立体几何中的向量方法精编版

1、最新资料推荐立体几何中的向量方法适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域通用课时时长（分钟）90知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题 .教学目标1. 理解直线的方向向量与平面的法向量；2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） 4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用教学重点用向量方法解决立体几何中的有关问题教学难点用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题教学过程、课堂导入空间平行垂直问题1.两条直线平行与垂直；2 .直线与平面平行与垂直;3.两个平面

2、平行与垂直； 空间夹角问题1 .两直线所成角；2 .直线和平面所成角；3 .二面角的概念；空间距离问题最新资料推荐最新资料推荐、复习预习)空间向量的直角坐标运算律：设 a (a1, a2 , a3) ，b (b1,b2,b3)，则a b(a1b1,a2b2,a3b3)，a b(a1b1,a2b2,a3b3)，a (a1,a2,a3)(R)， ， ，a ba1b1a2b2a3b3 ，a/ba1b1,a2b2,a3b3(R) ， a ba1b1a2b2a3b302)若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表

3、示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标AB AB3)模长公式：若 a (a1,a2,a3) ， 则|a| a a a1 a2 a3 4)夹角公式：cos a b|aa| |bb|a12 aa21b21 aa322b2b12a3bb322 b32 5)两点间的距离公式：若 A(x1, y1, z1 ) ， B(x2,y2,z2)，则(x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)2 最新资料推荐三、知识讲解考点 1 平面法向量的求法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设 n （x,y,z） ，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为 0， 建立两个关于 x,y,z 的方程，再对

4、其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量还有几种求平面法向量的办法也比 较简便求法一： 先来看一个引理：若平面 ABC 与空间直角坐标系 x 轴、y 轴、 z轴的交点分别为 A（a，0，0）、B（0，b，0）、C（0，0，c），定义三点分别111 在x轴、y轴、z轴上的坐标值 xA a，yB b，zC （c a,b,c均不为 0），则平面 ABC的法向量为 n （ , , ）（ 0）参 abc数 的值可根据实际需要选取证明： AB (a, b, 0), AC n AB 0,n AC 0最新资料推荐( a, 0, c),111n ( , , ) 是平面 ABC 的法向量 abc这种方法非常简

5、便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为，法向量对应于该轴的坐标为 0比11如若和 x 轴平行（交点坐标值为 ），和 y 轴、 z 轴交点坐标值分别为 b、c，则平面法向量为 n （0, , ）；若平面和 x,y bc最新资料推荐1 轴平行，和 z轴交点的坐标值为 c，则平面法向量为 n (0,0, ) c(2) 若平面过坐标原点 O，则可适当平移平面求法二： 求出平面方程，得到法向量我们先求过点 P0 (x0,y0,z0) 及以 n A,B,C 为法向量的平面的方程设 P(x,y,z) 是平面上的动点，于是有 P0P n0，即 A(x x0)

6、 B(y y0 ) C(z z0) 0整理得 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0) 0令 DAx0 By0 Cz0 ，有 Ax By Cz D 0这就是平面的一般方程 .平面的方程可用三元一次方程来表示且 x, y, z的系数组成该平面的法向量注意： (1)有了平面的方程 Ax By Cz D 0，就能得到平面的法向量 A,B,C ，可用平面内不共线的三点求出平 面的方程最新资料推荐(2)一些特殊情形的平面，方程会更简捷：通过原点的平面， D 0 ，方程为 Ax By Cz 0；平行于 x 轴的平面， A 0，方程为 By Cz D 0；通过 x轴的平面， A 0,D 0 ，方程为

7、By Cz 0；既平行于 x轴又平行于 y轴的平面 ,也就是一个平行于 xoy坐标面的平面，方程为 Cz D 0； 类似地，可讨论其它特殊情形(3)两平面： A1x B1y C1z D1 0与 A2x B2y C2z D2 0平行的充要条件是A1 : A2 B1 :B2 C1 :C2 D1 : D2 求法三： 用行列式求得法向量若 n1 x1,y1,z1 ，n2 x2,y2,z2 是平面内两个不共线向量，i j k计算行列式x1 y1 z1 ai bj ck ，x2 y2z2最新资料推荐则平面的法向量为 n a,b,c 最新资料推荐考点 2 用空间向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求

