独立检验基本思想二.

1、独立性检殓的基本思想及其基本应用聚甲乙两个班级进行数学考试，按 学生考试及格和不及格统计成绩后, 得到如下列联表：不及格及格总计甲103545乙73845总计177390A试判断成绩不及格和班级是否有关系?根据列联表可知甲班学生中不及格的比例为10/45 ;乙班学生中不及格的比例为7/45。二者相差3/45。画出等高条形图。100%80%60%40%20%0%等高条形图11及格 不及格Ipm 11甲乙问题：从上面的问题可以看岀，虽然利用 图表来判断两个分类变量是否有关系比较 直观，但缺乏精确性和可靠性。那么我们 如何精确性的刻画两个分类变量是否有没 有关系？聚提出问题:为了解决上面的问题，我们

2、可 以先假设不及格与班级无关。用A表示 事件“在甲班”，表示事件“不及格”， 表示事件“在甲班且不及格”，则“不 及格与班级无关”等价于事件A和B相互独 立。则有P(AB)=P(A)P(B)O否则，应该有A与B 不独立，即“不及格与班级有关”。那么如何验 &(AB)=P(A )P(B)呢？P(A)=45/90=l/2, P(B)=17/90,P(A) P(B)= 45/90-17/90=1刀 180, P(AB)=10/90=20/180,因为P(A) P(B)P(AB),故4与不独立，即“不及格与班级有关”。问题：在这里由尸(刘P(B)土P(AB)定有“不及格与班级有关”吗1 如果不是，那么

3、如何根据HA), P(B), F(A的值来判断其相关性？DP(A) P(B)P(AB)不一定有“不及格与班级有关”。因为在数据上 我们是釆用频率来估计概率。另外，在实际问题中我们也仅是用样 本来估计总体，这些因素都会造成数值上的偏差。但是，应该肯定的是珑4与严丹越接近，A与两个事件 独立的可能性就越大，即”不及格与班级有关”的可能性就越小。浪我们将表中的观测值用字母表示，则得下表:不及格及格总计甲aba+b乙Cdc+d总计a+cb+da+b+c+dn=a+b+c+d,如何判断不及格和班级是否有关系?假设H：不及格与班级无关。用A表示事件“在甲班”，表示事件“不及格”，AB 表示事件“在甲班且不

4、及格”，P(A)=(a+b )/n9P(B)=(a+c)/n,P(A)P(B)= (a+b)/n-(a+c)/n9 P(AB)=a/n,若“不及格与班级无关”.则(a+b)/n-(a+c)/na/n应该非常接近。若(a+b )/n-(a+c )/n与非常接近，A(a+b)/n-(a+c)/na/n,从而adbco(a+c/nF/n,即表示事件A和B近似相互独立。事件a与事件3事件N与事件瓦事件A与事件瓦 都近似相互独立。则同理有(c+d)/n-(a+c)/na/n； (c+d)/n(b+d)/n=a/n； (a+b)/n9(b+d)/na/n；于是我们构造统计量:(,a a+b d+c卩 a

5、+ b b + d 2c c + d a + c 2K2na + b a+ca+bb+d n nd c+d b+d .)-n n nc+db+dy (一y) n n + n n n 十 n n n 十 c + d a +c1n(ad -be)2x =n (d + b)(d + c)(b + d)(c + d)为什么要如此构造统计量疋 呢？因为这样构造的K2是符合卡方分布的。下 图便是卡方分布的密度曲线。构造随机变 量K2,若成立，即“不及格与班级无 关”，则衣应该非常小。 OOOOO5432亠在乩成立的情况下对随机变量疋经行多次观测。 观测值超过6635的频率约为0.01.从而也说明我 们把“

6、風成立”错误判断为“風不成立”的概 率不会超过001。这样我们就可以通过计算衣的 观测值来判断H。是否成立。PK 6.635)0.01/PK 3.841) q 0.05PU0.2PM9O270s 84PH904 3.PU905聚独立性检验的基本思想口要判断“两个分类变量有关系”这一结论的正确 性。心首先假设结论不成立。即假设“两个分类变量 没 有关系”成立。心在该假设下构造的随机变量K2,它的值应该很小。 心如果由观测数据计算得到的K2的观测值很大， 则在一定程度上说明假设不合理。推翻原假设即认 为“两个分类变量有关系”。傘独立性检验的基本思想类似于反证法。旦判断“两个分类变量是否有关系”。O

