线性代数 向量组的线性相关性

1、一、主一、主 要要 内内 容容 1 1、向量组的线性相关性，、向量组的线性相关性， 向量组的秩向量组的秩 及找一个最大无关组，及找一个最大无关组， 并用该最大无关线性无关组表示向量并用该最大无关线性无关组表示向量 组中的其余向量组中的其余向量 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 . ,. , 21 个个分分量量称称为为第第个个数数第第 个个数数称称为为该该向向量量的的分分量量这这维维向向量量数数组组称称为为 所所组组成成的的个个有有次次序序的的数数 i a i nn aaa n i n 分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量 分量全为复数的向量称为分量全为复数

2、的向量称为复向量复向量 定义定义 向量的定义向量的定义 a a a a n n 2 1 ,即即称称为为列列向向量量维维向向量量写写成成列列的的形形式式 aaaa n n t , , 21 即即称称为为行行向向量量维维向向量量写写成成行行的的形形式式 向量的相等向量的相等 ),2 , 1( ),(),( 2121 ni baba bbbbaaaa ii tt n t n t 则则 设设 零向量零向量 分量全为分量全为0 0的向量称为零向量的向量称为零向量 ), 2 , 1(0ni a o a i t ),2 , 1( ,0ni a o a i t 中中至至少少有有一一个个不不为为 负向量负向量

3、).,( ,),( 21 21 aaaa aaaaa n t t n t 且且的负向量记作的负向量记作向量向量 向量加法向量加法 ),( : ),(),( 2211 2121 babababa ba bbbbaaaa nn tt tt n t n t 的加法为的加法为与与向量向量 定义定义设设 ),( 2211babababann tt 向量减法定义为向量减法定义为 向量的线性运算向量的线性运算 数乘向量数乘向量 ),( , , 21a k a k a k a k a k n t t 定定义义为为简简称称数数乘乘向向量量 称称为为向向量量的的数数量量乘乘法法的的乘乘积积与与向向量量数数 向量加

4、法和数乘向量运算称为向量的向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运线性运 算算，满足下列八条运算规则：，满足下列八条运算规则： ;)1( 加法交换律加法交换律 );()()2( 加法结合律加法结合律 ;,)3( o有有对任一个向量对任一个向量 ;)( ,)4( o 有有存在负向量存在负向量对任一个向量对任一个向量 ;1)5( ;)()()6( kllk 数乘结合律数乘结合律 ;)()7( kkk 数乘分配律数乘分配律 .)()8( lklk 数乘分配律数乘分配律 ., 1 ,为零向量为零向量为数为数维向量维向量为为其中其中olkn 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：除了上述八条运算规则，显

5、然还有以下性质： );,0(,0 ) 1(为任意数为任意数为数零为数零其中其中kokoo ;, 0,) 2(okok 或者或者则或者则或者若若 .) 3( xx有唯一解有唯一解向量方程向量方程 若干个同维数的列（行）向量所组成的集合若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组叫做向量组 定义定义 . , , ,: 21 2211 21 21 这这个个线线性性组组合合的的系系数数 称称为为的的一一个个线线性性组组合合称称为为向向量量组组 向向量量实实数数 对对于于任任何何一一组组给给定定向向量量组组 kkk a akakak kkk aaa a m mm m m 线性组合线性组合 定义定义

6、 . , , , ,: 2211 21 21 线线性性表表示示由由向向量量组组 能能这这时时称称向向量量的的线线性性组组合合是是向向量量组组则则向向量量 使使存存在在一一组组实实数数 如如果果和和向向量量给给定定向向量量组组 a bab akakak b kkk b aaa a mm m m 线性表示线性表示 定理定理 .), ,(),( 2 121 的的秩秩 的的秩秩等等于于矩矩阵阵件件是是矩矩阵阵 线线性性表表示示的的充充分分必必要要条条能能由由向向量量组组向向量量 b aa a b aaa a ab m m 定义定义 . , ., , ,:,: 2 121 两两个个向向量量组组等等价价