8、解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是 0, ，而两个向量的夹角取值范围也是 0, ，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过2 的那个角即可，但对二面角却是个难题 . 笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考 .用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判 断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？，两个平面的法向量 n1,n2 则应分别垂直于对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一）最新资料推荐该平面角的两边 . 易知，当 n1,

9、n2同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为. 所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可 . 或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向 另一个半平面，则称为 “向内”的方向；否则称为 “向外”的方向 . 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个 “向内 ”，而另一个 “向外”.zO n yO yx图二对第二个问题，我们需要选取一个参照物 . 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如 z 轴），通过前 面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与 xOy 平面的关系，是自下而上穿过 xOy 平面呢，还是自上

10、而下穿 过 xOy 平面？若是第一种情形，则 n与OZ 所夹的角是锐角，只需取法向量的 z 坐标为正即可；若是第二种情形，则 n10最新资料推荐与OZ 所夹的角是钝角， 只需取法向量的 z坐标为负即可 若法向量与 xOy 平面平行，则可以选取其它如 yOz平面、zOx 平面观察（二）用半平面内的向量解二面角 由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角如果分 别在两个半平面内作两个向量（如图） ，起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小 是相等的这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的

11、不同方向给二面角大小 带来的影响11最新资料推荐考点 3 空间直线与空间平面的向量形式 在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的在立体几何中借用 向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的1空间直线：如果 l 为经过已知点 A且方向向量为 a的直线，那么点 P在直线 l上的充要条件是存在实数 t，满足等 式 AP ta ，或对任一点 O（通常取坐标原点） ，有OP OA ta这是空间直线的向量形式s、t，使2空间平面： 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对定点OP OM sMA tM

12、B .MP sMA tMB , 或对空间任O（通常取坐标原点），有这是空间平面的向量形式12最新资料推荐13最新资料推荐四、例题精析【例题】如图，在四棱锥 SABCD中，底面 ABCD为正方形，侧棱 SD底面ABCD，E、F分别是 AB、SC的中点()求证： EF平面 SAD；()设 SD2CD，求二面角 AEFD 的大小；14最新资料推荐解析】（1）如图，建立空间直角坐标系 D xyz 设 A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0）， C （0， a，0），aa bbE a， ，0 ， F 0， ， ， EFa，0， 22 22取SD的中点G 0，0，b2 ，则AGa，0，b2

13、EF AG， EF AG，AG 平面 SAD，EF 平面 SAD ，15最新资料推荐所以 EF平面 SAD2）不妨设 A（1，0，0） ，则 B（1，1，0）， C（0，1，0）， S（0，0，2），E 1，1 ，0 ，2F 0，12 ，12平面 AEFG与x轴、 z轴的交点分别为 A（1,0,0）、G（0,0,1），与 y轴无交点，则法向量 n1 （1,0,1） ，在CD延长线上取点H，使 DHAE，则 DH AE，所以 AHED，由（ 1）可知 AGEF，所以平面 AHG平面 EFD，平面 AHG与 x1轴、y 轴、z轴的交点分别为 A（1,0,0）、H（0, 2 ,0）、G（0,0,1）

14、，则法向量 n2 （1, 2,1），设二面角 AEFD 的大小为 ，即二面角AEF D 的大小为 arccos16最新资料推荐1 【例题】 已知四棱锥 P ABCD的底面为直角梯形， ABDC，DAB90 ，PA底面 ABCD，且 PAADDC AB1，M 是 PB 的中点.（1）求二面角 C AM B 的大小；（2）求二面角 A MC B 的大小 .17最新资料推荐【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角 C AM B而言， AD 是平面 AMB的法向量(向内)，易知平面 ACM 符 合“向外”方向的法向量是自下而上穿过 xOy平面，所以与 AZ 所夹的角是锐角 . 对二面角 A MC B

15、而言，平面 ACM 选 取上述法向量，则为 “向外”的方向，平面 BCM 就应选取 “向内”的方向，此时是自上而下穿过 xOy平面，与 z 轴正向所夹 的角是钝角 .(1)如图，以 AD为 x轴，AB为 y轴，AP为 z轴建立空间直角坐标系，则平面 AMB的法向量为 n1 (1,0,0), 设平 面 ACM 的法向量为 n2 (x,y,z).1由已知 C(1, 1, 0), P(0, 0, 1), B(0, 2, 0)，则 M(0, 1, 2 ),18最新资料推荐 1 AC (1, 1, 0), AM (0, 1, 2 ).n2 AC 0, x y 0,由 2 1取 y 1，则 x 1, z

