结构力学课件 第十四章 结构动力学

1、第十四章第十四章 结构动力学结构动力学 动荷载及其分类动荷载及其分类 一一. .动荷载的定义动荷载的定义 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。静荷载。 静荷只与作用位置有关，而静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。动荷是坐标和时间的函数。 二二. .动荷载的分类动荷载的分类 结构动力学的研究内容和任务结构动力学的研究内容和任务 结构结构 （系统）（系统） 结构结构 （系统）（系统） 输入输入 （动力荷载）（动力荷载） 结构结构 （系统）（系统） 输出输出 （动力反应）（动力反应） 结构结构 （系统）

2、（系统） 结构结构 （系统）（系统） 输入输入 （动力荷载）（动力荷载） 结构结构 （系统）（系统） 输出输出 （动力反应）（动力反应） 输入输入 （动力荷载）（动力荷载） 结构结构 （系统）（系统） 输出输出 （动力反应）（动力反应） 控制系统控制系统 （装置、能量）（装置、能量） 结构动力分析中的自由度结构动力分析中的自由度 m m )(xy 1 )()( i ii xaxy n i ii xaxy 1 )()( i a 0)()0(l ii )(x i m m 广义坐标个数即广义坐标个数即 为自由度个数为自由度个数 结点位移个数即结点位移个数即 为自由度个数为自由度个数 1 y 2 y

3、1 y 1 y 2 y ei 1 y 2 y ei m 1 y 1 y 2 y ei 1 y 2 y ei m )(tp )(t y )()(tptym )(t p )()(tymtp 0)()(tymtp )(tp )(ty m eil )(tp )(ty m =1 11 )(tp)(ty m )()( 11 tymtp )()()( 11 tymtpty ei l 3 3 11 l )()( 3 )( 3 tpty l ei tym 柔度法步骤：柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。 )(ty 一、柔度法一、柔度法 eil

4、 )(ty )(tp )(ty m =1 11 )(tp)(ty m )()( 11 tymtp )()()( 11 tymtpty ei l 3 3 11 l )()( 3 )( 3 tpty l ei tym 柔度法步骤：柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。 二、刚度法二、刚度法 eil )(ty )(tp )(ty m 11 k 1 )( 11 tyk y )()()( 11 tymtptyk 3 11 3 l ei k )()( 3 )( 3 tpty l ei tym 1 1111 k 刚度法步骤：刚度法步骤： 1

5、.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。 柔度法步骤：柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。 三、列运动方程例题三、列运动方程例题 ei l 3 2 3 11 )()( 2 3 )( 3 tpty l ei tym 刚度法步骤：刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。 例例1.1. ei l )(tp ei l )(ty )(ty )(ty m )(tp 11 =1 l ei l 3 2 3 11 )( 16

6、 )( 3 2 )()( 33 111 tp ei l tym ei l tymty p 例例2.2. )(ty )(ty )(ty m )(tp 11 =1 l ei l )(tp ei l/2l/2 p1 p(t) ei pl p 16 3 1 pl/4 柔度法步骤：柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。 三、列运动方程例题三、列运动方程例题 刚度法步骤：刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。 例例3.3. )(ty m 3 11 /24leik ei

7、l )(tp ei l 1 ei )(ty )(tp 11 k 1 3 /12lei 11 k 3 /12lei )()()( 11 tymtptyk )()( 24 )( 3 tpty l ei tym 例例4.4. ei l/2 )(tp ei 1 ei l/2 )(ty )(tp )(ty m )(ty )(tp )(ty m )(tr 三、列运动方程例题三、列运动方程例题 例例3.3. )(ty m 3 11 /24leik ei l )(tp ei l 1 ei )(ty )(tp 11 k 1 3 /12lei 11 k 3 /12lei )()()( 11 tymtptyk )(

8、)( 24 )( 3 tpty l ei tym 例例4.4. ei l/2 )(tp ei 1 ei l/2 )(ty )(tp )(ty m )(ty )(tp )(ty m )(tr 0)(tr 11 k 1 )(tp )(ty m )( 1 tr p 0)()( 111 trtyk p 3 11 /24leik 2/ 1 pymr p 层间侧移刚度层间侧移刚度 ei l ei l 1 ei )(tp 1 3 /12lei 3 /12lei 对于带刚性横梁的刚架对于带刚性横梁的刚架( (剪切型刚架剪切型刚架),), 当两层之间发生相对单位水平位移时当两层之间发生相对单位水平位移时, ,两

