阶常微分方程解

1、第七节 二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二 阶线性微分方程的求解问题， 关键在于如何求二阶齐次方程 的通解和非齐次方程的一个特解。 本节讨论二阶线性方程的 一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。 先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为d y2 pdy qy0dx2 dx其中 p、q 是常数，由上节定理二知， 要求方程的通解， 只要求出其任意两个线性无关的特解 y1,y 就可以了，下面 讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程可能具有什么形式的特解，从方程的形 式上来看，它

2、的特点是 d y2 ，dy ，y 各乘以常数因子后相加 dx2 dx 等于零，如果能找到一个函数 y，其 d y2，dy，y 之间只相 dx2 dx 差一个常数因子， 这样的函数有可能是方程的特解， 在初等 函数中，指数函数 erx，符合上述要求，于是我们令 rxy e( 其中 r 为待定常数 ) 来试解将 yerx， dy rerx， d y2 r 2erx 代入方程dx dx2得 r 2erx pre rxqerx0或 e rx(r 2pr q)0因为 erx 0，故得2r pr q0由此可见，若 r 是二次方程2r pr q0的根，那么 erx 就是方程的特解，于是方程的求解问题， 就转

3、化为求代数方程的根问题。称式为微分方程的特征方 程。特征方程是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。 特征方程的两个根 r ，r 2，称为特征根， 由代数知识， 特征 根 r 1，r 2 有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。(1) 若特证方程有两个不相等的实根 r ，r 2，此时 erx， er2x 是方程的两个特解。r1x因为er2x e(r1 r2)x 常数er2x所以 er1x ，er2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方 程的通解为yC1er1xC2er2x（2）若特征方程有两个相等的实根 r 1r 2，此时 p 4q 0，即有 r 1r 2 p ，这样只能得到方程的一个特

4、解 yerx， 2因此，我们还要设法找出另一个满足 y2 常数，的特解 y2， y1故y2应是 x的某个函数，设y2 u，其中 uu（x） 为待定函 y1y1数，即y 2uy1ue r x对 y2 求一阶，二阶导数得dy2 du er1x r uer1x （ du r 1u）e r1xdx dx dx d2y22 du d2u r1x22 （r u2r1 2 ）e dx2 dx dx2将它们代入方程得（r 2 ur du d2u）er1xp（ dur u）e r1x quer1x 0d2udx2（2r 1 p）（r 1u r 1 2 ）e p（ r 1u）e que 0 dx dx2 dxdu

5、（r pr 1q）uer1x0 dx因为 er1x 0，且因 r 1是特征方程的根，故有 rprq0，又因 r1 p 故有 2r 1p0，于是上式成为2d2u0dx20显然满足 d u20 的函数很多， 我们取其中最简单的一个 dx2u（x） x则 y2xerx 是方程的另一个特解，且 y1，y2 是两个线性无 关的函数，所以方程的通解是y C1er1xC2xer1x（C1C2x）e r1x（3）若特征方程有一对共轭复根 r 1 i ， r 2 i 此时方程有两个特解（ i ）x（ i ） xy 1 ey 2 e则通解为y C1e（ i ） xC2e（ i）x其中 C1，C2 为任意常数，但是

6、这种复数形式的解，在应 用上不方便。 在实际问题中， 常常需要实数形式的通解， 为 此利用欧拉公式ix ixe cosx isinx ，e cosxisinx有1 ixix（e e ） cosx21 ix ix（e e ） sinx2i1 1 x i x i xx（y 1y） e （e e） e cosx221 1 x i x i xx（y 1y2） e （e e ） e sin x2i 2i由上节定理一知， 1 （y 1y2） ，1 （y 1y2） 是方程的两个2 2i特解，也即 excos x，exsin x 是方程的两个特解： 且它 们线性无关，由上节定理二知，方程的通解为y C1exc

7、osx C2exsin x或 y e x（C1cosxC2sin x）其中 C1，C2 为任意常数，至此我们已找到了实数形式的 通解，其中，分别是特征方程复数根的实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程的通解，只须先 求出其特征方程的根， 再根据他的三种情况确定其通解， 现 列表如下特征方程 r2prq0 的 根微分方程 d y2 pdy qy dx2dx0 的通解有二个不相等的实根 r 1， r2yC1er1xC2er2x有二重根 r 1 r 2y(C1C2x)e r1x有一对共轭复根 r1ir2iyex(C1cosxC2sinx)例 1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解(1) d