16、2，n2 AM 0. y 2 z 0.n2 (1, 1, 2).满足 n2 AZ 0)设二面角 C AM B 的大小为，则 cos所求二面角的大小为arccos 62）选取（ 1）中平面 ACM 的法向量 n2 （1, 1, 2），设平面 BCM 的法向量为n3 (x,y,z).BC (1, 1, 0), BM (0, 1, 12 ),0,1z 0.2由 n3 BC 0, x y n3 BM 0. y19最新资料推荐取z 2，则y 1, x 1，n3 （1, 1, 2），则 n2 ， n3所夹的角大小即为二面角AMCB 的大小，设为cosn2 n3所求二面角的大小为20最新资料推荐例题】 如图

17、，已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是 BB1的中点（1）求二面角 EAC1B 的大小；（2）求二面角 C1AEB 的大小21最新资料推荐解析】在第( 1)题中，只需在 AC1上找到两点 G、H，使得GB 、HE 均与AC1 垂直，则 GB 、HE 的夹角即为所求二面角的大小如何确定G、H 的位置呢？可设 GA AC1 ，GB GA AB AC1 AB ，这样向量 GB 就用参数表示出来了，再由 GB AC1 0求出 的值，则向量 GB 即可确定，同理可定出 H点第( 2)题方法类似以 B为坐标原点， BC为 x轴，BA为 y轴建立空间直角坐标系，则 B(0,0,

18、0), A(0,1,0), C(1,0,0), B1(0,0,2), C1(1,0,2),E(0,0,1) AC1 (1, 1, 2), AB (0, 1, 0).设 GA AC1 ( , ,2 ) ，1)GB GA AB( , 1,2 ),由 GB AC1 0 ( 1) 4 0，解得：GB(156622最新资料推荐图六GBHE6GB2HE15 面角 EAC1 B 的大小为 arccos 15 .52）AE （0, 1, 1）, 在 AE 上取点 M、N，MA AE (0, , ) ，则 MB MA AB (0, 1, ),由 MB AE 0 得： 1 0，解得：设MB1 1 同理可得： HE

19、 ( 12, 21,0)，HE AC1 0GB 、HE 的夹角等于二面角 EAC1B 的平面角cos 1 5 1530 2 511 (0, 21, 12)23最新资料推荐 1 1 同理可求得： NC1 ( 1, 12, 12), NC1 AE 0.MB 、NC1 的夹角等于二面角 C1AEB 的平面角cos333面角 C1AEB 的大小为 arccos().24最新资料推荐五、课堂运用【基础】. 在空间直角坐标系 Oxyz中，已知 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， 2）若 S1，S2，S3 分别是三棱 锥D -ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图

20、形的面积，则 （ ）AS1S2S3B S2 S1 且 S2S3CS3 S1且 S3S2DS3S2且 S3S125最新资料推荐解析】 设顶点 D 在三个坐标平面 xOy、yOz、zOx 上的正投影分别为 D1、D2、D3，则AD1 BD1 2，AB2，1 1 1 S11222 2， S2SOCD2122 2 2，S3SOAD3122 2 2选 D答案】D262 求过点MH20/I) ,M2(1l1l0)M3(0)1)1)的平面的法向量最新资料推荐27最新资料推荐解析】方法一：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量 M1M21,1, 1，M1M32,1,0 ，xyz02x y 0 ，设平

21、面的法向量为 n x,y,z ，由 M 1M 2 n 0，得M 1M 3 n 0 令 x 1 ，得平面的一个法向量n 1,2,1 方法二：设过点 M 1(2,0,1) , M 2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的方程为 Ax By Cz D 0，代入点的坐标，得2A C D 0 A B D 0， BCD0解之AD3B 23D ，即 CD3Dx 2D y Dz D333所以平面的方程为 x 2y z 3 0 ，所以平面的一个法向量 n 1,2,1 方法三：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量M1M21,1, 1，M1M32,1,0 ，因为这两个向量不平行，计算n 1,2,1