7、则则称称这这能能相相互互线线性性表表示示与与向向量量组组若若向向量量组组 线线性性表表示示能能由由向向量量组组则则称称向向量量组组线线性性表表示示 向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若 及及设设有有两两个个向向量量组组 ba ab ab bb b b aaa a s m 定义定义 ., , 0 , ,: 2211 21 21 否否则则称称它它线线性性无无关关是是线线性性相相关关的的则则称称向向量量组组 使使为为零零的的数数 如如果果存存在在不不全全给给定定向向量量组组 a akakak kkk aaa a mm m m 定理定理 .)( ; ),( , 21 21 mar

8、m aaa a aaa m m 是是 必必要要条条件件向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数 的的秩秩小小条条件件是是它它所所构构成成的的矩矩阵阵 线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 线性相关线性相关 定理定理 ., ,.,: ,:)1( 121 21 也也线线性性无无关关则则向向量量组组线线性性无无关关向向量量组组 若若反反言言之之也也线线性性相相关关量量组组 则则向向线线性性相相关关若若向向量量组组 ab aaaa b aaa a mm m 若若向向量量量量添添上上一一个个分分量量后后得得到到向向即即向向量量 设设 . ), 2 , 1( ,)2( ,

9、1 1 1 ba mj a a a b a a a jj jr rj j j rj j j . ,., ,:,: 2121 也也线线性性相相关关则则向向量量组组 线线性性相相关关若若向向量量组组反反言言之之也也线线性性无无关关 则则向向量量组组线线性性无无关关组组 a b b bb b aaa a m m . ,)3( 时时一一定定线线性性相相关关向向量量个个数数 小小于于当当维维数数维维向向量量组组成成的的向向量量组组个个 m nnm ., ,: ,:)4( 21 21 且且表表示示式式是是唯唯一一的的线线性性表表示示能能由由向向量量组组 必必则则向向量量线线性性相相关关向向量量组组 而而线

10、线性性无无关关设设向向量量组组 a bb aaa b aaa a m m 定义定义 满满足足 个个向向量量中中能能选选出出如如果果在在设设有有向向量量组组 , , 2 1 aa a raa r ;,:)1( 210 线线性性无无关关向向量量组组 aaaa r ,) 1(1)2( 都都线线性性相相关关个个向向量量的的话话 中中有有如如果果个个向向量量中中任任意意向向量量组组 rara . );( 0 的秩的秩称为向量组称为向量组量个数量个数 最大无关组所含向最大无关组所含向简称最大无关组简称最大无关组无关向量组无关向量组 的一个最大线性的一个最大线性是向量组是向量组那么称向量组那么称向量组 ar

11、 a a 向量组的秩向量组的秩 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等 定理定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩它的行向量组的秩 定理定理设向量组设向量组b b能由向量组能由向量组a a线性表示，则向量线性表示，则向量 组组b b的秩不大于向量组的秩不大于向量组a a的秩的秩 推论推论 推论推论 ).()(),()( , brcrarcr bac nssmnm 则则设设 推论推论（最大无关组的等价定义）（最大无关组的等价定义） 设向量组是向量组的部分组，若向量组设向量组是向量组的部分组，若向量组 线性无关，且向量组能由向量组线性表示

12、，线性无关，且向量组能由向量组线性表示， 则向量组是向量组的一个最大无关组则向量组是向量组的一个最大无关组 ba ba b b a ., ;,: , varv avbavbva v 则则 若若则则若若数数乘乘两两种种运运算算 中中可可以以进进行行加加法法及及是是指指在在集集合合所所谓谓封封闭闭 定义定义设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，且非空，且 集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 合合 为向量空间为向量空间 v v v v n 向量空间向量空间 ., 2 , 1, , 1 21 mir a xv aaa i m

