值值，即即 . u u n 1 u在在导导热热过过程程中中，设设导导热热物物体体外外界界的的温温度度为为物物体体内内部部与与外外，且且界界有有热热交交换换， Newton则则由由冷冷却却定定律律可可知知， 牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：在单位时间内，从物体表面单位面积中流向外界的热量在单位时间内，从物体表面单位面积中流向外界的热量q，与，与 物体外表面的温度和外界在表面处的温度差成正比物体外表面的温度和外界在表面处的温度差成正比. 即即 1 0. u

47、huhu n H h k 其其中中， 1 0H uuH ，其其中中是是热热交交换换系系数数。q u k n 故故已已知知通通过过物物体体第第三三类类边边界界条条件件表表示示：的的边边界界与与周周围围介介质质交交换换热热量量。 目录 上页 下页 返回 结束 1 2 1 0 ( , , , ) 0 ( , , , ) ()0 )( , , , ) s s s s s s u uf x y z t u n u fx y z t n u hu n u uf x y z t n 边界上温度为零 第一类边界条件 边界上温度已知 表面绝热 第二类边界条件 表面上的热流量已知 与周围介质无热交换 第三类边界条

48、件 与周围介质有热交换 （ 目录 上页 下页 返回 结束 薄膜平衡薄膜平衡方程和定解条件方程和定解条件 物理模型物理模型（薄膜平衡问题薄膜平衡问题） 将将薄薄膜膜张张紧紧于于的的固固定定框框架架上上，除除薄薄膜膜自自均均匀匀微微翘翘身身的的柔柔软软的的重重力力外外，无无其其 .他他外外力力.求求静静态态薄薄膜膜上上各各点点的的横横向向位位移移 分分析析. .如图选择坐标系， P Q R S T u o y yy y x xx T T T 1 2 3 4 P S R Q ,u x t设表示薄膜所形成的曲面方程.利用 建微微元元法法 立方程. 假设：假设： 1PQRSu 作作用用在在与与上上的的张

49、张力力沿沿 方方向向的的合合力力为为 均匀薄膜的面密度 为常数； T 柔软张力 的方向总在该点处的薄膜 的切平面与法平面的交中； T 微翘张力密度 是常数；其方向与切 平面的方向近似垂直； 物理原理物理原理：沿位移沿位移u方向的张力和重力的方向的张力和重力的 合力等于合力等于0 平衡状态平衡状态； 21 sinsinTTx 21 tantanTTx 目录 上页 下页 返回 结束 2QRSPu 作作用用在在与与上上的的张张力力沿沿 方方向向的的合合力力为为 21 tantanTTx P Q R S T u o y yy y x xx T T T 1 2 3 4 P S R Q ,u x yyu

50、x y Tx yy 2 2 ,u x y Tx y y 类类似似地地， 34 sinsinTTx 2 2 ,u x y Tx y x 则则由由微微元元力力的的平平衡衡关关系系可可得得 22 22 ,u x yu x y Tx yTx y xy x y g g f T 记，则 22 22 , . u x yu x y f xy 这就是微翘的这就是微翘的薄膜平衡方程薄膜平衡方程. , xxyy uuf x y 的方程为的方程为二维泊松方程二维泊松方程. 一般地，称形如一般地，称形如 若薄膜的重力可忽略，即若薄膜的重力可忽略，即 f = 0，则方程被称为，则方程被称为二维二维 拉普拉斯方程拉普拉斯方

51、程（或（或调和方调和方 程程）. 目录 上页 下页 返回 结束 Poisson方程和方程和Laplace方程还可描述许多物理现象，如静电场方程还可描述许多物理现象，如静电场的电势分布的电势分布 、热传导问题中定常温度分布、热传导问题中定常温度分布、引力势、流体力学中的势和弹性力学中的引力势、流体力学中的势和弹性力学中的 调和势，调和势，概括地说，它所描写的自然现象是稳恒的、定常的，即与时间无概括地说，它所描写的自然现象是稳恒的、定常的，即与时间无 关的关的反映物理量在稳恒状态下的变化规律反映物理量在稳恒状态下的变化规律. 说明：说明： 例如：例如： 稳定温度分布稳定温度分布 导热物体内的热源分

52、布和边界条件不随时间变化导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化. . 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而前述热传导方程即为下列拉普故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而前述热传导方程即为下列拉普 拉斯方程和泊松方程拉斯方程和泊松方程. 2 1 , ,.uf x y z a 有热源 0.u 无热源 薄膜振动方程薄膜振动方程 2 2 () ( , , ) ttxxyy ttxxyy ua uu ua uuf x y t ) （二维波动方程）（二维波动方程） 2 0 1 ( , ) xxyy xxyy uu uuf x y a （薄膜平衡方程）（薄膜平衡方程） 目录 上页 下页 返回 结