22、i j k1 1 1 i 2j k 故所求平面的一个法向量2 1 028最新资料推荐已知正方体 AC1的棱长为a ， E是CC1的中点， O是对角线 BD1的中点，（1）求证： OE 是异面直线 CC1和 BD1的公垂线； （2）求异面直线 CC1和 BD1的距离29最新资料推荐解析】（1）解法一：延长 EO交A1A于F，则 F为A1A的中点， EF / AC ， CC1 AC ，又O是BD1的中点， OE BD1， OE是异面直线 CC1和BD1的公垂线解法二：以 D为原点，分别以 DA,DC,DD1为 x 轴、y 轴、 z轴建立空间直角坐标系，a a a a于是有 D1(0,0,a),C(

23、0,a,0),C1(0,a,a),B(a,a,0),O(2a,2a,2a),E(0,a,2a)，BD1 ( a, a,a) ，CC1 (0,0,a) ，EO (2a, a2,0)，30最新资料推荐BD1 EO 0，CC1 EO 0，所以OE是异面直线 CC1和BD1的公垂线2）由（ 1）知， OE 为异面直线 CC1和BD1的距离所以 OE EO22 aa442a231最新资料推荐【巩固】已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，求 B1C与 BD间的距离32最新资料推荐解析】解法一：(转化为 B1C到过 BD且与 B1C平行的平面的距离)连结 A1D，则 A1D / B1C ， B

24、1C /平面 A1DB ，连 AC1 ，可证得AC1 BD， AC1 AD，AC1 平面 A1DB ，平面 AC1 平面 A1DB ，且两平面的交线为 A1O，过 C作CE A1O ，垂足为 E，则CE即为 B1C与平面 A1DB 的距离，也即 B1C与BD间的距离，1 1 3 3在 A1OC 中， OC A1A CE A1O ， CEa 故 B1C 与BD 间的距离a1 2 1 2 1 3 1 3解法二：以 D为原点，分别以 DA, DC , DD1所在的直线分别为 x轴， y轴、 z轴建立空间直角坐标系，则 A(a,0,0), B(a,a,0),C(0,a,0) ，B1(a,a,a),A1

25、(a,0, a), D(0,0,0) ，由(解法一)求点 C 到平面 A1DB 的距离 CE ，设 E(x, y, z) ， E 在平面 A1DB 上， A1E A1D A1B，即 (x a,y,z a) ( a,0, a) (0,a,a)，33最新资料推荐(x,y 2,z)( a,0, a) 0(x,y 2,z)( a, a,0) 0x a a y a，CE A1D,CE BD ，z a a a解得：2，3，2，CE (1a, 1a, 1a) ，3 3 3 33解法三：直接求 B1C与BD间的距离设 B1C与BD的公垂线为 OO1 ，且O1 B1C,O BD ，设 O(x,y,z) ，设 D

26、O BDxa则(x,y,z) ( a, a,0) ， ya，O( a, a,0) ，z0OO1 BD,OO1 B1C ， OO1 BD 0,OO1 B1C 0同理 O1( a,a, a) ，OO1 ( )a,a a, a) ，2 1 1 1 1 3 解得：32, 13，OO1 ( 31a,13a,13a) ，|OO1| 33a34最新资料推荐如图所示，三棱柱 ABC - A1B1C1中，点 A1在平面 ABC内的射影 D在 AC上，ACB90，BC1，ACCC12.(1)证明： AC1A1B;(2)设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为 3，求二面角 A1 -AB - C的大小35最新资料

27、推荐解析】方法一： (1)证明：因为 A1D平面 ABC，A1D?平面 AA1C1C，故平面 AA1C1C平面 ABC. 又 BCAC，所以 BC 平面 AA1C1C连接 A1C，因为侧面 AA1C1C 为菱形，故 AC1A1C由三垂线定理得 AC1A1B (2)BC平面 AA1C1C，BC? 平面 BCC1B1，故平面 AA1C1C平面 BCC1B1. 作A1ECC1，E为垂足，则 A1E平面 BCC1B1.又直线 AA1平面 BCC1B1，因而 A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1的距离，即 A1E 3. 因为 A1C 为ACC1 的平分线，所以 A1DA1E 3作 DFAB， F

28、 为垂足，连接 A1F由三垂线定理得 A1FAB，故A1FD 为二面角 A1 -AB - C的平面角由 AD AA12A1D21，得 D 为 AC 中点，5A1D1DF 5 ，tanA1FD DF 15，所以 cosA1FD 41所以二面角 A1 - AB -C 的大小为 arccos436最新资料推荐方法二：以C为坐标原点，射线 CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C -xyz.由题设知 A1D 与 z轴平行， z轴在平面 AA1C1C 内（1）证明：设 A1（a，0，c）由题设有 a2，A（2，0，0）， B（0，1，0），则AB（2，1，0），AC（2，