9、两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度层的层间侧移刚度. . 3 24 l ei k k 1 11 1 11 k 2 kei l 1 ei l ei eiei 1 ei 1 k ? 1 k ? 2 k 3 21 24 l ei kk 层间侧移刚度层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架对于带刚性横梁的刚架( (剪切型刚架剪切型刚架),), 当两层之间发生相对单位水平位移时当两层之间发生相对单位水平位移时, ,两两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度层的层间侧移刚度. . 3 24 l ei k k

10、 1 11 1 11 k 2 kei l 1 ei l ei eiei 1 ei 1 k ? 1 k ? 2 k 3 21 24 l ei kk 2 k ei l 1 ei l ei eiei 1 ei 1 k ? 1 k ? 2 k 3 21 36 l ei kk 三、列运动方程例题三、列运动方程例题 列运动方程时可不考虑重力影响列运动方程时可不考虑重力影响 例例5.5. ei l 48 3 11 )()( 48 )( 3 tpty l ei tym )(tp ei l/2l/2 w )(ty st )(ty -p(t)-p(t)引起的动位移引起的动位移 st -重力引起的位移重力引起的位移

11、 质点的总位移为质点的总位移为 st tyty)()( 加速度为加速度为 )()(tyty )(ty m 1 11 )()()( 11 tymwtpty st 11 w st )()()( 11 tymtpty 三、列运动方程例题三、列运动方程例题 例例6.6. ei l 243 4 3 2211 )()()()( 221211111 tymtymtpty )()( 11 tymtp 1 )(tp ei l/3l/3l/3 2 )( 1 ty )( 2 ty )( 11 ty m )( 22 ty m 1 11 21 1 12 22 )( 11 ty m = = )()()()( 222211

12、212 tymtymtpty 2 1 2 1 2221 1211 2221 1211 2 1 0 0 0y y m mp y y 简记为简记为 ympy 位移位移 向量向量 柔度矩阵柔度矩阵 荷载向量荷载向量 质量质量 矩阵矩阵 加加 速速 度度 向向 量量 ei l 486 7 3 2112 例例7.7. 1 )( 1 tp 2 k 1 ei 1 ei 1 k )( 2 tp 2 )( 1 ty )( 2 ty )( 22 ty m )( 1 tp )( 2 tp )( 1 ty )( 2 ty )( 11 ty m 1 y )( 1 tr )( 2 tr )( 1 ty )( 2 ty 1

13、1 k 21 k 1 12 k 22 k 1 2 y = = 2121111111 ykykympr 2221212222 ykykympr 2 1 2221 1211 2 1 2 1 2 1 0 0 y y kk kk y y m m p p pykym 刚度矩阵刚度矩阵 11 k 21 k 2 k 1 k 2111 kkk 221 kk 212 kk 222 kk 12 k 22 k 2 k 22 221 kk kkk k 例例7.7. 1 )( 1 tp 2 k 1 ei 1 ei 1 k )( 2 tp 2 )( 1 ty )( 2 ty )( 22 ty m )( 1 tp )( 2

14、 tp )( 1 ty )( 2 ty )( 11 ty m 111 ymp ) 0 0 ( 2 1 2 1 2 1 2221 1211 2 1 y y m m p p y y 111 /1 k 121 /1 k 112 /1 k 2122 /1/1kk ik 11 1 21 12 122 222 ymp = = + + 22212111111 ympympy 22222111212 ympympy )(ympy 211 11 / 1/ 1/ 1 / 1/ 1 kkk kk )( 2 tp )( 122 yyk 11 yk )( 22 ty m )( 11 ty m )( 1 tp )()(

15、12211111 yykykymtp )()( 122222 yykymtp 例例7.7. 1 )( 1 tp 2 k 1 ei 1 ei 1 k )( 2 tp 2 )( 1 ty )( 2 ty )( 22 ty m )( 1 tp )( 1 ty )( 2 ty )( 11 ty m )( 2 tp 例例8 8 建立图示体系的运动方程建立图示体系的运动方程 0 a m ei2m lll y(t) 2y(t) 3y(t) )(2ty m yk2 )(3ty m 033222lymlyklym 0)(4)(11tkyty m l 1 ei l ei )(tp 例例9 9 建立图示体系的运动方