13、 i ii m 空空间间为为 所所生生成成的的向向量量由由向向量量组组一一般般地地 定义定义 . , 2 12121 的的子子空空间间是是 就就称称若若及及设设有有向向量量空空间间 v vvvvv .子空间子空间 的的都是都是间间维向量所组成的向量空维向量所组成的向量空任何由任何由 r vn n 子空间子空间 定义定义 ., , ,)2( ;,)1( , , 1 21 21 21 维维向向量量空空间间为为并并称称的的维维数数称称为为向向量量空空间间 的的一一个个基基就就称称为为向向量量空空间间向向量量组组那那么么 线线性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由 线线性性无无关关 且且满满足足

14、 个个向向量量如如果果为为向向量量空空间间设设 rvvr v aa aaa v aaa v a aa rv r r r r 基与维数基与维数 . 0 . 0, o v 量量空空间间只只含含一一个个零零向向量量 维维向向的的维维数数为为那那么么若若向向量量空空间间没没有有基基 . , , 的的秩秩 的的维维数数就就是是向向量量组组组组向向量量组组的的最最大大线线性性无无关关 的的基基就就是是则则看看作作向向量量组组若若把把向向量量空空间间 v vv 向向量量空空间间的的构构造造 ., 2 , 1, , 1 21 rir a xv v v aaa i r i ii r 可可表表示示为为则则 的的一

15、一个个基基是是向向量量空空间间若若向向量量组组 的系数矩阵和未知量为的系数矩阵和未知量为 记齐次线性方程组记齐次线性方程组 )1( , 0 , 0 , 0 2211 2222121 1212111 xaxaxa xaxaxa xaxaxa nmnmm nn nn 向量方程向量方程 齐次线性方程组齐次线性方程组 )2(. )1( , 2 1 21 22221 11211 oax x x x x aaa aaa aaa a nmnmm n n 式可写成向量方程式可写成向量方程则则 解向量解向量 . )2(,)1( ,)1(, 1 21 11 1 121 2 11 1 的的解解 它它也也就就是是向向

16、量量方方程程的的解解向向量量称称为为方方程程组组 则则的的解解为为若若 n n n x xxx 解向量的性质解向量的性质 性质性质 性质性质 .)2( ,)2(, 2121 的解的解是是 也也则则的解的解为为若若 xxx .)2( ,)2( 11 的解的解 也是也是则则为实数为实数的解的解为为若若 kxkx 定义定义 . )1(, , )1( 间间 的的解解空空称称为为齐齐次次线线性性方方程程组组是是一一个个向向量量空空间间 所所以以集集合合对对向向量量的的线线性性运运算算封封闭闭则则集集合合合合 集集的的全全体体解解向向量量所所组组成成的的为为方方程程组组设设 ss s 定理定理 .,)(

17、, rnsr a r s ox a n nm nm 的维数为的维数为解空间解空间时时 当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩是一个向量空间是一个向量空间构成的集合构成的集合 的全体解所的全体解所元齐次线性方程组元齐次线性方程组 定义定义.)1( 的的基基础础解解系系的的基基称称为为方方程程组组解解空空间间s )4( )3( , , , 2211 22222121 11212111 bax bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 可写为向量方程可写为向量方程 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 向量方程向量方程 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 解向量的性质解向量的性质 性

18、质性质 性质性质 . )5( ,)4(, 2121 的的解解 组组为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程 则则的的解解为为若若 oax xxx .)4(, )5(,)4( 的的解解也也是是方方程程则则解解 的的是是方方程程的的解解是是方方程程若若 x xx 解向量解向量 向量方程向量方程 的解就是方程组的解就是方程组 的解向量的解向量)4()3( （）求齐次线性方程组的基础解系（）求齐次线性方程组的基础解系 :, , , ,)( 21 可可按按下下面面步步骤骤进进行行 不不妨妨设设为为个个解解向向量量解解系系含含线线性性无无关关的的 那那么么方方程程组组的的一一个个基基础础程程组组中中未未知