29、0，0），AA1（a2，0，c），AC1ACAA1（a4，0，c），BA1（a，1，c） 由|AA 1| 2，得 （ a 2） 2c2 2，即 a2 4ac2 0. 2 2又AC1BA1a2 4ac2 0，所以 AC1A1B（2）设平面 BCC1B1的法向量 m（x，y，z），则 mCB，mBB1，即 mCB0，mBB10.因为CB（0，1，0），BB1AA1（a2，0，c），所以 y0 且 （a2）xcz037最新资料推荐令 x c，则 z2a，所以 m（c，0，2a），故点 A到平面 BCC1B1的距离为|CA| |cosm，又依题设， A 到平面 BCC1B1 的距离为 3，所以 c 3

30、，代入，解得 a3（舍去）或 a1，于是 AA1（ 1， 0， 3）设平面 ABA1 的法向量 n（p， q，r），则 nAA1，nAB，即 nAA10，nAB0，p 3r0，且 2pq0.令 p 3，则 q2 3， r1，所以 n（ 3， 2 3，1）又 p（0，0，1）为平面 ABC 的法向量，故 np 1 cosn，p|n|p|41 所以二面角 A1 - AB -C 的大小为 arccos438最新资料推荐【拔高】 如图，已知 ABCD 为边长是 4 的正方形， E、F 分别是 AB、AD 的中点， GC垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC，求点 B到平面 EFG 的距离39最新资料推

31、荐E(2,4,0), F(4,2,0), G(0,0,2),B(0,4,0).解析】 分别以CD 、CB 、CG 为 x、y、z轴建立空间直角坐标系，EF(2, 2,0), EG (2,4,2),设 P 是平面 EFG 上的动点，则存在实数 s,t ，使得CP CE sEF tEG (2,4,0) s(2,2,0) t( 2,4,2) (2s 2t 2, 4 2s 4t, 2t),P(2s2t2, 42s4t, 2t), BP (2s2t2, 2s 4t, 2t).当且仅当 BPEF 且 BPEG 时， BP平面 EFG，BP 即为所求的点BP EF = 0 由BP EG = 02(2s-2t

32、+2) 2(-2s-4t)=0-2(2s-2t+2) 4(-2s-4t) + 4t=0B 到平面 EFG 的距离7- 113 11BP( 2, 2 ( 11 , 11611),40最新资料推荐2 11112A 4B 14A 2B 1解之A16，1， B6所以平面 EFG 的方程为6x 6y 2z 1点 B 到平面 EFG 的距离即为 | BP | 解法二： 因为平面 EFG 的竖截距为 2，可设平面 EFG 的方程为Ax By 2z 1，将 E(2,4,0), F(4,2,0)的坐标分别代入，得即 x y 3z 6 0点 B(0,4,0) 到平面 EFG 的距离为04061192 111141

33、最新资料推荐如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D为 CC1中点 （ ）求证： AB1面 A1BD；（）求二面角 AA1DB 的大小；（）求点 C到平面 A1BD 的距离B42最新资料推荐解析】（）取BC中点O ，连结 AO ABC为正三角形， AO BC 在正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 ABC 平面 BCC1B1，AO 平面 BCC1B1 取 B1C1中点 O1，以 O 为原点，OB ，OO1 ，OA 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0） ，D（ 1，1，0） ， A1（0，2，3） ， A（0，0，3） ， B1（1，2，0） ，43最新资料推荐AB1 (1，2， 3) ， BD ( 2，1，0) ， BA1 ( 1，2， 3) AB1 BD 2 2 0 0， AB1 BA1 1430， AB1 BD ， AB1 BA1 ，AB1 平面 A1BD ()设P是直线A1D上的动点，由( )可得DA1 (1,1, 3) ，则存在 t R，使得OP OD tDA1 ( 1,1,0) t(1,1, 3) (t 1,t 1, 3t) ， P(t 1,t 1, 3t), PA ( t 1, t 1, 3 3t)。当 PADA1 时，由 PA DA1 0 ( t 1) ( t 1) 3( 3