16、程建立图示体系的运动方程 )(t)(tlm )(tlm )(tp )(4ti ab 0 b m 04 3 2 2 1 )(i l llmltp ltpilm)(4 3 1 3 )(tp )(t j )(tlm )(tp )(4ti j 0 b m 04)(ijltp 2 3 1 llmj xmbxkbxk )()( 例例10 10 图示体系为质量均匀分布的刚性平板图示体系为质量均匀分布的刚性平板, ,试建立运动方程试建立运动方程. . 总质量为总质量为m, ,转动惯量为转动惯量为j. 设设 水平位移为水平位移为x 竖向位移为竖向位移为y 转角为转角为 2b kk k k 2a x y xm y

17、m j )(bxk )(bxk )(ayk )(ayk ymaykayk )()( 0)()( )()( jaaykaayk bbxkbbxk 02 kxxm 02 kyym 0)(2 22 kabj m ba j 3 22 自由振动自由振动-由初位移、初速度引起的由初位移、初速度引起的, ,在振动中无动荷载作用的振动。在振动中无动荷载作用的振动。 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 eil )(ty )(ty m )()( 11 tymty )()( 11 tymtyk 0)()( 2 tyty 11 11 2 1 mm k 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 eil )(ty )(

18、ty m )()( 11 tymty )()( 11 tymtyk 0)()( 2 tyty 11 11 2 1 mm k 其通解为其通解为tctctysincos)( 21 由初始条件由初始条件 0 )0(yy 0 )0(yy 可得可得 01 yc / 02 yc t y tyty sincos)( 0 0 sin 0 ay cos/ 0 ay )sin()(taty 2 2 0 2 0 y ya 0 0 tan y y 二二. .振动分析振动分析 其通解为其通解为tctctysincos)( 21 由初始条件由初始条件 0 )0(yy 0 )0(yy 可得可得 01 yc / 02 yc

19、t y tyty sincos)( 0 0 sin 0 ay cos/ 0 ay )sin()(taty 2 2 0 2 0 y ya 0 0 tan y y 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. . ) 2 () 2 (sin)2sin()sin()( tytatataty 2 t自振周期自振周期 2 1 t 自振园频率自振园频率( (自振频率自振频率) ) 与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性 a 振幅振幅 初相位角初相位角 二二. .振动分析振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动单自由度体系不计阻尼

20、时的自由振动是简谐振动. . ) 2 () 2 (sin)2sin()sin()( tytatataty 2 t自振周期自振周期 2 1 t 自振园频率自振园频率( (自振频率自振频率) ) 与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性 a 振幅振幅 初相位角初相位角 三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算 1.1.计算方法计算方法 (1)(1)利用计算公式利用计算公式 11 11 2 1 mm k 11 ,wmgw st st g 2 (2)(2)利用机械能守恒利用机械能守恒 常数)()(tutt )(cos 2 1 )( 2 1 )( 2222 tmatymt

21、t )(sin 2 1 )( 2 1 )( 22 11 2 11 taktyktu maxmax ut 三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算 1.1.计算方法计算方法 (1)(1)利用计算公式利用计算公式 11 11 2 1 mm k 11 ,wmgw st st g 2 (2)(2)利用机械能守恒利用机械能守恒 常数)()(tutt )(cos 2 1 )( 2 1 )( 2222 tmatymtt )(sin 2 1 )( 2 1 )( 22 11 2 11 taktyktu maxmax ut (3)(3)利用振动规律利用振动规律 )sin()(taty )sin()( 2

22、 tat y )sin()()( 2 tmatymti 位移与惯性力同频同步位移与惯性力同频同步. . 2 11 maak 1 11 k eil )(ty 2 ma a 幅值方程幅值方程 m k11 2 三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算 2.2.算例算例 例一例一. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. . 3 11 7 121 ml ei m ) 22 1 2 1 3 2 2 1 ( 1 11 l l lllllll ei ei ml t 12 7 2 2 3 ei l ei l =1 11 =1 l l/2 l 解解: : ei l 3 12 7 例二