19、知数数的的个个数数为为 而而方方的的秩秩若若齐齐次次线线性性方方程程组组 rn rn n raroax 线性方程组的解法线性方程组的解法 第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵 ; 00000 00000 100 010 001 ,1, ,21,2 , 11, 1 cc cc cc nrrr nr nr a 即即个个分分量量的的第第于于是是得得号号 个个分分量量反反列列前前将将第第第第二二步步 , 2 , 1, , 2, 1: 21 r rnrr rn ;, , ,2 , 1 1, 2,2 2, 1 21, 1,2 1,

20、1 1 c c c c c c c c c nr n n rnrr r r rr r r 第三步：将其余第三步：将其余 个分量依次组成个分量依次组成 阶阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系 . 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , ,2 , 1 2, 2,2 2, 1 2 1, 1,2 1, 1 1 c c c c c c c c c nr n n rn rr r r rr r r rn rn （）求非齐次线性方程组的特解（）求非齐次线性方程组的特解 . , ,)( )( 矩矩阵阵 使使其其成成为为行行最最简简形形进进行行初初等

21、等行行变变换换增增广广矩矩阵阵 那那么么对对数数为为而而方方程程组组中中未未知知数数的的个个 的的秩秩若若非非齐齐次次线线性性方方程程组组 b nrbr arbax , 000000 000000 100 010 001 ,1, 2,21,2 1, 11, 1 dcc dcc dcc rnrrr nr nr 将上述矩阵中最后一列的前将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为个分量依次作为 特解的第特解的第 个分量，其余个分量，其余 个分量全部取个分量全部取 零，于是得零，于是得 r rn r , 2 , 1 , 0 0 2 1 d d d r 即为所求非齐次线性方程组的一个特解即为所求非齐次线性

22、方程组的一个特解 一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩二、求向量组的秩 三、齐次方程组的三、齐次方程组的 基础解系基础解系 典型例题典型例题 ? , :, , , 21 2211 21 其线性组和为零向量其线性组和为零向量 也使得也使得的数的数是否存在一组不全为零是否存在一组不全为零 一个自然的问题是一个自然的问题是那么那么零向量零向量一个特殊向量一个特殊向量 其结果为向量空间中的其结果为向量空间中的时时 线性组合线性组合的结合物的结合物量空间中两种基本运算量空间中两种基本运算 当我们考虑到向当我们考虑到向而言的而言的定的向量组定的向量组 概念都是针对一个特概念都

23、是针对一个特线性相关与线性无关的线性相关与线性无关的 kkk kkk m mm m 一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定 . 0 , 0 , ,;, ; ,.: 2211 21 mm m kkk kkk 才才有有时时 当当 指指的的是是当当且且仅仅所所谓谓不不存存在在该该向向量量组组线线性性无无关关 则则称称若若不不存存在在则则称称该该向向量量组组线线性性相相关关若若存存在在 关关与与线线性性无无关关的的概概念念然然而而然然地地提提出出了了线线性性相相 也也就就自自这这样样存存在在或或不不存存在在答答案案只只有有两两种种 . , : ,?), (, 们们往往往往采采用用反反证证法法

24、 我我时时在在论论证证某某些些相相关关性性问问题题据据此此立立的的概概念念 一一对对排排中中对对线线性性相相关关与与线线性性无无关关是是应应注注意意到到 还还此此外外可可由由其其余余向向量量线线性性表表出出意意一一个个向向量量 不不是是任任即即看看其其中中有有无无某某个个向向量量的的概概念念来来体体现现 可可以以通通过过线线性性表表出出线线性性相相关关与与线线性性无无关关还还 研究这类问题一般有两个方法研究这类问题一般有两个方法 方法方法1 1从定义出发从定义出发 0 0 0 , 0 2 1 2 22 21 2 1 12 11 1 2211 a a a k a a a k a a a k kk