53、束 定解条件的提法定解条件的提法 初始条件初始条件 （初始状态）（初始状态） 注：注：由于它们都是描述稳定状态的，与时间无关，故不提初由于它们都是描述稳定状态的，与时间无关，故不提初 始条件！始条件！ 无！ 边值边值条件条件 u 在边界上直接给出未知函数第一边值条件的值，即 , , , ,.ux y zx y z un 在边界上给出未知第二函数 沿边界的外法向边值条件的方向导 数的值，即 , , , ,. u x y zx y z n ， un 在边界上给出未知函第三边数 及其沿边界的外法向值条件的方向 线性组导数的合的值，即 . u u n 注意：注意：边界条件并不只限于以上三类，还有其他边

54、界条件（热传边界条件并不只限于以上三类，还有其他边界条件（热传 导中有辐射条件），有时甚至还有非线性边界条件。导中有辐射条件），有时甚至还有非线性边界条件。 目录 上页 下页 返回 结束 几个重要的基本原理几个重要的基本原理 叠加原理叠加原理 在物理学中经常出现这样的现象：一些不同的单个原因的综在物理学中经常出现这样的现象：一些不同的单个原因的综 合所产生的综合效果合所产生的综合效果等于等于这些不同的单个原因各自产生的单这些不同的单个原因各自产生的单 个效果的累加，这就是个效果的累加，这就是叠加原理叠加原理. 适用条件：适用条件： 电场电场 泛定方程、定解条件都是线性的泛定方程、定解条件都是线

55、性的线性定解问题线性定解问题. . 数学表述：数学表述： 可将复杂的定解问题看作是若个相对简单部分的线性叠加而可将复杂的定解问题看作是若个相对简单部分的线性叠加而 成，那么这几个部分所得出的解的线性叠加给出的形式解，成，那么这几个部分所得出的解的线性叠加给出的形式解， 即为原定解问题的解即为原定解问题的解体现了体现了“化归化归”思想思想. 目录 上页 下页 返回 结束 叠叠加加原原理理 . .,1,2, k ux tkn设分别满足齐次方程 则函数 1 , n kk k u x tux t 22 2 22 0,0 kk uu axl t tx , 0 0 , 0, k kkk t t u uxx

56、xl t 0 0,0, 0, kk xx l uut k 其中常数是任意的满足 22 2 22 0,0 uu axl t tx , 0 0 , 0, t t u uxtxl t 0 0,0, 0, xx l uut 11 ,. nn kkkk kk xxxx 其中 目录 上页 下页 返回 结束 例例如如：齐次边界条件的齐次方程 2 00 0 ,0,0 , 0 0,0, 0 ttxx t tt xx l ua uxl t uxuxxl uut 利用叠加原理，可以分解成如下两个问题利用叠加原理，可以分解成如下两个问题 定解问题的分解定解问题的分解 2 00 0 ,0,0 ,0 0 0,0, 0 t

57、txx t tt xx l ua uxl t uxuxl uut 2 00 0 ,0,0 0, 0 0,0, 0 ttxx t tt xx l ua uxl t uuxxl uut 目录 上页 下页 返回 结束 ,1,2, k ux tk 设是齐次方程 2 2 2 , uu ax tG tx , 的解,若函数级数 1 , kk k ux t G在 内收敛，且可逐项求一阶、二阶导数，则和函数 1 , kk k u x tux t G在 内仍是方程的解. 叠加原理叠加原理 I.I. 目录 上页 下页 返回 结束 ,1,2, k ux tkn设分别满足非齐次方程 则函数 1 , n kk k u x

58、 tux t 22 2 22 , 0,0 kk k uu afx txl t tx , 0 0 , 0, k kkk t t u uxxxl t 0 , 0, kkkk xx l ututt 叠叠加加原原理理. . k 其中常数是任意的满足 22 2 22 , 0,0 uu af x txl t tx , 0 0 , 0, t t u uxtxl t 0 , 0, xx l ututt 1 , n kk k f x tfx t 11 , nn kkkk kk xxxx 11 , . nn kkkk kk xtxt 注注.上面列出的两端边界条件都是第一类的上面列出的两端边界条件都是第一类的. 实

59、际上，对于第二类边界条件实际上，对于第二类边界条件 以及两端不同类型的边界条件，也成立叠加原理以及两端不同类型的边界条件，也成立叠加原理. 目录 上页 下页 返回 结束 例例如如：非齐次边界条件的非齐次方程 2 0 0 ,0,0 , 0 , 0 txx t xx l ua uf x txl t uxxl ututt 利用叠加原理，可以分解成如下三个问题利用叠加原理，可以分解成如下三个问题 2 0 0 ,0,0 0, 0 0,0, 0 txx t xx l ua uf x txl t uxl uut 2 0 0 , 0,0 , 0 , 0 txx t xx l ua uxl t uxxl utu

60、tt 2 0 0 , 0,0 0, 0 , 0 txx t xx l ua uxl t uxl ututt 2 0 0 , 0,0 , 0 0,0, 0 txx t xx l ua uxl t uxxl uut 定解问题的分解定解问题的分解 目录 上页 下页 返回 结束 叠加原理叠加原理II.II.,1,2, k ux tk 设是非齐次方程 2 2 2 , , k uu afx tx tG tx , 的解，若函数级数 1 , kk k ux t G在 内收敛，且可逐项求一阶、二阶导数，则和函数 1 , kk k u x tux t 是非齐次方程 2 2 2 1 , , kk k uu afx