23、例二. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. . 33 3 2 2 3 1 ml ei ei l m ei l 3 11 3 2 ei ml t 3 2 =1 解解: : 2 3 l ei eil l m/2 ei ei l l 例三例三. .质点重质点重w,求体系的频率和周期求体系的频率和周期. . 3 11 3 l ei kk 解解: : ei k l 11 k 1 11 k k3 3 l ei gwm/ g w l ei k 3 3 例四例四. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. . 2222 22 max 2 9 )2( 2 1 )( 2 1

24、)2( 2 1 mllm lmlmt 解解: : m k 9 5 l m ei m lll k k )(t 1.1.能量法能量法 2222 max 2 5 )2( 2 1 )( 2 1 kllklku maxmax ut 2.2.列幅值方程列幅值方程 ml 2 2 ml 2 2ml 2 lk lk2 a 0 a m 0222222 222 lklllmlmllkllml 059 222 klml m k 9 5 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 tptyktymsin)()( 11 受迫振动受迫振动-动荷载引起的振动动荷载引起的振动. . eil )(ty p(t)p(t) tptpsi

25、n)( p -p -荷载幅值荷载幅值 -荷载频率荷载频率 运动方程运动方程 )()()( * tytyty 或或 通解通解 其中其中 tctctysincos)( 21 设设 t m p tytysin)()( 2 tatysin)( * )( 22 m p a 通解为通解为 t m p tctcty sin )( sincos)( 22 21 二二. .纯受迫振动分析纯受迫振动分析 eil )(ty p(t)p(t) 设设 tatysin)( * )( 22 m p a 通解为通解为 t m p tctcty sin )( sincos)( 22 21 tatysin)( )( 22 m p

26、 a 2 22 1 1 m p st ya 11 2 p m p y st 22 /1 1 | 2 1 1 二二. .纯受迫振动分析纯受迫振动分析 eil )(ty p(t)p(t) tatysin)( )( 22 m p a 2 22 1 1 m p st ya 11 2 p m p y st 22 /1 1 st ya | 2 1 1 11 2 p m p y st 22 /1 1 01 1 0 10 1| 0 )( 1 sin)( 22 tp m t m p ty 共振区 m k11 2 10 1| 0 )( 1 sin)( 22 tp m t m p ty 01 1 0 10 1 例例

27、1 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知5 . 0 三三. .动位移、动内力幅值计算动位移、动内力幅值计算 tatysin)( st ya 22 /1 1 tpsin 1 ei ei ei p pl/4 解解. . 3 11 24 l ei k ei pl k p y st 24 3 11 3 4 /1 1 22 ei pl ya st 3 18 1 pl/3 动弯矩幅值图动弯矩幅值图 例例2 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知: : ./500,10,35 ,210,108 .8,4 45 分转 nknpkn

28、q gpaemiml 解解. . s/13 .62/1 11 q gm m10722.0 3 11 py st 4 .3 /1 1 22 m1045.2 3 st ya tpsin q /2/2 重力引起的弯矩重力引起的弯矩kn35 4 1 qlm q 重力引起的位移重力引起的位移 m1053. 2 3 11 q q 1 11 /4 m/n10722.0 48 7 3 11 ei l kn.m10 4 1 plm st s/13 .5260/2n 振幅振幅 动弯矩幅值动弯矩幅值 kn.m34 std mm 跨中最大弯矩跨中最大弯矩 kn.m69 max dq mmm 跨中最大位移跨中最大位移

29、m1098.4 3 max af q 动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算 pp 11 12 * tpsin )(ty )(sin)( 1112 ymtpty )(ty m tpsin 12 =1 11 =1 tptytym sin)( 1 )( 11 12 11 令令 tptytym sin)( 1 )( * 11 t m p ty sin)( 2 * 11 * 2 * p m p a 11 11 12 pp 12 st y st y p 仍是位移动力系数仍是位移动力系数 是内力动力系数吗是内力动力系数吗? ? 运动方程运动方程 稳态解稳态解 振幅振幅 列幅值方程求内力幅值列

30、幅值方程求内力幅值 tatysin)( ei pl l lpl ei y st 3 48 5 6 5 222 11 解解: : 5 .0例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知 tatysin)( 2 tmatisin)( 2 tptpsin)( 同频同步变化同频同步变化 tpsin ei l/2l/2 )(ty am 2 a 3 4 /1 1 22 ei pl ya st 3 36 5 st y =1 11 2/pl l 11 22 44 1 a mamai p 48 5 pp 48 5 pl 96 5 pl 48 29 动弯矩幅值图动弯矩幅值图 ei