7、先假设事件：Ho： “两个分类变量没有关系”成立。O在此假设成立之下，构造某事件A, 事件A在成立的条件下发生的概率很小， 例如P（A風）=005。O现进行一次试验，如果事件A发生了，就说明一 个小概率事件发生了，我们便怀疑乩的正确性，因 而要否定乩。旦如何构造事件4?在“两个分类变量没有关系”（即独立）的情 况下，我们构造的随机变量疋的观测值为 氐,我们构造kko这一事件的概率为 005（或者更小）。事件kko即为4事件。 OOOOO5432=/如果事件kko发生，我们则否定乩，说 明两个分类变量是有关系的。我们称这样的也为一个判断规则的临界值。 按照这种规则，把”两个分类变量没有关系” 错

8、误的判断为两个分类变量有关系”的概率 不超过即“两个变量有关系”这 一结论成立的可信程度为(l-P(AHo) X100%o既然独立性检验的基本思想类似于反证法，那么反证法原理和独立性检验原 理有什么区别和联系？独立性检验的问题具体步骤：1 根据实际问题的需要确定最大犯错误的 概率即事件4二伙 也在成立的条件下 的概率仏。然后查表确定临界值届。II利用公式计算M的观测值Jt瓦_n(ad_bc)2(q+Z?)(q+c)(Z7+)(c+):如果kko,gp小概率事件A发生，则否定原假设 推断x与y有关系；这种推断犯错误的概率不超过q。:如果氐恣。就认为在犯错误的概率不超过厶的前提下， 不能推断x与y

9、有关系。不及格及格总计甲103545乙73845总计177390K2的观测值为：*=90 X(10X 38-7 X 35尸/(45 X45X17X 73)0.65因为0.650.455,所以在犯错误的概率不超过05的前提 下可以认为“不及格与所在班级无关”。为了探究50岁以上的人吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关, 调查了339名50岁以上的人，获得数据如下：患慢性支气管炎吸烟43不吸烟13总计56未患慢性气管炎总计162205121134283339利用图形判断吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关系? 并用独立性检验的思想说明理由。解：分别求岀吸烟人群和不吸烟人群中患慢性支气 管炎和未患慢性支气管炎的

10、频率。得到等高条形图。如图所示：吸烟不吸烟未患慢性气管炎患慢性支气管炎可以发现，吸烟样本中患病的频率明显高于不吸烟样本中患病的频 率，因此我们可以认为吸烟与患慢性支气管炎有关系。根据列联表中的数据，得到K2的观测值:n(ad-bc)(d+b)(d+c)(b+d)(c+)二驚需皿5所以，在犯错误的概率不超 过0.01的前提下认为“吸烟 与患慢性支气管炎有关”。5某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸 （单位：mm）的值落在29.94,30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中各抽岀了500件，量其内径尺寸，得 到结果如下表：分组29.86,29.90)29.90,29.94)29.

11、94,29.98)29.98,30.02)频数126386182分组30.02,30.06)30.0, 30.10)30.10,30.14)频数92614分组29.86,29.90)29.90,29.94)29.94,29.98)29.98,30.02)频数297185159分组30.02,30.06)30.0, 30.10)30.10,30.14)频数766218试分别估计两个分 厂生产的零件的优 质品率；由以上统 计数据作出2x2列 联表，并问是否有 99%的把握认为两 个分厂生产的零件 的康量有差异。甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计360/500=72%乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计320/500=64%优质品非优质品总计甲厂360140500乙厂320180500总计6803201000作出2x2列联表O则:K2由列联表的数据计算疋,且查表得 4/26.635)二0.010_ 1000x (360x 180- 140x 320)2_500x500x680x3207.35 6.635所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异” o小结：已知两个分类变量X和丫，有哪些途径判断他们是否有 关系？列联表、等高条形图、独立性检验。独立性检验的具体步骤是什么？