线性变换习题答案教材

1、第七章 线性变换3在 Px中， A f(x) f (x)，B f(x) xf (x)，证明： AB BA = E 解题提示直接根据变换的定义验证即可证明 任取 f (x) Px ，则有=(AB BA )f(x) AB f(x) BA f(x) A(xf(x) B(f (x)(xf (x) xf (x) f (x) E f (x) ，于是 AB BA= E 4 设 A ,B 是线性变换，如果 AB BA = E ，证明：k k k 1A kB BA k kA k 1,k 1 解题提示利用数学归纳法进行证明证明 当k 2时，由于 AB BA=E ，可得A 2B BA 2 A (AB BA ) (A

2、B BA )A 2A ， 因此结论成立假设当 k s时结论成立，即 A sB BA s sA s 1 那么，当 k s 1 时，有A s 1B BA s 1 A (A sB BA s) (AB BA )A s sA s A s (s 1)A s ，即对 k s 1 结论也成立从而，根据数学归纳法原理，对一切 k 1 结论都成立特别提醒由 A 0 E 可知，结论对 k 1也成立5证明：可逆映射是双射解题提示只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可证明 设 A 是线性空间 V 上的一个可逆变换 对于任意的 , V ，如果 A A ，那么，用 A 1作用左右两边，得到 A 1(A ) A 1(A )

3、，因此 A 是单射；另外，对于任意的 V ，存在A 1 V ，使得 A A (A 1 ) ，即 A 是满射于是 A 是双射特别提醒由此结论可知线性空间 V 上的可逆映射 A 是 V 到自身的同构6设 1, 2, , n是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明A 可逆当且仅当 A 1,A 2, ,A n 线性无关证法 1 若 A 是可逆的线性变换，设 k1A 1 k2A 2knA n 0，即A (k1 1 k2 2kn n) 0 而根据上一题结论可知 A 是单射，故必有 k1 1 k2 2kn n 0 ，又由于 1, 2, , n是线性无关的，因此 k1 k2kn 0从而 A 1,A

4、 2, ,A n线性无关反之，若 A 1,A 2, ,A n是线性无关的，那么 A 1,A 2, ,A n也是V 的一组基于是，根据 教材中的定理 1，存在唯一的线性变换 B ，使得 B (A i) i ，i 1,2, ,n显然BA ( i) i ，AB (A i) A i，i 1,2, ,n再根据教材中的定理 1 知， AB BA E 所以 A 是可逆的证法 2 设 A 在基 1, 2, , n 下的矩阵为 A，即A ( 1,2, ,n)(A1,A2,An)( 1,2,n)A由教材中的定理 2 可知， A 可逆的充要条件是矩阵 A 可逆因此，如果 A 是可逆的，那么矩阵 A可逆，从而 A 1

5、,A 2, ,A n也是 V 的一组基，即是线性无 关的反之，如果 A 1,A 2, ,A n是线性无关，从而是 V 的一组基，且 A是从基 1, 2, , n到 A 1,A 2, ,A n的过渡矩阵，因此 A 是可逆的所以 A 是可逆的线性变换方法技巧方法 1 利用了上一题的结论及教材中的定理 1 构造 A 的逆变换；方法 2 借助教材中的 定理 2，将线性变换 A 可逆转化成了矩阵 A 可逆9设三维线性空间 V 上的线性变换 A 在基 1, 2, 3 下的矩阵为a11 a12 a13A a21 a22 a23 a31 a32 a331)求 A 在基 3, 2, 1 下的矩阵；2）求 A 在

6、基 1,k 2, 3下的矩阵，其中 k P且k 0；3）求 A 在基 1 2, 2, 3 下的矩阵解题提示可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的 矩阵是相似的进行求解解 1 ）由于A3a13 1a232a333a333a232a131 ，a12 1 a22 2 a32 3 a32 3 a22 2 a12 1a11 1 a21 2 a31 3a31 3 a21 2 a11 1故 A 在基 3, 2, 1 下的矩阵为a33a32a31B1a23a22a21a13a12a112）由于A 1 a11 1 a21 2 a31 3 a11 11a21k 2 a31 3

7、 ，kA k 2 ka12 1 ka22 2 ka32 3 ka12 1 a22k 2 ka32 3 ，A 3 a13 1 a23 2 a33 3 a13 11a23k 2 a33 3 k故 A 在基 1,k 2, 3 下的矩阵为3）由于从 1, 2, 3 到 1 2, 2,a11ka12a13B21a21ka221a2k2a31ka32a333 的过渡矩阵为100X110001故 A 在基 1 2, 2, 3 下的矩阵为1001a11a12a13100a11a12a12a13B3110a21a22a23110a21 a11a22 a12a22 a12a23 a13001a31a32a3300

8、1a31a32a32a33方法技巧根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和 2）所求的矩阵； 3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解10设 A 是线性空间 V 上的线性变换，如果 A k 10，但A k0，求证： ,A , ,A k 1（ k 0 ）线性无关证明 由于A k0 ，故对于任意的非负整数 i，都有 A k i A i（A k ） 0当 k 0时，设x1x2AxnA k 10 ，用A k 1作用于上式，得x1A k 1 0 ，但A k 10，因此 x1 0于是x2AxnA k 1 0 ，再用 A k 2作用上式，同样得到 x2 0