31、 pl l lpl ei y st 3 48 5 6 5 222 11 解解: : 5 .0例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知 tpsin ei l/2l/2 )(ty am 2 a st y =1 11 3 4 /1 1 22 ei pl ya st 3 36 5 2/pl l 解解: : 例例: :求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅 0 o m km p a 410 3 2 11 22 44 1 a mamai p 48 5 pp 48 5 pl 96 5 pl 48 29 动弯矩幅值图动弯矩幅值图 tpsin l k ei ll

32、 a p 2 ma 2 3 1 maak 3 2 o c-阻尼系数 )()(tyctr 0 11 ykycym )(ty )(ty m )( 11 tyk )(ty c mc2/ 02 2 yyy t aety )( 02 22 2 1i )2(1mc 2 1 d )cossin()( 21 tctcety dd t 00 )0(,)0(yyyy 02001 ,/)(ycyyc d )sin()( dd t taety 2 0 2 0 )( d yy ya 0 11 ykycym )(ty )(ty m )( 11 tyk )(ty c mc2/ 02 2 yyy t aety )( 02 2

33、2 )/(tan 000 yyy dd )2(1mc t etccty )()( 21 mcr2 m c c c r 2 )2(1mc 小阻尼情况 临界阻尼情况 超阻尼情况 2 1i )2(1mc 2 1 d )cossin()( 21 tctcety dd t 00 )0(,)0(yyyy 02001 ,/)(ycyyc d )sin()( dd t taety 2 0 2 0 )( d yy ya )/(tan 000 yyy dd )2(1mc t etccty )()( 21 mcr2 m c c c r 2 )2(1mc 小阻尼情况 临界阻尼情况 超阻尼情况 )sin()( dd t

34、 taety i t 1i t d t t )(ty i a 1i a 2 1 d d d t 2 )sin()( dd t taety 2 1 d d d t 2 i t 1i t d t t )(ty i a 1i a d di i t tt t i i e ae ae a a )( 1 d i i t a a 1 ln 2 2 d 1 ln 2 1 i i a a ni i a a n ln 2 1 d di i t tt t i i e ae ae a a )( 1 d i i t a a 1 ln 2 2 d 1 ln 2 1 i i a a ni i a a n ln 2 1 kn

35、4 .16 0276.0 1 2 ln 42 1 )/(102 .8 02.0 104 .16 5 3 11 mnk kn4 .16 0276.0 1 2 ln 42 1 )/(102 .8 02.0 104 .16 5 3 11 mnk ) s (5 .04/2 d t ) s (4998.01 2 d tt )s/1 (57.12 2 t )kg(5190/ 2 11 km )kn(86.50 mgw )s/mn(36012mc )s/1 (89.136 8005190 102 .8 2 5 2 )s/1 (70.11 )s (537.0/2t 0257.02/mc 三三. .计阻尼简谐荷

36、载受迫振动计阻尼简谐荷载受迫振动 1.1.运动方程及其解运动方程及其解 设设 tpykycymsin 11 或或 t m p yyysin2 2 通解通解)()()( * tytyty )cossin()( 21 tctcety dd t tdtdtysincos)( 21 * 222222 1 4)( 2 m p d 222222 22 2 4)( m p d )sin()( * taty 2222 2 4)1 ( 1 m p a )1 ( 2 tan 2 )sin()cos sin()( 2 1 tatc tcety d d t 00 )0()0(yyyy )sin( )sin( )sin

37、()( 22 11 ta tea teaty d t d t 2 00 2 01 )( d yy ya 00 0 1 tan yy y d )sin()( * taty 2222 2 4)1 ( 1 m p a )1 ( 2 tan 2 )sin()cos sin()( 2 1 tatc tcety d d t 00 )0()0(yyyy )sin( )sin( )sin()( 22 11 ta tea teaty d t d t 2 00 2 01 )( d yy ya 00 0 1 tan yy y d 2222 222222 2 )2()-( )(2)2( d d m p a )-(2