8、 y2 3dy y0dx2 dx(2) d y2 4dy4y0dx2 dx(3) d y2 4dy7y0dx2 dx解 (1) 特征方程 r 23r100 有两个不相等的实根r1 5，r 2 2所求方程的通解 y C1e 5r C2e 2x(2) 特征方程 r 4r 40，有两重根r1r 2 2所求方程的通解 y (C1C2x)e 2x(3) 特征方程 r 24r70 有一对共轭复根r1 2 3i r 2 2 3i所求方程的通解 y e2x(C1cos 3xC2sin 3x) 二阶常系数线性非齐次方程的解法 由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线 性非齐次方程d y2 pdy qyf

9、(x)dx dx的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出 其一个特解， 而后相加就得到非齐次方程的通解， 而且对应 的齐次方程的通解的解法， 前面已经解决， 因此下面要解决 的问题是求方程的一个特解。方程的特解形式，与方程右边的 f(x) 有关，这里只就 f(x)的两种常见的形式进行讨论 一、 f(x) pn(x)e x ，其中 pn(x) 是 n 次多项式，我们先 讨论当 0 时，即当 f(x) pn( x)时方程d2y2pdyqypn(x)dx2 dx的一个特解。(1) 如果 q 0，我们总可以求得一 n 次多项式满足此方 程，事实上，可设特解 y Qn(x) a0xna1xn1

10、an ， 其中 a0，a1，an是待定常数，将 y 及其导数代入方程，得 方程左右两边都是 n次多项式，比较两边 x 的同次幂系数， 就可确定常数 a0，a1， an。例 1. 求 d y2 dy 2y x2 3 的一个特解。dx2 dx解 自由项 f(x) x23是一个二次多项式，又 q20， 则可设方程的特解为y a0x a1x a2求导数y 2a0xa1y 2a0代入方程有 2a0x2(2a02a1)x ( 2a0a12a) x2 3 比较同次幂系数2a012a02a10解得2a0a12a23a0a1a2121274所以特解 y12x212x 74(2) 如果 q 0，而 p0，由于多项

11、式求导一次，其次数要降低一次，此时 yQn(x) 不能满足方程， 但它可以被一个(n1) 次多项式所满足，此时我们可设n 1ny xQn(x) a0x a1x anx代入方程，比较两边系数，就可确定常数 a0，a1， an。例 2. 求方程 d y24dy3x22 的一个特解。dx2dx解 自由项 f(x) 3x22是一个二次多项式，又 q0， p 0，故设特解32y a0x a1x a2x求导数y 3a0x22a1xa2y 6a0x 2a1代入方程得12a0x ( 8a1 6a0) x ( a1 4a2) 3x 2，比较两边同次幂的系数a0112a0 348a1 6a0 0解得a13162a

12、1 4a2 2a21932所求方程的特解 1 3 y x32 x19 x4 16 32(3) 如果 p0，q0，则方程变为 d y2 pn(x) ，此时特解 dx2是一个 (n 2)次多项式，可设y x2Qn(x) ，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。pn(x)e x 时方程下面讨论当 0 时，即当 f(x)d2y2 pdyqypn(x)e xdx 2 dx e yue的一个特解的求法，方程与方程相比，只是其自由项中 多了一个指数函数因子 ex，如果能通过变量代换将因子 x去掉，使得化成式的形式，问题即可解决，为此设 x，其中 u u(x) 是待定函数，对 y uex，求导得 dy ex

13、duuex dx dxd y x d ux du2 x求二阶导数2 e2 2e uedx2 dx 2 dxxe d u du 2 x du x2 2 u pe u que dx2 dx dxpn（x）ex代入方程得消去 ex 得d2udx2（2 p）du（ 2pq）upn（x） dx由于式与形式一致，于是按的结论有：(1) 如果 p q 0，即不是特征方程 r pr q 0 的根，则可设的特解 u n(x) ，从而可设的特解为y Qn（x）ex(2) 如果 p q 0，而 p 0，即是特征 方程 r2prq0 的单根，则可设的特解 uxQn(x) ，从而 可设的特解为y xQn(x)e x2(