25、k mn m m m nn mm 令令 整理得线性方程组整理得线性方程组 )( , 0 , 0 , 0 2211 2222112 1221111 kakaka kakaka kakaka mmnnn mm mm . ,)( ., ,)( 21 21 线线性性相相关关 则则有有非非零零解解若若线线性性方方程程组组 线线性性无无关关 则则只只有有唯唯一一零零解解若若线线性性方方程程组组 m m 方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定系判定 .,)( ,)( ).(),( , 21 21 21 21 线线性性相相关关则则若若 线线性性无无关关则则若若 首首先先求

26、求出出相相应应的的矩矩阵阵 就就得得到到一一个个维维向向量量给给出出一一组组 m m m m mar mar ara n 例例研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性 . 2 0 1 , 5 2 0 , 3 2 1 321 解一解一 0 0 0 2 0 1 5 2 0 3 2 1 , 0 321 332211 kkk kkk 即即令令 整理得到整理得到)( . 0253 , 022 , 0 321 21 31 kkk kk kk . ,)( , 0 253 022 101 )( 321 线线性性相相关关 从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组 的的系系数数行行列列式式线线

27、性性方方程程组组 解二解二 , 2 0 1 , 5 2 0 , 3 2 1 321 , 253 022 101 ),( 321 a矩阵矩阵 000 220 101 253 022 101 初等行变换初等行变换 a ., , 32)( 321 线线性性相相关关故故向向量量组组 ar . )2(, , :, 2211 21 21 线线性性相相关关 都都有有使使对对任任何何向向量量为为零零的的数数 存存在在不不全全证证明明线线性性相相关关设设 r ttt ttt rr r r 例例2 2 分析分析考考察察向向量量方方程程我我们们从从定定义义出出发发 , 0)( 2211 2211 tktktk kk

28、k rr rr 即即向向量量方方程程 0)()()( 222111 tktktk rrr ., , 21 因因此此可可得得如如下下证证明明恒恒有有非非零零解解每每个个 而而使使得得对对数数是是否否有有某某组组不不全全为为零零的的 kkk r 证明证明 0 , , 2211 21 21 rr r r kkk kkk 使使为为零零的的数数 所所以以存存在在不不全全线线性性相相关关因因为为 0 2211 xkxkxk rr 考考虑虑线线性性方方程程 都都有有则则对对任任意意向向量量零零解解 为为任任一一非非设设它它必必有有非非零零解解因因为为 , ),(, 2 21 ttt r r 0)( 2211

29、 2211 tktktk kkk rr rr 0)( )()( 222111 tk tktk rrr 即即 . , :, 2211 21 线线性性相相关关 不不全全为为零零得得知知由由 ttt kkk rr r . , ,:, 2 121 一个最大线性无关组一个最大线性无关组 成它的成它的个线性无关的向量均构个线性无关的向量均构中任意中任意 证明证明的秩是的秩是已知向量组已知向量组 r r s s 例3例3 证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是：关组的基本方法就是： 分析分析 根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义

30、来证，它往往还 与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系 证明证明 ., ,), 2 , 1( , , 21 21 21 r sk r k iii k s iii r r 否否则则这这向向量量组组的的秩秩大大于于相相关关 线线性性向向量量组组的的 于于是是对对于于任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量中中的的任任意意 是是设设不不失失一一般般性性 ., , 21 21 线线性性表表出出以以由由 可可所所以以线线性性无无关关又又向向量量组组 iii k iii r r ., , 21 21 的的一一个个最最大大线线性性无无关关组组 是是这这就就证证明明了了由由定定义义 s iii r 求一个向量组

31、的秩，可以把它转化为矩阵的求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的所排成的 如果向量组的向量以列（行）向量的形式给如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组而且可以求出最大线性无关组 若矩阵若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵经过初等行（列）变换化为矩阵 ， 则则 和和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的中任何对应的列（行）向量组都有相同的 线性相关性线性相关性 a ba b 二、求向量组的秩二、求向量组的秩 .)1, 4, 6, 2( ),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0( ),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1( 5 43 21 的秩的秩 求向量组求向量组 t t