38、2 tan 2222 2 d 初位移、初速度引初位移、初速度引 起的自由振动分量起的自由振动分量 动荷载激起的按结构自动荷载激起的按结构自 振频率振动的分量振频率振动的分量,称为称为 伴随自由振动伴随自由振动 纯受迫振动纯受迫振动 2.2.阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响 )sin()(taty 2222 2 4)1 ( 1 m p a 在平稳阶段在平稳阶段 st y 2222 4)1 ( 1 随随 增大而减小增大而减小 阻尼在共振区内影响显著阻尼在共振区内影响显著, , 在共振区外可不计阻尼在共振区外可不计阻尼. . 2/11 时 的最大值并不发生在的最大值并不发生在处1 位移滞后于荷载位移

39、滞后于荷载 3.3.动内力、动位移计算动内力、动位移计算 除动力系数计算式不同外，除动力系数计算式不同外， 其它过程与无阻尼类似。其它过程与无阻尼类似。 0 2.0 3.0 例例. .图示为块式基础图示为块式基础. .机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ; ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ; ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为n=800r/min, ,其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为p=30kn. .求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。 kg10156 3 m kg/m105 .1314 3 k2.0 解：解： m100228.0 105

40、 .1314 30 3 3 k p y st )s/1 (79.91 10156 105 .1314 3 6 m k tptpsin)( )s/1 (78.832 60 n 49.2)/2()/1 (/1 2222 )mm(0568.0 st ya )(tp )(ty 0 ymp 将荷载看成是连续作用的一系将荷载看成是连续作用的一系 列冲量，求出每个冲量引起的列冲量，求出每个冲量引起的 位移后将这些位移相加即为动位移后将这些位移相加即为动 荷载引起的位移。荷载引起的位移。 )(tp t t 一一. .瞬时冲量的反应瞬时冲量的反应 t)(tp t t p 1.1.t=0 时作用瞬时冲量时作用瞬时

41、冲量 s mpy/ 0 2 0 )( 2 1 m p y 0 t y tyty sincos)( 0 0 t m p sin 2.2. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量 )(tp t t p )(sin)( t m p ty 2.2. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量 )(tp t t p )(sin)( t m p ty 二二. .动荷载的位移反应动荷载的位移反应 )(tp )(ty )(tp t t )(p dt m p ty t )(sin )( )( 0 -杜哈美积分杜哈美积分 d )(sin )( )( 0 )( t d t d te m p ty 计阻尼时计阻尼时 若若t=0 时体

42、系有初位移、初速度时体系有初位移、初速度 d )(sin )( )sin()( 0 )( t d t d d t te m p taety 例例. .求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。 )(tp )(ty p )(tp t dt m p ty t )(sin )( )( 0 解：解： dt m p t )(sin 0 )cos1 ( 2 t m p )cos1 (ty st 动力系数为动力系数为 2 2 0 00 )( tp t tp 3.1 3.1 自由振动分析自由振动分析 自由振动分析的目的是确定体系的动力特性自由振动分析的目的是确

43、定体系的动力特性. .可不计阻尼。可不计阻尼。 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 0ykym 或或 1 )( 1 ty 2 )( 2 ty 运动方程运动方程 11212111 ymykyk 22222121 ymykyk 设方程的特解为设方程的特解为 )sin( )sin( 22 11 txy txy 代入方程代入方程, ,得得 0 1 2 1212111 xmxkxk 0 2 2 2222121 xmxkxk 0 0 ) 0 0 ( 2 12 2 1 2221 1211 x x m m kk kk 0)( 2121 2 111 xkxmk 0)( 2 2 222121 xmkxk 0)

44、( 2 xmk 0 2 mk -频率方程频率方程 1 )( 1 ty 2 )( 2 ty 解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根 2 0ykym 或或 运动方程运动方程 11212111 ymykyk 22222121 ymykyk 设方程的特解为设方程的特解为 )sin( )sin( 22 11 txy txy 代入方程代入方程, ,得得 0 1 2 1212111 xmxkxk 0 2 2 2222121 xmxkxk 0 0 ) 0 0 ( 2 12 2 1 2221 1211 x x m m kk kk 0)( 2121 2 111 xkxmk 0)( 2 2 222121 xmk

45、xk 0)( 2 xmk 0 2 mk -频率方程频率方程 -振型方程振型方程 值小者记作值小者记作 2 1 称作第一频率称作第一频率 也称作基本频率也称作基本频率; ; 值大者记作值大者记作 称为第二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率. . 将将 频率代入振型方程频率代入振型方程 1 0)( 211211 2 1111 xkxmk 11 2 11 12 21 11 km k x x 特解特解1 1 )sin( )sin( 212121 111111 txy txy 特解特解2 2 )sin( )sin( 222222 221212 txy txy 1 )( 1 ty 2 )( 2 ty 解

