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1、双曲线中的中点弦 一道课后作业题的教学所思绵阳南山中学 青树国在双曲线的教学过程中,经常会遇到对中点弦所在直线的存在性的探究。题目有时解是存在的,有时虽然计算出来直线方程但经检验又必须舍去，而且有时检验的计算量又很大。这部分的技巧学生掌握起来难度较大,题目丢分现象比较普遍。在此我通过对课后习题的讲解和反思总结情况形成了一个猜想,用来判断双曲线弦的中点位置,能迅速帮助学生判断中点所在的位置是否合理,在此和大家一起分享与交流。一、课本习题再现普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人民教育出版社A版）第二章第三节课后习题B组第4题：已知双曲线,过点能否作一条直线,与双曲线交于、两点,且点是线段

2、的中点?这是一探索性问题，通过对作业的批改，绝大多数学生有对探索性问题的解决办法即：假设推理验证下结论。具体来说普遍采用了以下两法。法一：（设而不求）假设能作这样的直线，通过作图可知：直线的斜率显然，设其为，从而直线的方程为：即：，联立直线和双曲线的方程并消去未知数可得。（*）设、由题意可知、是方程（*）的两个根。故且，由题意可知：，解之得，带入判别式知，故应舍去，所以假设不成立即由题意不能作出这样的直线。法二：（点差法）假设能作这样的直线，并设、由题意可知、在双曲线上，所以，由-得，所以直线的方程为：即带入双曲线方程得，所以假设不成立，这样的直线不存在。二、提出问题以上两法在学生的作业中普遍

3、存在，但更多的学生最后都忘记了对判别式的检验，从而导致结论的错误。既然学生易漏掉最后的检验，那为什么我们不能结合图形首先判断中点弦是否存在呢？而且很多时候判别式的计算量太大也不便于计算，如：双曲线中的被点平分的弦所在的直线方程是（ ）A.，B.，C.，D.不存在。本题学生极易错选A答案，通过检验判别式答案应选D三、解决问题 如图：双曲线及其渐近线，可把平面分成、三个区域由线性规划的知识可知：当 在区域内时，有；当 在区域内时，有；当 在区域内时，有 利用上述结论，可以证明：当 在区域时，以它为中点的弦不存在，而在区域、时，这样的弦是存在的证明过程如下：设双曲线 的弦 两端点为， ，中点为，则 ，运用点差法得出 的斜率令直线 的方程为 ，即把代入 ，整理得， 把代入，整理得 ，双曲线渐近线方程为：，若 在内有，平方得，这时 ，中点弦存在。若 在区域内有，平方得，双曲线上横坐标为的点纵坐标为： ，显然有，即 成立， ，化简得，这时 ，则中点弦存在。若 在区域内有，平方得，双曲线上纵坐标为的点横坐标为： ，显然有，即 成立， ，化简得，再由则 ，这时 ，中点弦不存在。上述证明方法对计算能力要求太高，建议不给学生证明。在教

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