14、3) 如果 r p q0，且 p0，此时是特征 方程 r2prq0 的重根，则可设的特解 ux2Qn(x) ，从而 可设的特解为2 yx Qn(x)e x例 3. 求下列方程具有什么样形式的特解(1) d y2 5dy 6ye 3x dx2dx(2) d y2 5dy 6y3xe 2x dx2dx(3) d y2 dy y (3x 21)e x dx2dx解 (1) 因 3不是特征方程 r25r60 的根，故方 程具有形如y a0e 3x 的特解。(2) 因 2 是特征方程 r 5r 6 0 的单根，故方 程具有形如y x(a 0x a1)e 2x 的特解。(3) 因 1 是特征方程 r 2r

15、 1 0 的二重根，所 以方程具有形如 y x2(a 0x2 a1x a)e x 的特解。例 4. 求方程 d y2 y(x 2)e 3x 的通解。 dx2解 特征方程 r 10特征根 r i 得，对应的齐次方程 d y2y0 的通 dx2解为Y C1 cos xC sin x由于 3不是特征方程的根，又 pn(x) x2为一次多项式，令原方程的特解为y （a 0x a1）e 3x此时 ua0xa1， 3， p0，q1，求 u 关于 x 的导 数du a0， d2u2 0，代入dx dx2d u2（p） du（ p q）u （x 2）得：dx2dx10a 0x 10a1 6a0 x 210a0

16、10a16a0比较两边 x 的同次幂的系数有解得 a 0 1 ， a1 13 2 10 50于是，得到原方程的一个特解为y(x1013503x)e 3x所以原方程的通解是y Y yC1cosxC2sinx （ 1 x 13 ）e3x10 50例 5. 求方程 d y22dy3y（x 1）ex的通解 dx2 dx解 特征方程 r 22r 30特征根 r 11，r 23所以原方程对应的齐次方程 d y2 2dy3y0 的通解 Y dx2 dx C1e C2e , 由于 1 是特征方程的单根，又 pn（x） x21 为二次多项式，令原方程的特解y x（a 0x a1xa2）e此时 u a0x3a1x

17、2a2x， 1，p 2，q对 u 关于 x 求导du 3a0x22a1xa2dxd u2 6a0x 2a1dx2代入 d u2 （2 p） du（ pr q）ux 1，得 dx2dx 12a0x （6a08a）x2a14ax 1比较 x 的同次幂的系数有a012a0 11128a1 0解得6a0a12a1a21164a0 0932故所求的非齐次方程的一个特解为2 x xx 9 xy ( )e 4 3 4 8x) e xsin x，即求二、 f(x) pn(x)e xcosx 或 pn 形如d y2 pdy qypn(x)e xcosx dx2dxd y2pdyqypn(x)e xsin x d

18、x2dx这两种方程的特解由欧拉公式知道， pn（x） e xcos x，pn（x）e xsinx分别是函数 pn（x）e （ i ） x的实部和虚部。 我们先考虑方程d y dy（ i ） x2 p qy pn（x）edx2 dx方程与方程类型相同，而方程的特解的求法已在前面讨 论。由上节定理五知道， 方程的特解的实部就是方程的特解， 方程的特解的虚部就是方程的特解。 因此，只要先求出方程 的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程或的一个特 解。注意到方程的指数函数 e（ i ） x中的 i （0）是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以 i 最多 只能是它的单根。 因此方程的特解形为 Qn

19、（x）e （ i ）x或 xn(x)e i ) x例 6. 求方程 d y2 yexcos2x 的通解 dx2解 特征方程 r 2 10特征根 r 11，r 2 1于是原方程对应的齐次方程的通解为Y C1ex C2ex为求原方程的一个特解y。2先求方程 d y2ye（2i）x 的一个特解，由于 12i 不 dx2是特征方程的根， 且 pn（x） 为零次多项式， 故可设 ua0，此时 （1 2i） ，p0，q1 代入方程d u2 （2 p） du（ pq）u1dx2dx得（ 2i ）21a01 ，即（4i 4）a01，得11a 0 1 1 （i 1） 4（i 1） 8这样得到 d y2 ye（