46、频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根 2 值小者记作值小者记作 2 1 称作第一频率称作第一频率 也称作基本频率也称作基本频率; ; 值大者记作值大者记作 称为第二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率. . 将将 频率代入振型方程频率代入振型方程 1 0)( 211211 2 1111 xkxmk 11 2 11 12 21 11 km k x x 特解特解1 1 )sin( )sin( 112121 111111 txy txy 特解特解2 2 )sin( )sin( 222222 221212 txy txy )sin( 11 21 11 1 2 1 t x x y y )sin( 2

47、2 22 12 2 2 1 t x x y y 通解通解 )sin()sin( 22 22 12 11 21 11 2 1 t x x t x x y y 二二. .频率与振型频率与振型 体系按特解振动时有如下特点体系按特解振动时有如下特点 1)1)各质点同频同步各质点同频同步; ; 21 11 1121 1111 2 1 )sin( )sin( )( )( x x tx tx ty ty )sin( )sin( 112121 111111 txy txy 11 2 11 12 21 11 km k x x 2)2)任意时刻任意时刻, ,各质点位移的比各质点位移的比 值保持不变值保持不变 定义

48、定义: :体系上所有质量按相同频率作自由振动时体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。的振动形状称作体系的主振型。 几点说明：几点说明： 1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。 21 11 11121 11111 2 1 )cos( )cos( )( )( x x tx tx ty ty 2.2.发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的. . 21 11 2 1 21 11 2 1 ) 0( ) 0( , ) 0( ) 0( x x y y x

49、 x y y 3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, , 与外界因素无关与外界因素无关. . 几点说明：几点说明： 1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。 21 11 11121 11111 2 1 )cos( )cos( )( )( x x tx tx ty ty 2.2.发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的. . 21 11 2 1 21 11 2 1 ) 0( ) 0( , ) 0( ) 0( x x y y x x y y 3

50、.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, , 与外界因素无关与外界因素无关. . 4 4。n n自由度体系有自由度体系有n n个频率和个频率和n n个振型个振型 0 2 mk 频率方程频率方程 解频率方程得解频率方程得 的的n,n,从小从小 到大排列到大排列 n 21, 依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率. 第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高 阶频率阶频率. . 将频率代入振型方程将频率代入振型方程 ), 2 , 1(nix i 得得n n个振型个振型 0)( 2 xmk n n个振型是线性无关的个振型是线性无关的.

51、. 5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时 6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. . 4 4。n n自由度体系有自由度体系有n n个频率和个频率和n n个振型个振型 0 2 mk 频率方程频率方程 解频率方程得解频率方程得 的的n,n,从小从小 到大排列到大排列 n 21, 依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率. 第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高 阶频率阶频率. . 将频率代入振型方程将频率代入振型方程 ), 2 , 1(nix i 得得n n个振型个振型 0)( 2 xmk n n个振型是线性无关的个振型是线性无关的

52、. . 振型方程振型方程 0)( 2 xmi 频率方程频率方程 0 2 mi 按振型振动时按振型振动时 )sin( )sin( 22 11 txy txy )sin( )sin( 2 22 2 11 txy txy )sin( )sin( 2 222 2 111 txmi txmi 5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时 6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. . 振型方程振型方程 0)( 2 xmi 频率方程频率方程 0 2 mi 按振型振动时按振型振动时 )sin( )sin( 22 11 txy txy )sin( )sin( 2 22 2 11 txy txy

53、 )sin( )sin( 2 222 2 111 txmi txmi 1 1 x 2 2 x 1 2 1 xm 2 2 2 xm 2 2 2221 2 1212 2 2 2121 2 1111 xmxmx xmxmx 0)( 2 xmi 0 2 mi 振型可看作是体系按振型振动时，振型可看作是体系按振型振动时， 惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移 三三. .求频率、振型例题求频率、振型例题 例一例一. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型 mm 1 mm 2 3/l3/l3/l ei 解解 1 1 11 12 22 21 ei l 3 2211 24