9、依此下去，可得 x1 x2xk 0从而 ,A , ,A k 1 线性无关16证明：i2in相似，其中 i1,i2, ,in是1,2, , n的一个排列解题提示利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义证法 1 设V 是一个 n 维线性空间，且1, 2, , n是V 的一组基另外，记，Bii1ii2nin- 4 -于是，在基 1, 2, , n下，矩阵 A对应V 的一个线性变换 A ，即1A ( 1, 2, , n ) ( 1, 2, , n) 2 ( 1, 2, , n)A n从而A i i i，i 1,2, , n 又因为 i1, i2, , in 也是V的一组基，且A (i

10、1,i2,in)(i1,i2,in )故 A与 B 相似证法 设对 A交换i, j 两行，再交换 i, j 两列，相当于对 A左乘和右乘初等矩阵 P(i, j) 1 P(i, j)和P(i, j)，而P(i,j) 1AP(i,j)即为将 A中的 i和 j 交换位置得到的对角矩阵于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将 A的主对角线上的元素1,2, n变成i1,i2,in ，这也相当于存在一系列初等矩阵Q1,Q2,Qs，使得Qs1 Q21Q11AQ1Q2 Qs B ，令Q Q1Q2 Qs，则有 Q 1AQ B，即 A与 B相似方法技巧证法利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法

11、利用了矩阵的 相似变换，直接进行了证明17如果 A可逆，证明 AB与 BA相似证明 由于 A 可逆，故 A 1存在于是A 1(AB) A (A 1A)BA BA，因此，根据相似的定义可知 AB与 BA相似19求复数域上线性变换空间 V 的线性变换 A 的特征值与特征向量已知 A 在一组基下的矩阵为：2 5 14 ( 7)( 2)345630011) A； 4 ) A101； 5) A010521211001)设 A 在给定基 1, 2下的矩阵为A 由于 A 的特征多项式为故 A 的特征值为 1 7， 2 2 当 1 7时，方程组 ( 1E A)X 0 ，即为4x1 4x2 0,5x1 5x2

12、0.解得它的基础解系为从而 A 的属于特征值 1 7 的全部特征向量为其中 k 为任意非零常数当 2 2时，方程组 ( 2E A)X 0 ，即为5x1 4x2 0,5x1 4x2 0.解得它的基础解系为从而 A 的属于特征值2 2 的全部特征响向量为4l 1 5l 2 ，其中 l 为任意非零常数4)设 A 在给定基 1, 2, 3 下的矩阵为A ，由于 A 的特征多项式为EA5 6 31 1 ( 2)( 1 3)( 1 3) ，1 2 1故 A 的特征值为 1 2 ， 2 1 3 ， 3 1 3 当 1 2时, 方程组 ( 1E A)X = 0，即为3x1 6x2 3x3 0, x1 2x2

13、x3 0, x1 2x2 3x3 0.2 求得其基础解系为 1 ，故 A 的属于特征值 2 的全部特征向量为01 2k1 1 k1 2其中 k1 为任意非零常数当 2 1 3时, 方程组 ( 2E A)X = 0，即为( 4 3)x1 6x2 3x3 0, x1 (1 3)x2 x3 0, x1 2x2 (2 3)x3 0.3 求得其基础解系为 1 ，故 A 的属于特征值 1 3 的全部特征向量为232 3k2 1 k2 2 (2 3)k2 3其中 k2 为任意非零常数当 3 1 3 时，方程组 ( 3 E A) X = 0 ，即为( 4 3)x1 6x2 3x3 0, x1 (1 3)x2

14、x3 0, x1 2x2 (2 3)x3 0.3 求得其基础解系为 1 ，故 A 的属于特征值 1 3 的全部特征向量为233 3k3 1 k3 2 (2 3)k3 3其中 k3 为任意非零常数5）设 A 在给定基 1, 2, 3 下的矩阵为 A，由于 A 的特征多项式为01E A 0 1 0 ( 1)2( 1) ，10故 A 的特征值为 1 1（二重）， 2 1 当 1 1时，方程组 ( 1E A)X = 0 ，即为x1 x3 0,x1 x3 0.求得其基础解系为10,故 A 的属于特征值1 的全部特征向量为其中 k1, k2 为任意不全为零的常数当 21时，方程组 （ 2E A）X = 0

15、 ，即为x1 x3 0,2x2 0,2x1 x3 0.1求得其基础解系为0 ，故 A 的属于特征值 1 的全部特征向量为1其中 l 为任意非零常数方法技巧求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特 征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式241）设 1, 2 是线性变换 A 的两个不同特征值， 1, 2 是分别属于 1, 2 的特征向量， 证明： 1 2 不是 A 的特征向量；2）证明：如果线性空间 V 的线性变换 A 以 V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 A 是数乘变换证明 1)反证法假设 1 2是 A 属于特征值 的特征向量，即A ( 1 2

16、) ( 1 2)1 2而由题设可知 A 1 1 1,A 2 2 2 ，且 1 2 ，故A ( 1 2) A 1 A 2 1 1 2 2 比较两个等式，得到( 1 ) 1 ( 2 ) 2 0 再根据 1, 2 是属于不同特征值的特征向量， 从而是线性无关性， 因此 1 2 0 ，即 1 2这 与 1 2 矛盾所以 1 2 不是 A 的特征向量2)设 1, 2, , n是V 的一组基， 则它们也是 A 的 n 个线性无关的特征向量， 不妨设它们分别属于 特征值 1, 2, , n ，即A i i i ， i 1,2, , n 根据 1)即知 1 2 n 否则，若 1 2，那么 1 2 0 ，且不是 A 的特征向量，这与 V 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾所以，对于任意的 V ，都有 A ，即 A 是数乘变换25设V 是复数域上的 n维线性空间， A ,B 是V上的线性变换，且 AB BA 证明：1)如果 0是A 的一个特征值，那么 V0 是B 的