20、2i ）x 的一个特解 dx2y 1 （i 1）e （ 2i）x8由欧拉公式y 1 （i 1）e （ 2i）x81x1 （i 1）e x（cos xisin2x）81xe （cos2xsin2x ） i（cos2x sin2x） 8取其实部得原方程的一个特解y 1 ex（cos xsin2x）8故原方程的通解为 x x 1 xy YyC1exC2ex ex（cos2x sin2x）82例 7. 求方程 d y2 y（x 2）e 3xxsinx 的通解。 dx2解 由上节定理三， 定理四，本题的通解只要分别求 d y2 dx2 y0 的特解 Y，d y2 y（x 2）e 3x的一个特解 y1，d

21、x21d2yd y2 yx sin x 的一个特解 y2 dx2然而相加即可得原方程的通解，由本节例 4 有Y C1cosxC2sinx ， y1（ 1x13）e3x下面求 y2 ，为求 y2 先求方程 d y ix2 yxe dx2由于 i 是特征方程的单根， 且 pn（ x） x 为一次式，2故可1 10 50设 ux（a 0xa1） a0x2a1x，此时 i ，p0，q1， 对 u 求导dud2u2a0xa1， 2 2a0dxdx2代入方程d u2 （2 p） du（ pq）ux dx2 dx得 2a 2i（2a 0xa1） 0x即 4ia 0x2ia 1 2a0 x 比较 x 的同次幂

22、的系数有：4ia0 12ia1 2a0 0a114i14即方程 d y2 y xeix 的一个特解 dx2y（ 4i x2 41x）e ix44（ i x2 1 ）（cosx isinx）44122 2 1（ x sinx xcosx） i（ x cosx xsinx） 4取其虚部，得 y2 1x224cosx x sin4所以，所求方程的通解 y Y y1 y2C1cosxC2sinx ( 1 13)ex 1 xcosx 1 xsinx 10 5 4 4综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程d y2 pdy qyf(x) dx2 dx当自由项 f(x) 为上述所列三种特殊形式时，其特解 y

23、可 用待定系数法求得，其特解形式列表如下：自由项 f(x) 形式特解形式f(x) pn(x)当 q0 时 y Qn(x)当 q0,p 0 时 y Qn(x)当 q0,p 0 时 y 2x2Qn(x)f(x) pn( x)e x当不是特征方程根时 x y Qn(x)e 当是特征方程单根时 y xQn(x)e x 当是特征方程重根时 y x2Qn(x)e xf(x) pn(x)e xcos x 或f(x) pn(x)e xsin x利用欧拉公式 ei xcos xisin x，化为 f(x) pn(x)e ( i)x 的形式求 特解，再分别取其实部或 虚部以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法

24、， 当然 可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。 例 8. 求 y 3y 3yyex的通解 解 对应的齐次方程的特征方程为32r 3r 3r 10 r 1r 2r 3 1 所求齐次方程的通解 Y(C1C2xC3x2)e x 由于 1不是特征方程的根 因此方程的特解 ya0e 代入方程可解得 a0 18故所求方程的通解为 yY y(C1C2xC3x2)ex18ex欧拉方程下述 n 阶线性微分方程n n 1a 0xnd yn a1xn1 d n y1 an1xdyanyf(x) n n 1ax dx dx 称为欧拉方程，其中 a0，a1，an 都是常数， f(x) 函数。欧拉方程可通过变量替换化为

25、常系数线性方程。 以二阶为例说明。是已知下面对于二阶欧拉方程 a 0x2d y2 a1xdya2yf(x)dx2dx作变量替换令 x e ，即 引入新变量 t ，于是有 dydy dt dx dt dx dy 11 dy dt x x dt d2y d ( 1 dy) 1 dx2 dx x dt x dx 1 d2y dt 1 dy x dt2 dx x 2 dt 1 d2y 1 dy x2 dt2 x2 dtt ln xd ( dy) dy d ( 1) dt dt dx x代入方程得a 0( d2y2 dy)a2dya1yf(e t) dt2 dt dt即d2y2 a2 a0 dy a1 y 1 f(e t)dt2a0 dt a