54、3 4 ei l 3 2112 486 7 0 2 mi 0 /1 /1 2 222211 122 2 111 mm mm 令令 2 111 1 m 0 1/ /1 1121 1112 0)8/7()1 ( 22 8/18/15 21 3 2 3 1 045.22 692. 5 ml ei ml ei mm 1 mm 2 3/l3/l3/l ei 1 1 11 12 22 21 8/18/15 21 3 2 3 1 045.22 692. 5 ml ei ml ei 2 2 2221 2 1212 2 2 2121 2 1111 xmxmx xmxmx 2 2 2121 2 1111 xmxm

55、x 2 111 2 212 2 1 1 m m x x 1 1 2 1111 2 1212 21 11 m m x x 1 1 2 2111 2 2212 22 12 m m x x 1 11 1 1 1 1 1 第一振型第一振型 第二振型第二振型 2 2 2221 2 1212 2 2 2121 2 1111 xmxmx xmxmx 2 2 2121 2 1111 xmxmx 2 111 2 212 2 1 1 m m x x 1 1 2 1111 2 1212 21 11 m m x x 1 1 2 2111 2 2212 22 12 m m x x 1 11 1 1 1 1 1 第一振型

56、第一振型 第二振型第二振型 1 1 1 x 1 1 2 x 对称体系的振型分对称体系的振型分 成两组成两组: : 一组为对称振型一组为对称振型 一组为反对称振型一组为反对称振型 mm 1 mm 2 3/l3/l3/l ei 1 1 11 12 22 21 1 11 1 1 1 1 1 第一振型第一振型 第二振型第二振型 mm 1 mm 2 3/l3/l3/l ei 1 1 1 x 1 1 2 x 对称系的振型分对称系的振型分 成两组成两组: : 一组为对称振型一组为对称振型 一组为反对称振型一组为反对称振型 1 1 11 12 22 21 按对称振型振动按对称振型振动 m 3/l6/l ei

57、l 3 11 162 5 =1=1 l/3 11 2 1 m 3 /692. 5mlei 按反对称振型振动按反对称振型振动 1 1 1 1 第二振型第二振型 mm 1 mm 2 3/l3/l3/l ei 1 1 1 x 1 1 2 x 对称系的振型分对称系的振型分 成两组成两组: : 一组为对称振型一组为对称振型 一组为反对称振型一组为反对称振型 1 1 11 12 22 21 按对称振型振动按对称振型振动 m 3/l6/l ei l 3 11 162 5 =1=1 l/3 11 2 1 m 3 /692. 5mlei 按反对称振型振动按反对称振型振动 m 3/l6/l 对称系的振型分对称系的

58、振型分 成两组成两组: : 一组为对称振型一组为对称振型 一组为反对称振型一组为反对称振型 1 1 11 12 22 21 mm 1 mm 2 3/l3/l3/l ei 按对称振型振动按对称振型振动 m 3/l6/l ei l 3 11 162 5 =1=1 l/3 11 2 1 m 3 /692. 5mlei 按反对称振型振动按反对称振型振动 m 3/l6/l =1=1 l/9 ei l 3 11 486 1 3 /045.22mlei 3 1 /692. 5mlei 3 2 /045.22mlei 解解: : 例二例二. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型. . 已知已知: :

59、.; 2121 mmmkkk 0 2 22221 12 2 111 mkk kmk 1 2 k 1 ei 1 ei 1 k 2 0 1 2 1212111 xmxkxk 0 2 2 2222121 xmxkxk kkkk2 2111 kkk 2112 kk 22 0 2 2 2 mkk kmk 0)(2( 222 kmkmk mk /618. 0 1 mk /618. 1 2 618. 0 1 ; 618. 1 1 22 12 21 11 x x x x 618. 1 1 1 x 618. 0 1 2 x 1 1 1.6181.618 1 1 0.6180.618 1 x 2 x 练练 q a

60、 b l/2l/2 c ql 8 1 q 2 16 1 ql q a y a b l q a b l a m c m a m p ac d b 2 l 2 ql a x b y b x 0 x f 0 y f 0 a m ql q m n mpmi m1mp 例例3.3.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型 解解: : ei l 3 11 3 4 令令 2 111 1 m 0 2/18/3 4/31 032/9)2/1)(1 ( 1637. 0336. 1 21 3 2 3 1 140. 2;749. 0 ml ei ml ei m l ei m ei l 1 y 2 y 1 2 xm